浙江省2022年中考数学真题分类汇编12统计与概率及答案
浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其
浙江省2022年中考数学真题分类汇编12统计与概率一、单选题1．统计一名射击运动员在某次训练中10次射击的中靶环数，获得如下数据：7，8，10，9，9，8，10，9，9，10．这组数据的众数是（ ）A．7B．8C．9D．102．开学前，根
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)2．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）A．(4+3sinα)mB．(4+3tanα)mC．(4+3sinα)mD．(4+3tanα)m3．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（ ）A．3B．83C．2153D．52二、填空题4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．三、解答题6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．7．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE、EF、FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求FG的长．12． 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192）13．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．求证：S2S1=4sin2α-1．14．小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．15．（1）【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】y=−3×5．【答案】10；10+136．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，sinA=BCAB=35.7．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=75°，∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答：梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m8．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=12DE，∴在Rt△DFC中，sin20°=DFCD=DF5≈0.34，∴DF=1.7cm，∴ DE=2DF=3.4cm.（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∴∠AGD=90°，由题意可得：CF垂直平分AB，∴DG∥CF，∴∠GDC=∠DCF=20°，又∵AD⊥CD，∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，∴∠A=∠GDC=20°，∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=AGAD=AG10≈0.94，∴AG=9.4，同理可得：HB=9.4，∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.答：点A、B之间的距离为22.2cm.9．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，∴AB=BDcos∠ABD=9cos53°≈90.6=15(m)．答：此时云梯AB的长为15m．（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，∴AD=AE-DE=19-2=17．在Rt△ABD中，BD=9，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370<20，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．10．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°， ∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=311．【答案】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO．∵O是DF的中点，∴FO=DO，∴△EFO≌△GDO(AAS)，∴EF=GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，E是AC中点，∴DE=12AC=EC，∴∠EDC=∠C，∴tanC=tan∠EDC=52，∴ADDC=52．∵AD=5，∴CD=2．∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292．由▱DEFG得FG=DE=292．12．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，∴∠BAD＝47°．答：∠BAD的度数是47°．（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=ACBC，∴BC=ACtan37°．同理，在Rt△ADC中，有DC=ACtan84°．∵BD=4， ∴BC−DC=ACtan37°−ACtan84°=BD=4．∴43AC−219AC≈4，∴AC≈3.3(米)．答：表AC的长是3.3米．13．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，∴正方形EFGH的面积为5.（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，∴∠EFB+∠FEB=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90°，∴∠KEA+∠FEB=90°，∴∠KEA=∠CEFB，∴△KEA∽△EFB，∴KEEF=AEBF=2．∴EK=2EF=2EH．②解：由①得HK=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，∴△KHI≌△FGJ．∴△KHI的面积为S1．由题意，知△KHI∽△KAE，∴S1+S2S1=(KAKH)2=4KA2KE2=4sin2α，∴S2S1=4sin2α-1．14．【答案】（1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：2， 又∵以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：2，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠APC=112.5°-67.5°=45°；②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：2，∵AC：AB=1：2，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠CPD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°，又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°，又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：2，∴MN：ME=1：2，点N是ME的“趣点”.15．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF， ∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)2．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）A．(4+3sinα)mB．(4+3tanα)mC．(4+3sinα)mD．(4+3tanα)m3．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（ ）A．3B．83C．2153D．52二、填空题4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．三、解答题6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．7．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE、EF、FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求FG的长．12． 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192）13．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．求证：S2S1=4sin2α-1．14．小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．15．（1）【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】y=−3×5．【答案】10；10+136．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，sinA=BCAB=35.7．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=75°，∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答：梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m8．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=12DE，∴在Rt△DFC中，sin20°=DFCD=DF5≈0.34，∴DF=1.7cm，∴ DE=2DF=3.4cm.（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∴∠AGD=90°，由题意可得：CF垂直平分AB，∴DG∥CF，∴∠GDC=∠DCF=20°，又∵AD⊥CD，∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，∴∠A=∠GDC=20°，∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=AGAD=AG10≈0.94，∴AG=9.4，同理可得：HB=9.4，∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.答：点A、B之间的距离为22.2cm.9．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，∴AB=BDcos∠ABD=9cos53°≈90.6=15(m)．答：此时云梯AB的长为15m．（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，∴AD=AE-DE=19-2=17．