九年级（下）第四次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数+1的值在（ ）之间．
A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～4
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2
3．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（ ）
A．a2﹣4a﹣4 B．a2﹣2a﹣4 C．4﹣a2 D．a2﹣4
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
B．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根
C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14
D．李老师购买了1张彩票，正好中奖
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x2=x3 B．2x•x=2x2 C．3x2﹣2x3=x2 D．x2+x2=2x4
6．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣10，12） B．（﹣10，13） C．（﹣10，14） D．（2，12）
7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（ ）
A．8和6 B．15和14 C．8和14 D．15和13.5
9．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2， A2的伴随点为A3…，这样依次得到点A1、A2、A3、An、…．若点A1（2，2），则点A2016的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，3） C．（1，﹣1） D．（2，2）
10．（3分）如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F．若⊙O的半径为，AC=2+2，则△CEF的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为 ．
12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为 ．
13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是 ．
14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB= ．
15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为 ．
16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）
18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．
19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：
（1）C组的人数是 人，并补全条形统计图．
（2）本次调查的众数是 等，中位数落在 等．
（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有 人．
20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．
（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k的值．
（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x1，y1），N（x2，y2）．当x1＞x2，请借助图象比较y1与y2的大小．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=
（1）求证：AE=CD；
（2）求sin∠CPD．
22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若==2，求的值；
（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？
24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是：直线 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 度；
（2）若S△POQ：S△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；
（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数+1的值在（ ）之间．
A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～4
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴2＜+1＜3．
故选：C．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+2≠0，即x≠﹣2．
故选：D．
3．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（ ）
A．a2﹣4a﹣4 B．a2﹣2a﹣4 C．4﹣a2 D．a2﹣4
【解答】解：原式=a2﹣4，
故选：D．
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
B．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根
C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14
D．李老师购买了1张彩票，正好中奖
【解答】解：任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件；
方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根是必然事件；
掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14是不可能事件；
李老师购买了1张彩票，正好中奖是随机事件，
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x2=x3 B．2x•x=2x2 C．3x2﹣2x3=x2 D．x2+x2=2x4
【解答】解：A、x6÷x2=x4，故此选项错误；
B、2x•x=2x2，故此选项正确；
C、3x2与﹣2x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
D、x2+x2=2x2，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣10，12） B．（﹣10，13） C．（﹣10，14） D．（2，12）
【解答】解：∵B（﹣10，1）、C（2，6），
∴BC==13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=13，
∴点A坐标为（﹣10，14），
故选：C．
7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看下边是一个较大的矩形，上边是两个较小的矩形，
故选：D．
8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（ ）
A．8和6 B．15和14 C．8和14 D．15和13.5
【解答】解：15岁的队员最多，是8人，
所以，众数是15岁，
20人中按照年龄从小到大排列，第10、11两人的年龄都是14岁，
所以，中位数是14岁．，
故选：B．
9．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3…，这样依次得到点A1、A2、A3、An、…．若点A1（2，2），则点A2016的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，3） C．（1，﹣1） D．（2，2）
【解答】解：观察，发现规律：A1（2，2），A2（﹣1，3），A3（﹣2，0），A4（1，﹣1），A5（2，2），…，
∴A4n+1（2，2），A4n+2（﹣1，3），A4n+3（﹣2，0），A4n+4（1，﹣1）（n为自然数）．
∵2016=503×4+4，
∴点A2016的坐标为（1，﹣1）．
故选：C．
10．（3分）如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F．若⊙O的半径为，AC=2+2，则△CEF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接CD、ED、DF、EF，如右图所示，
∵AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，
∴CD=DA=DB，∠CDB=90°，∠ECD=∠FBD=45°，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△EDC和△FDB中，
，
∴△EDC≌△FDB（ASA），
∴CE=BF，
又∵AC=BC，AC=2+2，
∴BC=2+2，
即BF+FC=2+2，
∴CF+CE=2+2，
又∵∠ECF=90°，⊙O的半径为，
∴CE2+CF2=EF2，EF=2，
解得，CE•CF=4，
∴△CEF的面积为：，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为 ﹣16 ．
【解答】解：﹣10﹣6=﹣16．
故﹣10﹣6的结果为﹣16．
故答案为：﹣16．
12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为 3.48×104 ．
【解答】解：34800用科学记数法表示为：3.48×104．
故答案为：3.48×104．
13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是 ．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选中两名男学生的结果数为2，
所以恰好选中两名男学生的概率==．
