第三章 3.2 3.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·重庆八中高二检测)复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为( A )
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] z＝i(1＋i)＝i2(i(1＋i))＝－1(i－1)＝1－i.
2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i为虚数单位，则(1－i(1＋i))2＝( B )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析] (1－i(1＋i))2＝－2i(2i)＝－1.
3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i为虚数单位．若复数－3i(a＋i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝( A )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
[解析] －3i(a＋i)＝－3ai＋3，
∴－3a＝3，∴a＝－1.
4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a为实数，且1＋i(2＋ai)＝3＋i，则a＝( D )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
[解析] ∵1＋i(2＋ai)＝3＋i，
∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，
∴a＝4，选D．
5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴1－a>0，(a＋1<0>解得a<－1.
故选B．
6．若z＋－(z)＝6，z·－(z)＝10，则z＝( B )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－(z)＝a－bi，
∴a2＋b2＝10(2a＝6)，解得b＝±1(a＝3)，即z＝3±i.
二、填空题
7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__.
[解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2
＝1－i2＋1＋4i＋4i2
＝1＋1＋1＋4i－4
＝－1＋4i.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__.
[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，
＝1＋2i(4＋3i)＝5((4＋3i)(1－2i))＝2－i，∴z＝2＋i.
三、解答题
9．计算：
(1)(－2(1)＋2(3)i)(2－i)(3＋i)；
(2)(5－4i)(1－i)(2i)2(4＋5i)).
[解析] (1)(－2(1)＋2(3)i)(2－i)(3＋i)
＝(－2(1)＋2(3)i)(7－i)＝2(3－7)＋2(3＋1)i.
(2)(5－4i)(1－i)(2i)2(4＋5i))＝5－4－9i(4i(4＋5i))
＝1－9i(－20＋16i)＝82(－4(5－4i)(1＋9i))
＝82(－4(41＋41i))＝－2－2i.
B级 素养提升
一、选择题
1．设复数z满足1＋z(1－z)＝i，则|1＋z|＝( C )
A．0 B．1
C． D．2
[解析] ∵1＋z(1－z)＝i，
∴z＝1＋i(1－i)，∴z＋1＝1＋i(1－i)＋1＝1＋i(2)＝1－i，
∴|z＋1|＝.
2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由xi＋yi2＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为＝5.
3．若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m的值是( B )
A．1 B．－1
C． D．－
[解析] (m2＋i)(1＋mi)＝m2＋i＋m3i＋mi2＝(m2－m)＋(m3＋1)i.
∵(m2＋1)(1＋mi)为实数，
∴m3＋1＝0，
∴m＝－1.故选B．
4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( C )
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
[解析] 易知z＝3－2i，所以＝3＋2i.
二、填空题
5．(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为 .
[解析] 方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，从而2ab＝4(a2－b2＝3)，解得b2＝1(a2＝4)
故|z|＝＝.
方法二：因为z2＝3＋4i，所以|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5，所以|z|＝.
6．(2015·重庆理)设复数a＋bi(a、b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝__3__.
[解析] 由题易得＝，故a2＋b2＝3.
(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
7．(2017·浙江，12)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__.
[解析] (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得ab＝2.(a2－b2＝3，)解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
三、解答题
8.1＋i(m)＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值.
[解析] ∵1＋i(m)＝1－ni，
∴2(m(1－i))＝1－ni，
∴m－mi＝2－2ni，
∴－m＝－2n(m＝2)，∴n＝1(m＝2).
C级 能力提高
1．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝ 1－2(3)i .
[解析] ∵z0＝3＋2i，
∴z·z0＝3z＋2iz＝3z＋z0，
∴2i·z＝z0.设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴2i(a＋bi)＝3＋2i，即－2b＋2ai＝3＋2i.
∴2a＝2，(－2b＝3，)解得，(3)
∴z＝1－2(3)i.
2．已知z∈C，－(z)为z的共轭复数，若z·－(z)－3i－(z)＝1＋3i，求z.
[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则－(z)＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有－3a＝3(a2＋b2－3b＝1)，
解得b＝0(a＝－1)或b＝3(a＝－1)，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
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