重庆市梁平县九年级（下）期中模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若（m﹣2）x|m|+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2
2．如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．三棱柱
3．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．6 B．16 C．18 D．24
5．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A． B． C． D．4x=3y
6．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．不能确定
9．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108
C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
10．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A． = B． = C． = D． =
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，则方程的另一个根是 ．
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，则= ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO= 度．
14．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF=2AF，则k值为 ．
三．解答题（共2小题，满分18分）
15．（12分）解方程：x2﹣4=﹣3x﹣6．
16．（6分）已知y是x的反比例函数，且点A（3，5）在这个函数的图象上．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当点B（﹣5，m）也在这个反比例函数的图象上时，求△AOB的面积．
四．解答题（共4小题，满分36分）
17．（8分）在长、宽都为4m，高为3m的房间的正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深AN=8cm，灯泡离地面2m，为了使光线恰好照在墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？（结果保留两位小数，≈1.414）
18．（8分）现有一张演唱会的门票，小明与小华为了决定谁拿这张门票去看开幕式，小华设计了一种方案如下：如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成3等份，转盘B被分成4等份，并 在每一份内标上数字．两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
（2）小华提议，在（1）的基础上，若点P落在反比例函数图象上则小明赢；否则，自己赢．你觉得小明的提议对双方公平吗？请说明理由．
19．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，求证：CD=OE．
20．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
五．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为 ．
22．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH= ．
23．从﹣3，﹣1，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b，恰好使关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（a，b）落在双曲线上的概率是 ．
24．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（4，2），BO=4，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为 ．
25．如图，在△ABC中，D，E两点分别在边BC，AB上，DE∥AC，过点E作EF∥DC，交∠ACB的平分线于点F，连结DF，若∠EDF=∠B，且BC=4，BD=1，那么EF的长度是 ．
六．解答题（共3小题，满分10分）
26．某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25%，设每双鞋的成本价为a元．
（1）试求a的值；
（2）为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
②求年利润S（万元）与广告费x（万元）之间的函数关系式，并请回答广告费x（万元）在什么范围内，公司获得的年利润S（万元）随广告费的增大而增多？
（注：年利润S=年销售总额﹣成本费﹣广告费）
27．（10分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA=3，PC=4，则PB= ．
（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
28．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得m=﹣2．
故选：C．
2．
【解答】解：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；球的三种视图都是圆形．
故选：C．
3．
【解答】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y=kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y=kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
4．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．
故选：B．
5．
【解答】解：A、∵，
∴=，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴=﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴=，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x=3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
6．
【解答】解：∵△RPQ∽△ABC，
∴，
即，
∴△RPQ的高为6．
故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选：B．
7．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=AB•BC=AC•BP，
∴BP===．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有：，
解得x=，
故选：D．
8．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2=AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1=BC2，S2=AC•AB，
∴S1=S2．
故选：B．
9．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2=108．
故选：B．
10．
【解答】解：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选：C．
二．填空题
11．
【解答】解：设方程的另一根为x，
∵关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，
∴1+x=3，
解得，x=2；
故答案x=2．
