湘教版八年级数学上册第2章教学课件 命题与证明
新冠病毒疫情防控应急预案范文五篇为预防本单位新型冠状病毒肺炎疫情防控工作，保证干部职工的生命安全，按照以人为本，安全第一，预防为主的原则，依据上级有关文件精神和要求，结合中心实际情况制定本预案。一、成立疫情防控应急领导小组全面负责组织、协调
2.2命题与证明第2章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2定义命题真命题和假命题基本事实和定理命题的证明与反证法知识点定义知1－讲感悟新知1定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.知
简介：2.3等腰三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理 知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 知1－讲感悟新知2.性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知1－讲感悟新知几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=DC)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 知1－讲感悟新知3.性质定理3：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.适用条件：必须在同一个三角形中 感悟新知知1－练如图2.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1解题秘方：：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 感悟新知知1－练特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直. 感悟新知知1－练解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°特别提醒“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 感悟新知知1－练(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD=BC=×3=1.5(cm). 知识点等边三角形的性质定理知2－讲感悟新知2性质定理：(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.(4)每一个内角的平分线都与其对边上的高、中线重合. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角；任意一边上都有“三线合一”. 感悟新知知2－练如图2.3-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，求△DEF中各个内角的度数.例2 知2－讲感悟新知解法指导等边三角形的三个内角等于60°，为求三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用等边三角形的三个内角，只需以其中的一个内角为例计算，其余可同理的得到.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角等于60°，求角的度数. 感悟新知知2－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠FDB=90°，∴∠ADE=180°－90°－∠A=30°，∴∠EDF=180°－∠ADE－∠FDB=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°.综上，△DEF中各个内角的度数都是60° 知识点等腰三角形的判定定理知3－讲感悟新知31.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图2.3-4，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 知3－讲感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到这两边所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到该三角形是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲感悟新知特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知知3－练如图2.3-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例3 知3－讲感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等,所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 感悟新知知3－练证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.易知∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形. 知识点等边三角形的判定定理知3－讲感悟新知41.判定定理1：三个角都是60°的三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°，或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 感悟新知知3－练[中考·天津]如图2.3-7，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB∥CD例4 知3－讲感悟新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形的方法：若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定;若已知三角关系，则选用“三个角都等于60°的三角形是等边三角形”来判定;若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.解题秘方：本题紧扣等边三角形的判定、旋转的性质、三角形的三边关系及平行线的判定进行辨析． 感悟新知知3－练解：由旋转可知∠ABC=∠E，∵∠ADC>∠E，∴∠ADC>∠ABC，故A错误；由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，为钝角，CB=CE，∴CE>CD，∴CB>CD，故B错误；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>BC，故C错误； 感悟新知知3－练由旋转可知CA=CD，∵∠EDC=120°，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，故D正确.答案：D 课堂小结等腰三角形等腰三角形等角对等边等边三角形判定性质互逆特殊是轴对称图形等边对等角三线合一
简介：2.3等腰三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理 知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 知1－讲感悟新知2.性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知1－讲感悟新知几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=DC)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 知1－讲感悟新知3.性质定理3：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.适用条件：必须在同一个三角形中 感悟新知知1－练如图2.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1解题秘方：：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 感悟新知知1－练特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直. 感悟新知知1－练解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°特别提醒“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 感悟新知知1－练(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD=BC=×3=1.5(cm). 知识点等边三角形的性质定理知2－讲感悟新知2性质定理：(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.(4)每一个内角的平分线都与其对边上的高、中线重合. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角；任意一边上都有“三线合一”. 感悟新知知2－练如图2.3-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，求△DEF中各个内角的度数.例2 知2－讲感悟新知解法指导等边三角形的三个内角等于60°，为求三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用等边三角形的三个内角，只需以其中的一个内角为例计算，其余可同理的得到.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角等于60°，求角的度数. 感悟新知知2－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠FDB=90°，∴∠ADE=180°－90°－∠A=30°，∴∠EDF=180°－∠ADE－∠FDB=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°.综上，△DEF中各个内角的度数都是60° 知识点等腰三角形的判定定理知3－讲感悟新知31.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图2.3-4，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 知3－讲感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到这两边所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到该三角形是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲感悟新知特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知知3－练如图2.3-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例3 知3－讲感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等,所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 感悟新知知3－练证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.易知∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形. 知识点等边三角形的判定定理知3－讲感悟新知41.判定定理1：三个角都是60°的三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°，或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 感悟新知知3－练[中考·天津]如图2.3-7，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB∥CD例4 知3－讲感悟新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形的方法：若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定;若已知三角关系，则选用“三个角都等于60°的三角形是等边三角形”来判定;若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.解题秘方：本题紧扣等边三角形的判定、旋转的性质、三角形的三边关系及平行线的判定进行辨析． 感悟新知知3－练解：由旋转可知∠ABC=∠E，∵∠ADC>∠E，∴∠ADC>∠ABC，故A错误；由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，为钝角，CB=CE，∴CE>CD，∴CB>CD，故B错误；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>BC，故C错误； 感悟新知知3－练由旋转可知CA=CD，∵∠EDC=120°，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，故D正确.答案：D 课堂小结等腰三角形等腰三角形等角对等边等边三角形判定性质互逆特殊是轴对称图形等边对等角三线合一
