2020全国卷Ⅰ高考数学压轴卷（文）Word版含解析
2020全国卷Ⅰ高考数学压轴卷（文）Word版含解析,高考数学压轴卷,莲山课件.
2020新课标1高考压轴卷数学（理）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，则A∩B= ( ).
A. (2,3) B. [2,3) C.[－4,2] D. (－4,3)
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.若向量 ＝ ，| |＝2 ，若 ·( － )＝2，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
6.我国古代名著《庄子 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
A. B.
C D.
7.已知变量x，y满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ）
A. 二升 B. 三升 C. 四升 D. 五升
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， ，则b=( )
A. 1 B. C. D.
10..若直线 被圆 截得弦长为4，则 的最小值是（ ）
A. 9 B. 4 C. D.
11.已知抛物线 的焦点为F，点 是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线 交于E，G两点，若 ，则抛物线C的方程是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数 ，若方程 有5个解，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.已知 ，且 ，则 ________．
14.设m为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 展开式的二项式系数的最大值为b，若 ，则m=______．
15.已知函数 有四个零点，则实数a的取值范围是__________．
16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC， ，给出下列结论：
① ；
②直线 平面 ；
③平面 平面 ；
④异面直线PD与BC所成角为45°；
⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为 .
其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）
三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分）
△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
（1）求角C的大小；
（2）已知 ，△ABC的面积为6，求边长c的值.
18. （本小题12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， ，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。
（1）证明：CE∥面PAD
（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积。
19. （本小题12分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）
甲部门 6 7 8
乙部门 5.5 6 6.5 7 7.5 8
丙部门 5 5.5 6 6.5 7 8.5
（1）求该单位乙部门的员工人数？
（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；
（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
20. （本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 ，且 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 ： 与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆 上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
21. （本小题12分）
设函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）求使 对 恒成立的a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22. （本小题10分）
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 (其中t为参数）.现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P坐标为(－1,0)，直线l交曲线C于A,B两点，求 的值.
23. （本小题10分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对任意 成立，求实数a的取值范围．
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参考答案
1. 【答案】B
【解析】因 ，
所以 ，故本题选B.
2. 【答案】D
【解析】因为
所以
故选D
3. 【答案】A
【解析】由已知可得： ，得 ，
设向量a与b的夹角为 ，则
所以向量 与 的夹角为
故选A.
4. 【答案】A
【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥
三棱锥体积为：
本题正确选项：A
5. 【答案】B
【解析】由题意 故选B．
6. 【答案】B
【解析】由题意，执行程序框图，可得：
第1次循环： ；
第2次循环： ；
第3次循环： ；
依次类推，第7次循环： ，
此时不满足条件，推出循环，
其中判断框①应填入的条件为： ，
执行框②应填入： ，③应填入： .
故选：B.
7. 【答案】B
【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型， ，可知截距越大 值越大，根据图象得出最优解为 ，则 的最大值为2，选B.
8. 【答案】B
【解析】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为 ，故选B．
9. 【答案】C
【解析】因为 ，展开得
，由正弦定理化简得
，整理得
即 ，而三角形中0
由余弦定理可得 ，代入
解得
所以选C
10. 【答案】A
【解析】圆 的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，
可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
=（ ）（a+b）=5+ ≥5+2
当且仅当 = 时取等号，∴ 的最小值是9．
故选：A．
11. 【答案】C
【解析】作 ，垂足为点D．
由题意得点 在抛物线上，则 得 ．①
由抛物线的性质，可知， ，
因为 ，所以 ．
所以 ，解得： ．②．
由①②，解得： （舍去）或 ．
故抛物线C的方程是 ．
故选C．
12. 【答案】D
【解析】 ，
，或 ，由题意可知： ，由题可知：当 时， 有2个解且 有2个解且 ，
当 时， ，因为 ，所以函数 是偶函数，当 时，函数 是减函数，故有 ，函数 是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当 时有， ，所以 ，综上所述；
的取值范围是 ，故本题选D.
