广东省东莞市2020届高三数学（文）5月模拟试题（Word版带答案）
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绝密启用前
安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高二)
数学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
(1)已知集合M＝{x|y＝ln(x－1)}，N＝{x|x2－2x≥0}，则M∩ N＝
(A)(0，2) (B)(1，2) (C)(－2，0) (D)(0，1)
(2)设复数z＝( )2020 (其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)在[0，1]内任取两个实数x，y，则事件0 (A) (B) (C) (D)
(4)命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为
(A) a，b>0，a＋ <2> (B) a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
(C) a，b>0，a＋ <2> (D) a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
(5)过圆C1：x2＋y2＝1上的点P作圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4切线，切点为Q，则切线段PQ长的最大值为
(A)2 (B) (C)4 (D)
(6)关于函数f(x)＝cos2x＋ sinxcosx－ 有下述三个结论：
①f(x)在区间[ ， ]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x＝－ 对称；
③f(x)在区间[ ，π]上的值域为[－1， ]
其中正确结论的个数是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(7)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，M是△ABC所在平面内一点，且 ，则
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(8)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象
(A)关于x＝1对称 (B)关于x＝3对称 (C)关于y＝3对称 (D)关于(3，0)对称
(9)函数 (x>0)的最小值为
(A)6 (B) (C) (D)
(10)已知过点A(t，0)的直线与抛物线y2＝8x交于B，C两点，F为抛物线的焦点，若 为常数，则t的值为
(A)2 (B)－2 (C)2或－2 (D)不存在
(11)已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为1的球既是一个正四面体的内切球，又是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为
(A) －1 (B)1 (C)2 －1 (D)2
(12)已知不等式xe2x－1－ax－lnx≥0对一切x>0成立，则实数a的最大值为
(A) (B)2 (C)e (D)2e
第II卷(非选择题 共90分)
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。)
(13)过点(－1，－1)与曲线y＝ex＋x相切的直线方程为 。
(14)已知长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆的面积为πab。现用随机模拟的方法来估计π的近似值，先用计算机产生n个数对(xi，yi)，i＝1，2，3……，n，其中xi，yi均为[0，2]内的随机数，再由计算机统计发现其中满足条件 的数对有m个，由此可估计π的近似值为 。
(15)已知△ABC中，AB＝9，∠BAC＝60°，D为边BC上一点，且CD＝2BD，AD＝2 ，则△ABC的面积为 。
(16)已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，△ABF2为直角三角形，且∠F1AF2＝45°，则双曲线C的离心率为 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
(17)(本题满分10分)
已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 。
(1)求角A；
(2)若a＝ ，求b＋2c的取值范围。
(18)(本小题满分12分)
已知公差不等于0的正项等差数列{an}的前n项和为Sn，递增等比数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝an·bn，a1＝b2＝2，c1＋c2＋c3＝34，4Sn＋1＝(an＋1)2。
(1)求满足 n∈N*，n3≤λcn的λ的最小值；
(2)求数列{cn}的前n项和Mn。
(19)(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD。
(1)求证：平面APC⊥平面BPD；
(2)若AB＝2AP＝2，求直线AP与平面PCD所成角的正弦值。
(20)(本小题满分12分)
Fibonacci数列又称黄金分割数列，因为当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数 。已知Fibonacci数列的递推关系式为 。
(1)证明：Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列；
(2)用数学归纳法证明：Fibonacci数列的通项公式为 。
(21)(本小题满分12分)
已知曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍。
(1)求曲线E的方程；
(2)过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E于B、D两点(均异于点A)，又C(－2，0)，求四边形ABCD的面积的最大值。
(22)(本小题满分12分)
已知函数 有两个不同的零点x1，x2。
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：x1＋x2<－2。
安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛（高二）
数学（理科）试题答案
选择题：1-12 BCCDC DBAAC DB
1.B【解析】 ∵ ， ，∴ =(0,2)，∴ ．
2.C【解析】设 ，则 ， ， ，所以 的值以3为周期呈周期性出现，故 ，所以 ，在复平面内对应的点在第三象限．
3.C【解析】样本空间为 ，是一个面积为 的正方形，所求事件所包含的样本点在直线 与直线 之间，且在样本空间的正方形内，其面积为 ，所以所求事件的概率为 ．
4.D【解析】由全称命题的否定形式，易知答案D正确．
5.C【解析】当点 到圆心 距离最大时，切线段 最长， ，此时 ．
6.D 【解析】 ，由 ， ，得 ， ，所以 的单调递减区间为 ， ．可知①正确；由 ，可知 的图象关于直线 对称，所以②正确；当 时， ，所以 ，故③正确．
7.B【解析】取 的中点 ，由 ，得 ，所以 ．
8.A【解析】设 为 图象上任一点，则 ，所以点 在函数 的图象上，而 与 关于直线 对称，所以函数 与 的图象关于直线 对称．
9.A【解析】令 ，因为 ，所以 ，则函数 转化为 ，当且仅当 ，即 ，也即 时，等号成立．
10.C【解析】设过点 的直线方程为 ，代入 得 ．设 ， ，则 ， ，所以 ， ，要使该式对 所有可能取值均为常数，则 ，故 或 ．
11.D 【解析】固定正四面体 不动，则其内切球也随之固定，考虑顶点 与正六面体（即正方体）的顶点的距离．当正方体的顶点在球面上移动时，顶点 到球面上点的距离最小值就是顶点 与正方体顶点距离的最小值．由正四面体的内切球半径为1，知球心到顶点 的距离为3，所以顶点 到球面上点的距离最小值为 ．
12.B【解析】∵ ，
2019-2020学年河北省深州市长江中学高二政治下学期第一次月考试题（答案）
2019-2020学年河北省深州市长江中学高二政治下学期第一次月考试题（答案）,高二下政治月考,河北,莲山课件.
