陕西省2020届高三数学（文）下学期第二次质量检测试题（解析版）
陕西省2020届高三数学（文）下学期第二次质量检测试题（解析版）,高三数学下学期第二次质检试题,陕西省,莲山课件.
陕西省2020届高三年级第三次联考
文科数学
一、选择题
1.全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合 、 ，再利用集合的交、补运算即可求解.
【详解】 ，
， ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题.
2.已知复数 （ 为虚数单位），则在复平面内 所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，求得复数 ，再结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数 ，
则在复平面内 所对应的点为 ，在第一象限.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.
3.已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. 5 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量共线的坐标表示可得 ，进而求出 ，再利用向量的线性坐标运算以及向量模的坐标求法即可求法.
【详解】由题得 ． ，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示、向量模的坐标表示，属于基础题.
4.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ，问题求的是 ，
首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出 的可能性有多少种，然后求出 .
【详解】设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有 种情况，
当 时，可能的情况如下表：
个数
1 1，2，3，4，5 5
2 2，3，4，5 4
3 3，4，5 3
4 4，5 2
5 5 1
，故本题选C.
【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.
5.命题“存在 ， 的否定是（ ）
A. 不存 ，
B. 存在 ，
C. 对任意的 ，
D. 对任意的 ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项.
【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有D选项符合.
故选D.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.
6.设函数 ，则 （ ）
A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】∵函数 ，
∴ =2+9=11．
故选B．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
7.设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A. 若 与 所成的角相等，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A项中两直线 还可能相交或异面,错误；
B项中两直线 还可能相交或异面,错误；
C项两平面 还可能是相交平面，错误；
故选D.
8.已知 ， ，则 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和同角三角函数关系可将 化为关于正余弦的齐次式，分子分母同时除以 可构造出关于 的方程，解方程求得 ；根据 的范围可得 的范围，从而得到结果.
【详解】
解得： 或
本题正确选项：
【点睛】本题考查正余弦齐次式的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数关系的应用；易错点是忽略角所处的范围，从而出现增根.
9.抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题转化为求 的最小值，根据抛物线的定义可知 ，即求 的最小值，当 、 、 三点共线时， 最小，由 即可求解.
【详解】由抛物线为 可得焦点坐标 ，准线方程为 ．
由题可知求 周长的最小值．即求 的最小值．
设点 在准线上的射影为点 ．
则根据抛物线的定义．可知 ．
因此求 的最小值即求 的最小值．
根据平面几何知识，当 、 、 三点共线时， 最小．
所以 ．
又因为 ，
所以 周长的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线 定义，考查了转化与化归的思想，属于基础题.
10.若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
令 ，则问题转化为不等式 在 上恒成立，即 ，应选答案B．
11.若函数 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则求出此函数的导函数 ，由单调性只需 恒成立，根据二次函数的图像与性质只需 即可求解.
【详解】 ，
由题意 恒成立．
， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.
12.设 、 是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，若 ， ， ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得 ，配方可得 ，从而利用双曲线的定义可求出 ，进而利用 求出 ，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程.
【详解】由题意可得 ， ，
可得 ，可得 ， ，
可得渐近线方程为 ．
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.
二、填空题
13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
首先作出约束条件的可行域，将目标函数转化为 ，数形结合即可求解.
【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：
目标函数 ，可化为直线 ，
当 经过点 时，直线在 轴上的截距最大．
此时目标函数取得最大值，
又由 ，解得 ， ，即 ，
所以目标函数的最大值为 ．
故答案为：5
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的几何意义，属于基础题.
14.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按 ， ， ， ， 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 ， ， 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.
【答案】600
【解析】
【分析】
先根据频率分布直方图求出 的值，然后利用等差数列的性质求出 ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可．
【详解】 ，
又由频率分布直方图可得 ，
，故消费金额超过150元 频率为 ，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为 ，故答案为600.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．
15.甲船在岛 的正南 处， ，甲船以每小时 的速度向正北方向航行，同时乙船自 出发以每小时 的速度向北偏东 的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____ .
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值.
【详解】假设经过 小时两船相距最近，甲、乙分别行至 ， ，
如图所示，可知 ， ， ，
．
当 小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为 ．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.
16.已知正方体 的棱长为 为 的中点，若 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据线面垂直的条件先确定平面 ，再根据截面形状求周长即可得解.
【详解】在正方体 中， ， ，
陕西省2020届高三数学（理）下学期第二次质量检测试题（解析版）
陕西省2020届高三数学（理）下学期第二次质量检测试题（解析版）,高三数学下学期第二次质检试题,陕西省,莲山课件.