13. 【答案】
【解析】由 得：
解方程组： 得： 或
因为 ，所以 所以 不合题意，舍去
所以 ，所以 ，答案应填： .
14. 【答案】7
【解析】
展开式中二项式系数的最大值为 ，
展开式中二项式系数的最大值为 ，
因
所以
即：
解得：
15. 【答案】 (－2,0)
【解析】因为 是偶函数，根据对称性， 在 上有两个不同的实根，即 在 上有两个不同的实根，等价转化为直线 与曲线 有两个交点，
2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（理）Word版含解析
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而 ，则当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数，于是 ，故
故答案为：(－2,0)
16. 【答案】①③④⑤
【解析】设正六边形长为1，则 .根据正六边形的几何性质可知 ，由 平面 得 ，所以 平面 ，所以 ，故①正确.由于 ，而 ，所以直线 平面 不正确，故②错误.易证得 ,所以 平面 ，所以平面 平面 ，故③正确.由于 ,所以 是异面直线 与 所成角，在 中， ，故 ，也即异面直线 与 所成角为 ，故④正确.连接 ，则 ，由①证明过程可知 平面 ，所以 平面 ，所以 是所求线面角，在三角形 中， ，由余弦定理得 ，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤.
17. 【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：
（1）由已知得 ，
化简得 ，
故 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，由 ， ， ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以
18. 【答案】（1）见解析（2）
【解析】解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE，
则QE∥AB，且QE= AB
∴QE∥CD，且QE=CD.
即四边形CDQE为平行四边形，CE∥QD.
又∵CE 平面PAD，QD 平面PAD，
∴CE∥平面PAD.
(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO
则EO∥PD，且EO= PD.
∵PD⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
则CO为CE在平面ABCD上的射影，
即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°
在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2 ，
则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO= BD=
2PD=2E0=2 ，
∴
∴
∴四棱锥P-ABCD的体积为 .
解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE
则QE∥PA
∵PA 平面PAD，QE 平面PAD
∴QE∥平面PAD，
又∵AQ= AB=CD，AQ∥CD，
∴四边形AQCDカ平行四迹形，
则CQ∥DA
∵DA 平面PAD，CQ 平面PAD，
∴CQ∥平面PAD，
(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分)
又QE 平面CEQ，CQ 平面CEQ，QE CQ=Q，
∴平面CEQ∥平面PAD，
又CE 平面CQ，
∴CE∥平面PAD.
(2)同解法一.
19. 【答案】 (1)24人；(2) ；(3)X的分布列见解析；数学期望为1
【解析】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工，
其中该单位乙部门抽取6名员工，
∴该单位乙部门的员工人数为：6 24人．
（2）由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工，
从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，
基本事件总数n 18，
A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有12个：
（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），
∴A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率p ．
（3）由题意从丙部门抽出的员工有6人，其中睡眠充足的员工人数有2 人，
从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0） ，
P（X＝1） ，
P（X＝2） ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X） 1．
20. 【答案】（1） ；（2）实数m不存在，理由见解析．
【解析】（1）由题意得 ，解得 故椭圆的方程为 ；
（2）设 ， ，线段 的中点为 联立直线 与椭圆的方程得，即 ，
即 ，
，
所以 ，
即 ．又因 点在圆 上，
可得 ，
解得 与 矛盾．
故实数 不存在．
21. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）因为 ，其中 ，所以 .
所以， 时，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
时，所以 的单调递减区间为 ；
时，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）由题意得 ，即 .由（1）知 在 内单调递增，要使 对 恒成立.
只要 解得 .故 的取值范围是 .
22. 【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）由 消去参数 ，得直线 的普通方程为
又由 得 ，
由 得曲线 的直角坐标方程为 ，
即 ；
（2）其 代入 得 ，
则
所以 .
23. 【答案】 (1) ．(2)
【解析】（1）当 时，不等式 可化为 ．
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ．
综上，当 时，不等式 的解集为 ．
（2）∵ 对任意 成立，
∴ 任意 成立，
∴ 对任意 成立，
所以 对任意 成立
又当 时， ，
故所求实数 的取值范围是 ．
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