陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题8四边形及答案
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陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题8四边形一、单选题1．在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）A．AB=ACB．AC⊥BDC．AB=ADD．AC=BD2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接AC
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形一、单选题1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠B=25°，∠C=50°，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得∠BEC=105°，∵∠A=35°，∴∠1=∠BEC−∠A=70°；故答案为：B.【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）A．101313B．91313C．81313D．71313【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝22+32＝13，∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC⋅BD=72，∴13⋅BD=7，∴BD＝71313，故答案为：D.【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求△ABC的面积，由三角形的面积法求高即可.3．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（ ）A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CD⊥BC，∴∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°，∴∠FBC=∠GCD，在△BFC和△CGD中；∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD，∴△BFC≌△CGD，∴BF=CG，∵AB=BC=CD=DE=5cm，∴△ABC，△CDE均为等腰三角形，∵AC=6cm，∴FC=12AC=3cm，∴BF=BC2−FC2=52−32=4cm，∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，故答案为：D.【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A．2+2B．2+3C．3+2D．3【答案】A【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=DF2+CF2=2，∴BC=BD+CD=2+2，故答案为：A。【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故答案为：C．【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）A．30°B．15°C．45°D．25°【答案】B【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=12CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故答案为：B．【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）A．33B．6C．32D．21【答案】A【知识点】勾股定理【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∴∠CAB′=90°，∴B′C=CA2+B’A2=33，故答案为：A．【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=32，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=33.8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．二、作图题9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的12为半径画弧作出DP.10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。三、解答题11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】解：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝BF得出AF＝BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠CAF＝∠DBE，故可利用SAS判断出△ACF≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出CF＝DE。13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中，∠A=∠D∠AHB=∠DGCAB=CD，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.15．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，AD=BC∠1=∠2DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（1）【问题提出】如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为 .（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°.过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积.（3）【问题解决】如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.【答案】（1）75°（2）解：如图1，连接BP.图1∵AP∥BC，AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形.∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°.∵l⊥BC， ∴BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33.∴S△ABC=12BC⋅PE=93.∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan30°=3.∴S△OBE=12BE⋅OE=332.∴S四边形OECA=S△ABC−S△OBE=1532.（3）解：符合要求.由作法，知AP=AC.∵CD=CA，∠CAB=45°，∴∠ACD=90°.如图2，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF.图2∴AF=AC=AP.∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线.∴PF=PA.∴△AFP为等边三角形.∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°.∴裁得的△ABP型部件符合要求.【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°.故答案为：75°；【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形一、单选题1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠B=25°，∠C=50°，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得∠BEC=105°，∵∠A=35°，∴∠1=∠BEC−∠A=70°；故答案为：B.【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）A．101313B．91313C．81313D．71313【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝22+32＝13，∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC⋅BD=72，∴13⋅BD=7，∴BD＝71313，故答案为：D.【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求△ABC的面积，由三角形的面积法求高即可.3．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（ ）A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CD⊥BC，∴∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°，∴∠FBC=∠GCD，在△BFC和△CGD中；∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD，∴△BFC≌△CGD，∴BF=CG，∵AB=BC=CD=DE=5cm，∴△ABC，△CDE均为等腰三角形，∵AC=6cm，∴FC=12AC=3cm，∴BF=BC2−FC2=52−32=4cm，∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，故答案为：D.【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A．2+2B．2+3C．3+2D．3【答案】A【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=DF2+CF2=2，∴BC=BD+CD=2+2，故答案为：A。【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故答案为：C．【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）A．30°B．15°C．45°D．25°【答案】B【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=12CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故答案为：B．【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）A．33B．6C．32D．21【答案】A【知识点】勾股定理【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∴∠CAB′=90°，∴B′C=CA2+B’A2=33，故答案为：A．【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=32，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=33.8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．