人教版九年级数学 第27章 《相似》 单元提优测试题
完成时间：120分钟 满分：150分
姓名 成绩
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）
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题号 |
1 |
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6 |
7 |
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10 |
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答案 |
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1．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．4
3．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（ ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
4．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝（ ）
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25
6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
A．18 B． C． D．
7．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)
10．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为 ．
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝3(1)DM.当AM⊥BM时，则BC的长为 ．
13．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=13AB．若四边形ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是 ．
三、解答题（共90分）
15．（10分）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，
求证：AB(1)＋CD(1)＝EF(1).
16．（10分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
17．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
18．（12分）如图所示，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，
且∠BEF＝90°.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
19．（12分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，求BD的长．
21．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
人教版九年级数学 第27章 《相似》 单元提优测试题
参 考 答 案
姓名 成绩
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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答案 |
C |
B |
D |
A |
B |
B |
A |
A |
C |
B |
1．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处（ C ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ B ）
A．4 B．4 C．6 D．4
3．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（ D ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
4．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ A ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝（ B ）
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25
6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ B ）
A．18 B． C． D．
7．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ A ）
图1 图2
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为（ A ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为（ C ）
A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)
10．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ B ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为 3(8) ．
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝3(1)DM.当AM⊥BM时，则BC的长为 8 ．
13．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为 21 ．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=13AB．若四边形ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是 1 ．
三、解答题（共90分）
15．（10分）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，
求证：AB(1)＋CD(1)＝EF(1).
证明：∵AB∥EF，
∴△DEF∽△DAB.
∴AB(EF)＝DB(DF).
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.
∴CD(EF)＝BD(BF).
∴AB(EF)＋CD(EF)＝DB(DF)＋BD(BF)＝BD(BD)＝1.
∴AB(1)＋CD(1)＝EF(1).
16．（10分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形的边长为x mm，则EF＝x mm，
∵AD⊥BC，AD＝80 mm，
∴AK＝(80－x)mm.
∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH.
∴△AEF∽△ABC.∴BC(EF)＝AD(AK)，
即120(x)＝80(80－x).解得x＝48.
∴这个正方形零件的边长是48 mm.
17．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm.
①∵∠PBQ＝∠ABC，
∴若△BPQ∽△BAC，则还需BA(BP)＝BC(BQ)，
即10(5t)＝8(8－4t).解得t＝1；
②∵∠PBQ＝∠CBA，
∴若△BPQ∽△BCA，则还需BC(BP)＝BA(BQ)，
即8(5t)＝10(8－4t).解得t＝41(32).
综上所述，当t＝1或41(32)时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
18．（12分）如图所示，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，
且∠BEF＝90°.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.
（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，
∴DE(AB)＝DF(AE)，即2(4)＝DF(2).
∴DF＝1.∴CF＝3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴GC(ED)＝CF(DF)，即GC(2)＝3(1).
∴GC＝6.
∴BG＝BC＋GC＝10.
19．（12分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.
证明：连接AE，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE, ∠ADE＝∠DAE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠ACE＝∠ADC＋∠DAC，
∠BAE＝∠DAE＋∠BAD，
∴∠ACE＝∠BAE.
又∵∠AEC＝∠BEA，
∴△ACE∽△BAE.
∴BE(AE)＝AE(CE).
∴AE2＝BE·CE，
即DE2＝BE·CE.
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，求BD的长．
解：如图，作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∵CD=10，AD=5，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴=，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD===2，
21．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF.
证明：∵AD⊥BC，E是AC的中点，
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90°.
∴∠BAD＝∠C.
∵∠BDF＝∠EDC，∴∠BDF＝∠BAD.
又∵∠F为公共角，
∴△BDF∽△DAF.∴DA(BD)＝AF(DF).
∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CAD.∴AD(BD)＝CA(AB).
∴AC(AB)＝AF(DF)，即AB·AF＝AC·DF.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，
则OA(OQ)＝OB(OP)，即12(6－t)＝6(t).解得t＝2；
②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，
则OB(OQ)＝OA(OP)，即6(6－t)＝12(t).解得t＝4.
综上所述，当t＝2或t＝4时，△POQ与△AOB相似．
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