江西省赣州市高二数学下学期第二次（5月）月考试题 文
注：全卷总分 150 分，考试时间 120 分钟，请按要求作答。
一、选择题。本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．= （ ）
A． 2i B． ﹣2i C． 2 D． ﹣2
2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的 （ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．已知z∈C，若z2+|z|=0，则z= （ ）
A． i B． ±i C． 0 D． 0或±i
4．已知a＞b＞0，则﹣与的大小关系是 （ ）
A． ﹣＞ B． ﹣＜ C．﹣= D． 无法确定
5．已知关于x与y之间的一组数据：
x 2 3 3 6 6
y 2 6 6 10 11
则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点 （ ）
A． （4，7） B． （3.5，6.5） C． （3.5，7.5） D． （5，6）
6、设直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A． 2 B． 1 C． D．
7．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是 （ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
8．不等式x﹣＜1的解集是（）
A． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D．（﹣1，3）
9．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）
A． 两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
10．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60o ”时，假设正确的是
A.假设三内角都不大于 60o B.假设三内角都大于 60o
C.假设三内角至多有一个大于 60o D.假设三内角至多有两个大于 60o
11．不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）
A． （﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D． （﹣∞，0）
12．设x，y，z均大于0，则三个数：x+，y+，z+的值（）
A． 都大于2 B．至少有一个不大于2 C． 都小于2 D．至少有一个不小于2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．复数ω=﹣+i，则在复平面内，复数ω2对应的点在第 象限．
14．，由此猜想出第n（n∈N+）个数是．
15．阅读程序框图，输出的结果s的值为 ．
16．在极坐标系中，极点为O，曲线C1：ρ=6sinθ与曲线C2：ρsin（θ+）=，则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）某地对50人进行运动与性别是否有关测试，其中20名男性中有15名喜欢运动，30名女性中10名喜欢运动．
（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（Ⅱ）判断喜欢运动是否与性别有关？
参考数据：．
临界值表：
P（Χ2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1： （t为参数），C2：（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．
19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性请说明理由．
参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．
其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；
参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．
20．（12分）（1）已知等差数列{an}，（n∈N*），求证：{bn}仍为等差数列；
（2）已知等比数列{cn}，cn＞0（n∈N*）），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
21．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线（θ为参数），过点P（0，2）且斜率为k的直线与曲线C1相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
第二次月考答案
选择题答案：CCDBC ABCCB AD
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1．（5分）=（） A． 2iB．﹣2iC．2D．﹣2解答： 解：原式==2，故选：C．
2．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）
A． 充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件D．既不充分也不必要条件
分析： 考虑“a＞0且b＞0”与“a+b＞0且ab＞0”的互推性．
解答： 解：由a＞0且b＞0⇒“a+b＞0且ab＞0”，反过来“a+b＞0且ab＞0”⇒a＞0且b＞0，
∴“a＞0且b＞0”⇔“a+b＞0且ab＞0”，即“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充分必要条件，故选C
3．（5分）已知z∈C，若z2+|z|=0，则z=（）A． iB．±iC．0D．0或±i
解答： 解：设z=a+bi，（a，b∈R）．
∵z2+|z|=0，∴a2﹣b2+2abi+=0，∴，
解得或．则z=0，或z=±i．故选：D．
4．（5分）已知a＞b＞0，则﹣与的大小关系是（）
A． ﹣＞ B． ﹣＜ C． ﹣= D． 无法确定
分析： 平方作差可得：（）2﹣（）2，化简可判其小于0，进而可得结论
解答： 解：（﹣）2﹣（）2=a+b﹣2﹣a+b=2（b﹣）=2（﹣），
∵a＞b＞0，∴﹣＜0，∴（﹣）2﹣（）2＜0，∴﹣＜，
故选：B．
5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S k 是否继续循环
循环前 100 0/
第一圈100﹣20 1 是
第二圈100﹣20﹣21 2 是
…
第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是
则输出的结果为7．故选C．
点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
6．（5分）已知关于x与y之间的一组数据：
x 2 3 3 6 6
y 2 6 6 10 11
则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（）
A． （4，7） B． （3.5，6.5） C． （3.5，7.5） D． （5，6）
解答： 解：∵=（2+3+3+6+6）=4，=（2+6+6+10+11）=7，
∴本组数据的样本中心点是（4，7），
∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（4，7）
故选：A．
点评： 本题考查线性回归方程必过样本中心点，考查学生的计算能力，这是一个基础题．
7．（5分）设直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（）
A． 2 B． 1 C． D．
分析： 由曲线C1：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数化为=0．求出圆心C1（0，0）到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．
解答： 解：由曲线C1：（θ为参数），化为x2+y2=1，
直线l：（t为参数），消去参数化为y=（x﹣1），即=0．
∴圆心C1（0，0）到直线l的距离d==．∴|AB|=2==1．
8．（5分）不等式x﹣＜1的解集是（）
A． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D．（﹣1，3）
解答： 解：不等式x﹣＜1化为：，
即：，由穿根法可得：不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）
故选：C．
9．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）
A． 两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线
分析： 由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．
解答： 解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，
ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．10．B
11．（5分）不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）
A． （﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）C． （﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D． （﹣∞，0）
解答： 解：①当x＞时，|2x﹣1|+|x+1|=2x﹣1+（x+1）=3x，∴3x＞2，解得x＞，又x＞，∴x＞；
②当﹣1≤x≤时，原不等式可化为﹣x+2＞2，解得x＜0，又﹣1≤x≤，∴﹣1≤x＜0；
③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x＞2，解得x＜﹣，又x＜﹣1，∴x＜﹣1．
综上可知：原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（，+∞）．故选：A．
12．（5分）设x，y，z均大于0，则三个数：x+，y+，z+的值（）
A．都大于2B．至少有一个不大于2 C． 都小于2D．至少有一个不小于2
分析： 举反例否定A，B，C，即可得出答案．
解答： 解：已知x，y，z均大于0，取x=y=z=1，则x+=y+=z+=2，否定A，C．
取x=y=z=，则x+，y+，z+都大于2．故A，B，C都不正确．因此只有可能D正确．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.
