数学试题
一、选择题 (本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)
1.在数列，则等于
A．11 B．12 C．13 D．14
2.下面四个条件中，，能使得成立的条件是
(A) (B) (C) (D)
3.如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为
A．2 B．3
C．2 D．3
4.已知等差数列满足,则有
A． B． C． D．
5.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，
测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为
A．50m B．50m C．25m D．2(2)m
6.已知和为夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定,若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为
A． B． C．４ D．３
8.中，边上的高为，若，，，，，那么 A. B. C. D.
9．已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么
A.成等差数列 B.成等比数列
C.成等差数列 D.成等比数列
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11.直线过,两点，若的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是
12.为等比数列的前n项和，，则
13.直线：与直线：平行，则
14.（文科）设、为正数，则有)的最小值为
（理科）设均为正实数，，则的最小值为
15.(文科)数列中， ,设数列的前项和为，则 (用数字作答),
（理科）已知数列的各项均为正整数，对于，有
,当时，______；
若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_ _
三、 解答题(本大题共6小题，满分75分, 前4个大题每题12分，第5答题13分，
第6大题14分)
16.中，，，若的中点在轴上，的中点在轴上，
（1）求点的坐标 （2）求直线的方程
17.平面上三个非零向量、、的模均为1，它们之间的夹角均为.
（1）求证：；
（2）若，求实数的取值范围．
18.已知△中，角，，的对边分别为，，，且，．
（Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求△的面积．
19.设是公比大于的等比数列，是数列的前n项和，，
且构成等差数列
(1)求数列的通项公式
（2）令，求数列的前项和
20. 某校在筹备校运会时欲制作会徽，准备向全校学生征集设计方案，某学生在设计中需要相同的三角形纸片7张，四边形纸片6张，五边形形纸片9张，而这些纸片必须从Ａ、Ｂ两种规格的纸中裁取，具体如下：
|
|
三角形纸片（张） |
四边形纸片（张） |
五边形纸片（张） |
|
Ａ型纸（每张可同时裁取） |
1 |
１ |
３ |
|
Ｂ型纸（每张可同时裁取） |
2 |
１ |
１ |
若每张Ａ、Ｂ型纸的价格分别为3元与4元，试设计一种买纸方案，使该学生在制作时买纸的费用最省，并求此最省费用。
21.（文科）设数列的通项公式为. 数列定义如下：
对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.
（1）若，求；
（2）若，求数列的前项和；
（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.
（理科）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.
（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.
(1) 求证：是数列的母函数；
(2)求数列的前项和.
（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.
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