在Rt△ABD中，BD=9，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370<20，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．10．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°， ∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=311．【答案】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO．∵O是DF的中点，∴FO=DO，∴△EFO≌△GDO(AAS)，∴EF=GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，E是AC中点，∴DE=12AC=EC，∴∠EDC=∠C，∴tanC=tan∠EDC=52，∴ADDC=52．∵AD=5，∴CD=2．∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292．由▱DEFG得FG=DE=292．12．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，∴∠BAD＝47°．答：∠BAD的度数是47°．（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=ACBC，∴BC=ACtan37°．同理，在Rt△ADC中，有DC=ACtan84°．∵BD=4， ∴BC−DC=ACtan37°−ACtan84°=BD=4．∴43AC−219AC≈4，∴AC≈3.3(米)．答：表AC的长是3.3米．13．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，∴正方形EFGH的面积为5.（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，∴∠EFB+∠FEB=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90°，∴∠KEA+∠FEB=90°，∴∠KEA=∠CEFB，∴△KEA∽△EFB，∴KEEF=AEBF=2．∴EK=2EF=2EH．②解：由①得HK=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，∴△KHI≌△FGJ．∴△KHI的面积为S1．由题意，知△KHI∽△KAE，∴S1+S2S1=(KAKH)2=4KA2KE2=4sin2α，∴S2S1=4sin2α-1．14．【答案】（1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：2， 又∵以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：2，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠APC=112.5°-67.5°=45°；②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：2，∵AC：AB=1：2，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠CPD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°，又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°，又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：2，∴MN：ME=1：2，点N是ME的“趣点”.15．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF， ∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)2．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）A．(4+3sinα)mB．(4+3tanα)mC．(4+3sinα)mD．(4+3tanα)m3．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（ ）A．3B．83C．2153D．52二、填空题4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．三、解答题6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．7．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE、EF、FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求FG的长．12． 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192）13．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．求证：S2S1=4sin2α-1．14．小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．15．（1）【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】y=−3×5．【答案】10；10+136．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，sinA=BCAB=35.7．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=75°，∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答：梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m8．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=12DE，∴在Rt△DFC中，sin20°=DFCD=DF5≈0.34，∴DF=1.7cm，∴ DE=2DF=3.4cm.（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∴∠AGD=90°，由题意可得：CF垂直平分AB，∴DG∥CF，∴∠GDC=∠DCF=20°，又∵AD⊥CD，∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，∴∠A=∠GDC=20°，∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=AGAD=AG10≈0.94，∴AG=9.4，同理可得：HB=9.4，∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.答：点A、B之间的距离为22.2cm.9．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，∴AB=BDcos∠ABD=9cos53°≈90.6=15(m)．答：此时云梯AB的长为15m．（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，∴AD=AE-DE=19-2=17．在Rt△ABD中，BD=9，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370<20，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．10．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°， ∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=311．【答案】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO．∵O是DF的中点，∴FO=DO，∴△EFO≌△GDO(AAS)，∴EF=GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，E是AC中点，∴DE=12AC=EC，∴∠EDC=∠C，∴tanC=tan∠EDC=52，∴ADDC=52．∵AD=5，∴CD=2．∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292．由▱DEFG得FG=DE=292．12．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，∴∠BAD＝47°．答：∠BAD的度数是47°．（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=ACBC，∴BC=ACtan37°．同理，在Rt△ADC中，有DC=ACtan84°．∵BD=4， ∴BC−DC=ACtan37°−ACtan84°=BD=4．∴43AC−219AC≈4，∴AC≈3.3(米)．答：表AC的长是3.3米．13．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，∴正方形EFGH的面积为5.（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，∴∠EFB+∠FEB=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90°，∴∠KEA+∠FEB=90°，∴∠KEA=∠CEFB，∴△KEA∽△EFB，∴KEEF=AEBF=2．∴EK=2EF=2EH．②解：由①得HK=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，∴△KHI≌△FGJ．∴△KHI的面积为S1．由题意，知△KHI∽△KAE，∴S1+S2S1=(KAKH)2=4KA2KE2=4sin2α，∴S2S1=4sin2α-1．14．【答案】（1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：2， 又∵以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：2，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠APC=112.5°-67.5°=45°；②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：2，∵AC：AB=1：2，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠CPD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°，又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°，又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：2，∴MN：ME=1：2，点N是ME的“趣点”.15．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF， ∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)2．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）A．(4+3sinα)mB．