陕西省西安市一中2019-2020学年高二数学（文）下学期期中试题（解析版）
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数学试题
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数 的实部与虚部之和为零，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数 的实部与虚部之和为零，得 ，求解即可得答案．
【详解】由复数 的实部与虚部之和为零，
得 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2. 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘法运算化简 ，再利用纯虚数的定义求解即可．
【详解】 是纯虚数，
，即 ，故选C．
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A， ，正确；
对于B， ，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
4.设 ，若 在 处的导数 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求出原函数的导函数，由 列式求解 的值．
【详解】由 ，得 ．
由 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．
5.若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【详解】z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），
∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则 =1+i．
故选A．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
6.复数 ，则
A. B. 4 C. 5 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．
【详解】解：z （﹣3+4i）＝3﹣4i，
∴|z| 5，
故选C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7.设函数 在定义域内可导， 的图像如图所示，则导函数 的图像可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.
【详解】由函数 的图象可知，当 时， 单调递减，所以 时， ，符合条件的只有D选项，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.
8.已知函数 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求函数的导数，即可得到结论．
【详解】 ，
，
令 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出 的值是解决本题的关键．
9.设 是定义在［－1，1］上的可导函数， ，且 ，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果.
【详解】因为 ，所以 ，因此 为 上的奇函数和增函数， ，则 ，故选D．
【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
10.已知 为虚数单位，则复数 _______.
【答案】 ．
【解析】
【分析】
直接利用虚数单位 的运算性质得答案.
【详解】 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位 的性质，是基础题．
11.设 ，其中 为虚数单位.若 ，则 在复平面上对应点的坐标为_______.
【答案】 ．
【解析】
分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】 ，
则 在复平面上对应点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.已知函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，那么 ， 的大小关系为_______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
【详解】当 ， 时，平均变化率 ，
当 ， 时，平均变化率 ，
，
陕西省西安市一中2019-2020学年高二数学（理）下学期期中试题（解析版）
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故答案为： .
【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率 ，属于基础题．
13.已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 和 在 上有2个交点，根据函数的单调性求出 的范围，从而求出 的范围即可．
【详解】 ，
若函数 有两个极值点，
则 和 在 上有2个交点，
，
时，即 ， 递增，
时， ， 递减，
故 （1） ，
而 恒成立，所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
14.函数 的图象在点 处切线方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．
【详解】由 ，得 ，
则 ，又 ，所以切线方程为 ，
即 .
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，是基础题．
15.若函数 在 处取得极小值，则 __________．
【答案】
【解析】
求导函数可得 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，函数在 处取得极小值，符合题意；
当 时， ，函数在 处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以 .
三．解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.已知复数 为虚数单位）．
（1）若 ，求 ；
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若 ，即可求 ；
（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求 的取值范围．
【详解】（1） ，
若 ，则 ，得 ，此时 ；
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，
则 且 ，
得 ，即 ，
即 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．
17.求下列函数的导数：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
(1)求积的导数， .
(2)求商 导数， ，由复合函数的导数得 .
【详解】(1)
(2)
.
【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和导数运算法则进行计算即可.
18.函数 上一点 处的切线方程为 ，求 的值.
【答案】
【解析】
【分析】
当 时，代入切线方程， ，
即 ，并且 ，联立方程求 的值.
【详解】 在 上， ，
，
又因为 处的切线斜率为 ， ，
，
.
【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
19.已知函数 .
（1）若函数 ， ，求函数 的单调区间；
（2）若不等式 有解，求 的取值范围.
【答案】（1） 的单调减区间为： ，单调增区间为： ；（2）k>-1
【解析】
【分析】
（1）由题可得
求导得 ，
令 ，由 的单调性得 的单调性．
（2）不等式 有解，则
设 ，求 的最小值，从而求 的取值范围．
【详解】（1）因为 .
所以 .
设 ，则 ，即 在 上单调递增，所以
所以，当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递增.
（2）因为 ， .
所以 .
设 ，则 .
由于 上单调递增，且 .
所以当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增.
所以 .综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导函数解不等式
（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解
（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目．
20.已知函数f（x）＝lnx ．
（1）若a＝4，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2×2）≤3（x1﹣x2）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【解析】
【分析】
(1)将a=4代入f(x)求出f(x)的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;
(2)根据条件将问题转化为 在 , 上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出 的范围;
(3)根据条件将问题转化为 成立问题,令 ,即 成立,再利用函数的单调性证明即可.
【详解】解:(1) 的定义域是 , ,
所以 时, ,
由 ,解得 或 ,
由 ,解得 ,
故 在 和 , 上单调递增,在 , 上单调递减.
(2)由(1)得 ,
若函数 在区间 , 递增,则有 在 , 上恒成立,
即 在 , 上恒成立成立,所以只需 ,
因为函数 在 时取得最小值9,所以 ,
所以a的取值范围为 .
(3)当 时,不等式显然成立,
当 时,因为 , ,所以要原不等式成立,
只需 成立即可,
令 ,则 ,
由(2)可知函数 在 , 递增,所以 ,
所以 成立,
所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2×2)≤3(x1﹣x2).
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题.
山东省济南市2019-2020高二数学下学期期中试题（解析版）
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