黑龙江省鸡西九年级（下）期末数学试卷
一、耐心填一填
1．函数中，自变量x的取值范围是 ．
2．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是 ．
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件 ，使▱ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）
4．已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是 ．
5．菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD长为7cm，则此菱形周长 cm．
6．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ．
7．已知自变量为x的函数y=mx+2﹣m是正比例函数，则m= ，该函数的解析式为 ．
8．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元．则平均每次降价的百分率为 ．
9．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．
10．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是 ．
二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣6 C．y=﹣x+10 D．y=﹣x﹣1
12．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=（ ）
A．10 B．15 C．30 D．50
13．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
14．如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
16．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B． x（x+1）=1035 C．x（x﹣1）=1035 D． x（x﹣1）=1035
17．一次函数y=﹣5x+3的图象经过的象限是（ ）
A．一，二，三 B．二，三，四 C．一，二，四 D．一，三，四
18．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
19．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：
①CF=AE；
②OE=OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、静心想一想（共60分）
21．已知：直线y=kx﹣1经过点（2，﹣3），求该函数解析式．
22．解方程：
①x2+4x﹣12=0
②5x2﹣3x=x+1
③（2x+1）2=3（2x+1）
④2x2+9x+7=0．
23．已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（﹣1，6）．求：
（1）这个一次函数的解析式；
（2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积．
24．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为75cm2的矩形，问矩形的长和宽各是多少？
25．鸡冠区西郊乡前年的人均收入为12000元，今年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率是多少？
26．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
27．我市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划为万宝村400户居民修建A、B两种型号的沼气池共24个．政府出资36万元，其余资金从各户筹集．两种沼气池的型号、修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：
|
沼气池 |
修建费用（万元/个） |
可供使用户数（户/个） |
占地面积（平方米/个） |
|
A型 |
3 |
20 |
10 |
|
B型 |
2 |
15 |
8 |
政府土地部门只批给该村沼气池用地212平方米，设修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间函数关系式．
（2）试问有哪几种满足上述要求的修建方案．
（3）要想完成这项工程，每户居民平均至少应筹集多少钱？
参考答案与试题解析
一、耐心填一填
1．函数中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是 x=3或x= ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】观察原方程，两项都含有因式（x﹣3），因此可先移项，然后用提取公因式法求解．
【解答】解：原方程可化为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，
（2x﹣5）（x﹣3）=0，
2x﹣5=0或x﹣3=0，
解得：x1=，x2=3；
故原方程的解为x=3或x=．
【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件 AB=AD ，使▱ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）
【考点】菱形的判定．
【专题】开放型．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD．
【解答】解：添加AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴▱ABCD成为菱形．
故答案为：AB=AD．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4．已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此点P的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是．
【解答】解：直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），即x=﹣5，y=﹣8满足两个解析式，
则是即方程组的解．
因此方程组的解是．
【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
5．菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD长为7cm，则此菱形周长 28 cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据已知可得△ABD是等边三角形，从而可得到边长等于BD的长，从而不难求得菱形的周长．
【解答】解：∵∠A=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=7cm
∴此菱形周长4×7=28cm．
故答案为28．
【点评】此题主要考查的知识点：（1）菱形的四边相等．（2）等边三角形的判定：有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
6．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 10 ．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长==10，
故答案为 10．
【点评】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
7．已知自变量为x的函数y=mx+2﹣m是正比例函数，则m= 2 ，该函数的解析式为 y=2x ．
【考点】正比例函数的定义．
【专题】待定系数法．
【分析】根据正比例函数的定义可得答案．
【解答】解：m≠0，2﹣m=0，
∴m=2，
