2020北京市高考数学压轴卷（Word版附解析）
2020北京市高考数学压轴卷（Word版附解析）,高考数学压轴卷,北京市,莲山课件.
绝密启封前
2020江苏省高考压轴卷
数 学
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合 ， ，则 ______
2．已知复数 则｜z｜＝ ．
3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 为____．
5．在平面直角坐标亲 中，若双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为______.
6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．
7．已知点 在抛物线 上运动， 为抛物线的焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值是______．
8．已知 都是锐角， ，则 =_____
9．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三
棱锥S—A1B1C1的体积为___．
10．在等差数列 中， ，则数列 的前11项和 ____________.
11．三棱锥 中，已知 平面 ， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 的长为_____.
12．如图，在四边形 中， ，点 分别是边 的中点，延长 和 交 的延长线于不同的两点 ，则 的值为_________．
13．已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围______.
14．在 中，记角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，面积为 ，则 的最大值为______.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
16．如图，在直三棱柱 中， ， , 分别是 , 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
17．如图所示，为美化环境，拟在四边形 空地上修建两条道路 和 ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点 在边 的三等分点处（靠近 点）， 百米， ， ， 百米， .
（1）求 区域的面积；
（2）为便于花草种植，现拟过 点铺设一条水管 至道路 上，求水管 最短时的长．
18．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 是椭圆 上的一个动点，且 面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设斜率不为零的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，且 的垂直平分线交 轴于点 ，求直线 的斜率.
19．已知数列 的前 项和记为 ，且 ，数列 是公比为 的等比数列，它的前 项和记为 .若 ，且存在不小于3的正整数 ， ，使得 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）求证：数列 是等差数列；
（3）若 ，是否存在整数 ， ，使得 ，若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.
20．已知 ， .
（1）当 时，求函数 图象在 处的切线方程；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
（3）若 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 的取值范围.
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换)
求椭圆 在矩阵 对应的变换作用下所得曲线 的方程.
B. (选修44：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．
C. (选修45：不等式选讲)
已知x，y，z均为正数，且 ，求证： .
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 从中任意取出 3件进行检验，求至少有 件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家 件产品，其中有 不合格，按合同规定 商家从这 件产品中任取 件，都进行检验，只有 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．
23．已知数列 满足 ，其中 为常数， .
（1）求 的值
（2）猜想数列 的通项公式，并证明.
参考答案及解析
1.【答案】
【解析】
因为集合 ， ，
所以 .
故答案为：
2．【答案】
【解析】
．
3．【答案】8
【解析】
设样本容量为 ，则
高二所抽人数为 .
故答案为：8
4．【答案】205
【解析】
模拟程序语言，运行过程，可得 ,
满足条件 ，执行循环体 ；
满足条件 ，执行循环体 ；
满足条件 ，执行循环体 ；
满足条件 ，执行循环体 ，
此时，不满足条件 ，退出循环，输出S的值为 ，
故答案为205.
5．【答案】
【解析】
由已知可知离心率 ， ，即 .
∵双曲线 的焦点在 轴上
∴该双曲线的渐近线方程为 ，即 .
故答案为： .
6．【答案】
【解析】
由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有 （种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为 .
7．【答案】7
【解析】
8．【答案】
【解析】
∵ 都是锐角，∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为 ．
9．【答案】1
【解析】
设三棱柱 的底面积为 ，高为 ，
则 ，
再设 到底面 的距离为 ，则 ，得 ，
所以 ，
则 到上底面 的距离为 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
故答案为1．
10．【答案】132
【解析】
由a9 a12+6，得2a9﹣a12＝12，
即2a1+16d﹣a1﹣11d＝12，∴a1+5d＝12，a6＝12．
则S11＝11a6＝11×12＝132．
故答案为：132
11．【答案】2或
【解析】
设 是 的中点，连接 ，
平面 ， ，
为正三角形， ，
平面 ，
在平面 内作 ，
则 ， 平面 ，
连接 ，则 是 与平面 所成的角，
设 ，在直角三角形 中， ，
求得 ，
，
平面 所成的角的正弦值为 ，
,
解得 或 ，即 的长为2或 ，故答案为2或 .
12．【答案】0
【解析】
如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，
2020全国卷Ⅲ高考数学压轴卷（文）（Word版附解析）
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则 分别为 的中位线，所以 ,
所以 ．
由 与 共线，
所以 ，
故
．
答案：0
13．【答案】
【解析】
当 时, , , ,
当 ,
综上可知： ,
则 ， 有两个根 ， ,(不妨设 ,
当 时, ，当 时, ,
令 ,则 ， ， ， ， ， ,
设 ， , 所以 , ，函数 单调递减, ,
的值域为 , 取值范围为 ,
故答案为： .
