湘教版八年级数学上册第2章教学课件 线段的垂直平分线
2.3等腰三角形第2章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理等边三角形的性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理知识点等腰三角形的性质定理知1－讲感悟新知11.性质定理1：等腰三角形是轴对称
2.4线段的垂直平分线第2章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2线段垂直平分线的定义及性质定理线段垂直平分线的性质定理的逆定理线段的垂直平分线的作法过一点作已知直线的垂线知识点线段垂直平分线的定义及性质定理知1－讲感
简介：2.1三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角 知识点三角形的相关元素知1－讲感悟新知11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 知1－讲感悟新知三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由 知1－讲感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 知1－讲感悟新知特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 感悟新知知1－练如图2.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例1 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 感悟新知知1－练方法点拨几何图形计数的常用方法：(1)按序计数法；(2)画图计数法；(3)基本图形计数法；解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知1－练解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知识点等腰三角形及相关概念知2－讲感悟新知21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3) 知2－讲感悟新知三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形. 知2－讲感悟新知2.三角形的分类：等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类： 知2－讲感悟新知分类示意图如图2.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角. 感悟新知知2－练[易错题]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，试判断△ABC的形状.(1)三边长满足(a－b)2+|b－c|=0；(2)三边长满足(a－b)(b－c)=0.例2 知2－讲感悟新知方法点拨从边的角度判断三角形的形状，若只能判断出有两条边相等,则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.解题秘方：：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键. 感悟新知知2－练解：(1)因为(a－b)2+|b－c|=0，所以a－b=0，b－c=0.所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.(2)因为(a－b)(b－c)=0，所以a－b=0或b－c=0.所以a=b或b=c.所以△ABC为等腰三角形. 知识点三角形的三边关系知3－讲感悟新知3三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b b>c) 知3－讲感悟新知特别提醒应用三角形的三边关系时，常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 感悟新知知3－练用一条长为21cm的细绳围成一个三角形，能围成一个有一边长是5cm的等腰三角形吗？解题秘方：紧扣“5cm长的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.例3特别提醒本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5cm和底边长为5cm两种情况的同时，要注意隐含的条件：任意两边之和大于第三边.解答这类题时，结果是两种情况可能性较大，应高度重视. 感悟新知知3－练解：当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21，解得x=8.因为5+8>8，所以符合三角形的三边关系，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形.当5cm长的边是腰时，设底边长为ycm，则2×5+y=21，解得y=11. 感悟新知知3－练因为5+5<11，不符合三角形的三边关系，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形.综上可知，能围成底边长为5cm的等腰三角形. 知识点三角形的三条重要线段知4－讲感悟新知4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言 知4－讲感悟新知符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)AD是△ABC的BC边上的高；(3)AD⊥BC于点D；(4)∠ADC=90°，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC，交BC于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD是△ABC的中线；(2)AD是△ABC的BC边上的中线；(3)BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)；(4)点D是BC边的中点 知4－讲感悟新知推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等 知4－讲感悟新知注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心 知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线. 感悟新知知4－练如图2.1-5，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4 感悟新知知4－练(1)△ABC的边BC上的高为，边AB上的高为______.解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练解：△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.答案：AE；CD 感悟新知知4－练(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=_____.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图2.1-6，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否是△DEF的角平分线？例5 感悟新知知4－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解法提醒本例在解题过程中，先利用三角形角平分线的定义，得出一组相等的角,再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明线段是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 感悟新知知4－练解：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线. 如图2.1-7，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.感悟新知知4－练例6解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 感悟新知知4－练解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. (2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2.感悟新知知4－练详解三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得△ABD与△ACD的面积相等，即S△ABD=S△ABD=S△ABD. 知识点三角形的内角和知5－讲感悟新知51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特别解读三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知5－讲感悟新知2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②. 知5－讲感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②. 知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知知5－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.例7 感悟新知知5－练方法点拨三角形中求内角的度数问题一般用方程思想求解.当内角之间存在数量关系时，一般根据“三角形的内角和等于180°”列方程求解. 感悟新知知5－练解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，所以设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+3x+5x=180°，解得x=20°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 感悟新知知5－练教你一招：求三角形内角的度数的方法：(1)若已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数，直接利用“三角形的内角和等于180°”求解.(2)若已知三角形中一个内角的度数及另外两个内角之间的数量关系；或不知道任何一个内角的度数，只知道三个内角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和等于180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知5－练一个零件的形状如图2.1-10，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例8 感悟新知知5－练解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.方法点拨“三角形的内角和等于180°”是任何一个三角形都必须具备的性质.若某三角形的内角和不等于180°，则说明该三角形不存在. 感悟新知知5－练解：这个零件不合格.理由如下：如图2.1-10，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=180°－∠A－∠ACD－∠ABD=180°－90°－18°－34°=38°. 感悟新知知5－练在△DCB中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=184°≠180°，所以这个零件不合格. 知识点三角形按角分类知6－讲感悟新知61.按三角形内角的大小分类： 知6－讲感悟新知 知6－讲感悟新知特别提醒◆根据三角形的内角和等于180°可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角.