(4+3tanα)mC．(4+3sinα)mD．(4+3tanα)m3．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（ ）A．3B．83C．2153D．52二、填空题4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．三、解答题6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．7．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE、EF、FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求FG的长．12． 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192）13．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．求证：S2S1=4sin2α-1．14．小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．15．（1）【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】y=−3×5．【答案】10；10+136．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，sinA=BCAB=35.7．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=75°，∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答：梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m8．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=12DE，∴在Rt△DFC中，sin20°=DFCD=DF5≈0.34，∴DF=1.7cm，∴ DE=2DF=3.4cm.（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∴∠AGD=90°，由题意可得：CF垂直平分AB，∴DG∥CF，∴∠GDC=∠DCF=20°，又∵AD⊥CD，∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，∴∠A=∠GDC=20°，∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=AGAD=AG10≈0.94，∴AG=9.4，同理可得：HB=9.4，∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.答：点A、B之间的距离为22.2cm.9．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，∴AB=BDcos∠ABD=9cos53°≈90.6=15(m)．答：此时云梯AB的长为15m．（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，∴AD=AE-DE=19-2=17．在Rt△ABD中，BD=9，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370<20，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．10．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°， ∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=311．【答案】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO．∵O是DF的中点，∴FO=DO，∴△EFO≌△GDO(AAS)，∴EF=GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，E是AC中点，∴DE=12AC=EC，∴∠EDC=∠C，∴tanC=tan∠EDC=52，∴ADDC=52．∵AD=5，∴CD=2．∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292．由▱DEFG得FG=DE=292．12．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，∴∠BAD＝47°．答：∠BAD的度数是47°．（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=ACBC，∴BC=ACtan37°．同理，在Rt△ADC中，有DC=ACtan84°．∵BD=4， ∴BC−DC=ACtan37°−ACtan84°=BD=4．∴43AC−219AC≈4，∴AC≈3.3(米)．答：表AC的长是3.3米．13．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，∴正方形EFGH的面积为5.（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，∴∠EFB+∠FEB=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90°，∴∠KEA+∠FEB=90°，∴∠KEA=∠CEFB，∴△KEA∽△EFB，∴KEEF=AEBF=2．∴EK=2EF=2EH．②解：由①得HK=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，∴△KHI≌△FGJ．∴△KHI的面积为S1．由题意，知△KHI∽△KAE，∴S1+S2S1=(KAKH)2=4KA2KE2=4sin2α，∴S2S1=4sin2α-1．14．【答案】（1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：2， 又∵以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：2，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠APC=112.5°-67.5°=45°；②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：2，∵AC：AB=1：2，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠CPD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°，又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°，又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：2，∴MN：ME=1：2，点N是ME的“趣点”.15．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF， ∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)2．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）A．(4+3sinα)mB．(4+3tanα)mC．(4+3sinα)mD．(4+3tanα)m3．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（ ）A．3B．83C．2153D．52二、填空题4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．三、解答题6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．7．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE、EF、FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求FG的长．12． 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192）13．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．求证：S2S1=4sin2α-1．14．小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．15．（1）【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】y=−3×5．【答案】10；10+136．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，sinA=BCAB=35.7．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=75°，∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答：梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m8．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=12DE，∴在Rt△DFC中，sin20°=DFCD=DF5≈0.34，∴DF=1.7cm，∴ DE=2DF=3.4cm.（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∴∠AGD=90°，由题意可得：CF垂直平分AB，∴DG∥CF，∴∠GDC=∠DCF=20°，又∵AD⊥CD，∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，∴∠A=∠GDC=20°，∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=AGAD=AG10≈0.94，∴AG=9.4，同理可得：HB=9.4，∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.答：点A、B之间的距离为22.2cm.9．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，∴AB=BDcos∠ABD=9cos53°≈90.6=15(m)．答：此时云梯AB的长为15m．（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，∴AD=AE-DE=19-2=17．在Rt△ABD中，BD=9，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370<20，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．10．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°， ∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=311．【答案】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO．