2020高三数学培优专练4:恒成立问题(含解析)

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2020高三数学培优专练3:含导函数的抽象函数的构造

对于,可构造,则单调递增.

1:已知的导函数满足且,则不等式的解集是        

【答案】

【解析】令,则∴在上为单调递增.

∴,则可转化为,

根据单调性可知不等式的解集为.

 

对于,可构造,则单调递增.

(特例:对于,可构造,则单调递增.)

2:设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,

则不等式的解集为(    

A B C D

【答案】D

【解析】令,,

∵当时,∴,

∴在上是减函数,

 

∴可化为,

∴,故.故选D

 

对于,可构造,则单调递增.

(特例:对于,可构造,则单调递增.)

3:设定义域为的函数满足,则不等式的解集为        

【答案】

【解析】设,则,

∴,即函数在定义域上单调递增.

∴,即∴,

∴不等式的解集为.

 

一、选择题

1已知函数导函数为,若,,则不等式

解集    

A B C D

【答案】D

【解析】设,

函数在上为增函数,

 

,∴,

不等式等价于,解得

所以不等式的解集为.故选D

2.已知定义在上的可导函数满足,设,,

则、的大小关系是(    

A B

C D、的大小与有关

【答案】B

【解析】设,则,

所以为减函数,

∴,所以,

∴,即.故选B

3.已知函数是定义在区间上的可导函数,满足且

(为函数的导函数),若且,则下列不等式一定成立的是(    )

A B

C D

【答案】C

【解析】构造函数,(),,

∴是上的减函数.

令,则,由已知,可得,

下面证明,即证明,

 

 

令,则,即在上递减,,

即,所以,

若,,则,故选C

4.已知函数是定义在区间上的可导函数,为其导函数,当且时,,若曲线在点处的切线的斜率为,则的值

为(    )

A B C D

【答案】A

【解析】当且时,,

可得时,;时,,

令,,

则,可得当时,;

当时,,所以函数在处取得极大值,

所以,

又,所以.故选A

5.函数是定义在上的函数,,且在上可导,为其导函数,

若且,则不等式的解集为(    )

A B C D

【答案】B

【解析】函数在上可导,为其导函数,

令,则,可知当时,是单调减函数,

 

 

时,函数是单调增函数,

又,,则,且.

则不等式的解集就是的解集,该不等式的解集为.故选B

6.设是函数的导函数,且,(为自然对数的底数),

则不等式的解集为(    

A B C D

【答案】C

【解析】可构造函数,,

由,可得,即有在上递增.

不等式即为,即.

∴可转化为,由在上递增,可得,解得.故不等式的解集为,故选C

7.已知函数的图象关于点对称,函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是(    

A B

C D

2020高三数学培优专练5:导数的应用(含解析)

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【答案】C

【解析】∵函数的图象关于点对称,为奇函数,∴为偶函数.

函数对于任意的满足得,

 

即,所以在上单调递增,在上单调递减.

由,即,可知A错误;

由,即,可知B错误;

由,即,可知C正确;

由,即,可知D错误.故选C

8.已知是定义在上的奇函数,其导函数为,当时,,

若,,,则,,的大小关系正确的是(    )

A B C D

【答案】C

【解析】设∵为奇函数∴为上的偶函数,

∵当时,.

∴当时,,当时,,

即在单调递增,在单调递减.

∵,,,且,

 

 

∴.即,故选C

9.已知函数是上的奇函数,是其导函数,当时,,

则不等式的解集是(    

A B

C D

【答案】D

【解析】设,则,

∵当时,∴函数在上单调递减.

∵,则当时,,

∴;当时,,

∴.

又在奇函数,则在区间和上,都有.

∵等价于或,解得或.

∴不等式的解集是,故选D

10.已知定义在上的函数,是的导函数,若,且,

则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为(    )

A B

C D

【答案】A

【解析】设,(),

则,

 

∴,

在定义域上单调递增,∴,

∴,

∴不等式的解集为.故选A

11.设函数在上存在导函数,对任意实数,都有,当时,,若,则实数的最小值为(    

A B C D

【答案】C

【解析】设,则,

因为当时,,则,所以当时,为单调递减函数,

因为,所以,

所以,即为偶函数,

将不等式,

等价变形得,即,

又因为为偶函数,且在单调递减,则在是单调递增,,解得,

所以的最小值为.

12.已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是(    )

A B C D

【答案】A

【解析】令,由,,

 

 

∴,

故在递减;故,即.故选A

 

二、解答题

13.已知定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式的解集为        

【答案】

【解析】令,因为,所以,

故,故在上单调递减,

∴不等式可转化为,

根据单调性可得,即的解集为.

14.已知定义在的函数的导函数为,满足,且,

则不等式的解集为        

【答案】

【解析】构造函数,

∴当时,,

故函数在区间上递增,且,

∴原不等式可变为,即,

根据单调性有,故原不等式的解集为.

 

 

15已知的导函数为,时,

则不等式解集        

【答案】

【解析】令,则由,可得,

偶函数,

又当即,所以在上为增函数.

不等式可转化为,

∴根据单调性和奇偶性可得,解得

16.已知定义在上的函数满足,,对任意,不等式恒成立,其中是的导数,则不等式的解集为        

【答案】

【解析】构造函数,,

因为,所以,为上的偶函数,

由,得,所以,

因为,

所以当时,由得,,即时单调递增,

 

 

由偶函数得当时,单调递减,

因此由不等式,得或,

所以或,解集为.

2020高三数学培优专练6:三角函数(含解析)

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