数学（理科）
（测试时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合，，则
（A）{1,2} （B）{0,1,2} （C） （D）
（2）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的共轭复数=
（A） （B） （C） （D）
（3）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平行”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）若，且，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（6）在图1的程序框图中，若输入的x值为2，则输出的y值为 （A）0 （B） （C） （D）
（7）已知向量，，则函
数的最小正周期为
（A） （B） （C） （D）
（8）在区间上随机选取一个数，若的概率为，则
实数的值为
（A） （B）2 （C）4 （D）5
（9）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是
（A） （B） （C） （D）
（10）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是
（A） （B）2 （C）－2 （D）
（11）已知直线：，点，. 若直线上存在点满足，则实数 的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
(12) 已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）展开式中常数项是 ．
（14）已知实数满足不等式组，则的最小值为 .
（15）某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为 .
（16）在△ABC中，角的对边分别为，已知是、的等差中项，且，
则△面积的最大值为 .
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．
(Ⅰ)求数列和的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
如图3，已知四棱锥的底面为矩形，D为
的中点，AC⊥平面BCC1B1．
（Ⅰ）证明：AB//平面CDB1;
（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,
（1）求BD的长；
（2）求B1D与平面ABB1所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分） 图3
某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：
（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
（Ⅱ）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.
（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的概率;
（2）已知该地区型车每小时的租金为1元，型车每小时的租金为1.2元，设为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求的数学期望.
（20）（本小题满分12分）
已知如图4，圆、椭圆均
经过点M，圆的圆心为，椭圆的两
焦点分别为.
（Ⅰ）分别求圆和椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线与圆交于、两点，试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）确定函数的单调性；
（Ⅱ）证明：函数在上存在最小值.
请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)若，解不等式；
(Ⅱ)如果当时，，求a的取值范围．
答案
一、选择题：
|
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
答案 |
B |
C |
B |
A |
D |
C |
A |
C |
B |
B |
C |
D |
部分解析：
（9）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为.
（10）由题知则，.
（11）问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，数形结合易得.
（12）当时，函数有两个零点，不符合题意，故，，令得或，由题意知，，且，解得．
二、填空题：
|
题号 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
答案 |
60 |
-2 |
小民、小乐、小军 |
|
（16）由得，由余弦定得,
即，又（当且仅当时等号成立）得，所以
，即△面积的最大值为.
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）由数列是等差数列且
∴公差，—————————————————-1分
∴，————————————-3分
∵=3，=9，∴
∴数列的公比，————————————–5分
∴，
∴；————————————————————7分
(Ⅱ)由得
——————————————-9分
.———————————————————————————12分
（18）解：（Ⅰ）证明：连结交于E，连结DE，——————————–1分
∵D、E分别为和的中点，
∴DE//AB,—————————————————————————- —- ——–2分
又∵平面,平面,
∴AB//平面CDB1;——————————————4分
（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1，平面，
∴,
又∵,，
∴平面，
∵平面,
∴,———————————————————————————6分
在,∵BC=1，,
∴;————————————————————————————8分
【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】
（2）依题意知AC、BC、CC1两两互相垂直，
以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立
空间直角坐标系如图示，
易得，，
，，
故,,,————————————-9分
设平面的一个法向量为，
由得令得，——————————-10分
设与平面所成的角为，则,
即与平面所成的角的正弦值为.—————————————————12分
【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D到平面ABB1的距离，（10分）再用公式算与平面所成角的正弦值（12分）】
(19) 解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，–2分
高二学生的人数为:；————————————————————–4分
（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率.———————————–7分
【解法2：所求概率.————————————————-7分
（2）从小组内随机抽取3人， 得到的的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）————–8分
因
———————————-10分
故的数学期望.(元)———————–12分
（20）解：（Ⅰ）依题意知圆C的半径，—————————-1分
∴圆C的标准方程为：；————————————————2分
∵椭圆过点M，且焦点为、，
由椭圆的定义得：，
即，———————————————————-4分
∴，，
∴椭圆E的方程为：—————————————————————————–6分
【其它解法请参照给分】
（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设为，则的方程为，
由消去得：
，——————————————————-8分
显然有解，
设、，则，———————————————————-9分
．
故为定值，其值为2.——————————————————– ———-12分
（21）解：（Ⅰ）函数的定义域为，—————————–1分
，——————————-4分
∴函数在和上单调递增；———————————————5分
(Ⅱ)
，—————————————————————8分
由（Ⅰ）知在单调递增；
∴在上也单调递增；
∵，，—————————————————–10分
∴存在，有，
当时，<0>，得，
当时，>0，得， ——————————————–11分
∴在上递减，在上递增，
故函数在上存在最小值，.——————————————–12分
选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式 得—————————2分
代入中得，————————————————————-3分
故曲线C的参数方程为为参数）；—————————————–5分
（Ⅱ）由题知，，——————————————————-6分
故线段P1 P2中点，———————————————————7分
∵直线的斜率∴线段P1 P2的中垂线斜率为，
故线段P1 P2的中垂线的方程为——————————————————–8分
即，将代入得
其极坐标方程为———————————————————10分
（23）解：(Ⅰ)当a＝－2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|，
①当时，原不等式化为：解得，从而；—————–1分
②当时，原不等式化为：，无解；———————————————2分
③当时，原不等式化为：解得，从而；—————————-3分
综上得不等式的解集为.————————————————————-5分
(Ⅱ)当时， ———————————7分
所以当时，等价于—–（）
当时，（）等价于解得，从而；————————-8分
当时，（）等价于无解；————————————————–9分
故所求的取值范围为.—————————————————-10分
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