∴ ，等号成立条件为 ，∴ ，∴只需 ，即 ．
填空题
13. 【答案】 ．【解析】设切点坐标为 ，由 得 ，所以切线方程为 ，因为切线过点 ，所以 ，即 ，所以 ，即所求切线方程为 ．
14.【答案】 ．【解析】 因为 ， ，所以 表示的数对对应的点 在椭圆 的内部，且在第一象限，其面积为 ，故 ，得 ．
15.【答案】 ．【解析】设 ， ，则 ．在 和 中分别由余弦定理得 ， ，两式消去角，得 ，在 中由余弦定理得 ，即 ，所以 ，解得 或 （舍去）．所以 的面积为 ．
16.【答案】 或 ．【解析】设 ．①当 时，设 ，则 ， ， ，所以 ，所以 ，在 中由余弦定理，得 ，整理得 ；②当 时，设 ，则 ， ， ，所以 ，所以 ，在 中由勾股定理，得 ，整理得 ．
解答题
17.【解】（1）由 得 ，即 ，也即 ，所以 ，所以 或 （不成立），所以 ，则 ． （4分）
（2）由正弦定理得 ，所以 ， ．因为 ，所以 ，所以 ，其中 为锐角，且 ， ．因为 ，所以 ，易知 在 单调递增，在 单调递减，所以 时， 取得最大值 ，又 ，所以 ，故 的取值范围为 ． （12分）
18.【解】（1）由 得 ，两式相减并整理得 ，∵ 为正项数列，∴ ，∴ ， ．由 得 ，即 ，解得 （舍去）或 ，所以 ， ． （3分）
所以 ，设 ，因为 ，则 ， 时， 单调递减，又 ，所以 的最大项为 ，故 的最小值为 ．（7分）
（2）由（1）知 ．
所以 ①
则 ②
① ②得
所以 ． （12分）
19.【解】（1）证明：记 与 交点为 ，∵ ， 为
的中点，∴ ，又∵ 为菱形，∴ ．
∵ 和 是平面 内两条相交直线，∴ 平面 ．
又 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）设 ，∵ ，∴ ，又 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以在 中，由勾股定理得 ，∴ ．由（1）知， 平面 ，∴平面 平面 ．以 为原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立如图空间直角坐标系．则 ， ，
， ． ，
， ．设平面
的法向量为 ，则
令 ，解得 ， ，即 ，
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值
20.【解】（1）证明：（反证法）假设存在 ， ， 三项成等比数列，则 ，所以 ，所以 ，解得 ，由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0，所以 ，又Fibonacci数列的所有项均为整数，所以 应该为有理数，这与 （无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．
（6分）
（2）证明：①易验证 时命题成立．
②假设 （ ）时命题成立，即
则 时，
所以， 时，命题也成立．
由①②可知，Fibonacci数列的通项公式为 （ ）．
（12分）
21.【解】（1）设 ，则由题意得 ，两边平方并整理得曲线 的方程为 ． （4分）
（2）易知直线 的斜率存在且不为0，可设 的方程为 ，与 联立并消去 得 ，因为 是其一个根，所以解得另一根即点 的横坐标为 ．因为 ，所以把 换成 得 的横坐标为 ．则 、 的纵坐标之差为 ．所以四边形 的面积
令 ，则 （ ），易知 在 时单调递减，所以 时， 取得最大值 ，此时， ．所以四边形 的面积的最大值为 ． （12分）
22.【解】（1） 有两个不同的零点 有两个不同的根．
令 ，则 ，易得 时， ，函数 单调递减； 时， ，函数 单调递增．当 时， ，当 时， ，又 ，结合图象可知，要使函数 的图象与直线 有两个不同的公共点，则 ，所以，实数 的取值范围为 ．
（2）令 （ ），
则 ，
所以 单调递增，故 ，所以 （ ）．
不妨设 ，则结合图象易得 ， ，
由条件知 ，
又 ， ，以及函数 在 时单调递增，
得 ，所以 ．
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