故答案为．
14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB= 32° ．
【解答】解：∵△BDC与△BDE关于BD对称，
∴△BDC≌△BDP，
∴BP=BC，DP=DC，∠DBP=∠DBC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DP，AD=BC=BP，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠PBD=∠ADB，
∴BF=DF，
∴BP﹣BF=AD﹣DF，
∴AF=PF，
∴∠FAP=∠FPA，
∵∠AFP=∠BFD，
∴2∠PAF=2∠ADB，
∴∠PAF=∠ADB，
∴AP∥BD，
∴∠APB=∠PBD，
∵∠ABP=26°，
∴∠CBD=∠DBP=（90°﹣26°）=32°，
则∠APB=32°．
故答案为：32°．
15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为 ．
【解答】解：如图，∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=BD；
过C作CG⊥AE，CH⊥BD，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE=S△DCB，即AE•CG=BD•CH，
∵AE=BD，
∴CG=CH，
∴KC平分∠AKB，∵∠CDB=∠EAC，
∴∠ACP=∠DPA=60°，
∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，
作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于Q，
∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，
∴QA=QB，点Q是定点，
∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，
此时PA=PB，AC=BC，PC=AC•tan30°=3×=．
故答案为．
16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为 0或 ．
【解答】解：当直线y=x+b与y=﹣x2+2x（x≥0）有一个交点，与y=x2﹣2x（x＜0）有一个交点时，
﹣x2+2x=x+b，
则x2﹣x+b=0，
△=（﹣1）2﹣4×1×b=0，得b=，
当直线y=x+b与y=﹣x2+2x（x≥0）有两个交点，与y=x2﹣2x（x＜0）没有交点时，
则b=0，
故答案为：0或．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）
【解答】解：去括号得：3x﹣1=2x﹣4，
解得：x=﹣3．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．
【解答】证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAP=∠DAP，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD．
19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：
（1）C组的人数是 50 人，并补全条形统计图．
（2）本次调查的众数是 100 等，中位数落在 C 等．
（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有 2975 人．
【解答】解：（1）调查的总人数40÷20%=200人，C组的人数=200﹣40﹣100﹣10=50，
补充如图；
（2）本次调查的众数是 100，即B等，中位数是=75，落在C等；
（3）3500×=2975人，
答：该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有2975人．
20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．
（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k的值．
（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x1，y1），N（x2，y2）．当x1＞x2，请借助图象比较y1与y2的大小．
【解答】解：（1）
把①代入②得： =kx+4，
kx2+4x﹣6=0，
∵直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，
∴方程kx2+4x﹣6=0有唯一一个解，
即△=42﹣4k•（﹣6）=0，
解得：k=﹣；
（2）当x1＞x2＞0时，y1＜y2；
当x2＜x1＜0时，y1＜y2；
当x2＜0＜x1时，y1＞y2．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=
（1）求证：AE=CD；
（2）求sin∠CPD．
【解答】（1）证明：连接AD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵tan∠BCD=，
∴tan∠BAD=，
∴=，
∴DE=AE，
∵⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，
∴CE=DE=CD，
∴AE=CD；
（2）解：作直径CE，连接ED，
∴∠CDE=90°，
∵tan∠BCD=，AB⊥弦CD，
∴CE=2BE，
∵AE=CD，
∴AB=CD，
∴=，
∵CE=AB，
∴=，
∴sin∠CED=，
∵∠CED=∠CPD，
∴sin∠CPD=．
22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．
【解答】解：（1）连接AC、BD，
∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
同理，得到△BEF是等边三角形，
∵AB==2，
∴EF=BE=AB﹣AE=（2﹣x）m，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AEcos∠AEM=x，
∴EH=2EM=x，
故可得S=x（2﹣x）=﹣x2+6x；
（2）∵菱形ABCD的面积为2×3=6，
矩形EFGH的面积为﹣x2+6x，
∴四个三角形的面积为6+x2﹣6x，
设总费用为W，
则W=200（﹣x2+6x）+100（6+x2﹣6x）
=﹣100x2+600x+600
=﹣100（x﹣）2+900，
∵1≤x≤2，
∴当x=时，W取得最大值，最大值为900，
答：当x=时，购买花卉所需的总费用最低，最低总费用900．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若==2，求的值；
（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？
【解答】解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．
在△BMF和△ECF中，
，
∴△BMF≌△ECF，
∴BM=EC．
∵E为CD的中点，
∴EC=DC，
∴BM=EC=DC=AB，
∴AM=BM=EC；
（2）如图2所示：设MB=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴==2，
∴EC=2a，
∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．
∵=2，
∴BC=AD=2a．
∵MN⊥MC，
∴∠CMN=90°，
∴∠AMN+∠BMC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
∴=，
∴=，
∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，
∴==3；
（3）当==n时，如图3：设MB=a．
∵△MFB∽△CFE，
∴=，即，解得EC=an．
∴AB=2an．
又∵=n，
∴，
∴BC=2a．
∵MN∥BE，MN⊥MC，
∴∠EFC=∠HMC=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°．
∵∠MBC=90°，
∴∠BMC+∠FCB=90°，
∴∠BMC=∠FBC．
∵∠MBC=∠BCE=90°，
∴△MBC∽△BCE，
∴=，
∴=，
∴n=4．
24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是：直线 x=3 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 45 度；
（2）若S△POQ：S△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；
（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+6x的对称轴x=﹣=3，
∵直线PQ：y=x+m与直线y=x平行，
直线y=x是一、三象限的平分线，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=3，45．
（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．
∵S△POQ：S△PAQ=1：2，
∴AM=2ON，
∴ON=MH=AH，
∵点A（6，0），H（3，3），
∴点M（0，6），
∴直线PQ的解析式为y=x+6，
由解得或，
∴点P坐标（2，4）或（3，3）．
（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．
∵∠EMF=90°，
∴∠EMG+∠FMH=90°，
∵∠FMH+∠MFH=90°
∴∠EMG=∠MFH，∵∠G=∠H=90°，
∴△EMG∽△MFH，
∴=，设E（x1，y1）、F（x2，y2），直线EF的解析式为y=mx+n，
∴=，
∵y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0
由消去y得到x2+（m﹣6）x+n=0，
∴x1+x2=6﹣m，x1x2=n，
∴n﹣5（6﹣m）+26=0，
∴n=4﹣5m，
∴直线EF解析式为y=mx+4﹣5m=（x﹣5）m+4，
当x=5时，y=4，
∴直线EF过定点N（5，4）．
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