重庆南开中学高一下期末数学试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法中正确的是（ ）.
(A)若∥，则与方向相同
(B)若||＜||，则＜
(C)起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等
(D)所有的单位向量都相等
2. 已知sin+cos=,且，则tan=( ).
(A) (B) (C) (D)
3. 若为平行四边形的中心， ，，则等于（ ）.
(A) (B) (C) (D)
4. =（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
5. 已知的周期为1，最大值与最小值的差是3，且函数的图象过点，则函数表达式为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
6. 把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是( ).
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
7. ()=( ).
(A)cos (B)-cos (C) sin (D) cos
8. 若，且，则可以是（ ）.
（A）|sin| （B）cos （C）sin2 （D）sin||
9. 已知|cos|=cos,|tan|=-tan,则的取值范围是( ).
（A） （B）
（C） （D）
10. 下列各函数中，最小正周期是的函数是（ ）.
(A) (B) (C) (D)
11、△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为 （ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
12．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是 （ ）学
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．方程x2－2ax＋a＋=0，有二实根α、β，则（α－1）2＋（β－1）2的最小值为 。
14．函数f(x)=的值域为。
15．不等式的解集是。
16.已知,的夹角为,则在上的投影为_____________；
17．下列命题中正确的序号为（你认为正确的都写出来）
①的周期为，最大值为； ②若x是第一象限的角，则是增函数；③在中若则； ④且 ⑤既不是奇函数，也不是偶函数；
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
18．(本小题10分)已知向量
求函数的最大值、最小正周期，并写出在上的单调区间。
19. (本小题12分)已知A、B、C坐标分别为，
若，求角的值；
若，求的值。
20．(本小题12分) 如图，在△ABC中，点M为BC的中点，A、B、C三点坐标分别为（2，-2）、（5，2）、（-3，0），点N在AC上，且，AM与BN的交点为P，求：
（1）点P分向量所成的比的值；
（2）P点坐标.
21．(本小题12分)已知△ABC的周长为6，成等比数列，求
（I）试求B的取值范围；
（Ⅱ）求的取值范围.
22．(本小题12分)、某外商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年需各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售蔬菜总收入为50万元．
（I）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？
（II）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案：
（1）若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元的价格出售该厂；
（2）若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂．
问：哪一种方案比较合算？请说明理由．
23．(本小题12分)设，，其中，且
（1）求证：；（2）求证：函数与的图象有两个不同的交点
（3）设与图象的两个不同交点为、，求证：
答案
一、选择题：1C 2 B 3 B 4 C 5D 6A 7 D 8 A 9D 10C
11B 12C
二、填空题：13、 14、 15、
16、3 17、①③④⑤
三、解答题： 18、解：
所以的最大值为，最小正周期，在上递增，在上递减。
19．解：（1）.
，
，
∵，， 4分
又 …..6分
（2）由知：。
， ∴
∴= 12分
20．解：（1）∵A、B、C三点坐标分别为、、
由于M为BC中点，可得M点的坐标为（1，1） ……2分
由可得N点的坐标为 ……4分
又由可得P点的坐标为（，
从而得， ，
∵与共线 故有))－((＝0 解之得4 …8分
∴点P的坐标为（，） ……12分
21．解:（1）设依次为,则,
由余弦定理得故有，…6分
（2） 又 从而
所以
…10分
……12分
22．解：由题设知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列
设纯利润与年数的关系为，
则
（I）获纯利润就是要求，
即，
，
从第3年开始获利． …………………………………………6/
（II）（1）年平均纯利润，
，当且仅当时，取“=”号，
，
第（1）种方案共获利（万元），此时． …………10/
（2），
当时，．
故第（2）种方案共获利（万元）． …………12/
比较两种方案，获利都为144万元，但第（1）种方案需6年，而第（2）种方案需10年，
故选择第（1）种方案．
23、解（1）由，可知
由得 即 ， 且 … 4分
（2）由 得
故有两个不同交点 …… 8分
（3）
又 从而得证 ……12分
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