二、作图题9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的12为半径画弧作出DP.10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。三、解答题11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】解：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝BF得出AF＝BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠CAF＝∠DBE，故可利用SAS判断出△ACF≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出CF＝DE。13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中，∠A=∠D∠AHB=∠DGCAB=CD，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.15．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，AD=BC∠1=∠2DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（1）【问题提出】如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为 .（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°.过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积.（3）【问题解决】如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.【答案】（1）75°（2）解：如图1，连接BP.图1∵AP∥BC，AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形.∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°.∵l⊥BC， ∴BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33.∴S△ABC=12BC⋅PE=93.∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan30°=3.∴S△OBE=12BE⋅OE=332.∴S四边形OECA=S△ABC−S△OBE=1532.（3）解：符合要求.由作法，知AP=AC.∵CD=CA，∠CAB=45°，∴∠ACD=90°.如图2，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF.图2∴AF=AC=AP.∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线.∴PF=PA.∴△AFP为等边三角形.∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°.∴裁得的△ABP型部件符合要求.【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°.故答案为：75°；【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形一、单选题1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠B=25°，∠C=50°，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得∠BEC=105°，∵∠A=35°，∴∠1=∠BEC−∠A=70°；故答案为：B.【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）A．101313B．91313C．81313D．71313【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝22+32＝13，∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC⋅BD=72，∴13⋅BD=7，∴BD＝71313，故答案为：D.【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求△ABC的面积，由三角形的面积法求高即可.3．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（ ）A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CD⊥BC，∴∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°，∴∠FBC=∠GCD，在△BFC和△CGD中；∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD，∴△BFC≌△CGD，∴BF=CG，∵AB=BC=CD=DE=5cm，∴△ABC，△CDE均为等腰三角形，∵AC=6cm，∴FC=12AC=3cm，∴BF=BC2−FC2=52−32=4cm，∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，故答案为：D.【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A．2+2B．2+3C．3+2D．3【答案】A【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=DF2+CF2=2，∴BC=BD+CD=2+2，故答案为：A。【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故答案为：C．【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）A．30°B．15°C．45°D．25°【答案】B【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=12CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故答案为：B．【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）A．33B．6C．32D．21【答案】A【知识点】勾股定理【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∴∠CAB′=90°，∴B′C=CA2+B’A2=33，故答案为：A．【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=32，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=33.8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．二、作图题9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的12为半径画弧作出DP.10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。三、解答题11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】解：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝BF得出AF＝BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠CAF＝∠DBE，故可利用SAS判断出△ACF≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出CF＝DE。13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中，∠A=∠D∠AHB=∠DGCAB=CD，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.15．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，AD=BC∠1=∠2DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（1）【问题提出】如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为 .（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°.过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积.（3）【问题解决】如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.【答案】（1）75°（2）解：如图1，连接BP.图1∵AP∥BC，AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形.∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°.∵l⊥BC， ∴BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33.∴S△ABC=12BC⋅PE=93.∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan30°=3.∴S△OBE=12BE⋅OE=332.∴S四边形OECA=S△ABC−S△OBE=1532.（3）解：符合要求.由作法，知AP=AC.∵CD=CA，∠CAB=45°，∴∠ACD=90°.如图2，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF.图2∴AF=AC=AP.∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线.∴PF=PA.∴△AFP为等边三角形.∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°.∴裁得的△ABP型部件符合要求.【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°.故答案为：75°；【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形一、单选题1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠B=25°，∠C=50°，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得∠BEC=105°，∵∠A=35°，∴∠1=∠BEC−∠A=70°；故答案为：B.【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）A．101313B．91313C．81313D．71313【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝22+32＝13，∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC⋅BD=72，∴13⋅BD=7，∴BD＝71313，故答案为：D.