◆等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形. 知6－讲感悟新知2.直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 感悟新知知6－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.例9 感悟新知知6－练解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.方法技巧三角形的分类方法：(1)若按角分类，则看三角形的最大角的度数：最大角的度数大于90°的三角形是钝角三角形；最大角的度数等于90°的三角形是直角三角形；最大角的度数小于90°的三角形是锐角三角形.(2)若按边分类，则看边是否相等. 感悟新知知6－练解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°，所以∠A<∠B<∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形. 感悟新知知6－练(2)因为∠C=120°>90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形. 知识点三角形的外角知7－讲感悟新知71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶角处取一个外角. 知7－讲感悟新知2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等. 知7－讲感悟新知3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°. 感悟新知知7－练如图2.1-12，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.例10 感悟新知知7－练解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B+∠BAC进行求解. 感悟新知知7－练解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.所以∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95° 感悟新知知7－练另解本题还可以将∠ACD看成△ACD的内角来求.因为∠DAE是△ABD的一个外角，且∠DAE=60°，∠B=35°，所以∠D=60°－35°=25°.因为AD是∠CAE的平分线，所以∠CAD=∠DAE=60°. 感悟新知知7－练如图2.1-13①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD.(1)试说明：∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图2.1-13②，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC.试说明：2∠P=∠B+∠C.例11 感悟新知知7－练解题秘方：将复杂图形分解成基本图形进行探究.解法提醒解决几何问题的关键是根据图中角的关系从复杂图形中分解出常见的基本图形.图2.1-13①中，∠BOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角. 感悟新知知7－练图2.1-13②可以分解出两个“8字形”图形(如图2.1-14①②)，则可得∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P. 感悟新知知7－练解：(1)因为∠BOC=∠A+∠B，∠BOC=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 感悟新知知7－练(2)由(1)的结论可知，∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P.所以∠2+∠3+∠P+∠P=∠1+∠4+∠B+∠C.因为AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以2∠P=∠B+∠C. 课堂小结三角形三角形直角三角形等腰三角形边顶点角三边关系内、外角性质高线中线角平分线组成元素相关线段分类分类
简介：2.1三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角 知识点三角形的相关元素知1－讲感悟新知11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 知1－讲感悟新知三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由 知1－讲感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 知1－讲感悟新知特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 感悟新知知1－练如图2.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例1 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 感悟新知知1－练方法点拨几何图形计数的常用方法：(1)按序计数法；(2)画图计数法；(3)基本图形计数法；解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知1－练解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知识点等腰三角形及相关概念知2－讲感悟新知21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3) 知2－讲感悟新知三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形. 知2－讲感悟新知2.三角形的分类：等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类： 知2－讲感悟新知分类示意图如图2.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角. 感悟新知知2－练[易错题]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，试判断△ABC的形状.(1)三边长满足(a－b)2+|b－c|=0；(2)三边长满足(a－b)(b－c)=0.例2 知2－讲感悟新知方法点拨从边的角度判断三角形的形状，若只能判断出有两条边相等,则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.解题秘方：：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键. 感悟新知知2－练解：(1)因为(a－b)2+|b－c|=0，所以a－b=0，b－c=0.所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.(2)因为(a－b)(b－c)=0，所以a－b=0或b－c=0.所以a=b或b=c.所以△ABC为等腰三角形. 知识点三角形的三边关系知3－讲感悟新知3三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b b>c) 知3－讲感悟新知特别提醒应用三角形的三边关系时，常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 感悟新知知3－练用一条长为21cm的细绳围成一个三角形，能围成一个有一边长是5cm的等腰三角形吗？解题秘方：紧扣“5cm长的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.例3特别提醒本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5cm和底边长为5cm两种情况的同时，要注意隐含的条件：任意两边之和大于第三边.解答这类题时，结果是两种情况可能性较大，应高度重视. 感悟新知知3－练解：当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21，解得x=8.因为5+8>8，所以符合三角形的三边关系，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形.当5cm长的边是腰时，设底边长为ycm，则2×5+y=21，解得y=11. 感悟新知知3－练因为5+5<11，不符合三角形的三边关系，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形.综上可知，能围成底边长为5cm的等腰三角形. 知识点三角形的三条重要线段知4－讲感悟新知4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言 知4－讲感悟新知符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)AD是△ABC的BC边上的高；(3)AD⊥BC于点D；(4)∠ADC=90°，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC，交BC于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD是△ABC的中线；(2)AD是△ABC的BC边上的中线；(3)BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)；(4)点D是BC边的中点 知4－讲感悟新知推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等 知4－讲感悟新知注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心 知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线. 感悟新知知4－练如图2.1-5，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4 感悟新知知4－练(1)△ABC的边BC上的高为，边AB上的高为______.解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练解：△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.答案：AE；CD 感悟新知知4－练(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=_____.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图2.1-6，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否是△DEF的角平分线？例5 感悟新知知4－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解法提醒本例在解题过程中，先利用三角形角平分线的定义，得出一组相等的角,再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明线段是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 感悟新知知4－练解：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线. 如图2.1-7，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.感悟新知知4－练例6解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 感悟新知知4－练解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. (2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2.