2018-2019学年河南省信阳九年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1．（3分）如下是一种电子计分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x2+1
3．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x＞﹣1 D．x＞1
4．（3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A，B两点，若四边形MAOB的面积为10．则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=9没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22°，则∠A= 度．
10．（3分）已知圆锥底面半径是6cm，圆锥的高是8cm，则它的侧面积是 ．
11．（3分）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2=0有实数根，则m的最大整数值是 ．
12．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别是（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是 ．
14．（3分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 ．
15．（3分）如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为6，则k的值为 ．
三、解答题
16．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，任选一个你认为合适的x代入求值．
17．如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DB= ；
②当∠B= 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
19．学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
|
等级 |
成绩（S） |
频数 |
|
A |
90＜S≤100 |
x |
|
B |
80＜S≤90 |
15 |
|
C |
70＜S≤80 |
10 |
|
D |
S≤70 |
3 |
|
合计 |
|
30 |
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级 中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n= ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围．
（3）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
21．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
22．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，OF，（1）中的结论还成立吗？ （请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出当△ACE为等腰三角形时CE：CD的值是 ．
（3）如图3，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，则线段CP的最小值是 ．
23．已知：抛物线y=ax2+bx﹣4a交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说理由；若存在，求出点P的坐标．
（3）点D坐标为（1，﹣1），连接AD，将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN（点M，N分别与点A、D对应），使点M、N都在抛物线上，求点M、N的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）如下是一种电子计分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据中心对称和轴对称的定义可得：
A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A选项错误；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B选项错误；
C、是中心对称图形也是轴对称图形，故C选项正确；
D、是中心对称图形而不是轴对称图形，故D选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x2+1
【解答】解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；
B、y=x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，故B正确．
C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；
D、y=﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故D错误；
故选：B．
3．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
4．A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x＞﹣1 D．x＞1
【解答】解：根据题意得：x+1＞0，
解得x＞﹣1，
故选：C．
4．（3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选：A．
5．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．
故选：A．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A，B两点，若四边形MAOB的面积为10．则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），反比例函数的解析式为y=，
∴ab=k，cd=k，
∴S△AOC=|ab|=k，S△BOD=|cd|=k，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=k+k+6=10，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=
故选：B．
7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=9没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确；
∵ax2+bx+c﹣m=9没有实数根，
即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m+9没有公共点，
∵二次函数的最大值为2，
∴m＞﹣7，故③错误．
故选：C．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C. D．
【解答】解：当0＜x≤1时，y=x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2﹣x，
∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，
∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
∴y=，
故选：A．
二、填空题：
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22°，则∠A= 44 度．
【解答】解：∵BA∥CO，
∴∠A=∠AOC；
∵∠B=22°，
∴∠AOC=2∠B=44°，
∴∠A=44°．
10．（3分）已知圆锥底面半径是6cm，圆锥的高是8cm，则它的侧面积是 60πcm2． ．
【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长==10（cm），
∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π（cm），
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π（cm），
∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π（cm2）．
故答案为60πcm2
11．（3分）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2=0有实数根，则m的最大整数值是 0 ．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2=0有实数根，
∴△≥0，
∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，
∴﹣8m+4≥0，
解得，m≤，
故m的最大整数值是0．
故答案为0．