简介：2.3等腰三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理 知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 知1－讲感悟新知2.性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知1－讲感悟新知几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=DC)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 知1－讲感悟新知3.性质定理3：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.适用条件：必须在同一个三角形中 感悟新知知1－练如图2.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1解题秘方：：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 感悟新知知1－练特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直. 感悟新知知1－练解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°特别提醒“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 感悟新知知1－练(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD=BC=×3=1.5(cm). 知识点等边三角形的性质定理知2－讲感悟新知2性质定理：(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.(4)每一个内角的平分线都与其对边上的高、中线重合. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角；任意一边上都有“三线合一”. 感悟新知知2－练如图2.3-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，求△DEF中各个内角的度数.例2 知2－讲感悟新知解法指导等边三角形的三个内角等于60°，为求三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用等边三角形的三个内角，只需以其中的一个内角为例计算，其余可同理的得到.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角等于60°，求角的度数. 感悟新知知2－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠FDB=90°，∴∠ADE=180°－90°－∠A=30°，∴∠EDF=180°－∠ADE－∠FDB=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°.综上，△DEF中各个内角的度数都是60° 知识点等腰三角形的判定定理知3－讲感悟新知31.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图2.3-4，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 知3－讲感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到这两边所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到该三角形是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲感悟新知特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知知3－练如图2.3-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例3 知3－讲感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等,所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 感悟新知知3－练证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.易知∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形. 知识点等边三角形的判定定理知3－讲感悟新知41.判定定理1：三个角都是60°的三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°，或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 感悟新知知3－练[中考·天津]如图2.3-7，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB∥CD例4 知3－讲感悟新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形的方法：若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定;若已知三角关系，则选用“三个角都等于60°的三角形是等边三角形”来判定;若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.解题秘方：本题紧扣等边三角形的判定、旋转的性质、三角形的三边关系及平行线的判定进行辨析． 感悟新知知3－练解：由旋转可知∠ABC=∠E，∵∠ADC>∠E，∴∠ADC>∠ABC，故A错误；由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，为钝角，CB=CE，∴CE>CD，∴CB>CD，故B错误；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>BC，故C错误； 感悟新知知3－练由旋转可知CA=CD，∵∠EDC=120°，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，故D正确.答案：D 课堂小结等腰三角形等腰三角形等角对等边等边三角形判定性质互逆特殊是轴对称图形等边对等角三线合一
简介：2.3等腰三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理 知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 知1－讲感悟新知2.性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知1－讲感悟新知几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=DC)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 知1－讲感悟新知3.性质定理3：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.适用条件：必须在同一个三角形中 感悟新知知1－练如图2.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1解题秘方：：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 感悟新知知1－练特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直. 感悟新知知1－练解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°特别提醒“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 感悟新知知1－练(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD=BC=×3=1.5(cm). 知识点等边三角形的性质定理知2－讲感悟新知2性质定理：(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.(4)每一个内角的平分线都与其对边上的高、中线重合. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角；任意一边上都有“三线合一”. 感悟新知知2－练如图2.3-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，求△DEF中各个内角的度数.例2 知2－讲感悟新知解法指导等边三角形的三个内角等于60°，为求三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用等边三角形的三个内角，只需以其中的一个内角为例计算，其余可同理的得到.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角等于60°，求角的度数. 感悟新知知2－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠FDB=90°，∴∠ADE=180°－90°－∠A=30°，∴∠EDF=180°－∠ADE－∠FDB=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°.综上，△DEF中各个内角的度数都是60° 知识点等腰三角形的判定定理知3－讲感悟新知31.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图2.3-4，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 知3－讲感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到这两边所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到该三角形是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲感悟新知特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知知3－练如图2.3-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例3 知3－讲感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等,所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 感悟新知知3－练证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.易知∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形. 知识点等边三角形的判定定理知3－讲感悟新知41.判定定理1：三个角都是60°的三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°，或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 感悟新知知3－练[中考·天津]如图2.3-7，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB∥CD例4 知3－讲感悟新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形的方法：若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定;若已知三角关系，则选用“三个角都等于60°的三角形是等边三角形”来判定;若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.解题秘方：本题紧扣等边三角形的判定、旋转的性质、三角形的三边关系及平行线的判定进行辨析． 感悟新知知3－练解：由旋转可知∠ABC=∠E，∵∠ADC>∠E，∴∠ADC>∠ABC，故A错误；由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，为钝角，CB=CE，∴CE>CD，∴CB>CD，故B错误；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>BC，故C错误； 感悟新知知3－练由旋转可知CA=CD，∵∠EDC=120°，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，故D正确.答案：D 课堂小结等腰三角形等腰三角形等角对等边等边三角形判定性质互逆特殊是轴对称图形等边对等角三线合一