面 ， ，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
易知 ，
由 面 可得 ， 面 ， ，
面 ，取 的中点 ，由 可知点 在面 上，
平面 截正方体所得截面为 ，
由正方体棱长为2易得截面周长为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.
三、解答题
（一）必考题
17.如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，点 、 分别为 、 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取 中点 ，连接 ， ，利用中位线证出四边形 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）根据题意可得 平面 ，再利用线面垂直的判定定理证出 平面 ，从而可得点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，由 ，根据三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ．
在 中，有 ， 分别为 、 中点，
，且
在矩形 中， 为 中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
而 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 平面 ．
平面 平面 ， 平面 ，
， ，
， ，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离．
而 ，
，
三棱锥 的体积为 ．
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式，考查了学生的逻辑推理能力，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.
18.已知数列 满足 ， ， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的定义可以证明；
（2）由（1）可求 的通项公式，结合 可得 ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.
【详解】证明：（1）∵ ，∴ .
又∵ ，∴ .
又∵ ，
∴数列 是首项为2，公比为4的等比数列.
解：（2）由（1）求解知， ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宜传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
x（万元） 2 4 5 3 6
y（单位：t） 2.5 4 4.5 3 6
（1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程.
（2）已知这种产品的年利润 （万元）与x，y的关系为 根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，预测该产品的年销售量及年利润；
②估计该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值.
附：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 .
参考数据： .
【答案】（1） ；（2）①约为22.5万元，②0.35.
【解析】
【分析】
（1）由已知求得 与 的值，则线性回归方程可求；
（2）①在（1）中求得的线性回归方程中，取 求得 值，进一步得到年利润 的预报值；
②写出年利润与年宣传费的比值的函数式，利用基本不等式求最值．
【详解】（1） .
设y关于x的线性回归方程为 ，
则 ,
故y关于x的线性回归方程为 .
（2）①由（1）知，当 时，
，则该产品的年销售量约为 ,
，则该产品的年利润约为22.5万元.
② ，
.
,
当且仅当 ,即 时取等号，
，
该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值为0.35.
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
20.已知函数 ， . .
（1）求函数 的极值点；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值点 ，无极小值点.（2）
【解析】
分析】
(1)对函数对 分情况求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值；（2）由条件可得 恒成立，则当 时， 恒成立，令 ，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无极值点，
当 时，解 得 ，解 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 有极大值点 ，无极小值点.
（2）由条件可得 恒成立，
则当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，
则当 时， ，所以 在 上为减函数.
又 ，所以在 上， ；在 上， .
所以 在 上为增函数；在 上为减函数.
所以 ，所以 .
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
21.已知椭圆 的离心率 ， 是椭圆 上一点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为 ，且直线 交椭圆 于 、 两点，点 关于原点的对称点为 ，点 是椭圆 上一点，判断直线 与 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1） （2）是定值，0
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知 ，解方程组即可求出 、 ，即可求解.
（2）设直线 的方程为 ，代入椭圆 ，设点 、 ，可得点 ，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.
【详解】（1）由题意知 ，
又离心率 ，所以 ，
于是有 ，
解得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ；
（2）由于直线 的斜率为 ．可设直线 的方程为 ，
代入椭圆 ，可得 ．
由于直线 交椭圆 于 、 两点，
所以 ，
整理解得 ．
设点 、 ，由于点 与点 关于原点对称，
故点 ，于是有 ， ．
设直线 与 的斜率分别为 ， ，由于点 ，
则
，
又 ， ．
于是有
，
故直线 与 的斜率之和为0，即 ．
【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.
（二）选考题
[选修4—4：坐标系及参数方程]
22.
已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于点 （不同于原点），与直线 交于点 ，求 的值.
【答案】（1） : ; : ;（2） .
【解析】
【分析】
(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将 分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴曲线C的直角坐标方程为 ．
∵直线l的参数方程为 （t为参数），∴ ．
∴直线l的极坐标方程为 ．
（2）将 代入曲线C的极坐标方程 得 ，
∴A点的极坐标为 ．
将 代入直线l的极坐标方程得 ，解得 ．
∴B点的极坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．
[选修4—5，不等式选讲]
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2） ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；
（2）去绝对值得 ，对于 恒成立，设 ，只需 即可得解.
【详解】（1） 可化为 ，
∴ 或 或 ，
分别解得 或 或无解.
所以不等式的解集为 .
（2）由题意： ， .
设 ，要想 ， 成立，只需 ，
∵ ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
∴ ，∴ 取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.
陕西省2020届高三理科数学第三次联考试题（解析版）
陕西省2020届高三理科数学第三次联考试题（解析版）,高三数学第三次联考试题,陕西省,莲山课件.
