人教版九年级数学下册 第 27 章《相似》单元测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷（选择题）
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一．选择题（每小题3分，共10小题）
1．已知a=2b，则下列选项错误的是（ ）
A．a+c=c+2b B．a﹣m=2b﹣m C． D．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，如果AD：BD=2：3，那
么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应面积的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
4．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
5．如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE的长为（ ）
A． B．4 C． D．
6．下列说法中不正确的是（ ）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
7．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE=25：9，则CE：BC等于（ ）
A．2：5 B．3：5 C．16：25 D．9：25
8．如图，l1∥l2∥l3，BC=1， =，则AB长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（ ）
A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题）
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二．填空题（每小题3分，共8小题）
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若=，AE=4，则EC等于 ．
12．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么AC= ．
13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC=5，△ABC的面积是10，那么这个正方形的边长是 ．
14．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知=，则等于 ．
15．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．
16．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则FC：FB= ．
17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号） ．
18．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，若∠DFE=45°，PF=，则DP的长为 ；则CE= ．
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三．解答题（共7小题）
19．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）四边形AA2C2C的面积是 平方单位．
21．如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度．
22．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFMN的一边MN在边BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，其中BC=24cm，高AD=12cm．
（1）求证：△AEF∽△ABC：
（2）求正方形EFMN的边长．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．
24．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．
（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；
（2）求∠EOF的度数；
（3）若OE=OF，求的值．
25．已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH．
（1）求证：BG=2DG；
（2）求AH：HG：GE的值；
（3）求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、因为a=2b，所以a+c=c+2b，正确；
B、因为a=2b，所以a﹣m=2b﹣m，正确；
C、因为a=2b，所以，正确；
D、因为a=2b，当b≠0，所以，错误；
故选：D．
2．【解答】解：只有选项B正确，
理由是：∵AD：BD=2：3，
∴=，
∵=，
∴=，
∴==，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、C、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选：B．
3．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应面积的比为（）2=9：4，
故选：C．
4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，
∴DM∥BC，DM=ME=BC．
∴△NDM∽△NBC， ==．
∴=．
故选：B．
5．【解答】解：∵BE，CF为△ABC的两条高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△AFC，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∵AB=6，BC=5，EF=3，
∴=，
∴AE=，
故选：A．
6．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；
②相似多边形对应角平线的比等于相似比
③相似多边形周长的比等于相似比，
④对应面积的比等于相似比的平方，
故选：D．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD，CD∥AB
∴△AOB∽△EOD
∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9
∴AB：DE=5：3
∴设AB=5a，则DE=3a
∴BC=CD=5a，EC=2a
∴EC：BC=2：5[
故选：A．
8．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，BC=1， =，
∴==，
∴AB=，
故选：C．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴S△ABE：S△ECF=AB2：CE2，
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=AB
∴==，即S△ABE：S△ECF=4：1
故选：B．
10．【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，
∵=，
∴==，显然不可能，故①错误．
②正确．连接OD．
∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD，
∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GD=GP，故②正确．
③正确．∵AB⊥CE，
∴=，
∵=，
∴=，
∴∠CAD=∠ACE，
∴PC=PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ=PA，
∵∠ACQ=90°，
∴点P是△ACQ的外心．故③正确．
④正确．连接BD．
∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴=，
∴AP•AD=AF•AB，
∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2=AF•AB，
∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，
∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，
故选： B．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：∵DE∥BC， =，
∴AE：AC=AD：AB=2：3，
∴AE：EC=2：1．
∵AE=4，
∴CE=2，
故答案为：2．
12．【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DB=DE，
∵DE=2AD，
∴BD=2AD，
∵DE∥BC，
∴=，
∴=，
∴EC=4，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
故答案为6．
13．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是10，
∴BC•AH=10，
∴AH=4，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴=，即=，解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
14．【解答】解：作DG∥CE，如图，
∵DG∥CE，
∴==，
设BG=2x，则GE=3x，
∵EF∥DG，
∴==1，
∴AE=EG=3x，
∴==．
故答案为：．
15．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，
由题意得， =0.618，
解得x=6，
故答案为：6．
16．【解答】解：作EH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAH=∠EHA=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴AD=BC=EH，DE=AH，
∵AB=2BC，设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
在Rt△AEH中，AE=AB=2a，EH=AD=a，
∴AH==a，
∴EC=BH=2a﹣a，
∵EC∥AB，
∴△FEC∽△FAB，
∴===，
故答案为
17．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴=（）2=4，
∵S△ABC=，
∴S△ADE=，
∵△ABC是等边三角形，△ABC∽△ADE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD2=，
∴AD=1．
如图，过点D作DH⊥AB于H．
在△ADH中，∵∠HAD=45°，
∴DH=AD•sin∠HAD=1×=．
故答案为．
18．【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM=1，
在Rt△ADM中，DM==，
∵AM∥CD，
∴=，
∴DP=，
∵PF=，
∴DF=DP﹣PF=﹣=，
∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP=45°，
∴△DEF∽△DPC，
∴，
∴，
∴DE=，
∴CE=CD﹣DE=2﹣=．
故答案为：，．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴=，
∴=，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BCA．
20．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
（3）四边形AA2C2C的面积是=；
故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.5
21．【解答】解：依题意得BE∥CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴，即，
则CD=12．
22．【解答】（1）证明：∵四边形EFMN是正方形，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴△AEF∽△ABC．
（2）解：设正方形EFMN的边长为x．
∵△AEF∽△ABC，AD⊥BC，
∴=，
∴=，
∴x=8，
∴正方形的边长为8cm．
23．【解答】（1）证明：设正方形的边长为4a，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED=2a，
∵FC=3DF，
∴DF=a，FC=3a，
∴=， =，
∴=，又∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵AD=4，
∴DE=2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴==3，
∴CG=6，
∴BG=BC+CG=10，
∴△BEG的面积=×BG×AB=20．
24．【解答】解：（1）设BF=x，则FC=BC﹣BF=12﹣x，
∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，
∴EF=9﹣x，
在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，
解得：x=4，
则EF=9﹣x=5；
（2）如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，
∵C△EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，
∴BE=MC，
∵O为正方形中心，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，
在△OBE和△OCM中，
∵，
∴△OBE≌△OCM，
∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，
∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，
在△OFE与△OFM中，
∵，
∴△OFE≌△OFM（SSS），
∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．
（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，
∴∠AOE+∠FOC=135°，
∵∠EAO=45°，
∴∠AOE+∠AEO=135°，
∴∠FOC=∠AEO，
∵∠EAO=∠OCF=45°，
∴△AOE∽△CFO．
∴===，
∴AE=OC，AO=CF，
∵AO=CO，
∴AE=×CF=CF，
∴=．
25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∵AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CE，
∴==，
∴BG=2DG．
（2）解：∵∵AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CE，
∴===，
在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=2，
∴AE=2，
∴EG=，
同法可得BF=2，
∵AB=AD，∠BAF=∠ADE，AF=DE，
∴△BAF≌△ADE，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAH=90°，
∴∠ABF+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AE⊥BF，
∴AH===，
∴HG=2﹣﹣=，
∴AH：HG：GE=：： =6：4：5．
（3）作DM⊥AE于M．
由（2）可知：DM=AH=，
∴EM==，
∴HM=EH﹣EM=，
∴DH=，
∵BH==，
∴==．
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