12．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，
∴=，
则==．
故答案为：．
13．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO==25°，
故答案为：25．
14．
【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=6．
设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），
∵点B、E在反比例函数y=的图象上，
∴k=6t=2（t﹣2），
解得t=﹣1，k=﹣6．
故答案为﹣6．
三．解答题
15．
【解答】解：x2﹣4=﹣3x﹣6，
x2+3x+2=0，
（x+2）（x+1）=0，
x+2=0，x+1=0，
x1=﹣2，x2=﹣1．
16．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
将点A（3，5）代入解析式得，k=3×5=15，y=．
（2）将点B（﹣5，m）代入y=得，m==﹣3，
则B点坐标为（﹣5，﹣3），
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y=kx+b得，
，
解得，，
函数解析式为y=x+1，
D点坐标为（0，1），
S△ABO=S△ADO+S△BDO=×1×3+=×1×5=4．
四．解答题
17．
【解答】解：如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN=0.08m，AM=2m，
由于房间的地面为边长为4m的正方形，则DE=4m，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADB，
∴=，即=，
∴BC≈0.23（m）．
答：灯罩的直径BC约为0.23m．
18．
【解答】解：（1）列表得：
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
（1，1） |
（1，2） |
（1，3） |
（1，4） |
|
2 |
（2，1） |
（2，2） |
（2，3） |
（2，4） |
|
4 |
（4，1） |
（4，2） |
（4，3） |
（4，4） |
则所有可能的结果共有12种；
（2）∵若P在函数上，则P为（1，4），（2，2），（4，1）共3个，
∴P（小明赢）=，P（小华赢）=，
∵，
∴不公平．
19．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DOC=90°，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形CODE是矩形，
∴CD=OE．
20．
【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，
∴M（2，2），
将x=4代入y=﹣x+3得：y=1，
∴N（4，1），
把M的坐标代入y=得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=；
（2）由题意可得：
S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
=4×2﹣×2×2﹣×4×1
=4；
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴OP×AM=4，
∵AM=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
五．填空题
21．
【解答】解：
∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，
∴a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程为x2+1=0，该方程无实数根，舍去，
∴a=0，
故答案为：0．
22．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB==5，
∵S菱形ABCD=•AC•BD，
S菱形ABCD=DH•AB，
∴DH•5=•6•8，
∴DH=．
故答案为．
23．
【解答】解：从﹣3，﹣1，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b，则（a，b）的所有可能性是：
（﹣3，﹣1）、（﹣3，0）、（﹣3，1）、（﹣3，3）、
（﹣1，﹣3）、（﹣1，0）、（﹣1，1）、（﹣1，3）、
（0，﹣3）、（0，﹣1）、（0，1）、（0，3）、
（1，﹣3）、（1，﹣1）、（1，0）、（1，3）、
（3，﹣3）、（3，﹣1）、（3，0）、（3，1），
将上面所有的可能性分别代入关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（a，b）落在双曲线上的是：（﹣3，1），（﹣1，3），（3，﹣1），
故恰好使关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（a，b）落在双曲线上的概率是：，
故答案为：．
24．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，
∴∠DBO+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴==，
∵点A的坐标为（4，2），
∴AC=2，OC=4，
∴AO==2，
∴==
即BD=8，DO=4，
∴B（﹣4，8），
∵反比例函数y=的图象经过点B，
∴k的值为﹣4×8=﹣32．
故答案为﹣32
25．
【解答】解：延长EF交AC于M．设EF=m．
∵EF∥DC，
∴∠BDE=∠FED，
∵∠EDF=∠EBD，
∴△EDF∽△DBE，
∴ED2=BD•EF，
∴ED=，
∵EM∥BC，
∴∠MFC=∠FCB，
∵∠MCF=∠FCD，
∴∠MFC=∠MCF，
∴MC=FM，
∵DE∥CM，EM∥CD，
∴四边形EMCD是平行四边形，
∴CM=DE=FM=，EM=CD=3，
∴x+=3，
解得x=或（舍弃），
∴EF=，
故答案为．
六．解答题
26．
【解答】解：（1）a（1+25%）=250，
解得a=200（元）．
（2）①依题意，设y与x之间的函数关系式为：y=ax2+bx+1
．
解得a=﹣0.01，b=0.2
故y=﹣0.01x2+0.2x+1
②S=（﹣0.01x2+0.2x+1）×[10×（250﹣200）]﹣x
S=﹣5x2+99x+500
当x=9.9万元时，S最大．
故当0＜x＜9.9时，公司获得的年利润随广告费的增大而增多．
注：0＜x≤9.9，0≤x≤9.9均可．
27．
【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴=，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB=2；
故答案为：2；
（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CP，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P点为△ABC的费马点．
28．
【解答】解：（1）x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x=3或6，
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC==3，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM中，∠DEM=30°，
∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k=3×=；
故答案为：；
（3）①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2=CP，
∴P（，）；
②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6，
连接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
备注：以下内容仅显示部分，需完整版请下载！