12．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别是（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标是 ．
【解答】解：∵OB=2，OA=2，
∴AB==4，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a﹣1，CF=a﹣，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2=22，
舍去不合适的根，可得：a=1+，
则P点坐标为（+1， +1）．
故答案为：
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是 （﹣2，﹣1） ．
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）
14．（3分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 20 ．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故答案为20．
15．（3分）如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为6，则k的值为 4 ．
【解答】解：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，
∵点C为AB的中点，
∴CN为△AMB的中位线，
∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，
∵OM•AM=ON•CN，
∴OM•2b=（OM+a）•b
∴OM=a，
∴S△AOB=3a•2b÷2=3ab=6，
∴ab=2，
∴k=a•2b=2ab=4，
故答案为：4．
三、解答题
16．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，任选一个你认为合适的x代入求值．
【解答】解：原式=（﹣）÷
=（﹣）×
=×
=×
=
当x=1时
原式=﹣
=﹣3．
17．如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
【解答】解：（1）①如图所示；
②直线CD如图所示；
（2）∵由图可知，AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵A（0，4），C（3，0），
∴平行四边形ABCD的中心坐标为（，2），
代入直线得， k=2，
解得k=．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DB= 3 ；
②当∠B= 45 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【解答】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC==6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE=BC=3，
故答案为：3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
19．学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
|
等级 |
成绩（S） |
频数 |
|
A |
90＜S≤100 |
x |
|
B |
80＜S≤90 |
15 |
|
C |
70＜S≤80 |
10 |
|
D |
S≤70 |
3 |
|
合计 |
|
30 |
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x= 2 ，甲班学生成绩的中位数落在等级 B 中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n= 36° ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
【解答】解：（1）x=30﹣15﹣10﹣3=2；中位数落在B组；等级D部分的扇形圆心角n=360°×=36°；
故答案是：2，B，36°；
（2）乙班A等级的人数是：30×10%=3，
则甲班的二个人用甲表示，乙班的三个人用乙表示．
，
共有20种情况，则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是： =．
20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围．
（3）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
【解答】解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y=图象上，
∴m=1，n=2，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y=kx+b中，得，
解得．
∴一次函数的解析式为y=﹣3x+9；
（2）观察图象可知，kx+b﹣＞0时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），
∵S△AOB=S△OBM，
∴S△AOP﹣S△OBP=S△OBM，
∴×3×6﹣×3×3=|m|•3，
解得m=±3，
∴点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
21．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
【解答】解：（1）根据题意知，p=0.1x+4；
（2）y=（0.1x+4）（10000﹣50x）=﹣5x2+800x+40000．
（3）∵w=y﹣300x﹣4×10000
=﹣5x2+500x
=﹣5（x﹣50）2+12500
∴当x=50时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
22．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，OF，（1）中的结论还成立吗？ 是 （请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出当△ACE为等腰三角形时CE：CD的值是 2：1或 ．
（3）如图3，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，则线段CP的最小值是 ．
【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF；
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+○CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=2：1或．
理由：有两种情况：
①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=2a，
则CE：CD=a：a=：1；
②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2：1；
综上所述，CE：CD=：1或2：1；
故答案为：：1或2：1；
（3）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD中点为圆心，AD的一半为半径的弧DG，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC===，
∴CP=QC﹣QP=．
23．已知：抛物线y=ax2+bx﹣4a交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说理由；若存在，求出点P的坐标．
（3）点D坐标为（1，﹣1），连接AD，将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN（点M，N分别与点A、D对应），使点M、N都在抛物线上，求点M、N的坐标．
【解答】解：（1）依题意，有：，
解得，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a交x轴于点B，
∴B（4，0），
∴直线BC：y=﹣x+2；
如图1，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+x+2），则Q（x，﹣x+2）；
∴PQ=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，
S△PCB=PQ•OB=×（﹣x2+2x）×4=﹣（x﹣2）2+4；
当x=2时，S有最大值，
当x=2时，y=﹣×4+×2+2=3，
∴当P（2，3）时，△PCB的面积最大；
（3）如图2，过D作DG⊥x轴于G，过N作NH∥y轴，过M作MH∥x轴，交于H，
由题意得：△ADG≌△MNG，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），
∴AG=2，DG=1，
∴NH=DG=1，MH=AG=2，
设N（m，﹣），则M（m+2，﹣﹣1），
把M的坐标代入抛物线y=﹣x2+x+2中得：
﹣（m+2）2+（m+2）+2=﹣﹣1，
解得：m=1，
当m=1时，﹣=﹣×1++2=3，
∴N（1，3），M（3，2）．
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