2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（理）Word版含解析
2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（理）Word版含解析,高考数学压轴卷,莲山课件.
2020新课标2高考压轴卷数学（文）
一、 选择题（本大题共12小题. 每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝｛x ｜0≤x≤3｝，B＝｛x R｜－2＜x＜2｝则A∩B( )
A. {0,1} B. {1} C. [0,1] D. [0,2)
2.已知复数z的共轭复数 ，则复数z的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”
B. “ ”是“ ” 必要不充分条件
C. 命题“ ，使 ”的否定是：“ 均有 ”
D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
4.角 的终边在直线 上，则 （ ）
A. B. 1 C. 3 D. －1
5. 已知向量 ， ，若向量 与 的夹角为 ，则实数m =（ ）
A. B. 1 C. －1 D.
6.设变量想x、y满足约束条件为 则目标函数 的最大值为( )
A. 0 B. -3 C. 18 D. 21
7.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 2
8.执行如下的程序框图，则输出的S是（ ）
A. 36 B. 45
C. －36 D. －45
9.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ）
A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
10. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
11.双曲线C： 的左、右焦点分别为F1、F2，P在双曲线C上，且 是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.若定义在R上的函数 满足 且 时， ，则方程 的根的个数是
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
二、填空题（本大题共4小题.每小题5分，共20分）
13.已知 ，且 ，则 ________．
14.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法。
15.已知直线l： 与圆 交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与y轴交于C、D两点，若 ，则 __________．
16.已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的体积为__ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题12分）
已知数列{an}满足 ， ．
（1）证明： 是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
18. （本小题12分）
如图所示，在三棱柱ABC – A1B1C1中，侧棱 底面ABC， ，D为AC的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求AB1与BD所成角的余弦值．
19. （本小题12分）
某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表
周跑量（km/周）
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:
注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑
（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:
周跑量 小于20公里 20公里到40公里 不小于40公里
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格（单位：元） 2500 4000 4500
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?
20. （本小题12分）
已知点 ，椭圆 的离心率为 是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且 ，求k的值.
21. （本小题12分）
已知函数
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设 是f(x)的两个零点，证明： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22. （本小题10分）
已知曲线C： （k为参数）和直线l： （t为参数）．
（1）将曲线C的方程化为普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．
23. （本小题10分）
设函数 的最大值为m.
（1）求m的值；
（2）若正实数a，b满足 ，求 的最小值.
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参考答案
1. 【答案】A
【解析】
可解出集合A，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
2. 【答案】A
【解析】
，则 ，则复数 的虚部是 .
故选：A.
3. 【答案】D
【解析】
．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”，则 错误．
．由 ，解得 或 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 错误．
．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”，故 错误．
．命题“若 ，则 ”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题，故 正确．
故选：D．
4. 【答案】C
【解析】
角 的终边在直线 上， ，
则 ，故选：C。
5. 【答案】B
【解析】
由题意得： ，
，
，解得：
本题正确选项：
6. 【答案】C
【解析】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最大值，且最大值为 .故选C.
7. 【答案】D
【解析】
由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，
直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，
一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.
四棱锥的体积是 .
故选：D.
8. 【答案】A
【解析】
满足，执行第一次循环， ， ；
成立，执行第二次循环， ， ；
成立，执行第三次循环， ， ；
成立，执行第四次循环， ， ；
成立，执行第五次循环， ， ；
成立，执行第六次循环， ， ；
成立，执行第七次循环， ， ；
成立，执行第八次循环， ， ；
不成立，跳出循环体，输出 的值为 ，故选：A.
9. 【答案】B
第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；
第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5
第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇
10. 【答案】A
【解析】由题意得：
为奇函数，图象关于原点对称
可排除
又当 时， ，可排除
本题正确选项：
11. 【答案】B
【解析】
双曲线 ，可得a＝3，
因为 是等腰三角形，当 时，
由双曲线定义知|PF1|＝2a+|PF2|，
在△F1PF2中，2c+2c+|PF2|＝22，
即6c﹣2a＝22，
即c ，
解得C的离心率e ，
当 时，由双曲线定义知|PF1|＝2a+|PF2|=2a+2c，
在△F1PF2中，2a+2c +2c+2c＝22，
即6c＝22﹣2a=16，
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即c ，
解得C的离心率e <1> 故选：B．
12. 【答案】A
【解析】
因为函数 满足 ，所以函数 是周期为 的周期函数.
