八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每题三分）
1．（3分）下列各式是分式的是（ ）
A． B． C．x+1 D．
2．（3分）若分式无意义，则x的取值是（ ）
A．x=2或x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣2 D．x=0
3．（3分）如果把中的x、y都扩大5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
4．（3分）把分式方程﹣=2化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣x﹣2=2 B．1﹣（x﹣2）=2（x﹣1） C．1+（x﹣2）=2（x﹣1） D．1+（x﹣2）=2
5．（3分）已知一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点（0，3），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣2或﹣4 D．2或﹣4
6．（3分）已知一次函数y=kx+k，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
8．（3分）某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
9．（3分）若分式的值为0，则x= ．
10．（3分）在显微镜下一个球形细菌的直径是0.0000053米，则用科学记数法可表示为 米．
11．（3分）若关于x的方程有增根，则a= ．
12．（3分）平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=5，BD=6，则菱形ABCD的面积是 ．
14．（3分）已知一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成一个三角形，这个三角形的面积是4，则b的值是 ．
三、解答题
15．（12分）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）+
16．（8分）解下列方程：
（1）=
（2）
17．（6分）先化简﹣，且在﹣3，0，1，2中选择一个数代入求值．
18．（6分）已知一次函数y=kx+b的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），求这个一次函数的关系式，并求当x=5时，对应函数y的值．
19．（8分）某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
21．（8分）已知方程x+=2+的解是x1=2，x2=
方程x+=3+的解是x1=3，x2=
方程x+=4+的解是x1=4，x2= ……
观察上述方程及方程的解，回答下列问题：
（1）关于x的方程x+=a+的解是什么？并用方程解的概念验证你的猜想是否正确；
（2）根据结论求出关于x的方程x+=b+的解．
22．（10分）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案：
方案一：没有底薪，只拿销售提成；
方案二：底薪加销售提成．；
设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资． 如右图所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．从图中信息解答如下问题）：
（1）方案一每件商品提成是 元；
方案二每件商品提成是 元；
（2）求y1和y2的函数关系式；
（3）如果该公司销售人员小丽这个月销售了60件的商品，那么她采用哪种方案获得的报酬会更多一些？
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线BE⊥x轴，交x轴与点D，点D坐标是（﹣4，0）直线y=﹣x﹣1与x轴和直线BE交于点C、E，点A在y轴上，且坐标为（0，m），且（m＞0），连接AC，交直线BE于点B．
（1）当m=4时，求直线AC的函数表达式及C、B坐标；
（2）当m为何值时，△ACO≌△FCO，并说明理由；
（3）若S四边形DEFO=S△CDB，则点A坐标是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（每题三分）
1．（3分）下列各式是分式的是（ ）
A． B． C．x+1 D．
【考点】61：分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式．故本选项错误；
B、的分母中含有字母，因此它是分式．故本选项正确；
C、x+1的分母中均不含有字母，因此它是整式，而不是分式．故本选项错误；
D、的分母中均不含有字母，因此它是整式，而不是分式．故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
2．（3分）若分式无意义，则x的取值是（ ）
A．x=2或x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣2 D．x=0
【考点】62：分式有意义的条件．
【分析】当分母为0时分式无意义，令x2﹣4=0即可求出x．
【解答】解：分式无意义，则可知x2﹣4=0，解得x=±2；
故选：A．
【点评】考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．
3．（3分）如果把中的x、y都扩大5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
【考点】65：分式的基本性质．
【分析】把x，y分别换为5x，5y，化简后即可作出判断．
【解答】解：根据题意得： =，
则分式的值不变，
故选：B．
【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
4．（3分）把分式方程﹣=2化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣x﹣2=2 B．1﹣（x﹣2）=2（x﹣1） C．1+（x﹣2）=2（x﹣1） D．1+（x﹣2）=2
【考点】B3：解分式方程．
【分析】方程两边都乘以x﹣1即可得．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：1+（x﹣2）=2（x﹣1），
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤．
5．（3分）已知一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点（0，3），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣2或﹣4 D．2或﹣4
【考点】F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据一次函数的性质求解．
【解答】解：∵一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点（0，3），且y随x的增大而增大，∴m＞0，|m+1|＞0，
把点（0，3）代入y=mx+|m+1|得：3=|m+1|=m+1，m=2．
故选：A．
