2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）及答案
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2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．23．在中，点D在边
简介：2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则=，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根据交集的运算求得答案.2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则，则2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.3．在中，点D在边AB上，记则（ ）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台的体积公式，得，故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，，又的图像关于点中心对称，则b=2，且， 所以，则，解得，又，则k=2，，故，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.7．设则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，则，所以y≤0，所以lna≤lnb，所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，，令k(x)=，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，所以k(x)>k(0)>0， 所以y’>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c 0，则，，故该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C 【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.故选：ABD【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.10．已知函数则（ ）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】A,C 【解析】【解答】解：令f'(x)=3×2-1=0，得或，当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；又所以f(x)只有一个零点，故B错误；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.故选：AC【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.11．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为，故A错误；由y’=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2-kx+1=0， 则x1+x2=k，x1x2=1，且，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时，又|OA|2=2，则，故C正确；，又|BA|2=5，则，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线对称可知：：g(x)关于点(，0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，，g(-1)=g(1)，故B正确；又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误. 故选：BC【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，①当8-r=2，即r=6时，展开式中项为，②当8-r=3，即r=5时，展开式中项为，则展开式中项为，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：记圆的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，圆的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，则|OA|=5=r1+r2，则两圆外切，作出图象，如图所示， 易得直线l1：x=-1为两圆的切线，易得直线OA为：，可得直线l1与直线OA为，易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：6x+8y-10=0.故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)， 又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.故答案为：a<-4或a>0.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.16．已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是 ．【答案】13【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，与椭圆方程联立，得13×2+8cx-32c2=0，则，则，解得，即△ADE的周长=4a=13故答案为：13【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.四、解答题：本题共6小题，共70分。 17．记为数列的前n项和，已知是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以①时，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得经检验，时，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；（2）由（1）得，利用裂项相消求和求得，再解不等式即可.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因为，所以，所以，又因为，，所以，故.（2）因为所以所以由余弦定理所以 当且仅当，即时取得等号，综上，的最小值为.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得，可得B；（2）由诱导公式求得，，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得，并利用基本不等式求最值即可.19．如图，直三棱柱的体积为4，’的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因为，所以，设A到平面的距离为h；则（2）设D为的中点，且， 由于⇒BC⊥平面因为平面，所以，在直角中，，连接，过A作，则平面，而平面，故.由，所以，由，以B为原点，向量，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面ABD的一个法向量，，令，则有.设平面BCD的一个法向量， 令，则有所以所以二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意易得，再结合棱锥的体积公式求得h；（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明： (ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i)(ii)故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得，再代入R，求解即可.21．已知点A(2，1)在双曲线C：上，直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若求的面积.【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线上，所以有 解得，所以双曲线设直线，联立消去y得到显然，否则不可能有两个交点，而，由韦达定理得，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以所以所以即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足.（2）又由（1）易知，且依题可设AP斜率为，斜率为-，则由夹角公式知（后面补充证明），由对称性易知，只需考虑的情况就行，所以有，解得或（舍）. 而，同理，而，另一方面，联立，（1）同理，（2）将以上两式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；（2）先设AP斜率为，斜率为-，由夹角公式求得，同时根据两直线的位置可得，结合(1)，可得，再由韦达定理与三角形面积公式可得，代入计算即可.22．已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）因为，所以， 若，则恒成立，所以在上单调递增，无最小值，不满足；若，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以，因为，定义域，所以，所以，所以，依题有，即，令，则恒成立所以在上单调递增，又因为，有唯一解，综上，（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，显然有，则肯定有，注意的结构，易知，所以有，所以有，而由在上单调递减，知，同理，所以， 又由，故，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.
