江苏省无锡市2019-2020高二数学下学期期末考试备考限时训练（一）（Word版带答案）
江苏省无锡市2019-2020高二数学下学期期末考试备考限时训练（一）（Word版带答案）,高二数学下学期期末训练,江苏,无锡市,莲山课件.
2019-2020学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷
一．单择题（共8小题）.
1．若复数z满足（1+i）z＝2i，其中i为虚数单位，则¯z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且(AP)┴→=(AD)┴→+x (AB)┴→+y (AA_1)┴→，则实数x+y的值为（ ）
A．-3/2 B．-1/2 C．1/2 D．3/2
3．函数f（x）＝3x﹣4×3（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A．1 B．1/2 C．0 D．﹣1
4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（ ）
A．1/3 B．1/18 C．1/6 D．1/9
5．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）＝x+tanx B．f（x）＝x+sin2x
C．f（x）＝x-1/2sin2x D．f（x）＝x-1/2cosx
6．已知下表所示数据的回归直线方程为y┴^=4x-4，则实数a的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A．16 B．18 C．20 D．22
7．已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{1/(f(n))}的前n项和为Sn，则S2020的值为（ ）
A．2020/2021 B．2019/2020 C．2018/2019 D．2017/2018
8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（ ）
A．3/32 B．15/64 C．5/32 D．5/16
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．BC1∥平面AQP
B．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
C．A1D⊥平面AQP
D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°
11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（ ）
A．a2＝180
B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310
C．a1+a2+…+a10＝1
D．a_1/2+a_2/2^2 +a_3/2^3 +⋯+a_10/2^10 =-1
12．已知a＞b＞1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．aea＞beb B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．bea＞aeb
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种．
14．设(x-2/√x )^6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则a/b的值为 ．
15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．
16．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f”（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f’（x）的导数，若方程f”（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题：
若已知函数f（x）＝x3-3/2 x^2+3x-1/4，则f（x）的对称中心为 ；计算f(1/2021)+f(2/2021)+f(3/2021)+⋯+f(2020/2021)= ．
四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．在等差数列{an}中，a4＝1，a7＝﹣5，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）现从{an}的前10项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．
从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．
条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；
条件②：若从10个数中一次取出三个数．
18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．
（1）证明：BD⊥平面ACDE；
（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．
19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+asinx（k，a为实数）．
（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；
（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．
20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在A点命中的概率为3/4，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为4/5，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次．
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ的分布列和数列期望．
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．
21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：
得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解 合计
男性
女性
合计
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
附：K2=(n(ad-bc)^2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，（n＝a+b+c+d）．
临界值表：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
22．已知函数f（x）=(1+lnx)/x-a（a∈R）．
（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）设g（x）＝（x﹣1）2ex，当a＝0时，若t（x）＝f（x）﹣g（x），求t（x）零点的个数．
参考答案
一．单择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若复数z满足（1+i）z＝2i，其中i为虚数单位，则¯z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i
【分析】通过化简求出z，从而求出z的共轭复数即可．
解：∵（1+i）z＝2i，
∴z=2i/(1+i)=i（1﹣i）＝1+i，
则¯z=1﹣i，
故选：A．
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且(AP)┴→=(AD)┴→+x (AB)┴→+y (AA_1)┴→，则实数x+y的值为（ ）
A．-3/2 B．-1/2 C．1/2 D．3/2
【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果．
解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，
所以(AP)┴→=1/2((〖AD〗_1)┴→+(〖AC〗_1)┴→)=1/2((AD)┴→+(〖AA〗_1)┴→)+1/2((AB)┴→+(AD)┴→+(〖AA〗_1)┴→)=(AD)┴→+1/2 (AB)┴→+(〖AA〗_1)┴→=(AD)┴→+x (AB)┴→+y (AA_1)┴→，
所以x=1/2，y=1，
故x+y=3/2．
故选：D．
3．函数f（x）＝3x﹣4×3（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A．1 B．1/2 C．0 D．﹣1
【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．
解：f’（x）＝3﹣12×2＝3（1﹣2x）（1+2x）
令f’（x）＝0，解得：x=1/2或-1/2（舍去）
当x∈（0，1/2）时，f’（x）＞0，当x∈（1/2，1）时，f’（x）＜0，
∴当x=1/2时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（1/2）＝1
故选：A．
