河南省洛阳市2019-2020高二数学（文）下学期期末检测试题（Word版附答案）
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2020年南阳春期六校第二次联考
高二年级数学试题（理科）
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4. 本卷命题范围：北师大版选修2-2（50%），选修2-3第一章、第二章（50%）.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若函数 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既刮东风又下雨的概率为 ，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ）
A. 11 B. 12 C. 18 D. 36
5. 5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲，乙均不与丙相邻的排法共有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
6. 已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A. 1 B. C. D. -1
7. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知函数 ， ，则 的极大值点为（ ）
A. B. C. D.
9. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是 的事件为（ ）
A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的
C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的
10. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）
A . 30 B. 60 C. 90 D. 120
11. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 ， ， ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数 ，若 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数 ，且 ，则 ______.
14. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ______.
15. 的展开式中含 项的系数为______.（用数字作答）
16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 获胜的概率是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设复数 .
（1）若 为纯虚数，求 ；
（2）若 在复平面内对应的点在第四象限，求 的取值范围.
18. 设函数 .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围.
19.（1）求 的展开式的常数项；
（2）若 的展开式的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.
20. 已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求 ， ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
21. 探月工程“嫦娥四号”探测器于2018年12月8日成功发射，实现了人类首次月球背面软着陆.以嫦娥四号任务圆满成功为标志，我国探月工程四期和深空探测工程全面拉开序幕.根据部署，我国探月工程到2020年前将实现“绕、落、回”三步走目标.为了实现目标，各科研团队进行积极的备战工作.某科研团队现正准备攻克甲、乙、丙三项新技术，甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为 ， ， ，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，分别可获得科研经费60万，40万，20万.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术没有对应的科研经费.
（1）求该科研团队获得60万科研经费的概率；
（2）记该科研团队获得的科研经费为随机变量 ，求 的分布列与数学期望.
22. 已知函数 .
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若存在实数 ，使得 成立，求整数 的最小值.
2020年南阳春期六校第二次联考·高二年级数学试题（理科）
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1-5：ACBAB 6-10：DABCD 11-12：CD
1. A 复数 的共轭复数为 ，对应的点是 ，位于第一象限.
2. C ，则 .
3. B 记某地四月份某日刮东风为事件 ，某地四月份某日下雨为事件 ，则所求概率为 .故选B.
4. A 因为 ， ，所以 .
5. B 甲、乙相邻有 种排法，再与丙以外的两人全排列有 种排法，最后丙插入不与甲、乙相邻的两个空档，所以排法共有 种.
6. D ， ，所以 .
7. A 令 ，则原式化为 ，令 ，得 ，所以 .
8. B ， ，令 ，得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 的极大值点为 .
9. C 对于选项A，概率为 .对于选项B，概率为 ，对于选项C，概率为 .对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是 ，故D选项不正确.故选C.
10. D 5艘驱逐舰分为两组，一组2艘，另一组3艘，有 种方法；3艘核潜艇分为两组，一组1艘，另一组2艘，有 种方法.分到两艘航母共有 种不同方法.
11. C 在甲、乙、丙处投中分别记为事件 ， ， ，恰好投中两次为事件 ， ， 发生，故恰好投中两次的概率 ，解得 .
12. D 设 ，因为 ，
河南省洛阳市2019-2020高二数学（理）下学期期末检测试题（Word版附答案）
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所以 .
记 ，则 在 上单调递增，故 在 上恒成立，即 在 上恒成立，整理得 且在 上恒成立.因为 ，所以函数 在 上单调递增，故有 .因为 ，所以 ，即 .
二、填空题
13. -6 14. 0.4 15. 16. 0.245
13. -6 ， ， ， ， .
14. 0.4 因为 ，所以 .
15. 的展开式的通项 ，令 ， .
16. 0.245 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.
设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以 获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为： ，
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为： ，
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为： ，
④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为： ，
则甲队以 获胜的概率为：
.
三、解答题
17. 解析：（1）若 为纯虚数，则 ，
所以 ，故 ， ，
.
（2）若 在复平面内对应的点在第四象限，则 ，
得 .
18. 解：（1） ，
则 ，
解得 .
经检验，当 时， 在 处取得极值.
（2）由题意可知， 对 恒成立，
则 对 恒成立.
∵当 时， ，
∴ ，即 的取值范围为 .
19. 解：（1）因为 的通项是 ，
所以常数项是 .
（2） 的通项为 ，
则第6项与第7项分别为 和 ，
它们的系数分别为 和 .
因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以 ，则 .
因为 的各项系数的绝对值之和与 的各项系数之和相等，
令 ，得 的各项系数的绝对值之和为 .
20. 解：（1）由 ，
即 ，①
所以 ，
由①得 ，②
①-②，得 .
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
（2）由（1）猜想 .
下面用数学归纳法证明：
①当 时，由（1）可知猜想成立；
②假设 时猜想成立，即 ，此时 ， ，
当 时， ，
整理得 ，
所以当 时猜想成立.
综上所述：对任意 ， 成立.
21. 解：（1）记“该甲、乙、丙三项新技术被攻克”分别为事件 ， ， ，
则 ， ， ，
该科研团队获得60万科研经费的概率为 .
（2） 所有可能的取值为0，20，40，60，80，100，120，
， ，
， ，
， ，
.
所以随机变量 的分布列为
0 20 40 60 80 100 120
所以 （万）.
22. 解：（1） ，
令 ，得 .
令 ，得 .
则 ， ，且 在 上单调递增， ，
且当 时， ；当 时， ，
则 ，且单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）因为 ，所以 .
令 ，则 ，易知 在 上单调递增.
又 ， ，
则存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
又 ， ，即 ，
则 .
因为 ，所以 .
因为存在实数 ，使得 成立，
所以 ，又 ，则整数 的最小值为0.
河南省林州市第一中学2019-2020高二数学（文）6月月考试题（Word版附答案）
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