简介：2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则=，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根据交集的运算求得答案.2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则，则2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.3．在中，点D在边AB上，记则（ ）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台的体积公式，得，故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，，又的图像关于点中心对称，则b=2，且， 所以，则，解得，又，则k=2，，故，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.7．设则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，则，所以y≤0，所以lna≤lnb，所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，，令k(x)=，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，所以k(x)>k(0)>0， 所以y’>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c 0，则，，故该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C 【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.故选：ABD【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.10．已知函数则（ ）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】A,C 【解析】【解答】解：令f'(x)=3×2-1=0，得或，当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；又所以f(x)只有一个零点，故B错误；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.故选：AC【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.11．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为，故A错误；由y’=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2-kx+1=0， 则x1+x2=k，x1x2=1，且，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时，又|OA|2=2，则，故C正确；，又|BA|2=5，则，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线对称可知：：g(x)关于点(，0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，，g(-1)=g(1)，故B正确；又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误. 故选：BC【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，①当8-r=2，即r=6时，展开式中项为，②当8-r=3，即r=5时，展开式中项为，则展开式中项为，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：记圆的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，圆的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，则|OA|=5=r1+r2，则两圆外切，作出图象，如图所示， 易得直线l1：x=-1为两圆的切线，易得直线OA为：，可得直线l1与直线OA为，易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：6x+8y-10=0.故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)， 又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.故答案为：a<-4或a>0.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.16．已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是 ．【答案】13【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，与椭圆方程联立，得13×2+8cx-32c2=0，则，则，解得，即△ADE的周长=4a=13故答案为：13【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.四、解答题：本题共6小题，共70分。 17．记为数列的前n项和，已知是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以①时，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得经检验，时，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；（2）由（1）得，利用裂项相消求和求得，再解不等式即可.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因为，所以，所以，又因为，，所以，故.（2）因为所以所以由余弦定理所以 当且仅当，即时取得等号，综上，的最小值为.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得，可得B；（2）由诱导公式求得，，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得，并利用基本不等式求最值即可.19．如图，直三棱柱的体积为4，’的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因为，所以，设A到平面的距离为h；则（2）设D为的中点，且， 由于⇒BC⊥平面因为平面，所以，在直角中，，连接，过A作，则平面，而平面，故.由，所以，由，以B为原点，向量，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面ABD的一个法向量，，令，则有.设平面BCD的一个法向量， 令，则有所以所以二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意易得，再结合棱锥的体积公式求得h；（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明： (ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i)(ii)故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得，再代入R，求解即可.21．已知点A(2，1)在双曲线C：上，直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若求的面积.【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线上，所以有 解得，所以双曲线设直线，联立消去y得到显然，否则不可能有两个交点，而，由韦达定理得，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以所以所以即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足.（2）又由（1）易知，且依题可设AP斜率为，斜率为-，则由夹角公式知（后面补充证明），由对称性易知，只需考虑的情况就行，所以有，解得或（舍）. 而，同理，而，另一方面，联立，（1）同理，（2）将以上两式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；（2）先设AP斜率为，斜率为-，由夹角公式求得，同时根据两直线的位置可得，结合(1)，可得，再由韦达定理与三角形面积公式可得，代入计算即可.22．已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）因为，所以， 若，则恒成立，所以在上单调递增，无最小值，不满足；若，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以，因为，定义域，所以，所以，所以，依题有，即，令，则恒成立所以在上单调递增，又因为，有唯一解，综上，（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，显然有，则肯定有，注意的结构，易知，所以有，所以有，而由在上单调递减，知，同理，所以， 又由，故，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.
简介：2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则=，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根据交集的运算求得答案.2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则，则2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.3．在中，点D在边AB上，记则（ ）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台的体积公式，得，故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，，又的图像关于点中心对称，则b=2，且， 所以，则，解得，又，则k=2，，故，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.7．设则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，则，所以y≤0，所以lna≤lnb，所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，，令k(x)=，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，所以k(x)>k(0)>0， 所以y’>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c 0，则，，故该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C 【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.故选：ABD【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.10．已知函数则（ ）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】A,C 【解析】【解答】解：令f'(x)=3×2-1=0，得或，当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；又所以f(x)只有一个零点，故B错误；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.故选：AC【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.11．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为，故A错误；由y’=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2-kx+1=0， 则x1+x2=k，x1x2=1，且，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时，又|OA|2=2，则，故C正确；，又|BA|2=5，则，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线对称可知：：g(x)关于点(，0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，，g(-1)=g(1)，故B正确；又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误. 故选：BC【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，①当8-r=2，即r=6时，展开式中项为，②当8-r=3，即r=5时，展开式中项为，则展开式中项为，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：记圆的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，圆的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，则|OA|=5=r1+r2，则两圆外切，作出图象，如图所示， 易得直线l1：x=-1为两圆的切线，易得直线OA为：，可得直线l1与直线OA为，易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：6x+8y-10=0.故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)， 又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.故答案为：a<-4或a>0.