【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求△ABC的面积，由三角形的面积法求高即可.3．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（ ）A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CD⊥BC，∴∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°，∴∠FBC=∠GCD，在△BFC和△CGD中；∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD，∴△BFC≌△CGD，∴BF=CG，∵AB=BC=CD=DE=5cm，∴△ABC，△CDE均为等腰三角形，∵AC=6cm，∴FC=12AC=3cm，∴BF=BC2−FC2=52−32=4cm，∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，故答案为：D.【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A．2+2B．2+3C．3+2D．3【答案】A【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=DF2+CF2=2，∴BC=BD+CD=2+2，故答案为：A。【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故答案为：C．【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）A．30°B．15°C．45°D．25°【答案】B【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=12CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故答案为：B．【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）A．33B．6C．32D．21【答案】A【知识点】勾股定理【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∴∠CAB′=90°，∴B′C=CA2+B’A2=33，故答案为：A．【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=32，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=33.8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．二、作图题9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的12为半径画弧作出DP.10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。三、解答题11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】解：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝BF得出AF＝BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠CAF＝∠DBE，故可利用SAS判断出△ACF≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出CF＝DE。13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中，∠A=∠D∠AHB=∠DGCAB=CD，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.15．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，AD=BC∠1=∠2DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（1）【问题提出】如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为 .（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°.过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积.（3）【问题解决】如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.【答案】（1）75°（2）解：如图1，连接BP.图1∵AP∥BC，AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形.∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°.∵l⊥BC， ∴BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33.∴S△ABC=12BC⋅PE=93.∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan30°=3.∴S△OBE=12BE⋅OE=332.∴S四边形OECA=S△ABC−S△OBE=1532.（3）解：符合要求.由作法，知AP=AC.∵CD=CA，∠CAB=45°，∴∠ACD=90°.如图2，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF.图2∴AF=AC=AP.∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线.∴PF=PA.∴△AFP为等边三角形.∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°.∴裁得的△ABP型部件符合要求.【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°.故答案为：75°；【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形一、单选题1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠B=25°，∠C=50°，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得∠BEC=105°，∵∠A=35°，∴∠1=∠BEC−∠A=70°；故答案为：B.【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）A．101313B．91313C．81313D．71313【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝22+32＝13，∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC⋅BD=72，∴13⋅BD=7，∴BD＝71313，故答案为：D.【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求△ABC的面积，由三角形的面积法求高即可.3．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（ ）A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CD⊥BC，∴∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°，∴∠FBC=∠GCD，在△BFC和△CGD中；∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD，∴△BFC≌△CGD，∴BF=CG，∵AB=BC=CD=DE=5cm，∴△ABC，△CDE均为等腰三角形，∵AC=6cm，∴FC=12AC=3cm，∴BF=BC2−FC2=52−32=4cm，∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，故答案为：D.【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A．2+2B．2+3C．3+2D．3【答案】A【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=DF2+CF2=2，∴BC=BD+CD=2+2，故答案为：A。【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故答案为：C．【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）A．30°B．15°C．45°D．25°【答案】B【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=12CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故答案为：B．【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）A．33B．6C．32D．21【答案】A【知识点】勾股定理【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∴∠CAB′=90°，∴B′C=CA2+B’A2=33，故答案为：A．【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=32，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=33.8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．二、作图题9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的12为半径画弧作出DP.10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。三、解答题11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】解：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝BF得出AF＝BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠CAF＝∠DBE，故可利用SAS判断出△ACF≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出CF＝DE。13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中，∠A=∠D∠AHB=∠DGCAB=CD，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.15．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，AD=BC∠1=∠2DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（1）【问题提出】如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为 .（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°.