4．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（ ）
A．1/3 B．1/18 C．1/6 D．1/9
【分析】P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．
解：由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．
∵抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4，基本事件有2×6＝12个，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有2个，
∴P（B|A）=2/12=1/6．
故选：C．
5．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）＝x+tanx B．f（x）＝x+sin2x
C．f（x）＝x-1/2sin2x D．f（x）＝x-1/2cosx
【分析】函数f（x）＝x+tanx的定义域为{x|x≠π/2+kπ，k∈Z}，不合题意；而由图象可知，f（0）＝0，f(π/4)＜1，可排除BD，由此选C．
解：由图象可知，函数的定义域为R，故排除A；
又f（0）＝0，故排除D；
若选择B，则f(π/4)=π/4+sin π/2=π/4+1＞1，与图象不符．
故选：C．
6．已知下表所示数据的回归直线方程为y┴^=4x-4，则实数a的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A．16 B．18 C．20 D．22
【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样本中心点求出¯y的值，从而求出a的值．
解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：
¯x=1/5×（2+3+4+5+6）＝4，
由回归直线经过样本中心点，
得¯y=4×4﹣4＝12，
即¯y=1/5×（3+7+11+a+21）＝12，
解得a＝18．
故选：B．
7．已知函数f（x）＝x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{1/(f(n))}的前n项和为Sn，则S2020的值为（ ）
A．2020/2021 B．2019/2020 C．2018/2019 D．2017/2018
【分析】求得f（x）的导数，将x＝1代入可得切线的斜率，解得b＝1，可得f（n）＝n2+n，1/(f(n))=1/(n^2+n)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
解：函数f（x）＝x2+bx的导数为f′（x）＝2x+b，
可得f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+b＝3，解得b＝1，
则f（x）＝x2+x，即f（n）＝n2+n，
1/(f(n))=1/(n^2+n)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，
S2020＝1-1/2+1/2-1/3+⋯+1/2020-1/2021=1-1/2021=2020/2021．
故选：A．
8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为（ ）
A．3/32 B．15/64 C．5/32 D．5/16
【分析】用小球落入③球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概率．
解：由题可知：小球落入③号球槽有C〖_5^2〗=10种情况，小球落入下方球槽共有25＝32，
∴小球最终落③号球槽的概率为10/32=5/16．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5
【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果．
解：对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍．故错误．
对于选项B：若有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，故y＝3﹣5（x+1）＝3﹣5x﹣5．故y平均减少5个单位，正确．
对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误．
对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x＝1对称，则P（ξ＞1）＝0.5，正确．
故选：BD．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．BC1∥平面AQP
B．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
C．A1D⊥平面AQP
D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°
【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面的判定的应用求出结果．
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，
如图所示：
①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，
所以PQ∥BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1∥平面APQ，故选项A正确．
②对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1∥PQ，D1Q＝AP，所以：平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故正确．
③对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP，错误．
④对于选项D：PQ∥BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°．故正确．
故选：ABD．
11．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（ ）
A．a2＝180
B．|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310
C．a1+a2+…+a10＝1
D．a_1/2+a_2/2^2 +a_3/2^3 +⋯+a_10/2^10 =-1
【分析】分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，即可判断答案．
解：（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
其通项公式为：Tr+1=∁_10^r•（2x）10﹣r•（﹣1）r；令x＝0可得：a0＝1；
所以：a2为x2的系数；故a2=∁_10^2•22•（﹣1）8＝180成立；
由二项式定理可得：x的偶次项系数为正，奇次项系数为负；
故令x＝﹣1可得：|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|＝310；即B对；
令x＝1可得a0+a1+a2+…+a10＝1；
∴a1+a2+…+a10＝0；即C错；
令x=1/2可得：（2×1/2-1）10＝0＝a0+1/2a1+1/2^2 a2+⋯+1/2^10 a10，
∴1/2a1+1/2^2 a2+⋯+1/2^10 a10＝0﹣a0＝﹣1；故D对；
故选：ABD．
12．已知a＞b＞1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．aea＞beb B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．bea＞aeb
【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数 f(x)=xe^x，g(x)=lnx/x，h(x)=xlnx，k(x)=e^x/x，根据这些函数在 （1，+∞） 的单调性可得结果．
解：设 f（x）＝xex，x＞1，则 f′（x）＝（x+1）ex＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递增，
故 f（a）＞f（b），即 aea＞beb，故A正确；
设 g(x)=lnx/x，x＞1，则 g'(x)=(1-lnx)/x^2 ，函数在 （1，e） 上单调递增，在 （e，+∞） 上单调递减，
故当 1＜b＜a＜e 时，g（a）＞g（b），即 lna/a＞lnb/b，故 alnb＜blna，故B错误；
设 h（x）＝xlnx，x＞1，则 h′（x）＝lnx+1＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，
故函数单调递增，故h（a）＞h（b），即 alna＞blnb，故C正确；
设 k(x)=e^x/x(x＞1)，则 k'(x)=(e^x (x-1))/x^2 ＞0 在 （1，+∞） 上恒成立，故函数单调递增，
故 k（a）＞k（b），
江苏省无锡市2019-2020高二数学下学期期末考试备考限时训练（二）（Word版带答案）
江苏省无锡市2019-2020高二数学下学期期末考试备考限时训练（二）（Word版带答案）,高二数学下学期期末训练,江苏,无锡市,莲山课件.