感悟新知知4－练详解三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得△ABD与△ACD的面积相等，即S△ABD=S△ABD=S△ABD. 知识点三角形的内角和知5－讲感悟新知51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特别解读三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知5－讲感悟新知2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②. 知5－讲感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②. 知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知知5－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.例7 感悟新知知5－练方法点拨三角形中求内角的度数问题一般用方程思想求解.当内角之间存在数量关系时，一般根据“三角形的内角和等于180°”列方程求解. 感悟新知知5－练解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，所以设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+3x+5x=180°，解得x=20°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 感悟新知知5－练教你一招：求三角形内角的度数的方法：(1)若已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数，直接利用“三角形的内角和等于180°”求解.(2)若已知三角形中一个内角的度数及另外两个内角之间的数量关系；或不知道任何一个内角的度数，只知道三个内角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和等于180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知5－练一个零件的形状如图2.1-10，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例8 感悟新知知5－练解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.方法点拨“三角形的内角和等于180°”是任何一个三角形都必须具备的性质.若某三角形的内角和不等于180°，则说明该三角形不存在. 感悟新知知5－练解：这个零件不合格.理由如下：如图2.1-10，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=180°－∠A－∠ACD－∠ABD=180°－90°－18°－34°=38°. 感悟新知知5－练在△DCB中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=184°≠180°，所以这个零件不合格. 知识点三角形按角分类知6－讲感悟新知61.按三角形内角的大小分类： 知6－讲感悟新知 知6－讲感悟新知特别提醒◆根据三角形的内角和等于180°可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角.◆等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形. 知6－讲感悟新知2.直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 感悟新知知6－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.例9 感悟新知知6－练解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.方法技巧三角形的分类方法：(1)若按角分类，则看三角形的最大角的度数：最大角的度数大于90°的三角形是钝角三角形；最大角的度数等于90°的三角形是直角三角形；最大角的度数小于90°的三角形是锐角三角形.(2)若按边分类，则看边是否相等. 感悟新知知6－练解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°，所以∠A<∠B<∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形. 感悟新知知6－练(2)因为∠C=120°>90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形. 知识点三角形的外角知7－讲感悟新知71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶角处取一个外角. 知7－讲感悟新知2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等. 知7－讲感悟新知3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°. 感悟新知知7－练如图2.1-12，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.例10 感悟新知知7－练解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B+∠BAC进行求解. 感悟新知知7－练解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.所以∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95° 感悟新知知7－练另解本题还可以将∠ACD看成△ACD的内角来求.因为∠DAE是△ABD的一个外角，且∠DAE=60°，∠B=35°，所以∠D=60°－35°=25°.因为AD是∠CAE的平分线，所以∠CAD=∠DAE=60°. 感悟新知知7－练如图2.1-13①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD.(1)试说明：∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图2.1-13②，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC.试说明：2∠P=∠B+∠C.例11 感悟新知知7－练解题秘方：将复杂图形分解成基本图形进行探究.解法提醒解决几何问题的关键是根据图中角的关系从复杂图形中分解出常见的基本图形.图2.1-13①中，∠BOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角. 感悟新知知7－练图2.1-13②可以分解出两个“8字形”图形(如图2.1-14①②)，则可得∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P. 感悟新知知7－练解：(1)因为∠BOC=∠A+∠B，∠BOC=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 感悟新知知7－练(2)由(1)的结论可知，∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P.所以∠2+∠3+∠P+∠P=∠1+∠4+∠B+∠C.因为AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以2∠P=∠B+∠C. 课堂小结三角形三角形直角三角形等腰三角形边顶点角三边关系内、外角性质高线中线角平分线组成元素相关线段分类分类
简介：2.1三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角 知识点三角形的相关元素知1－讲感悟新知11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 知1－讲感悟新知三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由 知1－讲感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 知1－讲感悟新知特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 感悟新知知1－练如图2.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例1 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 感悟新知知1－练方法点拨几何图形计数的常用方法：(1)按序计数法；(2)画图计数法；(3)基本图形计数法；解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知1－练解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知识点等腰三角形及相关概念知2－讲感悟新知21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3) 知2－讲感悟新知三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形. 知2－讲感悟新知2.三角形的分类：等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类： 知2－讲感悟新知分类示意图如图2.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角. 感悟新知知2－练[易错题]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，试判断△ABC的形状.(1)三边长满足(a－b)2+|b－c|=0；(2)三边长满足(a－b)(b－c)=0.例2 知2－讲感悟新知方法点拨从边的角度判断三角形的形状，若只能判断出有两条边相等,则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.解题秘方：：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键. 感悟新知知2－练解：(1)因为(a－b)2+|b－c|=0，所以a－b=0，b－c=0.所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.(2)因为(a－b)(b－c)=0，所以a－b=0或b－c=0.所以a=b或b=c.所以△ABC为等腰三角形. 知识点三角形的三边关系知3－讲感悟新知3三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b b>c) 知3－讲感悟新知特别提醒应用三角形的三边关系时，常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 感悟新知知3－练用一条长为21cm的细绳围成一个三角形，能围成一个有一边长是5cm的等腰三角形吗？解题秘方：紧扣“5cm长的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.例3特别提醒本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5cm和底边长为5cm两种情况的同时，要注意隐含的条件：任意两边之和大于第三边.解答这类题时，结果是两种情况可能性较大，应高度重视. 感悟新知知3－练解：当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21，解得x=8.因为5+8>8，所以符合三角形的三边关系，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形.