第三章 3.2 3.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果( C )
A．2＋i B．4＋3i
C．2＋3i D．3＋2i
[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i－1＋i＝2＋3i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，
所以z的虚部是4.
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( D )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
[解析] ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴b＋1＝0(2＋a＝0)，∴b＝－1(a＝－2)，
∴a＋bi＝－2－i.
4．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( C )
A．18＋10i B．18－10i
C．－10＋18i D．10－18i
[解析] ∵z＝11－20i，
∴1－2i－z＝1－2i－11＋20i
＝－10＋18i.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( D )
A． B．5
C． D．5
[解析] ∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
6．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝( D )
A．－4(3)＋i B．4(3)－i
C．－4(3)－i D．4(3)＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i，
因此有y＝1(x2＋y2＝2)，解得4()，
故z＝4(3)＋i，故选D．
二、填空题
7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝__－1__.
[解析] z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴a2＋a－6≠0(a2－a－2＝0)，解得a＝－1.
8．在复平面内，O是原点，→(OA)、→(OC)、→(AB)对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么→(BC)对应的复数为__4－4i__.
[解析] B→(C)＝→(OC)－→(OB)
＝→(OC)－(→(OA)＋→(AB))
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD中，→(AB)与→(AC)对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求→(AD)对应的复数；
(2)求→(DB)对应的复数．
[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得→(AD)，→(DB)对应的复数，先求出向量→(PA)、→(PB)对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．
[解析] (1)由于ABCD是平行四边形，所以→(AC)＝→(AB)＋→(AD)，于是→(AD)＝→(AC)－→(AB)，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即→(AD)对应的复数是－2＋2i.
(2)由于→(DB)＝→(AB)－→(AD)，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即→(DB)对应的复数是5.
B级 素养提升
一、选择题
1．复数(3m＋mi)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是( A )
A．m<3>．m<1>
C．3(2)<m<1>．m>1
[解析] (3m＋mi)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，由题意得m－1<0>，∴m<3>
2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( A )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
[解析] 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，
故4－b≠0(a＋3＝0)，解得a＝－3，b＝－4.
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量→(OA)、→(OB)对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则→(CD)对应的复数是( D )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
[解析] 依题意有→(CD)＝→(BA)＝→(OA)－→(OB)，
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即→(CD)对应的复数为4－2i.
故选D．
4．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( C )
A．5(11)B．i
C．5(11)＋i D．5(11)＋2i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＋yi＋＝5＋i，
∴3(x2＋y2＝5)，解得5().
∴z＝5(11)＋i，故选C．
二、填空题
5．(2016·济南高二检测)设x，y为实数，且1－i(x)＋1－2i(y)＝1－3i(5)，则x＋y＝__4__.
[解析] 1－i(x)＋1－2i(y)＝2(x(1＋i))＋5(y(1＋2i))＝(2(x)＋5(y))＋(2(x)＋5(2y))i，
而1－3i(5)＝10(5(1＋3i))＝2(1)＋2(3)i，
所以2(x)＋5(y)＝2(1)且2(x)＋5(2y)＝2(3)，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__.
[解析] ∵z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，∴2－y＝－6(x＋3＝5).∴y＝8(x＝2).
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
7．已知z1＝2(3)a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a、b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝__3__.
[解析] z1－z2＝[2(3)a＋(a＋1)i]－[－3b＋(b＋2)i]＝(2(3)a＋3b)＋(a＋1－b－2)i＝4，
∴3()，解得b＝1(a＝2)，∴a＋b＝3.
三、解答题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x、y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1、z2.
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以x＋4y＝－2(5x－3y＝13)，解得y＝－1(x＝2).
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
C级 能力提高
1．(2016·青岛高二检测)已知复数z＝2－i((1－i)2＋3(1＋i)).
(1)求复数z.
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[解析] (1)z＝2－i(－2i＋3＋3i)＝2－i(3＋i)＝5((3＋i)(2＋i))＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以2＋a＝－1，(a＋b＝1，)解得b＝4.(a＝－3，)
2．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量→(BA)对应的复数为1＋2i，向量→(BC)对应的复数为3－i，求：
(1)点C、D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
[解析] (1)∵向量→(BA)对应的复数为1＋2i，向量→(BC)对应的复数为3－i，
∴向量→(AC)对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又→(OC)＝→(OA)＋→(AC)，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵→(AD)＝→(BC)，
∴向量→(AD)对应的复数为3－i，即→(AD)＝(3，－1)．
设D(x，y)，则→(AD)＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴y－1＝－1(x－2＝3)，解得y＝0(x＝5).
∴点D对应的复数为5.
(2)∵→(BA)·→(BC)＝|→(BA)||→(BC)|cos B，
∴cos B＝|(BC)＝10(3－2)＝10(2).∴sin B＝10(2).
∴S＝|→(BA)||→(BC)|sin B＝××10(2)＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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