11 单元测试卷
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝sin(－4x＋1)的最小正周期是( )
A.2(π) B．π
C．2π D．4π
答案：A
解析：利用三角函数的周期公式T＝|ω|(2π)＝4(2π)＝2(π).
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A.5(4) B．－5(4)
C.5(3) D．－5(3)
答案：B
解析：由题意，可得cosθ＝5(4)，所以cos(π－θ)＝－cosθ＝－5(4).
3．已知f(x)＝f(x－4)，x>2015(x，x≤2015)，则f(2016)＝( )
A.2(1) B．－2(1)
C.2(3) D．－2(3)
答案：C
解析：f(2016)＝f(2012)＝sin3(2012)π＝sinπ(2)＝sin3(2)π＝2(3).
4．若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称，则φ＝( )
A．－2(π) B．2kπ－2(π)(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋2(π)(k∈Z)
答案：D
解析：若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋2(π)(k∈Z)．
5．下列不等式中，正确的是( )
A．tan4(13π)＜tan5(13π)
B．sin5(π)＞cos7(π)
C．sin(π－1)＜sin1°
D．cos5(2π)＜cos5(π)
答案：D
解析：由三角函数的单调性知D正确．
6．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)2(π)的图像如图所示，则当t＝100(1) s时，电流强度是( )
A．－5 A B．5 A
C．5 A D．10 A
答案：A
解析：由图像知A＝10，2(T)＝300(4)－300(1)＝100(1)，∴T＝50(1)，∴ω＝T(2π)＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．又，10(1)在图像上，∴100π×300(1)＋φ＝2(π)＋2kπ，k∈Z.又0<φ<2>，∴φ＝6(π).∴I＝10sin6(π)，当t＝100(1) s时，l＝－5 A，故选A.
7．下列四个命题：①函数y＝tanx在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tanx的图像关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tanx的图像关于点，0(π)成中心对称．其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：对于①，函数y＝tanx仅在区间2(π)(k∈Z)内递增，如4(π)＜4(5π)，但tan4(π)＝tan4(5π)，所以①不正确；对于②，其最小正周期是2(π)，所以②也不正确；观察正切曲线可知命题③④都正确．
8．要得到函数y＝sin2x的图像，只需将函数y＝cos(2x－4(π))的图像( )
A．向左平移8(π)个单位
B．向右平移8(π)个单位
C．向左平移4(π)个单位
D．向右平移4(π)个单位
答案：B
解析：将函数y＝cos(2x－4(π))向右平移8(π)个单位，得到y＝cos4(π)＝cos2(π)＝sin2x，故选B.
9．在△ABC中，若sinAsinBcosC＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
答案：C
解析：正弦函数在区间(0，π)的函数值都为正，故cosC＜0，角C为钝角．
10．已知定义在区间2(3π)上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝4(3π)对称，当x≥4(3π)时，f(x)＝cosx，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为( )
A.4(5)π B.2(3)π
C.4(9)π D．3π
答案：A
解析：当a＝－1时，方程两解关于直线x＝4(3π)对称，两解之和为2(3)π，当－1＜a＜－2(2)时，方程有四解，对应关于直线x＝4(3π)对称，四解之和为3π，当a＝－2(2)时，方程有三解，它们关于直线x＝4(3π)对称，三解之和为4(9)π，当－2(2)＜a＜0时，方程有两解，它们关于直线x＝4(3π)对称，其和为2(3)π.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
答案：2(3π)
解析：∵15°＝12(π) ∴扇形的面积为S＝2(1)r2α＝2(1)×62×12(π)＝2(3π).
12．已知在△ABC中，sinA＝2(1)，则cosA＝________.
答案：2(3)或－2(3)
依题意可知A∈(0，π)，又sinA＝2(1)，所以A＝6(π)或6(5π)，所以cosA＝2(3)或－2(3).
13．已知0<α<2>，sinα＝5(4)，则tanα＝________________________________________________________________________；
＋α()＝________.
答案：3(4) 4
解析：由0<α<2>，sinα＝5(4)，得cosα＝5(3)，则tanα＝3(4)；＋α()＝sinα－cosα(－sinα＋2sinα)＝4.
14．函数y＝tan3(π)的图像与直线y＝－a(a∈R)的交点中距离的最小值为________．
答案：2(π)
解析：y＝tan3(π)的最小正周期T＝2(π)，故y＝tan3(π)与y＝－a的交点中距离的最小值为2(π).
15．给出下列命题：
(1)函数y＝sin|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内为增函数；
(3)函数y＝2(1)的最小正周期为2(π)；
(4)函数y＝4sin3(π)，x∈R的一个对称中心为，0(π).
其中正确命题的序号是________．
答案：(1)(4)
解析：(1)由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图像，再关于y轴对称即得左侧图像(图略)，观察图像可知没有周期性出现，即y＝sin|x|不是周期函数，命题(1)正确；(2)正切函数在定义域内不单调，命题(2)错误；(3)令f(x)＝2(1)，因为f2(π)＝2(1)≠f(x)，所以2(π)不是函数y＝2(1)的周期，命题(3)错误；(4)由于f6(π)＝0，故，0(π)是函数y＝4sin3(π)的一个对称中心，命题(4)正确．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f(x)＝sin4(π)＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是2(π).