当5cm长的边是腰时，设底边长为ycm，则2×5+y=21，解得y=11. 感悟新知知3－练因为5+5<11，不符合三角形的三边关系，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形.综上可知，能围成底边长为5cm的等腰三角形. 知识点三角形的三条重要线段知4－讲感悟新知4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言 知4－讲感悟新知符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)AD是△ABC的BC边上的高；(3)AD⊥BC于点D；(4)∠ADC=90°，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC，交BC于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD是△ABC的中线；(2)AD是△ABC的BC边上的中线；(3)BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)；(4)点D是BC边的中点 知4－讲感悟新知推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等 知4－讲感悟新知注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心 知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线. 感悟新知知4－练如图2.1-5，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4 感悟新知知4－练(1)△ABC的边BC上的高为，边AB上的高为______.解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练解：△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.答案：AE；CD 感悟新知知4－练(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=_____.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图2.1-6，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否是△DEF的角平分线？例5 感悟新知知4－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解法提醒本例在解题过程中，先利用三角形角平分线的定义，得出一组相等的角,再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明线段是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 感悟新知知4－练解：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线. 如图2.1-7，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.感悟新知知4－练例6解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 感悟新知知4－练解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. (2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2.感悟新知知4－练详解三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得△ABD与△ACD的面积相等，即S△ABD=S△ABD=S△ABD. 知识点三角形的内角和知5－讲感悟新知51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特别解读三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知5－讲感悟新知2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②. 知5－讲感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②. 知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知知5－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.例7 感悟新知知5－练方法点拨三角形中求内角的度数问题一般用方程思想求解.当内角之间存在数量关系时，一般根据“三角形的内角和等于180°”列方程求解. 感悟新知知5－练解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，所以设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+3x+5x=180°，解得x=20°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 感悟新知知5－练教你一招：求三角形内角的度数的方法：(1)若已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数，直接利用“三角形的内角和等于180°”求解.(2)若已知三角形中一个内角的度数及另外两个内角之间的数量关系；或不知道任何一个内角的度数，只知道三个内角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和等于180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知5－练一个零件的形状如图2.1-10，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例8 感悟新知知5－练解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.方法点拨“三角形的内角和等于180°”是任何一个三角形都必须具备的性质.若某三角形的内角和不等于180°，则说明该三角形不存在. 感悟新知知5－练解：这个零件不合格.理由如下：如图2.1-10，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=180°－∠A－∠ACD－∠ABD=180°－90°－18°－34°=38°. 感悟新知知5－练在△DCB中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=184°≠180°，所以这个零件不合格. 知识点三角形按角分类知6－讲感悟新知61.按三角形内角的大小分类： 知6－讲感悟新知 知6－讲感悟新知特别提醒◆根据三角形的内角和等于180°可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角.◆等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形. 知6－讲感悟新知2.直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 感悟新知知6－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.例9 感悟新知知6－练解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.方法技巧三角形的分类方法：(1)若按角分类，则看三角形的最大角的度数：最大角的度数大于90°的三角形是钝角三角形；最大角的度数等于90°的三角形是直角三角形；最大角的度数小于90°的三角形是锐角三角形.(2)若按边分类，则看边是否相等. 感悟新知知6－练解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°，所以∠A<∠B<∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形. 感悟新知知6－练(2)因为∠C=120°>90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形. 知识点三角形的外角知7－讲感悟新知71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶角处取一个外角. 知7－讲感悟新知2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等. 知7－讲感悟新知3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°. 感悟新知知7－练如图2.1-12，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.例10 感悟新知知7－练解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B+∠BAC进行求解. 感悟新知知7－练解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.所以∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95° 感悟新知知7－练另解本题还可以将∠ACD看成△ACD的内角来求.因为∠DAE是△ABD的一个外角，且∠DAE=60°，∠B=35°，所以∠D=60°－35°=25°.因为AD是∠CAE的平分线，所以∠CAD=∠DAE=60°. 感悟新知知7－练如图2.1-13①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD.(1)试说明：∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图2.1-13②，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC.试说明：2∠P=∠B+∠C.例11 感悟新知知7－练解题秘方：将复杂图形分解成基本图形进行探究.解法提醒解决几何问题的关键是根据图中角的关系从复杂图形中分解出常见的基本图形.图2.1-13①中，∠BOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角. 感悟新知知7－练图2.1-13②可以分解出两个“8字形”图形(如图2.1-14①②)，则可得∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P. 感悟新知知7－练解：(1)因为∠BOC=∠A+∠B，∠BOC=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 感悟新知知7－练(2)由(1)的结论可知，∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P.所以∠2+∠3+∠P+∠P=∠1+∠4+∠B+∠C.因为AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以2∠P=∠B+∠C. 课堂小结三角形三角形直角三角形等腰三角形边顶点角三边关系内、外角性质高线中线角平分线组成元素相关线段分类分类