该函数的解析式为y=2x．
【点评】解题关键是掌握正比例函数的定义条件．正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
8．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元．则平均每次降价的百分率为 20% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】关系式为：药品原价×（1﹣降低的百分比）2=下调后的价格，即可得出答案．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得出：
50（1﹣x）2=32．
变形为：1﹣x=±0.8，
解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2，
故答案为：0.2=20%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
9．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 5cm ．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
【解答】解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=BC′，
∴PC′=×6=4cm，
在Rt△AC′P中，
AP2=AC′2+CP2，
∴AP==5．
故答案为：5cm．
【点评】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
10．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】本题要找出规律方能解答．第一个菱形边长为1，∠B1=60°，可求出AD2，即第二个菱形的边长…按照此规律解答即可．
【解答】解：第1个菱形的边长是1，易得第2个菱形的边长是；
第3个菱形的边长是（）2；…
每作一次，其边长为上一次边长的；
故第n个菱形的边长是（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣6 C．y=﹣x+10 D．y=﹣x﹣1
【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】待定系数法．
【分析】根据一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），用待定系数法可求出函数关系式．
【解答】解：由题意可得出方程组，
解得：，
那么此一次函数的解析式为：y=﹣x+10．
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，由一次函数的一般表达式，根据已知条件，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
12．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=（ ）
A．10 B．15 C．30 D．50
【考点】勾股定理．
【分析】先画图，再根据勾股定理易求BC2+AC2的值，再加上AB2即可．
【解答】解：如右图所示，
在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
∵AB=5，
∴BC2+AC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=25+25=50．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是找准直角边和斜边．
13．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
14．如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除B；
由于停下修车误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除A；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程s之间的关系采用排除法求解即可．
15．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2=2（x+1），
故选A．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
16．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B． x（x+1）=1035 C．x（x﹣1）=1035 D． x（x﹣1）=1035
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选C．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
17．一次函数y=﹣5x+3的图象经过的象限是（ ）
A．一，二，三 B．二，三，四 C．一，二，四 D．一，三，四
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据直线解析式知：k＜0，b＞0．由一次函数的性质可得出答案．
【解答】解：∵y=﹣5x+3
∴k=﹣5＜0，b=3＞0
∴直线经过第一、二、四象限．
故选C．
【点评】能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
18．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE==13．
【解答】解：过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE==13．
故选B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
19．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的应用；一次函数的图象；等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解．
【解答】解：根据题意，x+2y=100，
所以，y=﹣x+50，
根据三角形的三边关系，x＞y﹣y=0，
x＜y+y=2y，
所以，x+x＜100，
解得x＜50，
所以，y与x的函数关系式为y=﹣x+50（0＜x＜50），
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了三角形的周长公式，难点在于利用三角形的三边关系求出底边x的取值范围．
20．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：
①CF=AE；
②OE=OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵DE=BF，
∴DF=BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴FC=EA，（故①正确）；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵FC=EA，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO=FO，（故②正确）；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF=∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，（故③正确）；
由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，
△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．（故④错误）．
故正确的有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键．
三、静心想一想（共60分）