∵O是DF的中点，∴FO=DO，∴△EFO≌△GDO(AAS)，∴EF=GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，E是AC中点，∴DE=12AC=EC，∴∠EDC=∠C，∴tanC=tan∠EDC=52，∴ADDC=52．∵AD=5，∴CD=2．∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292．由▱DEFG得FG=DE=292．12．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，∴∠BAD＝47°．答：∠BAD的度数是47°．（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=ACBC，∴BC=ACtan37°．同理，在Rt△ADC中，有DC=ACtan84°．∵BD=4， ∴BC−DC=ACtan37°−ACtan84°=BD=4．∴43AC−219AC≈4，∴AC≈3.3(米)．答：表AC的长是3.3米．13．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，∴正方形EFGH的面积为5.（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，∴∠EFB+∠FEB=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90°，∴∠KEA+∠FEB=90°，∴∠KEA=∠CEFB，∴△KEA∽△EFB，∴KEEF=AEBF=2．∴EK=2EF=2EH．②解：由①得HK=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，∴△KHI≌△FGJ．∴△KHI的面积为S1．由题意，知△KHI∽△KAE，∴S1+S2S1=(KAKH)2=4KA2KE2=4sin2α，∴S2S1=4sin2α-1．14．【答案】（1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：2， 又∵以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：2，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠APC=112.5°-67.5°=45°；②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：2，∵AC：AB=1：2，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠CPD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°，又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°，又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：2，∴MN：ME=1：2，点N是ME的“趣点”.15．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF， ∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)2．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）A．(4+3sinα)mB．(4+3tanα)mC．(4+3sinα)mD．(4+3tanα)m3．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（ ）A．3B．83C．2153D．52二、填空题4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．三、解答题6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．7．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）9．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE、EF、FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求FG的长．12． 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192）13．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．求证：S2S1=4sin2α-1．14．小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．15．（1）【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】y=−3×5．【答案】10；10+136．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=AB2−BC2=52−32=4，sinA=BCAB=35.7．【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=75°，∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答：梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m8．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=12DE，∴在Rt△DFC中，sin20°=DFCD=DF5≈0.34，∴DF=1.7cm，∴ DE=2DF=3.4cm.（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∴∠AGD=90°，由题意可得：CF垂直平分AB，∴DG∥CF，∴∠GDC=∠DCF=20°，又∵AD⊥CD，∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，∴∠A=∠GDC=20°，∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=AGAD=AG10≈0.94，∴AG=9.4，同理可得：HB=9.4，∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.答：点A、B之间的距离为22.2cm.9．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，∴AB=BDcos∠ABD=9cos53°≈90.6=15(m)．答：此时云梯AB的长为15m．（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，∴AD=AE-DE=19-2=17．在Rt△ABD中，BD=9，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370<20，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．10．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°， ∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=311．【答案】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO．∵O是DF的中点，∴FO=DO，∴△EFO≌△GDO(AAS)，∴EF=GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，E是AC中点，∴DE=12AC=EC，∴∠EDC=∠C，∴tanC=tan∠EDC=52，∴ADDC=52．∵AD=5，∴CD=2．∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292．由▱DEFG得FG=DE=292．12．【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，∴∠BAD＝47°．答：∠BAD的度数是47°．（2）解：在Rt△ABC中，tan37°=ACBC，∴BC=ACtan37°．同理，在Rt△ADC中，有DC=ACtan84°．∵BD=4， ∴BC−DC=ACtan37°−ACtan84°=BD=4．∴43AC−219AC≈4，∴AC≈3.3(米)．答：表AC的长是3.3米．13．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，∵AE=2BF，∴BF=1，由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，∴正方形EFGH的面积为5.（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，∴∠EFB+∠FEB=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=90°，∴∠KEA+∠FEB=90°，∴∠KEA=∠CEFB，∴△KEA∽△EFB，∴KEEF=AEBF=2．∴EK=2EF=2EH．②解：由①得HK=GF，又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，∴△KHI≌△FGJ．∴△KHI的面积为S1．由题意，知△KHI∽△KAE，∴S1+S2S1=(KAKH)2=4KA2KE2=4sin2α，∴S2S1=4sin2α-1．14．【答案】（1）解：赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=CB，∴2AC2=AB2，即AC：AB=1：2， 又∵以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，∴AC=AP，∴AP：AB=1：2，∴P为线段AB的“趣点”.（2）解：①∵△DPE∽△CPB，∠B=∠CAB=45°，∴∠E=∠B=45°，∠DPE=∠CPB，∵AP=AC，∴∠APC=（180°-∠CAP）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠DPE=∠CPB=180°-∠APC=180°-67.5°=112.5°，∴∠CPE=∠DPE-∠APC=112.5°-67.5°=45°；②∵点D为线段AC的“趣点”，且CD＜AD，AC=AP，∴CD：AC=CD：AP=1：2，∵AC：AB=1：2，∠A为公共角，∴△ADP∽△ACB，∴∠DPA=∠CBA=45°，∠ADP=∠ACB=90°，DP∥CB，∴∠CPD=∠PCB=∠APC-∠DPA=67.5°-45°=22.5°，又∵△DPE∽△CPB，∴∠PDE=∠PCB=22.5°，∴∠MNC=∠MDP=∠MPD=22.5°，∠MCD=∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∴MD=MP=MC=MN，∠PME=2∠MDP=2×22.5°=45°，又∵E=∠B=45°，∴∠MPE=∠E=45°，∴MP：ME=1：2，∴MN：ME=1：2，点N是ME的“趣点”.15．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF=EGCF∵BF=CF， ∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC=AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．