简介：2.1三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角 知识点三角形的相关元素知1－讲感悟新知11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 知1－讲感悟新知三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由 知1－讲感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 知1－讲感悟新知特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 感悟新知知1－练如图2.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例1 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 感悟新知知1－练方法点拨几何图形计数的常用方法：(1)按序计数法；(2)画图计数法；(3)基本图形计数法；解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知1－练解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知识点等腰三角形及相关概念知2－讲感悟新知21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3) 知2－讲感悟新知三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形. 知2－讲感悟新知2.三角形的分类：等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类： 知2－讲感悟新知分类示意图如图2.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角. 感悟新知知2－练[易错题]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，试判断△ABC的形状.(1)三边长满足(a－b)2+|b－c|=0；(2)三边长满足(a－b)(b－c)=0.例2 知2－讲感悟新知方法点拨从边的角度判断三角形的形状，若只能判断出有两条边相等,则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.解题秘方：：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键. 感悟新知知2－练解：(1)因为(a－b)2+|b－c|=0，所以a－b=0，b－c=0.所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.(2)因为(a－b)(b－c)=0，所以a－b=0或b－c=0.所以a=b或b=c.所以△ABC为等腰三角形. 知识点三角形的三边关系知3－讲感悟新知3三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b b>c) 知3－讲感悟新知特别提醒应用三角形的三边关系时，常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 感悟新知知3－练用一条长为21cm的细绳围成一个三角形，能围成一个有一边长是5cm的等腰三角形吗？解题秘方：紧扣“5cm长的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.例3特别提醒本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5cm和底边长为5cm两种情况的同时，要注意隐含的条件：任意两边之和大于第三边.解答这类题时，结果是两种情况可能性较大，应高度重视. 感悟新知知3－练解：当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21，解得x=8.因为5+8>8，所以符合三角形的三边关系，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形.当5cm长的边是腰时，设底边长为ycm，则2×5+y=21，解得y=11. 感悟新知知3－练因为5+5<11，不符合三角形的三边关系，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形.综上可知，能围成底边长为5cm的等腰三角形. 知识点三角形的三条重要线段知4－讲感悟新知4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言 知4－讲感悟新知符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)AD是△ABC的BC边上的高；(3)AD⊥BC于点D；(4)∠ADC=90°，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC，交BC于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD是△ABC的中线；(2)AD是△ABC的BC边上的中线；(3)BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)；(4)点D是BC边的中点 知4－讲感悟新知推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等 知4－讲感悟新知注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心 知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线. 感悟新知知4－练如图2.1-5，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4 感悟新知知4－练(1)△ABC的边BC上的高为，边AB上的高为______.解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练解：△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.答案：AE；CD 感悟新知知4－练(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=_____.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图2.1-6，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否是△DEF的角平分线？例5 感悟新知知4－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解法提醒本例在解题过程中，先利用三角形角平分线的定义，得出一组相等的角,再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明线段是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 感悟新知知4－练解：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线. 如图2.1-7，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.感悟新知知4－练例6解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 感悟新知知4－练解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. (2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2.感悟新知知4－练详解三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得△ABD与△ACD的面积相等，即S△ABD=S△ABD=S△ABD. 知识点三角形的内角和知5－讲感悟新知51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特别解读三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知5－讲感悟新知2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②. 知5－讲感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②. 知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知知5－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.例7 感悟新知知5－练方法点拨三角形中求内角的度数问题一般用方程思想求解.当内角之间存在数量关系时，一般根据“三角形的内角和等于180°”列方程求解. 感悟新知知5－练解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，所以设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+3x+5x=180°，解得x=20°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 感悟新知知5－练教你一招：求三角形内角的度数的方法：(1)若已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数，直接利用“三角形的内角和等于180°”求解.(2)若已知三角形中一个内角的度数及另外两个内角之间的数量关系；或不知道任何一个内角的度数，只知道三个内角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和等于180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知5－练一个零件的形状如图2.1-10，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例8 感悟新知知5－练解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.方法点拨“三角形的内角和等于180°”是任何一个三角形都必须具备的性质.若某三角形的内角和不等于180°，则说明该三角形不存在. 感悟新知知5－练解：这个零件不合格.理由如下：如图2.1-10，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=180°－∠A－∠ACD－∠ABD=180°－90°－18°－34°=38°. 感悟新知知5－练在△DCB中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=184°≠180°，所以这个零件不合格. 知识点三角形按角分类知6－讲感悟新知61.按三角形内角的大小分类： 知6－讲感悟新知 知6－讲感悟新知特别提醒◆根据三角形的内角和等于180°可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角.◆等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形. 知6－讲感悟新知2.直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 感悟新知知6－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.例9 感悟新知知6－练解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.方法技巧三角形的分类方法：(1)若按角分类，则看三角形的最大角的度数：最大角的度数大于90°的三角形是钝角三角形；最大角的度数等于90°的三角形是直角三角形；最大角的度数小于90°的三角形是锐角三角形.(2)若按边分类，则看边是否相等. 感悟新知知6－练解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°，所以∠A<∠B<∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形. 感悟新知知6－练(2)因为∠C=120°>90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形. 