即 e^a/a＞e^3/b，故 bea＞aeb，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 72 种．
【分析】利用捆绑法，结合排列知识可得结论．
解：因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，所以由捆绑法，可得A_3^3 A_3^3 A_2^2=72．
故答案为：72．
14．设(x-2/√x )^6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则a/b的值为 4 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数，再根据x3的系数为a，二项式系数为b，求得a、b的值，可得a/b的值．
解：(x-2/√x )^6的展开式的展开式通项公式为T_(k+1)=C_6^k x^(6-k) (-2x^(-1/2) )^k=(-2)^k C_6^k x^(6-3/2 k)，
令6-3/2 k=3，得k＝2，即T_(3+1)=(-2)^2 C_6^2 x^3=60x^3即系数为a＝60，
二项式系数为b=C_6^2=15，则a/b=4，
故答案为：4．
15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 3/14 ．
【分析】找两卦中含两根阳线分为两类，一类两阳线来自同一卦，一类两阳线来自两卦，分别求出取法，再找出总取法，相比即可．
解：从八卦中任取两卦有C〖_8^2〗=28种；这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线有C〖_1^1〗C〖_3^1〗+C〖_3^2〗=6，
则两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率P=6/28=3/14
故答案为：3/14．
16．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f”（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f’（x）的导数，若方程f”（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答如下问题：
若已知函数f（x）＝x3-3/2 x^2+3x-1/4，则f（x）的对称中心为 （1/2，1） ；计算f(1/2021)+f(2/2021)+f(3/2021)+⋯+f(2020/2021)= 2020 ．
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1/2，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）＝2，即可得到结论．
解：f（x）＝x3-3/2 x^2+3x-1/4，
则f′（x）＝3×2﹣3x+3，f″（x）＝6x﹣3，
令f″（x）＝0，解得：x=1/2，则f（1/2）＝1
故f（x）的对称中心是（1/2，1），
∴f（x）+f（1﹣x）＝2，
∴f(1/2021)+f(2/2021)+f(3/2021)+⋯+f(2020/2021)
＝f（1/2021）+f（2020/2021）+f（2/2021）+f（2019/2021）+…+f（1010/2021）+f（1011/2021）
＝2×1010＝2020，
故答案为：（1/2，1），2020．
四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．在等差数列{an}中，a4＝1，a7＝﹣5，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）现从{an}的前10项中随机取数，_______，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．
从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．
条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；
条件②：若从10个数中一次取出三个数．
【分析】第一问根据等差数列的概念求出公差d．第二问根据古典概型公式，注意有放回取球的特点．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d．则d=(a_7-a_4)/(7-4)，又已知a4＝1，a7＝﹣5，∴d＝﹣2．
所以，等差数列{an}的通项公式为：an＝﹣2n+9．
（2）由（1）知等差数列{an}的前10项分别为：7、5、3、1、﹣1、﹣3、﹣5、﹣7、﹣9、﹣11．
若选择①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，
∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P=(C_3^1 C_4^2 C_6^1)/(10^3 )=108/1000=0.108
若条件②：若从10个数中一次取出三个数．
∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率：P=(C_4^2 C_6^1)/(C_10^3 )=36/120=0.30
18．在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．
（1）证明：BD⊥平面ACDE；
（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．
【分析】（1）推导出BD⊥CD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACDE．
