河南省林州市第一中学2019-2020高二数学（文）6月月考试题（Word版附答案）
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洛阳市2019——2020学年高二质量检测
数学试卷（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.第I卷1至2页，第I卷3至4页.考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知a是实数， 是实数，则 的值为（ ）
A. B. C.0 D.
2.已知命题 ， ，下列 形式正确的是（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ， D. ，
3.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加lcm，则其体重约增加0.85kg.
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
4.已知向量 ， ，且 .若x，y满足不等式 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.以双曲线 的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
6. 的展开式中常数项为（ ）
A.30 B.15 C.－15 D.30
7.已知 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.8
8.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则函数 没有极值点的概率是（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等设n位回文数的个数为 （n为正整数），如11是2位回文数，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 满足 ，当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.已知点P在抛物线 上，过点P作抛物线 的切线 ， ，切点分别为M，N，若 ，且 ，则C的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线 在 处的切线方程为________.
14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为 ，把a，b，c叫做勾股数，下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组勾股数为x，y，z（ ），则y=_______.
15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染 未感染 总计
服用 10 40 50
未服用 20 30 50
总计 30 70 100
参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表，在犯错误的概率最多不超过________（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”
16.已知函数 ，下面四个结论：①函数 在其定义域上为增函数；②对于任意的 ，都有 ；③ 有且仅有两个零点；④若 在点 处的切线也是 的切线，则 必是 的零点，其中所有正确的结论序号是________.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17，（本小题满分10分）
已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角C；
（2）若 ， 的面积为 ，求c.
18.（本小题满分12分）
已知数列 的前n项和为 ， ，若数列 是公比为2的等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2） ，求数列 的前n项和 .
19.（本小题满分12分）
在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ， ，M是 的中点， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上，斜率为k的直线1过点 且与椭圆交于C，D两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设 ， 分别为直线 ， 的斜率，当k变动时， 是否为定值？说明理由.
21.（本小题满分12分）
某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布 ，
北京市延庆区2019-2020高二数学下学期期末考试试题（Word版附答案）
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并把质量指标值在 内的产品称为优等品，质量指标值在 内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如下图：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数 ；
（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差s作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则
， ， .
（3）假如企业包装时要求把3件优等品 件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望.
22，（本小题满分12分）
已知曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求a和b的值；
（2）若 时， ，求实数m的取值范围.
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数学试卷参考答案（理）
一、选择题
1-5 ABDDA 6-10 BBCAC 11-12 DA
二、填空题
13. 14.60 15.5% 16.②③④
三、解答题
17.（1）∵ ，
由正弦定理得 ，…………………………………………………………………………2分
即 ，………………………………………………………………………………………3分
由余弦定理得 .…………………………………………………………4分
∵ ，∴ .……………………………………………………………………………………5分
（2）∵ ， 面积为 ，
∴ ，即 ，………………………………………………………………6分
∴ .………………………………………………………………………………………………………7分
由余弦定理得 ，……………………………9分
∴ .……………………………………………………………………………………………………10分
18.（1）∵ ，∴ .………………………………………………………………………1分
∵数列 是公比为2的等比数列，
∴ ，…………………………………………………………………………………………2分
∴ .……………………………………………………………………………………………………3分
当 时， ，
∴ .……………………………………………………………………5分
显然 适合上式，∴ .…………………………………………………………………6分
（2）由（1）知 ， ，…………………………………………………………………8分
∴ ，…………………………………10分
∴
.…………………………………………………………………………………………………12分
19.（1）∵ ，M是 的中点，
∴ .……………………………………………………………………………………………………1分
∵平面 平面 ，∴ 平面 .…………………………………………………………2分
∵ 平面 ，∴ .…………………………………………………………………………3分
∵ 是矩形，M是 的中点， ， ，
∴ ，∴ 平面 .…………………………………………………………………………4分
∵ 平面 ，∴ .……………………………………………………………………………5分
（2）由（1）知 平面 .……………………………………………………………………………6分
过点M作 ，交 于N，则 ， ， 两两垂直.以M为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系 ，…………………………………………7分
则 ， ， ， ， . ， ， .………………………………………………………………………………………………8分
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，可得 .…………………………………………9分
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，可得 .…………………………………………10分
∴ ，…………………………………………………………………11分
故二面角 的余弦值为 .………………………………………………………………………12分
20.（1）设椭圆的半焦距为c.
∵椭圆的离心率为 ，点 在椭圆上，
∴ .………………………………………………………………………………………………3分
解得 ， ， .…………………………………………………………………………………4分
∴椭圆的方程为 .……………………………………………………………………………………5分
（2）当k变动时， 为定值－2.……………………………………………………………………………6分
证明如下：设直线l的方程为 .
由 得 .………………………………………………………………7分
设 ， ，则 ， .……………………………………8分
因为 ，所以 ， ，……………………………………………………………9分
所以 ……………………………………………………………10分
.……………………………………………12分
21.解：（1）由频率分布直方图可知，
.…………………………………………………………2分
（2）由题意可知，样本方差 ，故 ，………………………………………………3分
所以质量指标值 ，……………………………………………………………………………4分
该厂生产的产品为正品的概率
.……………………………………………………………………………5分
（3）X的可能取值为0，1，2，3，则
， ，
， .………………………………………………………9分
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望 .……………………………………………………12分
22.解：（1）∵ ，
∴ .………………………………………………………………………………………1分
由曲线 在 处的切线方程为 得
.……………………………………………………………………………………………3分
解得 ， .………………………………………………………………………………………………4分
（2）∵ 时， ，
∴ ， 恒成立.………………………………………………………………………5分
令 ， ，则 .………………………………………………………6分
.…………………………………………………………………7分
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增.………………………………………………………………………………8分
∵ ， ，
∴ 存在唯一的零点 ， ，
∴ ，从而 .………………………………………………………………………………9分
∵ 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，……………………………………………10分
∴ ，…………………………………………………11分
∴ 即为 ，
∴实数m的取值范围是 .………………………………………………………………………………12分
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