14．【答案】
【解析】
因为
(当且仅当 时取得等号)
令 ，
故 ，因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 ，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ；
故可得 ，
又 ，故可得 .
当且仅当 ，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.
故答案为： .
15．【答案】（1）3；（2） .
【解析】
（1）由 及二倍角公式得 ，
又 即 ，所以 ；
（2）由正弦定理得 ，
周长：
，
又因为 ，所以 .
因此 周长的取值范围是 .
16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
证明：（1）因为 , 分别是 , 的中点，所以 ， ………..2分
又因为在三棱柱 中， ，所以 . ……………4分
又 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 . ……………6分
（2）在直三棱柱 中， 底面 ，
又 底面 ，所以 . ………….8分
又 ， ，所以 ， ……….10分
又 平面 ，且 ，所以 平面 . ……………12分
又 平面 ，所以平面 平面 ． …………14分
17．【答案】（1） 平方百米；（2） 百米.
【解析】
（1）由题知 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，所以 百米
所以 （平方百米）.
（2）记 ，在 中， ，即 ，
所以 ，
当 时，水管 最短，
在 中， = 百米.
18．【答案】（1） （2） 或
【解析】
(1)因为椭圆离心率为 ，当P为C的短轴顶点时， 的面积有最大值 .
所以 ，所以 ，故椭圆C的方程为: .
（2）设直线 的方程为 ，
当 时， 代入 ，
得: .
设 ，线段 的中点为 ，
，
即
因为 ，则 ，所以 ，
化简得 ，解得 或 ，
即直线 的斜率为 或 .
19．【答案】（1） （2）见解析（3）存在 满足题意。
【解析】
（1）当 时， ，
因为 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
两式相减，得 ，即 ，
所以 .
两式相减，得 ，所以数列 为等差数列.
（3）依题意： ，由 得： ，
即 ，
所以 .
因为 ，且 ，所以 ，
又因为 ，且 为奇数，
所以 时， 是整数，此时 ，
所以 .
20．【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
（1）当 时， ， ，则 .
又因为 ，所以函数 图象在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）因为
所以 ，
且 .因为 ，所以 .
①当 时，即 ，
因为 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时， ，
所以 满足条件.
②当 时，即 时，
由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 时， ，这与 时， 恒成立矛盾.
所以 不满足条件.
综上， 的取值范围为 .
（3）①当 时，
因为 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 不存在极值，所以 不满足条件.
②当 时， ，所以函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
列表如下：
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由于 在 是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，
所以 不满足条件.
③当 时，由 ，得 .
列表如下：
↘ 极小值 ↗
此时 仅存在极小值，不合题意，
所以 不满足条件.
④当 时，函数 的定义域为 ，
且 ， .
列表如下：
↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
所以 存在极大值 和极小值 ，
此时
因为 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 满足条件.
综上，所以 的取值范围为 .
21．【答案】
【解析】
设 是曲线 上的任一点，它是椭圆 上的点 在矩阵 对应变换作用下的对应点，则 ，
即 ， ，代入 得： .
即曲线 的方程为 .
22．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣2 ．
【解析】
（1）∵曲线C的参数方程为 ,（θ为参数）,有 .
上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为 ,
化简得
将 与 ,代入得曲线C的直角坐标方程有：
．
（2）设点 到直线AB：x+y+2＝0的距离为d,
则 ,
当sin（ ）＝﹣1时,d有最小值 ,
所以△ABM面积的最小值S 9﹣2 ．
23．【答案】见证明
【解析】
因为x，y，z均为正数，所以 均为正数，
由柯西不等式得
，
当且仅当 时，等式成立.
因为 ，
所以 ，
所以 .
24．【答案】（1） ；
（2）分布列见解析，
【解析】
（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，
其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，
；
（2）该商家可能检验出不合格产品数 ， 可能的取值为0，1，2，
， ，
，
的分布列为：
P
因为只有2件都合格时才接收这批产品，
故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，
记“商家拒收”为事件B，
则 ，
商家拒收这批产品的概率为 .
25．【答案】（1） ， ；（2）猜想： ，证明见解析
【解析】
（1） ， ，解得： ，
.
（2）由 ， ， 可猜想： .
证明：①当 时，由（1）知结论成立；
②假设 时，结论成立，则有 ，
那么当 时， .
由 得：
=
又
，
于是 ， ，故 时结论也成立.
由①②得， .
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