江西省南昌市高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}
2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
3．函数y=sin2x是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
4．已知logbac，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．在数列{an}中，a1=1，an+1=an+2，Sn为{an}的前n项和，若Sn=100，则n等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．＞l B．＜ C．|a|＞|b| D．a3＞b3
9．下列表达式中，正确的是（ ）
A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ B．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ
10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈Z
C．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z
11．已知等比数列{an}中，an=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（ ）
A．3n﹣1 B．3（3n﹣1） C． D．
12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上， =λ， =μ，若•=1， •=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．log64+log69﹣8= ．
14．不等式≥0的解集是 ．
15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为 ．
16．设x＞0，y＞0，若log23是log2x与log2y的等差中项，则+的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．向量=（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），已知∥，⊥，求x，y的值．
18．已知函数f（x）=的定义域是集合A，函数g（x）=ln（x﹣a）的定义域是集合B．
（1）求集合A、B；
（2）若C={x|2＜1}，求A∩C．
19．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）
（1）试求a、b的值；
（2）若不等式ax+bx≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
21．已知等比数列{an}，满足an+1＞an，a1+a4=9，a2•a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（2n﹣1）an}的前n项和Tn．
22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：
①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；
②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．
问哪种方案更合算？
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，
∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，
故选：C．
2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【考点】函数的值．
【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．
【解答】解：f（3）=32﹣3﹣5=9﹣3﹣5=1，
f（1）=1﹣2=﹣1，
即f[f（3）]=f（1）=﹣1，
故选：A
3．函数y=sin2x是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．
【分析】根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案．
【解答】解：∵函数y=sin2x中ω=2
∴最小正周期为T==π
又∵y=sin2x满足f（﹣x）=﹣f（x）
∴函数y=sin2x是奇函数
因此，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数
故选：D
4．已知logbac，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】直接利用对数函数的单调性结合已知得答案．
【解答】解：∵函数y=是减函数，
∴由logbac，
得c＜a＜b．
故选：B．
5．函数f（x）=2x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据零点的判定定理，对选项逐一验证即可．
【解答】解：∵f（0）f（1）=（）（1+1﹣5）＞0，排除A．
f（1）f（2）=（1+1﹣5）（2+2﹣5）＞0，排除B
f（2）f（3）=（2+2﹣5）（4+3﹣5）＜0，一定有零点
故选C．
6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（x﹣）的图象，
故选：B．
7．在数列{an}中，a1=1，an+1=an+2，Sn为{an}的前n项和，若Sn=100，则n等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】数列的求和．
【分析】由已知可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，求出其前n项和后得答案．
【解答】解：由a1=1，an+1=an+2，得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
由Sn=100，得n=10．
故选：D．
8．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．＞l B．＜ C．|a|＞|b| D．a3＞b3
【考点】不等式的基本性质．
【分析】对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．
【解答】解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，
对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，
对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，
对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，
故选：D．
9．下列表达式中，正确的是（ ）
A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ B．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由条件根据根据两角和差的正弦、余弦公式，得出结论．
【解答】解：根据两角和差的正弦、余弦公式可得，sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ成立，
而cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ、
cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ都不正确，
故选：A．
10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈Z
C．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．
【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象，可得•=，求得ω=π．
再根据五点法作图可得π•+φ=π，求得φ=，∴（x）=3sin（πx+）．
令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，求得 2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为2k﹣，2k﹣），k∈Z，
故选：C．
11．已知等比数列{an}中，an=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（ ）
A．3n﹣1 B．3（3n﹣1） C． D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】求出等比数列{an}中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．