（2）法一：延长AE，CD相交于G，连接BG，二面角A_BG﹣C就是平面BCD与平面BAE所成二面角．由此能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．
法二：建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．
【解答】证明：（1）在△BCD中，BD2＝4+1﹣2×1×2×cos60°＝3．
∴BC2＝BD2+DC2，∴△BCD为直角三角形，BD⊥CD．
又∵AC⊥平面BCD，∴AC⊥BD．
而AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACDE．
解：（2）方法一：如图延长AE，CD相交于G，连接BG，
则平面AEB∩平面BCD＝BG．
二面角A_BG﹣C就是平面BCD与平面BAE所成二面角．
∵DE∥AC，AC＝2DE，∴DE是△AGC的中位线．
GD＝DC＝1，这样GC＝BC＝2，∠BCD＝60°，△BGC是等边三角形．
取BG的中点为H，连接AH，GH，∵AC⊥平面BCD．
∴∠AHC就是二面角A﹣BG﹣C的平面角．
在Rt△AHC中，AC＝4，GH=√3，
所以sin∠AHC=4/√19=(4√19)/19．
∴平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为(4√19)/19．
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
可得D（0，0，0），B（√3，0，0），C（0，1，0），
E（0，0，2），A（0，1，4）．
(BA)┴→=（-√3，1，4），(EA)┴→=（0，1，2）．
设n┴→=（x，y，z）是平面BAE的法向量，
则{■(n┴→⋅(BA)┴→=-√3 x+y+4z=0@n┴→⋅(EA)┴→=y+2z=0)┤，令z=√3，得n┴→=（2，﹣2√3，√3）．
取平面BCD的法向量为m┴→=（0，0，1）．
设平面BCD与平面BAE所成二面角的平面角为θ，
则|cosθ|=(|n┴→⋅m┴→ |)/(|n┴→ |⋅|m┴→ |)=√3/√19，
∴sinθ=√(1-3/19)=(4√19)/19．
∴平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为(4√19)/19．
19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+asinx（k，a为实数）．
（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；
（2）当k＝4时，若f（x）在一、选择题上单调递增，求a的取值范围．
【分析】（1）求导后，列表得x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；
（2）依题意，4cos2x﹣acosx﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．
解：（1）当k＝0，a＝2时，f（x）＝﹣sin2x+2sinxf′（x）＝﹣2cos2x+2cosx＝﹣4cos2x+2cosx+2＝2（2cosx+1）（1﹣cosx），
则x，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x (0，2π/3) 2π/3 (2π/3，π)
f′（x） + 0 ﹣
f（x） 增函数 极大值 减函数
∴f(x)_最大值=f(2π/3)=(3√3)/2．
（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+acosx≥0对∀x∈R恒成立．
得4cos2x﹣acosx﹣6≤0，
设t＝cosx∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6，
则g（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象{■(g(-1)≤0@g(1)≤0)┤，得﹣2≤a≤2．
20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮．每次投篮之间相互独立．某选手在A点命中的概率为3/4，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为4/5，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次．
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ的分布列和数列期望．
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．
【分析】（1）在A点投篮命中记作A，不中记作¯A；在B点投篮命中记作B，不中记作¯B，求出概率，判断ξ的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解ξ的数学期望．
（2）求出选手选择方案甲通过测试的概率，选手选择方案乙通过测试的概率，即可判断该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．
解：（1）在A点投篮命中记作A，不中记作¯A；在B点投篮命中记作B，不中记作¯B，
其中P(A)=3/4，P(¯A)=1-3/4=1/4，P(B)=4/5，P(¯B)=1-4/5=1/5，…………………
ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则P(ξ=0)=P(¯A ¯B ¯B)=P(¯A)P(¯B)P(¯B)=1/4×1/5×1/5=1/100，…
