北京市西城区2019-2020高二数学下学期期末考试试题（Word版附答案）
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延庆区2019—2020学年第二学期期末试卷
高 二 数 学 2020.7
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集 ，集合 ， ，则集合
（A） （B） （C） （D）
2．焦点在 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 的抛物线的标准方程是
（A） （B） （C） （D）
3. 已知向量 ， .若 ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
4．设 ，则
（A） （B） （C） （D）
5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为
（A） （B） （C） （D）
6. 圆 截 轴所得弦的长度等于
（A） （B） （C） （D）
7．已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ，下列四个命题中错误的为
（A）若 ， ，则 （B）若 ， ，则
（C）若 , ∥ 且 ∥ ,则 ∥ （D）若 ， ，则
8. 已知函数 ，则“ 在 上单调递减”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
9．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象的函数解析式为
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，且 ，都有 ；
② ；③ 是偶函数；
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知复数 ，则 ．
12．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 .
13．数列 中， ， ， . 若其前 项和为 ，则 ___ ____.
14．在△ 中， ， ，，则 边上的高等于 .
15．已知函数 ：① 函数 的单调递减区间为 ；
② 若函数 有且只有一个零点，则 ；
③ 若 ，则 ，使得函数 恰有2个零点 ， ， 恰有一个零点 ，且 ， .
其中，所有正确结论的序号是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
已知 是公差为 的无穷等差数列，其前 项和为 . 又 ，且 ，是否存在大于 的正整数 ,使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
17.（本小题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
18. （本小题满分14分）
在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达
人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；
（Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，
2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元．
方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面
都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次． 每翻到一次笑脸可得30元奖励金．如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．
以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．
19.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为线段 上一点（ 不是端点），________ .
从① ；② 平面 ；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（Ⅰ）求证：四边形 是直角梯形；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点 ，使得直线 平面 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分15分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）当 时，若曲线 在曲线 的下方，求实数 的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知椭圆 的短轴长为2，离心率为 ， 、 分别是椭圆长轴的左右两个端点，P是椭圆上异于点 、 的点．
（Ⅰ）求出椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设点 满足： ， ．求 与 面积的比值．
高二数学答案及评分标准 2020.7
一、选择题：（ ） 1.A 2.D 3 . C 4.B 5. A 6. A 7. D 8.B 9.D 10. C
二、填空题：（ ）11. 12. ；13. ；14. ；15. ①③.
注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共5小题，共85分.
16.（本小题满分14分）
解：存在正整数 ,使得 . (此处未写，结论处有，不扣分) …………2分
理由如下：
在等差数列 中， …………5分
又 ， .
所以由 得 …………7分
所以 . …………10分
令 ，即 .
整理得 .解得 或 . …………12分
因为 ，所以 . （未写k>1扣一分） …………14分
所以当 时， .
17. (本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 =
． …3分
所以函数 的最小正周期 ． …4分
因为函数 的的单调递减区间为 ，
所以 , …6分
解得 , …7分
所以函数 的单调递减区间是 . …8分
(一个 都没写的扣一分)
（Ⅱ）由题意可知，不等式 有解，即 ． …10分
由（Ⅰ）可知 .当 时, , …11分
故当 ,即 时, f(x)取得最大值,最大值为 . …13分
所以 .故实数 的取值范围是 . …14分 18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A. …1分
由图可知，去年消费金额在 内的有8人，在 内的有4人，
消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12（人），
从这12人中抽取3人，共有 种不同方法， …2分
其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有 种不同方法．
所以，
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． …4分
（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，
2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为
， ， ， …5分
按照方案1奖励的总金额为 （元）． …6分
方案2 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为0，30，60，90．…7分
由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为 ， …8分
所以 ，
， ．
0 30 60 90
所以 的分布列为：
…10分
数学期望为 （元）， …12分
按照方案2奖励的总金额为 （元）， …13分
因为由 ，所以施行方案1投资较少． …14分
19. (本小题满分14分）
解：（Ⅰ）选择①，连结 ，
因为 平面 ， 所以 ， ……………..1分
因为 ， ，所以 .….2分
因为 ， ，所以 ，所以 . …3分
因为 ，所以 ， 所以四边形 是直角梯形. …….4分
选择②，连结 ，
因为 平面 ， 所以 ， ……………..1分
因为 ， ，所以 .….2分
因为 ， ，所以 ，所以 . …3分
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ， 所以四边形 是直角梯形. …….4分
（Ⅱ）在平面 内过 作 ,则 平面 ，由（Ⅰ）知 ，所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ,….5分
则 ， ， ， ， .
则 , ， …….6分
设平面 的一个法向量 ，则 即 …7分
令 ，则 ， ，，则 ． …8分
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 . …9分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（Ⅲ）设 ，则 ．…10分
所以 ， …11分
若 平面 ，则 ， …12分
即 ，所以 ． …13分
因为 ，所以，线段 上不存在点 使得直线 平面 ． …14分
20. (本小题满分15分）
（Ⅰ）因为 ，定义域R，所以 . ……2分
令 ，解得 ，令 ，解得 ……3分
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ……4分
（Ⅱ）令 ， ……5分
. ……6分
由 得 ， ，于是 ，故函数 在 上是增函数. ……7分
所以当 时， ，即 . …… 9分
（Ⅲ）若曲线 在曲线 的下方，则 …10分
令 ，则 . 11分
当 时，解法一：因为 ，所以
由（Ⅱ）知 .……13分
解法二：因为 ，所以 ， ， ，且 ，则 ， ，所以 ， 在 上是增函数. 所以 ，符合题意. ……13分
当 时，若 ，则 ，那么 ，所以 ，
则 在 上是减函数. 所以 时， ，不合题意. ……15分
综上所述，实数 的取值范围是 .
21. (本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意，得 ， . …… 2分； 又因为 ， …… 3分
所以 ， . …… 4分；故椭圆 的方程为 . ……… 5分
（Ⅱ）因为两个三角形的底边均为 ，所以面积之比等于 …6分
解法一：由P是椭圆上异于点 、 的点可知, 直线 的斜率存在且不为0
设直线 的斜率分别为 ，则直线 的方程为 …7分
由 直线 的方程为 ． …8分
将 代入 ，得 ，
因为 是椭圆上异于点 的点，所以 ． ……9分
所以 …11分
由 ，所以直线 的方程为 ． ……12分
由 ，得 ． ……13分
所以 ． ……14分
解法二：设 ，则 ， ①， …7分
且 ， 因为 ， …8分
所以 ，则直线 ②， …9分
同理直线 ③， …10分
③与②联立，解得： ， …12分
将①带入，得 ， …13分
所以 ． ……14分
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