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.16．已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是 ．【答案】13【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，与椭圆方程联立，得13×2+8cx-32c2=0，则，则，解得，即△ADE的周长=4a=13故答案为：13【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.四、解答题：本题共6小题，共70分。 17．记为数列的前n项和，已知是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以①时，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得经检验，时，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；（2）由（1）得，利用裂项相消求和求得，再解不等式即可.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因为，所以，所以，又因为，，所以，故.（2）因为所以所以由余弦定理所以 当且仅当，即时取得等号，综上，的最小值为.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得，可得B；（2）由诱导公式求得，，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得，并利用基本不等式求最值即可.19．如图，直三棱柱的体积为4，’的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因为，所以，设A到平面的距离为h；则（2）设D为的中点，且， 由于⇒BC⊥平面因为平面，所以，在直角中，，连接，过A作，则平面，而平面，故.由，所以，由，以B为原点，向量，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面ABD的一个法向量，，令，则有.设平面BCD的一个法向量， 令，则有所以所以二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意易得，再结合棱锥的体积公式求得h；（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明： (ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i)(ii)故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得，再代入R，求解即可.21．已知点A(2，1)在双曲线C：上，直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若求的面积.【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线上，所以有 解得，所以双曲线设直线，联立消去y得到显然，否则不可能有两个交点，而，由韦达定理得，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以所以所以即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足.（2）又由（1）易知，且依题可设AP斜率为，斜率为-，则由夹角公式知（后面补充证明），由对称性易知，只需考虑的情况就行，所以有，解得或（舍）. 而，同理，而，另一方面，联立，（1）同理，（2）将以上两式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；（2）先设AP斜率为，斜率为-，由夹角公式求得，同时根据两直线的位置可得，结合(1)，可得，再由韦达定理与三角形面积公式可得，代入计算即可.22．已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）因为，所以， 若，则恒成立，所以在上单调递增，无最小值，不满足；若，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以，因为，定义域，所以，所以，所以，依题有，即，令，则恒成立所以在上单调递增，又因为，有唯一解，综上，（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，显然有，则肯定有，注意的结构，易知，所以有，所以有，而由在上单调递减，知，同理，所以， 又由，故，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.
简介：2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则=，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根据交集的运算求得答案.2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则，则2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.3．在中，点D在边AB上，记则（ ）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为n将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台的体积公式，得，故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，，又的图像关于点中心对称，则b=2，且，n所以，则，解得，又，则k=2，，故，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.7．设则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，则，所以y≤0，所以lna≤lnb，所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，，令k(x)=，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，所以k(x)>k(0)>0，n所以y’>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c 0，则，，故该正四棱锥体积的取值范围是.故选：Cn【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.故选：ABD【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.10．已知函数则（ ）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】A,Cn【解析】【解答】解：令f'(x)=3×2-1=0，得或，当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；又所以f(x)只有一个零点，故B错误；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.故选：AC【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.11．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为，故A错误；由y’=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，n则x1+x2=k，x1x2=1，且，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时，又|OA|2=2，则，故C正确；，又|BA|2=5，则，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线对称可知：：g(x)关于点(，0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，，g(-1)=g(1)，故B正确；又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.n故选：BC【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，①当8-r=2，即r=6时，展开式中项为，②当8-r=3，即r=5时，展开式中项为，则展开式中项为，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：记圆的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，圆的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，则|OA|=5=r1+r2，则两圆外切，作出图象，如图所示，n易得直线l1：x=-1为两圆的切线，易得直线OA为：，可得直线l1与直线OA为，易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：6x+8y-10=0.故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)，n又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.故答案为：a<-4或a>0.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.16．已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是 ．【答案】13【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，与椭圆方程联立，得13×2+8cx-32c2=0，则，则，解得，即△ADE的周长=4a=13故答案为：13【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.四、解答题：本题共6小题，共70分。n17．记为数列的前n项和，已知是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以①时，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得经检验，时，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，由利用Sn与an的关系，得n，再利用累积法，可得an；（2）由（1）得，利用裂项相消求和求得，再解不等式即可.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因为，所以，所以，又因为，，所以，故.（2）因为所以所以由余弦定理所以n当且仅当，即时取得等号，综上，的最小值为.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得，可得B；（2）由诱导公式求得，，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得，并利用基本不等式求最值即可.19．如图，直三棱柱的体积为4，’的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因为，所以，设A到平面的距离为h；则（2）设D为的中点，且，n由于⇒BC⊥平面因为平面，所以，在直角中，，连接，过A作，则平面，而平面，故.由，所以，由，以B为原点，向量，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面ABD的一个法向量，，令，则有.设平面BCD的一个法向量，n令，则有所以所以二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意易得，再结合棱锥的体积公式求得h；（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：n(ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i)(ii)故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得，再代入R，求解即可.21．已知点A(2，1)在双曲线C：上，直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若求的面积.【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线上，所以有n解得，所以双曲线设直线，联立消去y得到显然，否则不可能有两个交点，而，由韦达定理得，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以所以所以即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足.（2）又由（1）易知，且依题可设AP斜率为，斜率为-，则由夹角公式知（后面补充证明），由对称性易知，只需考虑的情况就行，所以有，解得或（舍）.n而，同理，而，另一方面，联立，（1）同理，（2）将以上两式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；（2）先设AP斜率为，斜率为-，由夹角公式求得，同时根据两直线的位置可得，结合(1)，可得，再由韦达定理与三角形面积公式可得，代入计算即可.22．已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）因为，所以，n若，则恒成立，所以在上单调递增，无最小值，不满足；若，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以，因为，定义域，所以，所以，所以，依题有，即，令，则恒成立所以在上单调递增，又因为，有唯一解，综上，（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，显然有，则肯定有，注意的结构，易知，所以有，所以有，而由在上单调递减，知，同理，所以，n又由，故，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.
