山东省滨州市2020届高三数学二模试题（解析版）
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2020年高三校际联合考试
数学试题
2020.05
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数和反比例函数的性质，求得集合 ， ，结合集合的交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
集合 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据对数函数和反比例函数的性质，正确求解集合 是解答的关键，着重考查了计算能力.
2.在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出复数z,再求 得解.
【详解】由题得z=1-i ,
所以 .
故选C
【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推.例如3266用算筹表示就是 则7239用算筹可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由算筹含义直接求解
【详解】由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式
答案：C
【点睛】本题容易，只需找出规律即可求解.
4.设m，n为非零向量，则“存在正数 ，使得 ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，存在正数 ，使得 ，所以 ， 同向，所以 ，即充分性是成立的，
反之，当非零向量 夹角为锐角时，满足 ，而 不成立，即必要性不成立，
所以“存在正数 ，使得 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
5.设 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【详解】先分析四个答案，A举一反例 ， 而 ，A错误，B举同样反例 ， ，而 ，B错误，
D选项， 故D错，
下面针对C进行研究， 是等差数列，若 ，则 设公差为 ，则 ，数列各项均为正，由于 ，则 ，
故选C.
考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.
6.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 4 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
设椭圆的长半轴长为 ,双曲线的半实轴长 ，焦距 ，根据椭圆及双曲线的定义可以用 表示出 ,在 中根据余弦定理可得到 的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，
则根据椭圆及双曲线的定义 ， ，
设 ，
则在 中由余弦定理得 ，
化简 ，该式变成 ，
故选：C.
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义以及椭圆与双曲线的离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
7.已知函数 ，若 恒成立，则实数m的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将二次函数化为 ，对m分 ， ， 三种情况，分别讨论恒成立的条件，再求并集，可得选项.
【详解】 ，
（1） ， 恒成立等价于 或 恒成立，
即 或 （不合题意，舍去）恒成立；
即 ，解得 ，
（2） 恒成立，符合题意；
（3） ， 恒成立等价于 （不合题意，舍去）或 恒成立，等价于 ，解得 .
综上所述， ，
故选：A.
【点睛】本题考查二次函数中的不等式恒成立问题，注意运用因式分解，得出讨论的标准，属于中档题.
8.已知函数 ，若方程 的解为 ， （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解 在区间 上的对称轴可得 ，结合三角函数的对称性可知 ，再代入 ，再结合 与 求解即可.
【详解】函数 的对称轴满足： （ ），
即 （ ），令 可得函数在区间 上 一条对称轴为 ，
结合三角函数的对称性可知 ，则： ，
由题意： ，且
, ，由同角三角函数基本关系可知： .
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据三角函数的性质求解三角函数值的问题,需要利用对称性得到 ,再结合三角函数图像分析得到关于 的等式以及取值范围代入求解.属于中档题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9.某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B. 支出最高值与支出最低值的比是
C. 第三季度平均收入为60万元
D. 利润最高的月份是2月份
【答案】AB
【解析】
【分析】
通过折线图信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】解：根据折线图可知，
对于A，2至3月份的收入的变化率为 20，
11至12月份的变化率为 20，所以变化率相同，故A正确；
对于B，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，
故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故B正确；
对于C，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，
故第三季度的平均收入为 50万元，故C错误；
对于D，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，
高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，故D错误．
故选：AB.
【点睛】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题．
10.如图，在长方体 中， ， ，M，N分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A. A、M、N、B四点共面
B. 平面 平面
C. 直线 与 所成角的为60°
D. 平面
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据长方体的结构特征，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】如图所示，对于A中，直线 是异面直线，故A、M、N、B四点不共面，故A错误；
对于B中，在长方体 中，可得 平面 ，
所以平面 平面 ，故B正确；
对于C中，取 的中点O，连接 、 ，可知三角形 为等边三角形，故C正确；
对于D中，因为 平面 ，显然 与平面 不平行，故D错误.
故选：BC
【点睛】本题主要考查了以长方体为载体的线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记长方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
11.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是周期为 的奇函数 B. 在 上为增函数
C. 在 内有21个极值点 D. 在 上恒成立的充要条件是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导函数零点判定选项C错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确.
【详解】 的定义域为R， ，
是奇函数，
但是 ，
不是周期为 的函数，故选项A错误；
当 时， ，
， 单调递增，
当 时， ，
， 单调递增，
且 在 连续，故 在 单调递增，
故选项B正确；
当 时， ， ，
令 得， ，
当 时， ， ，
令 得， ,
因此， 在 内有20个极值点，故选项C错误；
当 时， ，则 ，
当 时， ，
设 ， ，
令 ，
， 单调递增，
，
， 在 单调递增，
又由洛必达法则知：
当 时，
，故答案D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.
