第02课 勾股定理逆定理
【例1】若△ABC三边长满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形？若是，请说明哪个教角是直角．
（1）BC=，AB=，AC=1；
（2）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1（n＞1）
【例2】如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【例3】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。
⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长。
【例4】观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：_________________________________。
【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证：AF⊥FE．
【例6】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE2＋BF2＝EF2．
课堂同步练习
一、选择题：
1、若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可能为( )
A．2：3：4 B．3：4：6 C.5：12：13 D.4：6：7
2、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( )
A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形
D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
3、△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则( )
A.△ABC是锐角三角形 B.c边的对角是直角
C.△ABC是钝角三角形 D.a边的对角是直角
4、下列命题中，其中正确的命题的个数为( )
①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5；②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2＋c2=b2，则∠C=90°；④在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是( )
A. CD、EF、GH B. AB、CD、GH C.AB、EF、GH D.AB、CD、EF
6、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=3，CD=1，则BC的长为( )
A．3 B．2 C． D．
7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为（ ）
A．60米2 B．48米2 C．30米2 D．24米2
8、在△ABC中，∠C=90°，c2=2b2，则两直角边a，b的关系是( )
A．ab C．A=b D．以上三种情况都有可能
9、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状( )。
A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
11、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
二、填空题：
13、有四个三角形，分别满足下列条件：
（1）一个内角等于另外两个内角之和；
（2）三个内角之比为3：4：5；
（3）三边之比为5：12：13；
（4）三边长分别为7、24、25．
其中直角三角形有 个．
14、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；
②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；
③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．
15、已知一个三角形的三边长分别是12，16，20，则这个三角形的面积为 ．
16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为__________．
17、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a-b|=0,则△ABC的形状为 。
18、如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为______．
19、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 。
20、如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时,△PBQ为直角三角形．
三、简答题：
21、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,∠C=90°.求绿地ABCD的面积．
23、已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断△ABC的形状并说明理由.
24、已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．
26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
勾股定理逆定理同步测试题
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，2，3 D．9，12，15
2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
3、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
4、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
5、下列说法中, 不正确的是 ( )
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形 B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形 D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形
6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7、有下列判断:①△ABC中，，则△ABC不直角三角形；②△ABC是直角三角形，，则；③△ABC中，，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则（，正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
8、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
9、 如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为( )
A. 24平方米 B. 26平方米 C. 28平方米 D. 30平方米
10、在下列条件中：①在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3；②三角形三边长分别为32，42，52；③在△ABC中,三边a，b，c满足(a+b)(a-b)=c2；④三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数)，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、在△ABC中，如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠ =90°．
12、若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是 ．
13、某住宅小区有一块草坪如图4所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，
DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是 。
14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形面积为 ．
15、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．
16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值 ．
17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
18、如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
19、如图，在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE＝∠CBE．(1)求证：BH=AC；(2)求证：BG2－GE2＝EA2．
20、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②
∴c2=a2+b2．③
∴△ABC是直角三角形．
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为 ；
（3）本题正确的解题过程：
例题答案详解
【例1】解：（1）∵（）2+12==（）2，∴BC2+AC2=AB2．∴△ABC是直角三角形；
（2）∵（n2﹣1）2+（2n）2=n4+2n2+1=（n2+1）2，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．
【例2】解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
【例3】①通过SAS证明全等 ② 13
【例4】152+1122+1132.
【例5】提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．
【例6】提示：延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．
课堂同步参考答案
1、C 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、D 10、A 11、C 12、A
13、答案为3．
14、①锐角；②直角；③钝角．
15、96
16、14
17、等腰直角三角形
18、6．提示：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．
19、
20、或
21、24
22、【解答】解：连接BD．如图所示：
∵∠C=90°，BC=15米，CD=20米，∴BD===25（米）；
在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，242+72=252，即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×24×7+×15×20=84+150=234（平方米）；
即绿地ABCD的面积为234平方米．
23、a=6, b=8, c=10, 直角三角形
24、证明：
所以△ABC是直角三角形.
25、150m2．提示：延长BC，AD交于E．
26、解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米．
因为S△ABC=AB•CD=BC•AC所以CD=240米．
由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．
同步测试题参考答案
1、C 2、C 3、C 4、C 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A 10、B
11、90°．
12、5．
13、36
14、8提示：7＜a＜9，∴a＝8．
15、 108
16、2,6,3.5,4.5
17、24
18、解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
19、证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC， 1’
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中， ∠BDH＝∠CDA BD＝CD ∠HBD＝∠ACD
∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．
（2）连接CG， 由（1）知，DB=CD，
∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，
∵点E为AC中点，BE⊥AC，∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．
20、【解答】解：（1）③
（2）除式可能为零；
（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，
当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案是③，除式可能为零．
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