2020全国卷Ⅲ高考数学压轴卷（文）（Word版附解析）
2020全国卷Ⅲ高考数学压轴卷（文）（Word版附解析）,高考数学压轴卷,莲山课件.
2020北京高考压轴卷数学
一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．函数 图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
5．已知坐标原点到直线 的距离为 ，且直线 与圆 相切，则满足条件的直线 有（ ）条
A． B． C． D．
6．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．20 B．10 C．30 D．60
8．已知点 在抛物线C： 的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
10．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
二．填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分）
11．已知曲线 的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.
12．函数 的最小正周期等于_____.
13．在△ 中，若 ， , ,求△ 的面积
14．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝100，则{an}的通项公式an＝_____；设数列{lgan}的前n项和为Tn，则Tn＝_____.
15．已知函数 ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）
① 是奇函数；
② 在 上是单调递增函数；
③方程 有且仅有1个实数根；
④如果对任意 ，都有 ，那么 的最大值为2.
注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其他得3分.
三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．已知函数 （k为常数， 且 ）．
（1）在下列条件中选择一个________使数列 是等比数列，说明理由；
①数列 是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当 时，设 ，求数列 的前n项和 .
17．在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为 中点．
（1）求证： ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
18．已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若 在 上有零点，求实数 的取值范围.
19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下
70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用 表示这3人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
20．已知椭圆
（1）求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且满足 ．若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
21．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵： ，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设 ．
（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算 ；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证： ；
（Ⅲ）若 ， ，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．
2020北京高考压轴卷数学Word版含解析
参考答案
1．【答案】A
【解析】
， ，
.
故选:A.
2．【答案】B
【解析】
由 ，得 或 ，即 或 ，
，
又
.
故选：B.
3．【答案】B
【解析】
由 满足 ，
所以函数的周期 ，
又因为函数 为奇函数，且当 时， ，
所以 .
故选：B
4．【答案】B
【解析】
，
，故 为奇函数，排除选项A、C；又 ，排除D，选B.
故选：B.
5．【答案】A
【解析】
显然直线 有斜率，设 ： ，
则 ，即 ，①
又直线 与圆相切，
，②
联立①②， ， ，
所以直线 的方程为 .
故选：A
6．【答案】C
【解析】
令
因此
故函数 的单调递增区间是
故选：C
7．【答案】B
【解析】
由三视图可得几何体直观图如下图所示：
可知三棱锥高： ；底面面积：
三棱锥体积：
本题正确选项：
8．【答案】C
【解析】
试题分析：由已知得，抛物线 的准线方程为 ，且过点 ，故 ，则 ， ，则直线AF的斜率 ，选C．
9．【答案】C
【解析】
由 ，则
又 ，所以
若 ，且 ，所以 ，则
所以“ ”是“ ”的充要条件
故选：C
10．【答案】C
【解析】
依题意可得 ，
因为
所以 即 故 ， 错误；
即 ，故 成立；
故 错误
故选：
11．【答案】2
【解析】
由于 ，则 ，
由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，
曲线 的一条切线斜率是3，
令导数 ，可得 ，
所以切点的横坐标为2.
故答案为：2．
12．【答案】
【解析】
因为函数
故最小正周期等于 .
故答案为：
13．【答案】 或
【解析】
在 中，设 ，由余弦定理可得 ，
， ，或 ．
当 时， 的面积为 ，
当 时， 的面积为 ，
故答案为 或 ．
14．【答案】10n﹣1
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，由题知q＞0.
∵a1＝1，a3＝100，
∴q 10，
∴an＝10n﹣1；
∵lgan＝lg10n﹣1＝n﹣1，
∴Tn .
故答案为：(1). 10n﹣1 (2).
15．【答案】①②④
【解析】
根据题意，依次分析四个命题：
对于①中， ，定义域是 ，且 是奇函数，所以是正确的；
对于②中，若 ，则 ，所以 的 递增，
2020全国卷Ⅲ高考数学压轴卷（理）（Word版附解析）
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所以是正确的；
对于③中， ，令 ，
令 可得， ，即方程 有一根 ，
，则方程 有一根 之间，
所以是错误的；
对于④中，如果对于任意 ，都有 ，即 恒成立，
令 ，且 ，
若 恒成立，则必有 恒成立，
若 ，即 恒成立，
而 ，若有 ，所以是正确的，综上可得①②④正确.
16．【答案】（1）②，理由见解析；（2）
【解析】
（1）①③不能使 成等比数列.②可以：由题意 ，
即 ，得 ，且 ， .
常数 且 ， 为非零常数，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以当 时， .
因为 ，
所以 ，所以 ，
.
17．【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】
（1）由题意在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ，
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．因为 为 中点，所以 ，
所以 ， ，所以 ，所以 ．
（2）由（1）得 ， ， ， ，
，所以 与 所成角的余弦值为 ．
18．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）函数 的定义域为 ，
.
由 得 或 .
当 时， 在 上恒成立，
所以 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间.
当 时， 的变化情况如下表：
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
当 时， 的变化情况如下表：
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（Ⅱ）当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
所以 在 上有零点的必要条件是 ，
即 ，所以 .
而 ，所以 .
若 ， 在 上是减函数， ， 在 上没有零点.
若 ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 在 上有零点等价于 ，
即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
19．【答案】 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
【解析】
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为 ．
（Ⅱ） 所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以 的分布列为
1 2 3
所以 的数学期望为 .
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有 人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 .
20．【答案】（1） ， ；（2）存在，7x﹣ +3 ＝0或7x+ ﹣3 ＝0
【解析】
（1）由 ，得 ，进而 ， ；
（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足 ，
可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，
可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜ ，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝ ，y1y2＝ ，①
由 ，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②
将②代入①可得3y1﹣3＝ ，y1（2y1﹣3）＝ ，
消去y1，可得 • ＝ ，解得m2＝ ，所以 ，
故存在这样的直线l，且方程为7x﹣ y+3 ＝0或7x+ y﹣3 ＝0．
21．【答案】（Ⅰ） ， ．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）依题意可得， ， ．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得 是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…， ．得数阵Ann的第i行中有 个1，其余是0，即第i行的和为 ．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知， ，得 ．进而 ．再考查定积分 ，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．
【详解】
（Ⅰ）依题意可得， ． ．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此 是数阵Ann所有数的和．
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…， ．
因此数阵Ann的第i行中有 个1，其余是0，即第i行的和为 ．
所以 ．
（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知， ，
所以 ．所以 ．
考查定积分 ，将区间[1，n]分成n﹣1等分，则 的不足近似值为 ， 的过剩近似值为 ． 所以 ．
所以 g（n） ．
所以g（n）﹣1 g（n）+1．
所以g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．
2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（文）Word版含解析
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