【解答】解：等比数列{an}中，an=2×3n﹣1，
即有a2=6，a4=54，
则新数列的公比为9，
即有Sn=
=．
故选：D．
12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上， =λ， =μ，若•=1， •=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，得﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，结合①②求得λ+μ的值．
【解答】解：由题意可得•==+++=2×2×cos120°++=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．
•=﹣•（﹣）=（1﹣λ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）═（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，
即﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，
由①②求得λ+μ=，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．log64+log69﹣8= ﹣2 ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的运算法则及有理数指数幂的运算法则即可求得．
【解答】解：原式=log6（4×9）﹣=2﹣22=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．不等式≥0的解集是 ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】解不等式转化为不等式组，解出即可．
【解答】解：原不等式可化为：
或，
解得：﹣≤x＜，
故答案为：．
15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为 2 ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】变形可得y=2（cossinx﹣sincosx）=2sin（x﹣），易得最值．
【解答】解：化简可得y=sinx﹣cosx
=2（sinx﹣cosx）
=2（cossinx﹣sincosx）
=2sin（x﹣）
∴当sin（x﹣）=1时，原函数取最大值2
故答案为：2
16．设x＞0，y＞0，若log23是log2x与log2y的等差中项，则+的最小值为 ．
【考点】基本不等式；对数的运算性质．
【分析】由已知结合等差中项的概念求得xy=9，再利用不等式的性质求得+的最小值．
【解答】解：∵log23是log2x与log2y的等差中项，
∴log2x+log2y=2log23=log29，
则log2xy=log29，
∴xy=9．
则+．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．向量=（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），已知∥，⊥，求x，y的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．
【分析】由已知向量的坐标，结合向量共线与垂直的坐标表示列关于x，y的方程组，求解方程组得答案．
【解答】解： =（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），
由已知a∥b，a⊥c，
可得，
解得：x=6，y=﹣9．
18．已知函数f（x）=的定义域是集合A，函数g（x）=ln（x﹣a）的定义域是集合B．
（1）求集合A、B；
（2）若C={x|2＜1}，求A∩C．
【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数的定义域的求法，求出集合A，B，C，再根据交集的定义即可求出．
【解答】解：（1）因为（1+x）（2﹣x）≥0
所以﹣1≤x≤2，集合A={x|﹣1≤x≤2}； …
因为x﹣a＞0，所以x＞a，集合B={x|x＞a}…
（2）因为，
所以x2﹣2x﹣3＜0解得：{x|﹣1＜x＜3}，…
则A∩C={x|﹣1＜x≤2}．…
19．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）
（1）试求a、b的值；
（2）若不等式ax+bx≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】指数函数的图象与性质；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据点A、B在图象列出方程组，求出a、b的值；
（2）由（1）可得m≤3x+9x，令u（x）=3x+9x，由指数函数的单调性判断出函数u（x）在[1，+∞）上单调性，求出u（x）min，由恒成立求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由已知可得，，
解得a=3，b=9…
（2）由（1）可得m≤3x+9x，x∈[1，+∞），
令u=（x）3x+9x，x∈[1，+∞），只需m≤umin…，
因为函数u（x）=3x+9x在[1，+∞）为单调增函数，…
所以u（x）min=12，
即实数m的取值范围是：{m|m≤12}．…
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．
（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．
【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，
∵sinA≠0，∴sinB=cosB，
B∈（0，π），
可知：cosB≠0，否则矛盾．
∴tanB=，∴B=．
（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴9=a2+c2﹣ac，
把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，
∴．
21．已知等比数列{an}，满足an+1＞an，a1+a4=9，a2•a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（2n﹣1）an}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由已知求得a1，a4的值，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）直接利用错位相减法求数列{（2n﹣1）an}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）在等比数列{an}中，
∵，∴，
解得：或（舍去），
∴，得q=2，
∴；
（2）设，
则Tn=c1+c2+c3+…+cn=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①
，②
由①﹣②得：
=1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n
=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n﹣1
=，
∴．
22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：
①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；
②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．
问哪种方案更合算？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．
（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．
【解答】解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．
设纯收入与年数的关系为f（n），
则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n2﹣98，
由f（n）＞0，
得10﹣
又∵n∈N*，
∴3≤n≤17．
即从第3年开始获利．
（2）①年平均收入为40﹣2×14=12，
当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．
此时，总收益为12×7+26=110（万元）．
②f（n）=﹣2（n﹣10）2+102，∵当n=10时，f（n）max=102（万元）．
此时，总收益为102+8=110（万元）．
由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．
备注：以下内容仅显示部分，需完整版请下载！
