2020江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案

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2020江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案

一.知识梳理

1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系

2.函数的零点：

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，是具体的数，而不是点

3.零点，方程的解，函数的交点

4.主要思想：数形结合，转化思想，方程函数思想

5.函数零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0>y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0>

二.课堂练习

1. 已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为   

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是   

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A. B. C. D.

3. 对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是   

A. B. C. D.

4. 已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足：，则的取值范围是  

A. B. C. D.

5. 函数的零点个数为      ．

6. 若方程有两个不同的实数解，则b的取值范围是_____．

7. 设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是______．

8. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是          ．

9. 已知函数，且曲线在处的切线经过点．
求实数的值；
若函数，试判断函数的零点个数并证明．

10. 已知函数．

求函数在上的零点之和；

证明：在上只有1个极值点．

三.例题选讲

【例1】已知函数是自然对数的底数

求的单调递减区间；

若函数，证明在上只有两个零点．参考数据：

【参考】解：，定义域为R．
    由得，
解得Z
的单调递减区间为Z
证明：，
令

，
当时，当时，．
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
，，
使得，，
且当或时，
当时，，
在和上单调递减，在上单调递增．
，
．
，
，
又，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，
函数在上有两个零点．

【解析】本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题

【例2】已知函数．

当时，判断函数的单调性；

讨论零点的个数．

【参考】解：因为，所以，
又，设，
又，
所以在为单调递增，在为单调递减，
所以的最大值为，所以，
所以在单调递减；
因为，所以是一个零点，
设，所以的零点个数等价于中不等于1的零点个数再加上1，当时，由可知，单调递减，
又是零点，所以此时有且只有一个零点；
当时，单调递增，又，
，
又，
所以，
综上可知，在有一个零点且，
所以此时有两个零点；
又，所以当，
在单调递增，在单调递减，
的最大值为，
又，
，又，
所以在有一个零点，在也有一个零点且，
所以此时，共有3个零点；
又，所以当时，
在单调递增，在单调递减，
的最大值为，所以没有零点，
此时，共有1个零点．
综上所述，当时，共有1个零点；当0时，共有3个零点；
当时，有两个零点．

【解析】本题考查学生利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力和逻辑推理能力

【例3】已知， 

解不等式；

若方程有三个不同的解，求实数a的取值范围．

【答案】解：，
当时，解不等式得：，
当时，解不等式得：，
综合得：
不等式的解集为：．
，
即．
作出函数的图象如图所示：

当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以．
所以实数a的取值范围是．

【解析】本题考查了分段函数及数形结合的思想方法

四.反思与总结

在复习过程中，我掌握了                     ，还存在                    等问题.

自我知识梳理：

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