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝sin4(π)＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是2(π)，
∴2ω(2π)＝2(π)，所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝sin4(π)＋2.
当4x＋4(π)＝2(π)＋2kπ(k∈Z)，即x＝16(π)＋2(kπ)(k∈Z)时，sin4(π)取得最大值1，
所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为{x|x＝16(π)＋2(kπ)，k∈Z}．
17．(12分)角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求cosβ(sinα)＋tanβ(tanα)＋cosαsinβ(1)的值．
解：∵P(a，－b)，∴sinα＝a2＋b2(－b)，cosα＝a2＋b2(a)，tanα＝－a(b).
∵Q(b，a)，∴sinβ＝a2＋b2(a)，cosβ＝a2＋b2(b)，tanβ＝b(a).
∴cosβ(sinα)＋tanβ(tanα)＋cosαsinβ(1)＝－1－a2(b2)＋a2(a2＋b2)＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝asin6(π)＋2(a)＋b的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是4(7)，最小值是4(3).
(1)求ω，a，b的值；
(2)求出f(x)的单调递增区间．
解：(1)由函数f(x)的最小正周期为π，得ω＝1.
又f(x)的最大值是4(7)，最小值是4(3)，
则4(3)，
解得a＝2(1)，b＝1.
(2)由(1)，知f(x)＝2(1)sin6(π)＋4(5)，
当2kπ－2(π)≤2x＋6(π)≤2kπ＋2(π)(k∈Z)，
即kπ－3(π)≤x≤kπ＋6(π)(k∈Z)时，f(x)单调递增，
故f(x)的单调递增区间为6(π)(k∈Z)．
19．(12分)对任意的θ∈R，不等式sin2θ＋2mcosθ－2m－2<0>恒成立，求实数m的取值范围．
解：对任意的θ∈R，
不等式sin2θ＋2mcosθ－2m－2<0>恒成立，
即1－cos2θ＋2mcosθ－2m－2<0>恒成立，得cos2θ－2mcosθ＋2m＋1>0恒成立．
由θ∈R，得－1≤cosθ≤1.
设t＝cosθ，则－1≤t≤1.
令g(t)＝t2－2mt＋2m＋1，－1≤t≤1，则g(t)的图像关于直线t＝m对称．
①当m≤－1时，g(t)在t∈[－1,1]上为增函数，
则g(t)min＝g(－1)＝4m＋2>0，得m>－2(1)，与m≤－1矛盾；
②当－1<m<1>时，g(t)min＝g(m)＝－m2＋2m＋1>0，得1－<m<1>＋，所以1－<m<1>；
③当m≥1时，g(t)在t∈[－1,1]上为减函数，则g(t)min＝g(1)＝2>0.
综上，实数m的取值范围为(1－，＋∞)．
20．(13分)已知函数y＝sin(ωx＋φ)2(π)，在同一个周期内，当x＝4(π)时，y取最大值1，当x＝12(7π)时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)．
(2)函数y＝sinx的图像经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图像？
(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0<a<1>，求此方程在[0,2π]内的所有实数根之和．
解：(1)∵T＝2×4(π)＝3(2π)，
∴ω＝T(2π)＝3.
又sin＋φ(3π)＝1，
∴4(3π)＋φ＝2kπ＋2(π)，k∈Z.
又|φ|<2>，
∴φ＝－4(π)，
∴y＝f(x)＝sin4(π).
(2)y＝sinx的图像向右平移4(π)个单位长度，得到y＝sin4(π)的图像，
再将y＝sin4(π)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的3(1)，
纵坐标不变，得到y＝sin4(π)的图像．
(3)∵f(x)＝sin4(π)的最小正周期为3(2π)，
∴f(x)＝sin4(π)在[0,2π]内恰有3个周期，
∴sin4(π)＝a(0<a<1>在[0,2π]内有6个实数根，从小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＝4(π)×2＝2(π)，
x3＋x4＝3(2π)×2＝6(11π)，x5＋x6＝×2(2π)×2＝6(19π)，
故所有实数根之和为2(π)＋6(11π)＋6(19π)＝2(11π).
21．(14分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B2(π)，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知2(T)＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝T(2π)＝4(π).
又＝A(9－5)，∴B＝7(A＝2).
即f(x)＝2sinx＋φ(π)＋7.(*)
又f(x)过点(3,9)，代入(*)式得2sin＋φ(3π)＋7＝9，
∴sin＋φ(3π)＝1，
∴4(3π)＋φ＝2(π)＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<2>，∴φ＝－4(π)，
∴f(x)＝2sin4(π)＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin4(π)＋7>8，
∴sin4(π)>2(1)，
∴6(π)＋2kπ<4>x－4(π)<6>＋2kπ，k∈Z，
可得3(5)＋8k<x<3>＋8k，k∈Z.
又1≤x≤12，x∈N*，
∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
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