2020全国卷Ⅲ高考数学压轴卷(理)(Word版附解析)

2020全国卷Ⅲ高考数学压轴卷(理)(Word版附解析),高考数学压轴卷,莲山课件.

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2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

    注意事项:

    答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

    回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 , ,则 (  )

A.      B.      C.      D.

2.若复数 满足 ( 是虚数单位),则 为(    )

A.          B.         C.            D.  

3.已知单位向量 , 满足 ⊥ ,则 •( ﹣ )=(  )

A.0    B.     C.1    D.2

4.将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,则 的解析式为(    )

A.       B.      C.        D.  

5.已知x•log32=1,则4x=(  )

A.4          B.6                C.4                                D.9

6.在△ABC中,若sinB=2sinAcosC,那么△ABC一定是(  )

A.等腰直角三角形      B.等腰三角形      C.直角三角形          D.等边三角形

7.宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”,朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习《九章算术》,旁通其它各种算法,成为元代著名数学家.他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》,其中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的 分别为 , ,则输出的 (    )

 

A. 2             B. 3              C. 4    D. 5

8.已知等比数列 中,公比为 , ,且 , , 成等差数列,又 ,数列 的前 项和为 ,则 (    )

A.      B.      C.      D.  

9.设函数  ,若函数 的图象在 处的切线与直线 平行,则 的最小值为(    )

A.                B.        C.      D.  

10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, )的最小正周期为π,且关于 中心对称,则下列结论正确的是(  )

A.f(1)<f(0)<f(2)    B.f(0)<f(2)<f(1)    

C.f(2)<f(0)<f(1)    D.f(2)<f(1)<f(0)

11.已知抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点,且该抛物线的准线与椭圆相交于 、 两点,若 是正三角形,则椭圆的离心率为(   )

A.      B.      C.      D.  

12. 定义在R上的可导函数 满足 ,记 的导函数为 ,当 时恒有 .若 ,则m的取值范围是

A.             B.             C.             D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.求值: _________.

14.已知x,y满足 若 的最小值为_________.

15、已知数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的前6项和为_____.

16、已知正三棱锥 ,点 、 、 、 都在半径为  球面上,若 、 、 两两相互垂直,则球心到截面 的距离为__________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)质量是企业的生命线,某企业在一个批次产品中随机抽检n件,并按质量指标值进行统计分析,得到表格如表:

质量指标值    等级    频数    频率

[60,75)    三等品    10    0.1

[75,90)    二等品    30    b

[90,105)    一等品    a    0.4

[105,120)    特等品    20    0.2

合计    n    1

(1)求a,b,n;

(2)从质量指标值在[90,120)的产品中,按照等级分层抽样抽取6件,再从这6件中随机抽取2件,求至少有1件特等品被抽到的概率.

18.(12分)

已知数列 满足

(1)求数列 的通项公式;

(2)设数列 的前 项和为 ,求 .

 .(12分)

将棱长为 的正方体 截去三棱锥 后得到如图所示几何体, 为 的中点.

(1)求证 平面 ;

(2)求几何体 的体积.

20.(12分)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称,且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为 .

(I)求椭圆E的标准方程;

(II)过点 的直线l(直线的斜率k存在且不为0)交E于A,B两点,交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D,直线BD交x轴于点Q.试探究 是否为定值?请说明理由.

21.(12分)已知函数 .

(I)当 时,求 的单调区间;

(II)若 有两个极值点 ,且 ,求 取值范围.(其中e为自然对数的底数).

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),以原点O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)设P(0,-1),直线l与C的交点为M,N,线段MN的中点为Q,求 .

23.已知函数 .

(1)解不等式:

(2)若函数 与函数 的图象恒有公共点,求实数 的取值范围.

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

1、【答案】C

【解析】算出集合 后可求 .

【详解】 , ,

故 ,故选C.

2、【答案】B

【解析】利用复数的除法运算求得 ,问题得解.

【详解】由 可得:

所以  故选:B

3、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可.

解:因为单位向量 , 满足 ⊥ ,则 •( ﹣ )= ﹣ • =12﹣0=1.

故选:C.

4、【答案】A

【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式.

【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为

 .

故选A.

5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.

解:∵x•log32=1,∴x=log23,

∴4x= = =9,

故选:D.

6、B解:∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,

∴cosAsinC﹣sinAcosC=sin(C﹣A)=0,即C﹣A=0,C=A,

∴a=c,即△ABC为等腰三角形.

故选:B.

7、【答案】C

【解析】按流程图逐一执行即可.

【详解】输入的 分别为 , 时,依次执行程序框图可得:

 

 

 不成立

 

 

 

 不成立

 

 

 

 不成立

 

 

 

 成立

输出 故选:C

8、【答案】A

【解析】由 , , 成等差数列即可列方程求得: ,即可求得: ,即可求得: ,再利用等差数列前 项和公式计算即可.