过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积.（3）【问题解决】如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.【答案】（1）75°（2）解：如图1，连接BP.图1∵AP∥BC，AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形.∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°.∵l⊥BC， ∴BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33.∴S△ABC=12BC⋅PE=93.∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan30°=3.∴S△OBE=12BE⋅OE=332.∴S四边形OECA=S△ABC−S△OBE=1532.（3）解：符合要求.由作法，知AP=AC.∵CD=CA，∠CAB=45°，∴∠ACD=90°.如图2，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF.图2∴AF=AC=AP.∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线.∴PF=PA.∴△AFP为等边三角形.∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°.∴裁得的△ABP型部件符合要求.【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°.故答案为：75°；【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题7三角形一、单选题1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠B=25°，∠C=50°，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得∠BEC=105°，∵∠A=35°，∴∠1=∠BEC−∠A=70°；故答案为：B.【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）A．101313B．91313C．81313D．71313【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC＝22+32＝13，∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC⋅BD=72，∴13⋅BD=7，∴BD＝71313，故答案为：D.【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求△ABC的面积，由三角形的面积法求高即可.3．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（ ）A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CD⊥BC，∴∠BCF+∠FBC=90°，∠BCF+∠GCD=90°，∴∠FBC=∠GCD，在△BFC和△CGD中；∠BFC=∠CGD∠FBC=∠GCDBC=CD，∴△BFC≌△CGD，∴BF=CG，∵AB=BC=CD=DE=5cm，∴△ABC，△CDE均为等腰三角形，∵AC=6cm，∴FC=12AC=3cm，∴BF=BC2−FC2=52−32=4cm，∴CE=2CG=2BF=2×4=8cm，故答案为：D.【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.4．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）A．2+2B．2+3C．3+2D．3【答案】A【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=DF2+CF2=2，∴BC=BD+CD=2+2，故答案为：A。【分析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2，根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1，进而根据勾股定理算出CD的长，最后由BC=BD+CD算出答案。5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【知识点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故答案为：C．【分析】因三角形的内角之和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°；另根据题意可知∠A：∠B：∠C=2：3：4，故可设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，将2x、3x和4x分别代入∠A+∠B+∠C=180°，即可求得x的值，从而可求得∠B的度数.6．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）A．30°B．15°C．45°D．25°【答案】B【知识点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=12CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故答案为：B．【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°.7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）A．33B．6C．32D．21【答案】A【知识点】勾股定理【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∴∠CAB′=90°，∴B′C=CA2+B’A2=33，故答案为：A．【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=32，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=32，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=33.8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BC2=82+62=10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．二、作图题9．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】如图，作∠BDP的角平分线交BC于点P：以点D为圆心，任意长为半径画弧分别交BD和DC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离长度的12为半径画弧作出DP.10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】根据垂径定理可知，该三角形的外接圆的圆心一定在任意两边的垂直平分线上，根据等腰三角形底边上的三线合一得出AD就是BC的垂直平分线，故只需要利用尺规作图作出AC的垂直平分线，该线与AD的交点O就是△ABC的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，OA为半径作圆，该圆就是所求的圆。三、解答题11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDC=∠B，由已知条件知CD=AB，∠DCE=∠A，证明△CDE≌△ABC，据此可得结论.12．如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】解：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据等式的性质，由AE＝BF得出AF＝BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠CAF＝∠DBE，故可利用SAS判断出△ACF≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出CF＝DE。13．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在∆ABH和∆DCG中，∠A=∠D∠AHB=∠DGCAB=CD，∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS）．【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质【解析】【分析】要证全等可分析两个三角形已经具备了一组直角对应相等，须再由平行四边形的性质推出一组对边和一组内错角对应相等，即可证出全等.15．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.16．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，AD=BC∠1=∠2DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（1）【问题提出】如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为 .（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°.过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积.（3）【问题解决】如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°，AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.【答案】（1）75°（2）解：如图1，连接BP.图1∵AP∥BC，AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形.∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°.∵l⊥BC， ∴BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33.∴S△ABC=12BC⋅PE=93.∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan30°=3.∴S△OBE=12BE⋅OE=332.∴S四边形OECA=S△ABC−S△OBE=1532.（3）解：符合要求.由作法，知AP=AC.∵CD=CA，∠CAB=45°，∴∠ACD=90°.如图2，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF.图2∴AF=AC=AP.∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线.∴PF=PA.∴△AFP为等边三角形.∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°.∴裁得的△ABP型部件符合要求.【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°.故答案为：75°；【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