12.若实数x，y满足 则下列关系式中可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
构造函数 ，得出函数 都是单调递增函数，结合图象，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，实数 满足 ，可化为 ，
设 ，
由初等函数的性质，可得 都是单调递增函数，
画出函数 的图象，如图所示，
根据图象可知，当 时， ；当 时， ，
当 时， ，所以 成立；
当 时， ，所以B不正确；
当 时， 可能成立，所以C正确；
当 时，此时 ，所以 可能成立，所以是正确的.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中结合指数函数的性质，画出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线 的斜率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程，根据弦长可知直线 经过圆的圆心，进而由两点坐标求得直线的斜率.
【详解】圆 ，化为标准方程可得 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
直线 被圆截得的弦长为 ，即弦长为直径，所以直线 经过圆心，
又因为直线 过点 ，
所以由两点间斜率公式可知 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，两点间斜率公式的应用，属于基础题.
14.某学校在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师各至少一名，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）.
【答案】
【解析】
【分析】
从9名教师中选取5人，总的方法为 ，选择全都是女教师的情况为 ，相减即为男、女教师各至少一名的选取种数.
【详解】在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，总的方法为 ，
选择全都是女教师的情况为 ，
所以男、女教师各至少一名的选取种数为
种，
故答案为： .
【点睛】本题考查了组合数的实际引用，由总数减去不符合要求的即为所求，属于基础题.
15.设函数 ，点 （ ）， 为坐标原点，设向量 ，若向量 ，且 是 与 的夹角，记 为数列 的前n项和，则 _________， __________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据向量线性运算，化简 ，即可由斜率定义及所给函数解析式求得 的值；根据斜率，表示出 ，结合等比数列求和公式即可得解.
【详解】向量 ，
由向量的线性运算可知 ，
所以 ，
函数 ，点 （ ），
所以 ，即 .
为坐标原点，向量 ， 是 与 的夹角，
根据斜率定义可知， ;
为数列 的前n项和，
则
由等比数列求和公式可得
，
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，直线的斜率公式应用，等比数列求和公式的应用，综合性强，
山东省2020届高三数学高考模拟试题（解析版）
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属于中档题.
16.已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以 为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，画出几何关系图形，结合图形即可知球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，且每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形，即可求得三段弧长的和.
【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，
每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形，
所以 ，
则所有弧长和为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了正方体与球的截面问题，关键是理解截面与球的关系，弧与球心的位置关系，属于中档题.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知数列 满足 ， ，设 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的定义，可得 是等差数列，进而求出通项公式；
（2）由已知求出 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前 项和.
【详解】方法一：（1）因为 且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 是以2为首项，以2为公差的等差数列.
所以 .
（2）由（1）及题设得， ，
所以数列 的前 项和
.
方法二：（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以 是以2为首项，以2为公差的等差数列.
所以 .
（2）略，同方法一.
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，注意辅助数列的应用，属于中档题.
18.在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________， ， .
（1）求角B；
（2）求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）选① ，直接利用余弦定理即可求解，选② ，利用正弦定理可得 求解即可，选③ ，利用辅助角公式化简求解即可；
（2）由正弦定理求出 ，直接利用三角形面积公式求解.
【详解】若选择① ，
（1）由余弦定理
因为 ，所以
（2）由正弦定理 得 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 .
若选择②
（1）由正弦定理得
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）同上
若选择③
（1）由和角公式得 ，所以 .
因为 ，所以 ,
所以 ，所以 ；
（2）同上.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，考查了推理运算能力，属于中档题.
19.如图所示的四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， ，M，N分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取 中点E，连接 ， ，利用平行四边形可证 ，由 知 ，可证 ，故可证 ；
（2）根据 即为直线 与平面 所成的角，可求出 ，分别以 ， ， 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.
【详解】（1）证明：取 中点E，连接 ， ，
因为M，N，E分别为 ， ， 的中点，
， ，
所以 是平行四边形，故 ，
因为 ，所以
又因为 ， ，
，所以平面 .
因为 ，E为中点，所以 ，
所以 ，
所以 ；.
（2）因为 ，所以 为 在平面 内的射影，
所以 即为直线 与平面 所成 角，
则 ，即 ，
因为 ， ，
分别以 ， ， 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，则 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，则 ， ，即 ，
取平面 的法向量 ，
所以 ，
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查了线面垂直 判定，面面垂直的判定与性质，线面角，二面角的向量求法，考查了空间想象力，推理能力，属于中档题.