知识点三角形的外角知7－讲感悟新知71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶角处取一个外角. 知7－讲感悟新知2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等. 知7－讲感悟新知3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°. 感悟新知知7－练如图2.1-12，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.例10 感悟新知知7－练解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B+∠BAC进行求解. 感悟新知知7－练解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.所以∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95° 感悟新知知7－练另解本题还可以将∠ACD看成△ACD的内角来求.因为∠DAE是△ABD的一个外角，且∠DAE=60°，∠B=35°，所以∠D=60°－35°=25°.因为AD是∠CAE的平分线，所以∠CAD=∠DAE=60°. 感悟新知知7－练如图2.1-13①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD.(1)试说明：∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图2.1-13②，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC.试说明：2∠P=∠B+∠C.例11 感悟新知知7－练解题秘方：将复杂图形分解成基本图形进行探究.解法提醒解决几何问题的关键是根据图中角的关系从复杂图形中分解出常见的基本图形.图2.1-13①中，∠BOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角. 感悟新知知7－练图2.1-13②可以分解出两个“8字形”图形(如图2.1-14①②)，则可得∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P. 感悟新知知7－练解：(1)因为∠BOC=∠A+∠B，∠BOC=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 感悟新知知7－练(2)由(1)的结论可知，∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P.所以∠2+∠3+∠P+∠P=∠1+∠4+∠B+∠C.因为AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以2∠P=∠B+∠C. 课堂小结三角形三角形直角三角形等腰三角形边顶点角三边关系内、外角性质高线中线角平分线组成元素相关线段分类分类
简介：2.1三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角 知识点三角形的相关元素知1－讲感悟新知11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 知1－讲感悟新知三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由 知1－讲感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 知1－讲感悟新知特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 感悟新知知1－练如图2.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例1 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 感悟新知知1－练方法点拨几何图形计数的常用方法：(1)按序计数法；(2)画图计数法；(3)基本图形计数法；解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知1－练解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知识点等腰三角形及相关概念知2－讲感悟新知21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3) 知2－讲感悟新知三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形. 知2－讲感悟新知2.三角形的分类：等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类： 知2－讲感悟新知分类示意图如图2.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角. 感悟新知知2－练[易错题]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，试判断△ABC的形状.(1)三边长满足(a－b)2+|b－c|=0；(2)三边长满足(a－b)(b－c)=0.例2 知2－讲感悟新知方法点拨从边的角度判断三角形的形状，若只能判断出有两条边相等,则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.解题秘方：：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键. 感悟新知知2－练解：(1)因为(a－b)2+|b－c|=0，所以a－b=0，b－c=0.所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.(2)因为(a－b)(b－c)=0，所以a－b=0或b－c=0.所以a=b或b=c.所以△ABC为等腰三角形. 知识点三角形的三边关系知3－讲感悟新知3三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b b>c) 知3－讲感悟新知特别提醒应用三角形的三边关系时，常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 感悟新知知3－练用一条长为21cm的细绳围成一个三角形，能围成一个有一边长是5cm的等腰三角形吗？解题秘方：紧扣“5cm长的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.例3特别提醒本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5cm和底边长为5cm两种情况的同时，要注意隐含的条件：任意两边之和大于第三边.解答这类题时，结果是两种情况可能性较大，应高度重视. 感悟新知知3－练解：当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21，解得x=8.因为5+8>8，所以符合三角形的三边关系，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形.当5cm长的边是腰时，设底边长为ycm，则2×5+y=21，解得y=11. 感悟新知知3－练因为5+5<11，不符合三角形的三边关系，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形.综上可知，能围成底边长为5cm的等腰三角形. 知识点三角形的三条重要线段知4－讲感悟新知4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言 知4－讲感悟新知符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)AD是△ABC的BC边上的高；(3)AD⊥BC于点D；(4)∠ADC=90°，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC，交BC于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD是△ABC的中线；(2)AD是△ABC的BC边上的中线；(3)BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)；(4)点D是BC边的中点 知4－讲感悟新知推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等 知4－讲感悟新知注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心 知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线. 感悟新知知4－练如图2.1-5，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4 感悟新知知4－练(1)△ABC的边BC上的高为，边AB上的高为______.解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练解：△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.答案：AE；CD 感悟新知知4－练(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=_____.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图2.1-6，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否是△DEF的角平分线？例5 感悟新知知4－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解法提醒本例在解题过程中，先利用三角形角平分线的定义，得出一组相等的角,再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明线段是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 感悟新知知4－练解：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线. 如图2.1-7，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.感悟新知知4－练例6解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 感悟新知知4－练解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. (2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2.感悟新知知4－练详解三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得△ABD与△ACD的面积相等，即S△ABD=S△ABD=S△ABD. 知识点三角形的内角和知5－讲感悟新知51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特别解读三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知5－讲感悟新知2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②. 知5－讲感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②. 知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知知5－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.例7 感悟新知知5－练方法点拨三角形中求内角的度数问题一般用方程思想求解.当内角之间存在数量关系时，一般根据“三角形的内角和等于180°”列方程求解. 