第一章 导数及其应用同步练习
备注：以下内容仅显示部分，需完整版请下载！
一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若，则
=（ ）
A． B． C． D．
2．函数有（ ）
A．极大值，极小值
B．极大值，极小值
C．极大值，无极小值
D．极小值，无极大值
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5.已知曲线在点处的切线的倾斜角满足，则此切线的方程为（ ）
或
Ｂ．
Ｃ．或
Ｄ．
6.抛物线在点M处的切线倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式恒成立.若，，，则a、b、c的大小关系是( )
A． B．
C． D．
8.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知函数f(x)＝2(1)x3－x2－2(7)x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( )
A．f(－a2)f(－1)
B．f(－a2)f(－1)
C．f(－a2)f(－1)
D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
10.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b－2(a≠1)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率是－3，则不等式组所确定的平面区域在圆x2＋y2＝4内的面积为( )
A.π B. 2(π)
C. 3(π) D.2π
11.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0>时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0>的解集是（ ）
A．(－3，0)∪(3，+∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.已知直线与抛物线相切，则
14．若在R上是增函数，则的关系式为 .
15.已知，当时， ．
14.在曲线的切线斜率中斜率最小的切线方程是_________.
三、解答题（本题共5小题，共74分）
17.（本小题满分14分）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)y=(1-).
19.（本小题满分14分）已知 的图象经过点，且在处的切线方程是.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间.
20.（本小题满分14分）已知函数
（1）若曲线在点处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；
（2）若是单调函数，求a的取值范围.
21.（本小题满分16分）已知函数.
(1)若，求曲线在处切线的斜率；
(2)求的单调区间；
(3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
22.（本小题满分16分）已知平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试确定函数的单调区间.
答题纸
得分：_________
一、选择题
|
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题
13.___________ 14. ___________ 15. ___________ 16. ___________
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
答案
一、 选择题
1．D 解析：
2．C 解析：令 或33时，不满足题意，故舍去.
当x在(－2,2)上变化时，的变化情况如下表：
|
x |
(－2，－1)
|
－1 |
（－1，2） |
|
|
＋
|
0 |
－ |
|
y |
|
5 |
|
由上表可知，函数y有极大值5，无极小值.
3．C 解析：令
4．A 解析：令
当x变化时，随x的变化情况如下表：
|
x |
(0，e)
|
e |
(e，+∞) |
|
|
＋
|
0 |
－ |
|
y |
|
|
|
由上表可知，函数y在x=e时取得最大值，最大值.
5.C 解析：由得则切线的斜率.因为，当，此时点Q的坐标为(0，)或当时，没有满足题意的点,故舍去.
6.B 解析：因为，所以抛物线在点处的切线斜率为1,倾斜角为.
7.C 解析：设g(x)＝xf(x)，由y＝f(x)为R上的奇函数，可知g(x)为R上的偶函数．
而g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x).
由已知得，当x∈(－∞，0)时，g′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增.
由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为＝g(－2)＝g(2)，且，故.
8.A 解析：若处取得极小值点，则,在的左侧，在的右侧.据此可知，f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.
9.A 解析：由题意可得.
由＝2(1)(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝3(7).
当时，为增函数；当时，为减函数，当x>时，为增函数.
所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.又因为－a2≤0，故f(－a2)≤ f(－1)．
10.B 解析：由题意得．
解得
则不等式组为
如图所示，阴影部分的面积即为所求．
易知图中两锐角的正切值分别是.
设两直线的夹角为，则tan＝tan()＝3(1)＝1，所以＝4(π)，而圆的半径是2，
所以不等式组所确定的区域在圆内的面积.
11.B 解析：函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，
所以方程有两个不同的实数根.
由得m的取值范围为．
12.D 解析：因为
，则在x＜0时递增.
又因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，所以在x＞0时也是增函数．
因为
所以当时，可转化为，即；
当时，可转化为，即.
二、填空题
13. 解析：设切点P(x0，y0).因为，所以.
由题意知x0-y0-1=0， ①
y0=ax02， ②
2ax0=1， ③
由①②③解得：．
14． 解析：由题意知恒成立，已知则，
即
15. 解析：
14.3x－y－11＝0 解析：因为，令切线的斜率，当k取最小值时，，此时切线的斜率为3，切点为(-1,-14)，切线方程为，即.
三、解答题
17.解：(1)因为，所以
(2)因为=，所以
(3)因为==，
所以=
18．解：（1）因为的图象经过点，所以 ①.
②.
由题意得切点为，则的图象经过点，
得 ③.
联立①②③得
（2）令得
当x变化时，
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
－ |
0 |
＋ |
0 |
－ |
0 |
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
由上表可知，函数的单调递增区间为
19.解：(1)
由题设，f¢(1)＝－2a＝－2，所以a＝1，
此时f(1)＝0，切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．
(2)，令＝1－8a．
当a≥8(1)时，≤0，f ¢(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减．
当0＜a＜8(1)时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，
不妨设，
则当时，f ¢(x)＜0，当时，f¢(x)＞0，
这时f(x)不是单调函数．
综上，a的取值范围是[8(1)，＋)．
20.解：(1)由已知，.
故曲线在处切线的斜率为.
(2).
①当时，由于，故，，
所以函数的单调递增区间为.
②当时，由，得.
在区间上，；在区间上，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)由已知，转化为，.
由(2)知，当时，函数在上单调递增，值域为R，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，解得.
21．解：由得
令
当t变化时，的变化情况如下表：
|
t |
|
－1 |
(－1，1) |
1 |
（1，+） |
|
|
＋ |
0 |
－ |
0 |
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
由上表可知，的单调递增区间为单调递减区间为