P(ξ=2)=P(¯A B¯B)+P(¯A ¯B B)=2×1/4×1/5×4/5=8/100，……………………………
P(ξ=3)=P(A)=3/4=75/100，…………………………………………………………P(ξ=4)=P(¯A BB)=P(¯A)P(B)P(B)=1/4×4/5×4/5=16/100．…………………………
ξ的分布列为：
ξ 0 2 3 4
P 1/100 2/25 3/4 4/25
所以E(ξ)=0×1/100+2×8/100+3×75/100+4×16/100=305/100=3.05，
所以，ξ的数学期望为3.05．…………………………………………………………
（2）选手选择方案甲通过测试的概率为P_1=P(ξ≥3)=75/100+16/100=91/100=0.91，
选手选择方案乙通过测试的概率为P2＝P（ξ≥3）=2×1/5×4/5×4/5+4/5×4/5=112/125=896/1000=0.896，…
因为P2＜P1，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．……………………
21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：
得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解 合计
男性
女性
合计
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
附：K2=(n(ad-bc)^2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，（n＝a+b+c+d）．
临界值表：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【分析】（1）计算小区中得分不低于60分的人数，根据古典概型的概率公式计算；
（2）计算四类人数填表，计算观测值K2，与3.841比较得出结论；
（3）计算10人中男女人数，按超几何分布得出分布列和数学期望．
解：（1）小区1000名居民中，得分不低于60分的人数为：130+110+60+30+110+100+40+20＝600，
故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率为P=600/1000=3/5．
（2）2×2联表如下：
不太了解 比较了解 合计
男性 250 330 580
女性 150 270 420
合计 400 600 1000
K2=(1000×(250×270-330×150)^2)/(580×420×400×600)≈5.54，
∵5.54＞3.841，
∴有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．
（3）参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，男性有90人，女性有60人，
若按分层抽样的办法从中抽取10人，则男性人数为10×90/150=6，女性人数为10×60/150=4．
故ξ的可能取值有0，1，2，3．
P（ξ＝0）=(C_4^3)/(C_10^3 )=1/30，P（ξ＝1）=(C_6^1 〖⋅C〗_4^2)/(C_10^3 )=3/10，P（ξ＝2）=(C_6^2 〖⋅C〗_4^1)/(C_10^3 )=1/2，P（ξ＝3）=(C_6^3)/(C_10^3 )=1/6．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P 1/30 3/10 1/2 1/6
E（ξ）＝0×1/30+1×3/10+2×1/2+3×1/6=1.8．
22．已知函数f（x）=(1+lnx)/x-a（a∈R）．
（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）设g（x）＝（x﹣1）2ex，当a＝0时，若t（x）＝f（x）﹣g（x），求t（x）零点的个数．
【分析】（1）变换得到(1+lnx)/x≤a，设F（x）=(1+lnx)/x，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案．
（2）求导得t′（x）=-lnx/x^2 -（x2﹣1）ex，得到函数单调区间，得到t（x）max＝t（1）＝1，且当x→0时，t（x）→﹣∞；当x→+∞时，t（x）→﹣∞，根据零点存在性定理，得到答案．
解：（1）f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，故(1+lnx)/x≤a，设F（x）=(1+lnx)/x，
则F′（x）=(-lnx)/x^2 ，当x∈（0，1）时，函数单调递增，当x∈（1，+∞）时，函数单调递减，
故F（x）max＝F（1）＝1，故a≥1．
（2）a＝0时，t（x）＝f（x）﹣g（x）=(1+lnx)/x-（x﹣1）2ex，则t′（x）=-lnx/x^2 -（x2﹣1）ex，
当x∈（0，1）时，-lnx/x^2 ＞0，﹣（x2﹣1）ex＞0，故t′（x）＞0，函数单调递增，
当x∈（1，+∞）时，-lnx/x^2 ＜0，﹣（x2﹣1）ex＜0，故t′（x）＜0，函数单调递减，
t（x）max＝t（1）＝1，
且当x→0时，t（x）→﹣∞；当x→+∞时，t（x）→﹣∞，
根据零点存在性定理知：函数在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，故函数t（x）有两个零点．
2020年高等学校招生全国统一考试理科数学（全国I）仿真试卷（PDF版解析版）
2020年高等学校招生全国统一考试理科数学（全国I）仿真试卷（PDF版解析版）,全国统一考试数学仿真试卷,莲山课件.