感悟新知知5－练解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，所以设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+3x+5x=180°，解得x=20°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 感悟新知知5－练教你一招：求三角形内角的度数的方法：(1)若已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数，直接利用“三角形的内角和等于180°”求解.(2)若已知三角形中一个内角的度数及另外两个内角之间的数量关系；或不知道任何一个内角的度数，只知道三个内角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和等于180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知5－练一个零件的形状如图2.1-10，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例8 感悟新知知5－练解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.方法点拨“三角形的内角和等于180°”是任何一个三角形都必须具备的性质.若某三角形的内角和不等于180°，则说明该三角形不存在. 感悟新知知5－练解：这个零件不合格.理由如下：如图2.1-10，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=180°－∠A－∠ACD－∠ABD=180°－90°－18°－34°=38°. 感悟新知知5－练在△DCB中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=184°≠180°，所以这个零件不合格. 知识点三角形按角分类知6－讲感悟新知61.按三角形内角的大小分类： 知6－讲感悟新知 知6－讲感悟新知特别提醒◆根据三角形的内角和等于180°可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角.◆等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形. 知6－讲感悟新知2.直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 感悟新知知6－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.例9 感悟新知知6－练解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.方法技巧三角形的分类方法：(1)若按角分类，则看三角形的最大角的度数：最大角的度数大于90°的三角形是钝角三角形；最大角的度数等于90°的三角形是直角三角形；最大角的度数小于90°的三角形是锐角三角形.(2)若按边分类，则看边是否相等. 感悟新知知6－练解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°，所以∠A<∠B<∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形. 感悟新知知6－练(2)因为∠C=120°>90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形. 知识点三角形的外角知7－讲感悟新知71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶角处取一个外角. 知7－讲感悟新知2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等. 知7－讲感悟新知3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°. 感悟新知知7－练如图2.1-12，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.例10 感悟新知知7－练解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B+∠BAC进行求解. 感悟新知知7－练解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.所以∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95° 感悟新知知7－练另解本题还可以将∠ACD看成△ACD的内角来求.因为∠DAE是△ABD的一个外角，且∠DAE=60°，∠B=35°，所以∠D=60°－35°=25°.因为AD是∠CAE的平分线，所以∠CAD=∠DAE=60°. 感悟新知知7－练如图2.1-13①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD.(1)试说明：∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图2.1-13②，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC.试说明：2∠P=∠B+∠C.例11 感悟新知知7－练解题秘方：将复杂图形分解成基本图形进行探究.解法提醒解决几何问题的关键是根据图中角的关系从复杂图形中分解出常见的基本图形.图2.1-13①中，∠BOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角. 感悟新知知7－练图2.1-13②可以分解出两个“8字形”图形(如图2.1-14①②)，则可得∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P. 感悟新知知7－练解：(1)因为∠BOC=∠A+∠B，∠BOC=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 感悟新知知7－练(2)由(1)的结论可知，∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P.所以∠2+∠3+∠P+∠P=∠1+∠4+∠B+∠C.因为AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以2∠P=∠B+∠C. 课堂小结三角形三角形直角三角形等腰三角形边顶点角三边关系内、外角性质高线中线角平分线组成元素相关线段分类分类
简介：2.1三角形第2章三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形的相关元素等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角 知识点三角形的相关元素知1－讲感悟新知11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 知1－讲感悟新知三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由 知1－讲感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 知1－讲感悟新知特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示. 感悟新知知1－练如图2.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.例1 感悟新知知1－练(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？三个内角呢？(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？ 感悟新知知1－练方法点拨几何图形计数的常用方法：(1)按序计数法；(2)画图计数法；(3)基本图形计数法；解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.特别提醒三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，如△ABF可以写成△BAF，△BFA，△FAB等. 感悟新知知1－练解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC. 感悟新知知1－练(4)以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB. 知识点等腰三角形及相关概念知2－讲感悟新知21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3) 知2－讲感悟新知三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形. 知2－讲感悟新知2.三角形的分类：等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.按边的相等关系分类： 知2－讲感悟新知分类示意图如图2.1-4. 知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角. 感悟新知知2－练[易错题]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，试判断△ABC的形状.(1)三边长满足(a－b)2+|b－c|=0；(2)三边长满足(a－b)(b－c)=0.例2 知2－讲感悟新知方法点拨从边的角度判断三角形的形状，若只能判断出有两条边相等,则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.解题秘方：：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键. 感悟新知知2－练解：(1)因为(a－b)2+|b－c|=0，所以a－b=0，b－c=0.所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.(2)因为(a－b)(b－c)=0，所以a－b=0或b－c=0.所以a=b或b=c.所以△ABC为等腰三角形. 知识点三角形的三边关系知3－讲感悟新知3三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b b>c) 知3－讲感悟新知特别提醒应用三角形的三边关系时，常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 感悟新知知3－练用一条长为21cm的细绳围成一个三角形，能围成一个有一边长是5cm的等腰三角形吗？解题秘方：紧扣“5cm长的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.例3特别提醒本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5cm和底边长为5cm两种情况的同时，要注意隐含的条件：任意两边之和大于第三边.解答这类题时，结果是两种情况可能性较大，应高度重视. 感悟新知知3－练解：当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21，解得x=8.因为5+8>8，所以符合三角形的三边关系，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形.当5cm长的边是腰时，设底边长为ycm，则2×5+y=21，解得y=11. 感悟新知知3－练因为5+5<11，不符合三角形的三边关系，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形.综上可知，能围成底边长为5cm的等腰三角形. 