21．已知：直线y=kx﹣1经过点（2，﹣3），求该函数解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】直接把（2，﹣3）代入y=kx﹣1得关于k的一次方程，然后解方程求出k即可．
【解答】解：把（2，﹣3）代入y=kx﹣1得2k﹣1=﹣3，解得k=﹣1，
所以一次函数解析式为y=﹣x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
22．解方程：
①x2+4x﹣12=0
②5x2﹣3x=x+1
③（2x+1）2=3（2x+1）
④2x2+9x+7=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】利用十字相乘法和提取公因式法分解因式，容易得出方程的解．
【解答】解：①x2+4x﹣12=0，
因式分解得：（x﹣2）（x+6）=0，∴x﹣2=0，或x+6=0，
∴x1=2，x2=﹣6；
②5x2﹣3x=x+1，
5x2﹣4x﹣1=0，
因式分解得：（x﹣1）（5x+1）=0，
∴x﹣1=0，或5x+1=0，
∴；
③（2x+1）2=3（2x+1），
因式分解得：（2x+1）（2x﹣2）=0，
∴2x+1=0，或2x﹣2=0，
∴；
④2x2+9x+7=0．
因式分解得：（x+1）（2x+7）=0，
∴x+1=0，或2x+7=0，
∴．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣因式分解法；熟练掌握十字相乘法和提取公因式法分解因式是解决问题的关键．
23．已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（﹣1，6）．求：
（1）这个一次函数的解析式；
（2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）由图可知，函数经过了（1，2）和（﹣1，6）两点，可用待定系数法来求出函数的解析式．
（2）一次函数与两坐标轴围成的是个直角三角形，且直角边的长分别是A、B两点的纵坐标和横坐标的绝对值．那么只要求出A、B的坐标即可得出三角形的面积，根据（1）中求出的函数关系式，A、B的坐标就可以求出来了．
【解答】解：（1）依题意，
当x=1时，y=2；
当x=﹣1时，y=6．
则
解之得
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4．
（2）一次函数图象与y轴、x轴分别相交于A、B两点，
由y=﹣2x+4，得
A点坐标（0，4），B点坐标（2，0），
即OA=4，OB=2．
∴S△AOB===4．
即一次函数图象与两坐标轴围成的面积为4．
【点评】借助函数图象表达题目中的信息时，读懂图象是关键．本题中用待定系数法求出函数解析式是解题的基础．
24．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为75cm2的矩形，问矩形的长和宽各是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设矩形的长为xcm，则矩形的宽为（20﹣x）cm，根据长＞宽可得出x的取值范围，再根据矩形的面积为75cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，结合x的取值范围即可得出矩形的长和宽．
【解答】解：设矩形的长为xcm，则矩形的宽为（20﹣x）cm，
∵x＞20﹣x，
∴x＞10．
∵矩形的面积为75cm2，
∴x•（20﹣x）=75，整理得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5（舍去），x2=15．
∴20﹣x=5．
答：矩形的长为15cm，宽为5cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
25．鸡冠区西郊乡前年的人均收入为12000元，今年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设这两年的平均增长率为x，前年的人均收入×（1+平均增长率）2=今年的人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．
【解答】解：设人均收入的年平均增长率是x，由题意得：
12000（1+x）2=14520，
解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．
答：人均收入的年平均增长率是10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．
26．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由菱形ABCD的边长为2，BD=2，易得BD=BC，∠C=∠BDE=60°，又由AE+CF=2，易得DE=CF，则可证得：△BDE≌△BCF；
（2）由△BDE≌△BCF，易得BE=BF，∠EBF=60°，则可证得△BEF是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，
∴BC=BD=CD=AD=2，
∴∠C=∠CDB=60°，
∵∠BDE=∠BDC，
∴∠BDE=∠C，
∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：等边三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
∵∠CBF+∠DBF=60°，
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°，
∴△BEF是等边三角形．
【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定．注意证得DE=CF，∠BDE=∠C是关键．
27．我市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划为万宝村400户居民修建A、B两种型号的沼气池共24个．政府出资36万元，其余资金从各户筹集．两种沼气池的型号、修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：
|
沼气池 |
修建费用（万元/个） |
可供使用户数（户/个） |
占地面积（平方米/个） |
|
A型 |
3 |
20 |
10 |
|
B型 |
2 |
15 |
8 |
政府土地部门只批给该村沼气池用地212平方米，设修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间函数关系式．
（2）试问有哪几种满足上述要求的修建方案．
（3）要想完成这项工程，每户居民平均至少应筹集多少钱？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】应用题；方案型．
【分析】（1）由A型沼气池x个，则B型沼气池就是（24﹣x）个，根据总费用=两种不同型号的沼气池的费用之后就可以得出结论；
（2）由A型沼气池x个，则B型沼气池就是（24﹣x）个，就有10x+8（24﹣x）≤212和20x+15（24﹣x）≥400建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（1）一次函数的性质可以得出最小的修建方案，求出总费用就可以求出需要增加的费用，从而可以求出每户应自筹资金．
【解答】解：（1）y=3x+2（24﹣x）=x+48；
（2）根据题意得
，
解得：8≤x≤10，
∵x取非负整数，
∴x等于8或9或10，
答：有三种满足上述要求的方案：
修建A型沼气池8个，B型沼气池16个，
修建A沼气池型9个，B型沼气池15个，
修建A型沼气池10个，B型沼气池14个；
（3）y=x+48，
∵k=1＞0，
∴y随x的减小而减小，
∴当x=8时，y最小=8+48=56（万元），
56﹣36=20（万元），
200000÷400=500（元），
∴每户至少筹集500元才能完成这项工程中费用最少的方案．
【点评】此题考查了一次函数的解析式的性质的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时建立不等式组求出修建方案是关键．
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