【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
6．（3分）已知一次函数y=kx+k，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】F3：一次函数的图象．
【分析】函数的解析式可化为y=K（x+1），易得其图象与x轴的交点为（﹣1，0），分析选项可得答案．
【解答】解：函数的解析式可化为y=K（x+1），
即函数图象与x轴的交点为（﹣1，0），
分析可得，A符合，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，要求学生掌握通过解析判断其图象与坐标轴的交点位置、坐标．
7．（3分）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质，求出∠EAF=15°，从而得出∠AEF的度数即可．
【解答】解：∵∠EAF是∠DAE折叠而成，
∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°，∠EAF===15°，
在△AEF中∠AFE=90°，∠EAF=15°，
∠AEF=180°﹣∠AFE﹣∠EAF=180°﹣90°﹣15°=75°．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量．
8．（3分）某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A． B． C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，可以建立方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
=，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
二、填空题（每题3分）
9．（3分）若分式的值为0，则x= 2 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得x=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
10．（3分）在显微镜下一个球形细菌的直径是0.0000053米，则用科学记数法可表示为 5.3×10﹣6 米．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000053米，则用科学记数法可表示为5.3×10﹣6米．
故答案为：5.3×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（3分）若关于x的方程有增根，则a= 1 ．
【考点】B5：分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出未知字母的值．
【解答】解；方程两边都乘（x﹣2），得
a=x﹣1﹣3（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程，得a=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式方程的增根问题，对于此问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0，确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．（3分）平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是 0.5＜m＜3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，
∴，
解得：0.5＜m＜3，
故答案为：0.5＜m＜3
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=5，BD=6，则菱形ABCD的面积是 24 ．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OA，再根据菱形的对角线互相平分求出AC、BD，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
根据勾股定理，得：OA=，
∴AC=2OA=8，
∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=24．
故答案为：24
【点评】本题考查了菱形的周长公式，菱形的对角线互相垂直平分线的性质，勾股定理的应用，比较简单，熟记性质是解题的关键．
14．（3分）已知一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成一个三角形，这个三角形的面积是4，则b的值是 ±4 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】利用一次函数y=2x+b的图象与x轴交点和与y轴交点的特点求出坐标，以及图象与坐标轴所围成的三角形是直角三角形求解．
【解答】解：当y=0时，0=2x+b，
∴x=﹣；
当x=0时，y=b，
∴一次函数y=2x+b的图象与坐标轴所围成的三角形面积：×|﹣|×|b|=4，
解得b=±4，
故答案为：±4
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题利用了直线与x轴的交点的纵坐标为0，直线与y轴的交点的横坐标为0求解．
三、解答题
15．（12分）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）+
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】（1）根据分式的除法可以解答本题；
（2）根据幂的乘方和分式乘法可以解答本题；
（3）根据分式的除法可以解答本题；
（4）根据分式的加法可以解答本题．
【解答】解：（1）
=
=；
（2）
=
=；
（3）
=
=；
（4）+
=
=
=
=
=．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
16．（8分）解下列方程：
（1）=
（2）
【考点】B3：解分式方程．
【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）方程两边乘以（x+1）（2x﹣1）得：2（2x﹣1）=5（x+1），
解得：x=﹣7，
检验：当x=﹣7时，（x+1）（2x﹣1）≠0，
即x=﹣7是原方程的解，
所以原方程的解为x=﹣7；
（2）方程两边乘以x﹣2得：1﹣x=﹣1﹣2（x﹣2），
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
即x=2不是原方程的解，
所以原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．（6分）先化简﹣，且在﹣3，0，1，2中选择一个数代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】将分子、分母因式分解后约分，再通分、计算分式的减法，继而约分即可化简原式，最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式=•﹣
=﹣
=
=﹣，