简介：2.3等腰三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理 知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 知1－讲感悟新知2.性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知1－讲感悟新知几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=DC)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 知1－讲感悟新知3.性质定理3：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.适用条件：必须在同一个三角形中 感悟新知知1－练如图2.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1解题秘方：：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 感悟新知知1－练特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直. 感悟新知知1－练解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°特别提醒“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 感悟新知知1－练(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD=BC=×3=1.5(cm). 知识点等边三角形的性质定理知2－讲感悟新知2性质定理：(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.(4)每一个内角的平分线都与其对边上的高、中线重合. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角；任意一边上都有“三线合一”. 感悟新知知2－练如图2.3-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，求△DEF中各个内角的度数.例2 知2－讲感悟新知解法指导等边三角形的三个内角等于60°，为求三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用等边三角形的三个内角，只需以其中的一个内角为例计算，其余可同理的得到.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角等于60°，求角的度数. 感悟新知知2－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠FDB=90°，∴∠ADE=180°－90°－∠A=30°，∴∠EDF=180°－∠ADE－∠FDB=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°.综上，△DEF中各个内角的度数都是60° 知识点等腰三角形的判定定理知3－讲感悟新知31.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图2.3-4，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 知3－讲感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到这两边所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到该三角形是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲感悟新知特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知知3－练如图2.3-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例3 知3－讲感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等,所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 感悟新知知3－练证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.易知∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形. 知识点等边三角形的判定定理知3－讲感悟新知41.判定定理1：三个角都是60°的三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°，或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 感悟新知知3－练[中考·天津]如图2.3-7，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB∥CD例4 知3－讲感悟新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形的方法：若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定;若已知三角关系，则选用“三个角都等于60°的三角形是等边三角形”来判定;若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.解题秘方：本题紧扣等边三角形的判定、旋转的性质、三角形的三边关系及平行线的判定进行辨析． 感悟新知知3－练解：由旋转可知∠ABC=∠E，∵∠ADC>∠E，∴∠ADC>∠ABC，故A错误；由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，为钝角，CB=CE，∴CE>CD，∴CB>CD，故B错误；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>BC，故C错误； 感悟新知知3－练由旋转可知CA=CD，∵∠EDC=120°，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，故D正确.答案：D 课堂小结等腰三角形等腰三角形等角对等边等边三角形判定性质互逆特殊是轴对称图形等边对等角三线合一
简介：2.3等腰三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理 知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 知1－讲感悟新知2.性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 知1－讲感悟新知几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=DC)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)． 知1－讲感悟新知3.性质定理3：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图2.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.适用条件：必须在同一个三角形中 感悟新知知1－练如图2.3-2，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数；(3)若BC=3cm，求BD的长.例1解题秘方：：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 感悟新知知1－练特别提醒在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直. 感悟新知知1－练解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.(2)在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=×(180°－100°)=40°特别提醒“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 感悟新知知1－练(3)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD是BC边上的中线，∴BD=BC=×3=1.5(cm). 知识点等边三角形的性质定理知2－讲感悟新知2性质定理：(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.(4)每一个内角的平分线都与其对边上的高、中线重合. 知2－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角；任意一边上都有“三线合一”. 感悟新知知2－练如图2.3-3，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，求△DEF中各个内角的度数.例2 知2－讲感悟新知解法指导等边三角形的三个内角等于60°，为求三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用等边三角形的三个内角，只需以其中的一个内角为例计算，其余可同理的得到.解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角等于60°，求角的度数. 感悟新知知2－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED=∠FDB=90°，∴∠ADE=180°－90°－∠A=30°，∴∠EDF=180°－∠ADE－∠FDB=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°.综上，△DEF中各个内角的度数都是60° 知识点等腰三角形的判定定理知3－讲感悟新知31.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).几何语言：如图2.3-4，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC. 知3－讲感悟新知2.等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到这两边所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到该三角形是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 知3－讲感悟新知特别提醒◆“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知知3－练如图2.3-5，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例3 知3－讲感悟新知方法点拨根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等,所以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 感悟新知知3－练证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.易知∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形. 知识点等边三角形的判定定理知3－讲感悟新知41.判定定理1：三个角都是60°的三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图2.3-6，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°，或∠C=60°)，∴△ABC是等边三角形. 知3－讲感悟新知特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 感悟新知知3－练[中考·天津]如图2.3-7，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()∠ABC=∠ADCB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB∥CD例4 知3－讲感悟新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形的方法：若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定;若已知三角关系，则选用“三个角都等于60°的三角形是等边三角形”来判定;若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.解题秘方：本题紧扣等边三角形的判定、旋转的性质、三角形的三边关系及平行线的判定进行辨析． 感悟新知知3－练解：由旋转可知∠ABC=∠E，∵∠ADC>∠E，∴∠ADC>∠ABC，故A错误；由旋转可知∠EDC=∠BAC=120°，为钝角，CB=CE，∴CE>CD，∴CB>CD，故B错误；∵DE+DC>CE，∴DE+DC>BC，故C错误； 感悟新知知3－练由旋转可知CA=CD，∵∠EDC=120°，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°．∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，故D正确.答案：D 课堂小结等腰三角形等腰三角形等角对等边等边三角形判定性质互逆特殊是轴对称图形等边对等角三线合一