知识点三角形的三条重要线段知4－讲感悟新知4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言 知4－讲感悟新知符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)AD是△ABC的BC边上的高；(3)AD⊥BC于点D；(4)∠ADC=90°，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC，交BC于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD是△ABC的中线；(2)AD是△ABC的BC边上的中线；(3)BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)；(4)点D是BC边的中点 知4－讲感悟新知推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等 知4－讲感悟新知注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心 知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线. 感悟新知知4－练如图2.1-5，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4 感悟新知知4－练(1)△ABC的边BC上的高为，边AB上的高为______.解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练解：△ABC是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.答案：AE；CD 感悟新知知4－练(2)若AB=5，BC=2，CD=，则AE=_____.解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.方法点拨找三角形某边上的高的方法：(1)找出该边所对的顶点;(2)过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 感悟新知知4－练教你一招求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题的常规思路.用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种很重要的数学方法——等面积法. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练如图2.1-6，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否是△DEF的角平分线？例5 感悟新知知4－练解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.解法提醒本例在解题过程中，先利用三角形角平分线的定义，得出一组相等的角,再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明线段是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 感悟新知知4－练解：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2.因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2，∠1=∠4.所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线. 如图2.1-7，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.感悟新知知4－练例6解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 感悟新知知4－练解：(1)因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5. (2)因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ABC=4.因为BE是△ABD的中线，所以S△ABE=S△ABD=2.感悟新知知4－练详解三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ABD的边BD上的高与△ACD的边CD上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得△ABD与△ACD的面积相等，即S△ABD=S△ABD=S△ABD. 知识点三角形的内角和知5－讲感悟新知51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特别解读三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 知5－讲感悟新知2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②. 知5－讲感悟新知思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②. 知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可. 感悟新知知5－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.例7 感悟新知知5－练方法点拨三角形中求内角的度数问题一般用方程思想求解.当内角之间存在数量关系时，一般根据“三角形的内角和等于180°”列方程求解. 感悟新知知5－练解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，所以设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+3x+5x=180°，解得x=20°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 感悟新知知5－练教你一招：求三角形内角的度数的方法：(1)若已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数，直接利用“三角形的内角和等于180°”求解.(2)若已知三角形中一个内角的度数及另外两个内角之间的数量关系；或不知道任何一个内角的度数，只知道三个内角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和等于180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解. 感悟新知知5－练一个零件的形状如图2.1-10，按规定∠A应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.例8 感悟新知知5－练解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.方法点拨“三角形的内角和等于180°”是任何一个三角形都必须具备的性质.若某三角形的内角和不等于180°，则说明该三角形不存在. 感悟新知知5－练解：这个零件不合格.理由如下：如图2.1-10，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，因为∠A=90°，∠ACD=18°，∠ABD=34°，所以∠DCB+∠DBC=180°－∠A－∠ACD－∠ABD=180°－90°－18°－34°=38°. 感悟新知知5－练在△DCB中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=184°≠180°，所以这个零件不合格. 知识点三角形按角分类知6－讲感悟新知61.按三角形内角的大小分类： 知6－讲感悟新知 知6－讲感悟新知特别提醒◆根据三角形的内角和等于180°可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角.◆等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形. 知6－讲感悟新知2.直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 感悟新知知6－练在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.例9 感悟新知知6－练解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.方法技巧三角形的分类方法：(1)若按角分类，则看三角形的最大角的度数：最大角的度数大于90°的三角形是钝角三角形；最大角的度数等于90°的三角形是直角三角形；最大角的度数小于90°的三角形是锐角三角形.(2)若按边分类，则看边是否相等. 感悟新知知6－练解：(1)因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°，所以∠A<∠B<∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形. 感悟新知知6－练(2)因为∠C=120°>90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形. 知识点三角形的外角知7－讲感悟新知71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶角处取一个外角. 知7－讲感悟新知2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等. 知7－讲感悟新知3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°. 感悟新知知7－练如图2.1-12，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.例10 感悟新知知7－练解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B+∠BAC进行求解. 感悟新知知7－练解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.所以∠BAC=180°－∠CAE=180°－120°=60°.因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95° 感悟新知知7－练另解本题还可以将∠ACD看成△ACD的内角来求.因为∠DAE是△ABD的一个外角，且∠DAE=60°，∠B=35°，所以∠D=60°－35°=25°.因为AD是∠CAE的平分线，所以∠CAD=∠DAE=60°. 感悟新知知7－练如图2.1-13①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD.(1)试说明：∠A+∠B=∠C+∠D；(2)如图2.1-13②，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC.试说明：2∠P=∠B+∠C.例11 感悟新知知7－练解题秘方：将复杂图形分解成基本图形进行探究.解法提醒解决几何问题的关键是根据图中角的关系从复杂图形中分解出常见的基本图形.图2.1-13①中，∠BOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角. 感悟新知知7－练图2.1-13②可以分解出两个“8字形”图形(如图2.1-14①②)，则可得∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P. 感悟新知知7－练解：(1)因为∠BOC=∠A+∠B，∠BOC=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D. 感悟新知知7－练(2)由(1)的结论可知，∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠C=∠2+∠P.所以∠2+∠3+∠P+∠P=∠1+∠4+∠B+∠C.因为AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，所以∠1=∠2，∠3=∠4.所以2∠P=∠B+∠C. 课堂小结三角形三角形直角三角形等腰三角形边顶点角三边关系内、外角性质高线中线角平分线组成元素相关线段分类分类