简介：2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则=，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根据交集的运算求得答案.2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则，则2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.3．在中，点D在边AB上，记则（ ）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为n将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台的体积公式，得，故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，，又的图像关于点中心对称，则b=2，且，n所以，则，解得，又，则k=2，，故，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.7．设则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，则，所以y≤0，所以lna≤lnb，所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，，令k(x)=，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，所以k(x)>k(0)>0，n所以y’>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c 0，则，，故该正四棱锥体积的取值范围是.故选：Cn【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.故选：ABD【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.10．已知函数则（ ）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】A,Cn【解析】【解答】解：令f'(x)=3×2-1=0，得或，当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；又所以f(x)只有一个零点，故B错误；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.故选：AC【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.11．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为，故A错误；由y’=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，n则x1+x2=k，x1x2=1，且，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时，又|OA|2=2，则，故C正确；，又|BA|2=5，则，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线对称可知：：g(x)关于点(，0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，，g(-1)=g(1)，故B正确；又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.n故选：BC【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，①当8-r=2，即r=6时，展开式中项为，②当8-r=3，即r=5时，展开式中项为，则展开式中项为，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：记圆的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，圆的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，则|OA|=5=r1+r2，则两圆外切，作出图象，如图所示，n易得直线l1：x=-1为两圆的切线，易得直线OA为：，可得直线l1与直线OA为，易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：6x+8y-10=0.故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)，n又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.故答案为：a<-4或a>0.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.16．已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是 ．【答案】13【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，与椭圆方程联立，得13×2+8cx-32c2=0，则，则，解得，即△ADE的周长=4a=13故答案为：13【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.四、解答题：本题共6小题，共70分。n17．记为数列的前n项和，已知是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以①时，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得经检验，时，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，由利用Sn与an的关系，得n，再利用累积法，可得an；（2）由（1）得，利用裂项相消求和求得，再解不等式即可.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因为，所以，所以，又因为，，所以，故.（2）因为所以所以由余弦定理所以n当且仅当，即时取得等号，综上，的最小值为.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得，可得B；（2）由诱导公式求得，，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得，并利用基本不等式求最值即可.19．如图，直三棱柱的体积为4，’的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因为，所以，设A到平面的距离为h；则（2）设D为的中点，且，n由于⇒BC⊥平面因为平面，所以，在直角中，，连接，过A作，则平面，而平面，故.由，所以，由，以B为原点，向量，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面ABD的一个法向量，，令，则有.设平面BCD的一个法向量，n令，则有所以所以二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意易得，再结合棱锥的体积公式求得h；（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：n(ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i)(ii)故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得，再代入R，求解即可.21．已知点A(2，1)在双曲线C：上，直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若求的面积.【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线上，所以有n解得，所以双曲线设直线，联立消去y得到显然，否则不可能有两个交点，而，由韦达定理得，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以所以所以即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足.（2）又由（1）易知，且依题可设AP斜率为，斜率为-，则由夹角公式知（后面补充证明），由对称性易知，只需考虑的情况就行，所以有，解得或（舍）.n而，同理，而，另一方面，联立，（1）同理，（2）将以上两式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；（2）先设AP斜率为，斜率为-，由夹角公式求得，同时根据两直线的位置可得，结合(1)，可得，再由韦达定理与三角形面积公式可得，代入计算即可.22．已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）因为，所以，n若，则恒成立，所以在上单调递增，无最小值，不满足；若，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以，因为，定义域，所以，所以，所以，依题有，即，令，则恒成立所以在上单调递增，又因为，有唯一解，综上，（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，显然有，则肯定有，注意的结构，易知，所以有，所以有，而由在上单调递减，知，同理，所以，n又由，故，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.