【详解】因为 , , 成等差数列,所以 ,解得:

又 ,所以

所以

所以

故选:A

9、【答案】D

【解析】由 可得: ,

又函数 的图象在 处的切线与直线 平行,

所以

所以

 

当且仅当 时,等号成立

所以 的最小值为

故选: D

10 D【分析】根据条件求出函数的解析式,结合函数的单调性的性质进行转化判断即可.

解:∵函数的最小周期是π,∴ =π,得ω=2,

则f(x)=sin(2x+φ),

∵f(x)关于 中心对称,

∴2×(﹣ )+φ=kπ,k∈Z,

即φ=kπ+ ,k∈Z,

∵ ,

∴当k=0时,φ= ,

即f(x)=sin(2x+ ),

则函数在[﹣ , ]上递增,

2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷(文)Word版含解析

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在[ , ]上递减,

f(0)=f( ),

∵ <1<2,

∴f( )>f(1)>f(2),

即f(2)<f(1)<f(0),

故选:D.

 

11、【答案】C【解析】

 

由题知线段 是椭圆的通径,线段 与 轴的交点是椭圆的下焦点 ,且椭圆的 ,又 , ,由椭圆定义知 ,故选C.

12【答案】D

【解析】构造函数  ,所以构造函数 ,   , 所以 的对称轴为 , 所以, 是增函数; 是减函数。  ,解得:

13【答案】1

【解析】根据对数运算,化简即可得解.

【详解】由对数运算,化简可得

 

 

 

 

故答案为:1

14、【答案】5

【解析】

式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,可得当x=3且y=1时,z取得最小值.

【详解】作出不等式组 表示的平面区域,

其中 解得A(3,1)

设z=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,

观察y轴上的截距变化,可得当l经过点A时,目标函数z达到最小值

∴z最小值=3+2=5

故答案为:5.

 

15、【答案】

【解析】

由题意得 ,因为 数列{ }的前6项和为

16、【答案】

【详解】∵正三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,

∴此正三棱锥的外接球即为以PA,PB,PC为三条棱的正方体的外接球,

∵球的半径为 ,

∴正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2

球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离

设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P﹣ABC的体积V S△ABC×h S△PAB×PC 2×2×2

△ABC为边长为2 的正三角形,S△ABC (2 )2

∴h

∴球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为 ,故答案为 .

17、解:(1)由10÷0.1=100,即n=100,

∴a=100×0.4=40,

b=30÷100=0.3.       6分

(2)设从“特等品”产品中抽取x件,从“一等品”产品中抽取y件,

由分层抽样得: ,

解得x=2,y=4,

∴在抽取的6件中,有特等品2件,记为A1,A2,

有一等品4件,记为B1,B2,B3,B4,

则所有的抽样情况有15种,分别为:

A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,

其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种,分别为:

A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,

∴至少有1件特等品被抽到的概率为:p= .       12分

18.解:(1)令 ,    当 时, ,

当 时, ,则 ,   故     6分

(2)  ,    8分

 

         12分

19. 解:(1)取 中点为 ,连接 .

     正方形 中 为 的中点,  ∴ 为 的中点.

又∵正方体 中 ,

∴  .   ∴ .

∴四边形 为平行四边形,  ∴ ∴ .

∴四边形 为平行四边形 .∴ .

又 平面 , 平面 ,

∴ 平面     6分

(2)

 

      ,     12分

20.(1)因为椭圆E的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称,

所以椭圆E的右焦点为 ,所以 .

又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为 ,所以 ,又 ,

所以椭圆E的标准方程为 .     4 分

(2)设直线l的方程为 , ,则点 ,设

则点 ,联立直线l与椭圆E的方程有 ,

得 ,所以有 ,即

且 ,即直线BD的方程为

令 ,得点Q的横坐标为 ,

代入得: ,

所以 ,所以 为定值4.

21.(1) 的定义域为 , ,

 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .          5分

(2∵ , 有两个极值点

∴令 ,则 的零点为 ,且 .

∴ >0, ∴  或 ∵ , ∴ .

根据根的分布,则 且 g( ) <0> ∴a的取值范围是            12分

22、【答案】(1) , ;(2)

【解析】(1)直线l的参数方程为 (t为参数).消去参数t可得直线l的普通方程为  

由 ,得 ,则有 ,即 ,

则曲线C的直角坐标方程为  

(2)将l的参数方程代入 ,得 ,设两根为 ,  

则 , 为M,N对应的参数,且

所以,线段MN的中点为Q对应的参数为 ,

所以,

23、【答案】(1) ; (2) .

【解析】(1)由 得 ,即:

等价于 或 或 .

解得 或 或 ,即 ,

所以原不等式的解集为 .

(2)因为函数 在 单调递增,所以 ,

因为 ,

在 处, 取得最大值 ,

要使函数 与函数 的图象恒有公共点,则须 ,

即 ,故实数 的取值范围是

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