20.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如下表
年月 2019.11 2019.12 2020.1 2020.2 2020.3 2020.4
x 1 2 3 4 5 6
y 9 11 14 13 18 19
（1）观察数据，可用线性回归模型拟合y与x 关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年6月份的市场占有率；
（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车投入市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲、乙两款车型，报废年限不相同.考虑到公司的经济效益，该公司决定先对这两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命统计如下表：
报废年限
车辆数
车型 1年 2年 3年 4年 总计
甲款 10 40 30 20 100
乙款 15 35 40 10 100
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据： ， ， ， .
参考公式，相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
【答案】（1）见解析（2） ；2（3）选择乙款车型
【解析】
【分析】
(1)由相关系数公式求得y与x之间相关系数，由相关系数接近1可得y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行；
(2) 由已知分别求出 与 的值，可得线性回归方程;
(3)分别列出甲款单车的利润x与乙款单车的利润y的分布列，求得期望，比较大小得结论.
【详解】（1）由参考数据可得 ，接近1，
∴y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合：
（2）∵ ， ，
， ，
∴y关于x的线性回归方程为 .
2020年6月份代码 ，代入线性回归方程得 ，于是2020年6月份的市场占有率预报值为2
（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为
X -500 0 500 1000
P 0.1 0.4 0.3 0.2
（元）.
乙款单车 利润Y的分布列为
Y -300 200 700 1200
P 0.15 0.35 0.4 0.1
（元），
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型.
【点睛】本题主要考查线性相关系数及线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查计算能力，属于中档题.
21.在平面直角坐标系 中，抛物线C： （ ）的焦点为
（1）动直线l过F点且与抛物线C交于M，N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为M1，点E在 上，且满足 连接 并延长交y轴于点D， 的面积为 ，求抛物线C的方程及D点的纵坐标；
（2）点H为抛物线C准线上任一点，过H作抛物线C的两条切线 , ，切点为A，B，证明直线 过定点，并求 面积的最小值.
【答案】（1） ；（0，4）（2）证明见解析，面积最小值为4
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标，可得抛物线的方程 ,设 ，由向量共线定理可得 ,求得M的坐标，代入抛物线方程可得 ，即可求解；
（2））设点 ， ， ，根据导数的几何意义，求得抛物线在A, B处的切线的方程，由两点确定一直线可得AB的方程，进而得到恒过定点F,再讨论t=0, ，写出 即可求最值.
【详解】（1）因为 ，所以抛物线C： ，
设 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
又因为 ， ，推出 ，
M在抛物线C上， ，
解得 ，故 D（0,4）
（2）设点 ， ， .
由C： ，
即 ，得 ，
所以抛物线C： 在点 处的切线 的方程为 ，
即 ，
因为 ， ，
因为 在切线 上，
所以 ①
同理 ②；
综合①②得，点 ， 的坐标满足方程 ，
即直线 恒过抛物线焦点 .
当 时，此时 ，可知 ，
当 时，此时直线 的斜率为 ，得 ，
于是 ，而 ，
把直线 代入C： 中，消去x得 ， ，
即 ，
当 时， 最小，且最小值为4.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线的相切的条件，向量共线的坐标表示和直线恒过定点的求法，三角形的面积的最值求法，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.
22.已知函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，对 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，设 .若正实数 ， 满足 ， ， ，证明： .
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导后，分别在 和 两种情况下根据导函数的正负求得函数的单调区间；
（2）通过分离变量得到 ，令 ，利用导数可求得 最大值，由此得到 ；
（3）设 ，以 为变量，令 ，通过判断导函数的正负可确定 在 上单调递增，得到 ，从而得到结论.
【详解】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
①当 时， ，即 恒成立，
函数 的单调递增区间为 ；无单调递减区间；
②当 时，令 ，
解得： ， ，可知 ，
当 和 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
综上所述：①当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
②当 时，函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2） 对 恒成立，即为对任意的 ，都有 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，又 ，
∴当 时， ，即 ， 单调递增；
当 ， ，即 ， 单调递减，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 .
（3）证明：当 时， ，
不妨设 ，以 为变量，令 ，
则
且 ，
，即 ，又 为增函数，
；
， ， 在 上单调递增，
， ，
即 .
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调区间的讨论、恒成立问题的求解、构造函数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数单调性的求解问题，通过求解函数单调性得到函数值的大小关系，进而整理得到不等式.
宁夏银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校2020届高三数学（文）6月高考模拟试卷（解析版）
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