简介：2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合则=（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则=，故选：D【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根据交集的运算求得答案.2．若则（ ）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，，则，则2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.3．在中，点D在边AB上，记则（ ）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，，故选：B【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为n将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台的体积公式，得，故选：C【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.6．记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，，又的图像关于点中心对称，则b=2，且，n所以，则，解得，又，则k=2，，故，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.7．设则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，则，所以y≤0，所以lna≤lnb，所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，，令k(x)=，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，所以k(x)>k(0)>0，n所以y’>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c 0，则，，故该正四棱锥体积的取值范围是.故选：Cn【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.故选：ABD【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.10．已知函数则（ ）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】A,Cn【解析】【解答】解：令f'(x)=3×2-1=0，得或，当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；又所以f(x)只有一个零点，故B错误；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.故选：AC【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.11．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为，故A错误；由y’=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，n则x1+x2=k，x1x2=1，且，即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时，又|OA|2=2，则，故C正确；，又|BA|2=5，则，故D正确.故选：BCD【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（ ）A．B．C．D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线对称可知：：g(x)关于点(，0)对称，综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，，g(-1)=g(1)，故B正确；又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.n故选：BC【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为 (用数字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，①当8-r=2，即r=6时，展开式中项为，②当8-r=3，即r=5时，展开式中项为，则展开式中项为，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：记圆的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，圆的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，则|OA|=5=r1+r2，则两圆外切，作出图象，如图所示，n易得直线l1：x=-1为两圆的切线，易得直线OA为：，可得直线l1与直线OA为，易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：6x+8y-10=0.故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)，n又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.故答案为：a<-4或a>0.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.16．已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是 ．【答案】13【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，与椭圆方程联立，得13×2+8cx-32c2=0，则，则，解得，即△ADE的周长=4a=13故答案为：13【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.四、解答题：本题共6小题，共70分。n17．记为数列的前n项和，已知是公差为，的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1）因为是公差为的等差数列，而，所以①时，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得经检验，时，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，由利用Sn与an的关系，得n，再利用累积法，可得an；（2）由（1）得，利用裂项相消求和求得，再解不等式即可.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因为，所以，所以，又因为，，所以，故.（2）因为所以所以由余弦定理所以n当且仅当，即时取得等号，综上，的最小值为.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得，可得B；（2）由诱导公式求得，，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得，并利用基本不等式求最值即可.19．如图，直三棱柱的体积为4，’的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因为，所以，设A到平面的距离为h；则（2）设D为的中点，且，n由于⇒BC⊥平面因为平面，所以，在直角中，，连接，过A作，则平面，而平面，故.由，所以，由，以B为原点，向量，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面ABD的一个法向量，，令，则有.设平面BCD的一个法向量，n令，则有所以所以二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）由题意易得，再结合棱锥的体积公式求得h；（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好良好病例组4060对照组1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：n(ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）用局部估计总体(i)(ii)故R的估计值为6【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得，再代入R，求解即可.21．已知点A(2，1)在双曲线C：上，直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求的斜率；（2）若求的面积.【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线上，所以有n解得，所以双曲线设直线，联立消去y得到显然，否则不可能有两个交点，而，由韦达定理得，因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以所以所以即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足.（2）又由（1）易知，且依题可设AP斜率为，斜率为-，则由夹角公式知（后面补充证明），由对称性易知，只需考虑的情况就行，所以有，解得或（舍）.n而，同理，而，另一方面，联立，（1）同理，（2）将以上两式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；（2）先设AP斜率为，斜率为-，由夹角公式求得，同时根据两直线的位置可得，结合(1)，可得，再由韦达定理与三角形面积公式可得，代入计算即可.22．已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）因为，所以，n若，则恒成立，所以在上单调递增，无最小值，不满足；若，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以，因为，定义域，所以，所以，所以，依题有，即，令，则恒成立所以在上单调递增，又因为，有唯一解，综上，（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，显然有，则肯定有，注意的结构，易知，所以有，所以有，而由在上单调递减，知，同理，所以，n又由，故，所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.