当x=1时，原式=﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（6分）已知一次函数y=kx+b的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），求这个一次函数的关系式，并求当x=5时，对应函数y的值．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=3x，
∴k=3，
∴y=3x+b
把点（﹣1，1）代入得，3=﹣1×3+b，
解得b=6，
所以，一次函数的解析式为，y=3x+6，
当x=5时，y=3×5+6=21．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线解析式的k值相等求出k值是解题的关键，也是本题的突破口．
19．（8分）某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】首先设钢笔单价x元/支，则毛笔单价1.5x元/支，根据题意可得：1500元购买的钢笔数量﹣1800元购买的毛笔数量=30支，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设钢笔单价x元/支，由题意得：
﹣=30，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
1.5x=1.5×10=15．
答：钢笔、毛笔的单价分别为10元，15元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，所以AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的判定得出即可；
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）四边形ADCF为矩形；
理由：连接AB，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°
∴平行四边形AFCD为矩形
【点评】此题主要考查了矩形的判定和全等三角形的判定等知识，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定是解题关键．
21．（8分）已知方程x+=2+的解是x1=2，x2=
方程x+=3+的解是x1=3，x2=
方程x+=4+的解是x1=4，x2= ……
观察上述方程及方程的解，回答下列问题：
（1）关于x的方程x+=a+的解是什么？并用方程解的概念验证你的猜想是否正确；
（2）根据结论求出关于x的方程x+=b+的解．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】（1）本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．
（2）本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．
【解答】解：（1）根据题意知x=a或x=，
当x=a时，左边=a+=右边，
所以x=a是分式方程的解；
当x=时，左边=+=+a=右边，
所以x=是分式方程的解；
综上，x=a或x=是分式方程的解；
（2）∵x+=b+，
∴x﹣3+=b﹣3+，
则x﹣3=b﹣3或x﹣3=，
解得：x=b或x=．
【点评】本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．
22．（10分）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案：
方案一：没有底薪，只拿销售提成；
方案二：底薪加销售提成．；
设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资． 如右图所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．从图中信息解答如下问题）：
（1）方案一每件商品提成是 14 元；
方案二每件商品提成是 7 元；
（2）求y1和y2的函数关系式；
（3）如果该公司销售人员小丽这个月销售了60件的商品，那么她采用哪种方案获得的报酬会更多一些？
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得方案一和方案二的每件商品提成；
（2）根据函数图象中的数据可以求得y1和y2的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数解析式可以分别求得两种方案的报酬，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）由图象可得，
方案一每件商品提成是：420÷30=14（元），
方案二每件商品提成是：（560﹣350）÷30=7（元），
故答案为：14，7；
（2）设y1与x的函数关系式是y1=kx，
30k=420，得k=14，
即y1与x的函数关系式是y1=14x，
设y2与x的函数关系式是y2=ax+b，
，得，
即y2与x的函数关系式是y2=7x+350；
（3）当x=60时，
y1=14×60=840，
y2=7×60+350=770，
∵840＞770，
∴她采用方案一获得的报酬会更多一些．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线BE⊥x轴，交x轴与点D，点D坐标是（﹣4，0）直线y=﹣x﹣1与x轴和直线BE交于点C、E，点A在y轴上，且坐标为（0，m），且（m＞0），连接AC，交直线BE于点B．
（1）当m=4时，求直线AC的函数表达式及C、B坐标；
（2）当m为何值时，△ACO≌△FCO，并说明理由；
（3）若S四边形DEFO=S△CDB，则点A坐标是多少？
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据坐标轴上点的坐标特征求出C、B坐标；
（2）根据一次函数解析式求出点F的坐标，得到OF的长，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据相似三角形的性质求出DE，根据梯形面积公式求出S四边形DEFO，根据题意列出算式，计算即可．
【解答】解：（1）对于直线y=﹣x﹣1，
当y=0时，0=﹣x﹣1，
解得，x=﹣8，
则点C的坐标为（﹣8，0），
当m=4时，点A坐标为（0，4），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，k=，b=4，
则直线AC的解析式为：y=x+4，
直线AC交直线BE于点B，点D坐标是（﹣4，0），直线BE⊥x轴，
当x=﹣4时，y=2，
∴点B的坐标为（﹣4，2）；
（2）当x=0时，y=﹣x﹣1=﹣1，
∴点F的坐标为（0，﹣1），即OF=1，
当△ACO≌△FCO时，OA=OF=1，
∴m=1；
（3）∵DE∥OF，CD=DO，
∴DE=OF=，
∴S四边形DEFO=×（+1）×4=3，
由题意得，×BD×4=3，
解得，BD=，
∵BD∥OA，CD=DO，
∴AO=2BD=3，
∴m=3，即点A坐标是（0，3）．
【点评】本题考查的是一次函数的知识、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
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