又 时， ，所以函数 的图象如图所示.
再作出 的图象，易得两图象有 个交点，所以方程 有 个零点．故应选A．
13. 【答案】
【解析】
由 得：
解方程组： 得： 或
因为 ，所以 所以 不合题意，舍去
所以 ，所以 ，答案应填： .
14. 【答案】60
【解析】
因为英语翻译只能从多面手中选，所以有
（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有 种选法；
（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有 种选法；
（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有 种选法；
共有18+36+6=60种选法。
15. 【答案】4
【解析】
因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，则由 ，解得 ，代入直线 的方程，得 ，所以直线 的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形 中， ．
故答案为4
16. 【答案】
【解析】如图所示,取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝ PB，OC＝ PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O为外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝ ，PB＝ ，∴外接球的半径R＝ .
∴V球＝ πR3＝ ×( )3＝ ,故填 .
三、解答题（本大题共6道题，其中17题10分，其余每题12分，共计70分，请将准确的答案写在答题卡相应的区域内.）
17. 【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
（1）由题意，数列 满足 ，所以
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得 ，即 ，
所以
，
即 ．
18. 【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
(1)证明：如图，连接 ，设 与 相交于点O，连接OD.
∵四边形 是平行四边形．
∴点O为 的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为 的中位线，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）由（1）可知， 为 与 所成的角或其补角
在 中，D为AC的中点，则
同理可得，
在 中，
与BD所成角的余弦值为 .
19. 【答案】(1)见解析；(2) 中位数为29.2，分布特点见解析； (3)3720元
【解析】
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：
（2）中位数的估计值：
由 ，
所以中位数位于区间 中，
设中位数为 ，则 ，
解得 ，因为 ，
所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．
（3）依题意可知，休闲跑者共有 人，
核心跑者 人，
精英跑者 人，
所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要 元．
20. 【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
解：（1）由离心率e ，则a c，
直线AF的斜率k 2，则c＝1，a ，
b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆E的方程为 ；
（2）设直线l：y＝kx﹣ ，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则 ，整理得：（1+2k2）x2﹣ kx+4＝0，
△＝（﹣ k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2 ，
∴x1+x2 ，x1x2 ，
∴ ，
即 ,
解得： 或 （舍去）
∴k＝± ，
21. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1） ，
当 时， ，则 在 上单调递增．
当 时，令 ，得 ，则 的单调递增区间为 ，
令 ，得 ，则 的单调递减区间为 ．
（2）证明：由 得 ，设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
故 的最小值．
当 时， ，当 时， ，
不妨设 ，则 ，
等价于 ， 且 上单调递增，
要证： ，只需证 ，
，
只需证 ，即 ，
即证 ；
设 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
在 上单调递减，即 在 上单调递减，
， 在 上单调递增，
，
从而 得证．
22. 【答案】（1） ，（2）x+2y﹣4＝0．
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又 ，两式相除得 ，
代入 ，得 ，整理得 ，即为C的普通方程．
（2）将 代入 ，
整理得（4sin2θ+cos2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8＝0．
由P为AB的中点，则 ．
∴cosθ+2sinθ＝0，即 ，故 ，即 ，
所以所求的直线方程为x+2y﹣4＝0．
23. 【答案】(1) m＝1 (2)
【解析】（1）f(x)＝|x＋1|－|x|＝
由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．
所以m＝1．
（2）由（1）可知，a＋b＝1，
＋ ＝ ( ＋ )[(b＋1)＋(a＋1)]
＝ [a2＋b2＋ ＋ ]
≥ (a2＋b2＋2 )
＝ (a＋b)2
＝ ．
当且仅当a＝b＝ 时取等号．
即 ＋ 的最小值为 ．
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