13．（5分）复数ω=﹣+i，则在复平面内，复数ω2对应的点在第三象限．
解答： 解：复数ω=﹣+i，复数ω2=﹣﹣i，对应点（﹣，）在第三象限．
点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
14．（5分），由此猜想出第n（n∈N+）个数是．
分析： 根号下由两个数组成，前一个数是首项为2，公差为1的等差数列，后一个数是分数，通项是，从而可猜想第n个数．解答： 解：∵，
∴将根号下的数分成两个数的和，2，3，4…的通项是n+1；
，，…的通项是∴由此猜想第n个数为．
故答案为：．
15．（5分）阅读程序框图，输出的结果s的值为．
分析： 由2011除以6余数为1，根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，得出6个一循环，可得出所求的结果．
解答： 解：∵2011÷6=335…1，
∴根据程序框图转化得：
sin+sin+sinπ+…+sin
=（++0﹣﹣+0）+（++0﹣﹣+0）+…+（++0﹣﹣+0）+
=．故答案为：
16．（5分）在极坐标系中，极点为O，曲线C1：ρ=6sinθ与曲线C2：ρsin（θ+）=，则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为．
分析： 把已知曲线极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可得出．
解答： 解：曲线C1：ρ=6sinθ化为：ρ2=6ρsinθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=6y，配方为x2+（y﹣3）2=9．
曲线C2：ρsin（θ+）=，展开为=，化为直角坐标方程为：x+y﹣2=0．
圆心（0，3）到直线的距离d==．
则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为．故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）某地对50人进行运动与性别是否有关测试，其中20名男性中有15名喜欢运动，30名女性中10名喜欢运动．
（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（Ⅱ）判断喜欢运动是否与性别有关？
参考数据：．
临界值表：
P（Χ2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
考点： 独立性检验的应用．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据所给数据得到列联表．
（Ⅱ）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有99.5%的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”．
解答： 解：（Ⅰ）建立2×2列联表
喜欢运动 不喜欢运动 合计
男性 15 5 20
女性 10 20 30
合计 25 25 50
…（5分）
（Ⅱ）…（8分）
故有99.5%的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”…（10分）
点评： 独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过Χ2的观测值与临界值的比较解决的．
18．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1： （t为参数），C2：（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．
分析： （Ⅰ）曲线C1： （t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．
（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）曲线C1： （t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，
∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．
C2：（θ为参数），化为．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，
直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，
M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，
从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．
点评： 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．
其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；
参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．
分析： （Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；
（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．
解答： 解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，
女生应抽取（人），男生应抽取（人）；…（4分）
（Ⅱ）变量y与x的相关系数是
r===≈0.99；…（6分）可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）
【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，
从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以物理与数学成绩是高度正相关；】
设y与x的线性回归方程是，
根据所给的数据，可以计算出
b===0.66，
a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）
所以y与x的回归方程是．…（12分）
20．（12分）（1）已知等差数列{an}，（n∈N*），求证：{bn}仍为等差数列；
（2）已知等比数列{cn}，cn＞0（n∈N*）），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
分析： （1）由求和公式可得bn==，进而可得bn+1﹣bn为常数，可判为等差数列；
（2）类比命题：若{cn}为等比数列，cn＞0，（n∈N*），dn=，则{dn}为等比数列，只需证明为常数即可．
解答： 解：（1）由题意可知bn==，
∴bn+1﹣bn=﹣=，
∵{an}等差数列，∴bn+1﹣bn==为常数，（d为公差）
∴{bn}仍为等差数列；
（2）类比命题：若{cn}为等比数列，cn＞0，（n∈N*），
dn=，则{dn}为等比数列，
证明：由等比数列的性质可得：dn==，
故==为常数，（q为公比）
故{dn}为等比数列
点评： 本题考查等差数列的定义，涉及类比推理和等比数列的定义，属中档题．
21．（12分）（选修4﹣5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
分析： （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得 a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线（θ为参数），过点P（0，2）且斜率为k的直线与曲线C1相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．
专题： 直线与圆．
分析： （Ⅰ）曲线C1的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，代入曲线C1的方程可得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△＞0，解出即可．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，与共线等价于﹣2（x1+x2）=6（y1+y2），利用根与系数的关系代入解出即可判断出．
解答： 解：（Ⅰ）曲线C1的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，
过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，
代入曲线C1的方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，
整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，
解得，即k的取值范围为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
由方程①，，②
又y1+y2=k（x1+x2）+4，③
而，
∴与共线等价于﹣2（x1+x2）=6（y1+y2），
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．
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