陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题10图形的变换、相似与视图及答案
陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆及答案
陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°2．
陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题10图形的变换、相似与视图一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）A．B．C．D．3．如图
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°，故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．63【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×32=23，∴BC=43．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.故答案为：A.【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案为：B。【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝12∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案为：A.【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=32×5=532，∴AP=2PD=53，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP，由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB从而求出AP.二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．【答案】120【知识点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案为：120．【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .【答案】32+1 【知识点】正方形的性质；切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当⊙O与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC=90°连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4,∠ACB=45°，∴△OFC是等腰直角三角形，AC=42，∵⊙O的半径为1，∴OF=FC=1，∴OC=2，∴AO=AC−OC=32，∴AE=AO+OE=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为32+1；故答案为32+1.【分析】当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．【答案】1【知识点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB.（2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B作⊙O 的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8.∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=325【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝485【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，根据等边对等角得出∠MAB＝∠AMB，利用等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出△ABC∽△EAM，推出∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，故∠D＝∠AMD，根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB；（2）根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23，∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中； 由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．18．如图（1）问题提出如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43， 在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF＝CFtan∠ABC＝3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB＝12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，由S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，求PF，即可得出结果.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3P´A，从而得出答案。20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=12AC=12×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=ADOA，∴OA=6÷32=43，故答案为：43；【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12AC=6，由等边三角形的性质得出∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=122.（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出DCMN=ADAN，从而求出DC=163，得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=35，从而求出MF.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°，故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．63【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×32=23，∴BC=43．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.故答案为：A.【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案为：B。【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝12∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案为：A.【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=32×5=532，∴AP=2PD=53，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP，由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB从而求出AP.二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．【答案】120【知识点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案为：120．【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .【答案】32+1 【知识点】正方形的性质；切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当⊙O与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC=90°连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4,∠ACB=45°，∴△OFC是等腰直角三角形，AC=42，∵⊙O的半径为1，∴OF=FC=1，∴OC=2，∴AO=AC−OC=32，∴AE=AO+OE=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为32+1；故答案为32+1.【分析】当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．【答案】1【知识点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB.（2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B作⊙O 的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8.∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=325【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝485【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，根据等边对等角得出∠MAB＝∠AMB，利用等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出△ABC∽△EAM，推出∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，故∠D＝∠AMD，根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB；（2）根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23，∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中； 由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．18．如图（1）问题提出如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43， 在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF＝CFtan∠ABC＝3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB＝12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，由S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，求PF，即可得出结果.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3P´A，从而得出答案。20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=12AC=12×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=ADOA，∴OA=6÷32=43，故答案为：43；【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12AC=6，由等边三角形的性质得出∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=122.（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出DCMN=ADAN，从而求出DC=163，得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=35，从而求出MF.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°，故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．63【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×32=23，∴BC=43．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.故答案为：A.【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案为：B。【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝12∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案为：A.【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=32×5=532，∴AP=2PD=53，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP，由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB从而求出AP.二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．【答案】120【知识点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案为：120．【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .【答案】32+1 【知识点】正方形的性质；切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当⊙O与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC=90°连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4,∠ACB=45°，∴△OFC是等腰直角三角形，AC=42，∵⊙O的半径为1，∴OF=FC=1，∴OC=2，∴AO=AC−OC=32，∴AE=AO+OE=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为32+1；故答案为32+1.【分析】当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．【答案】1【知识点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB.（2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B作⊙O 的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8.∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=325【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝485【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，根据等边对等角得出∠MAB＝∠AMB，利用等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出△ABC∽△EAM，推出∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，故∠D＝∠AMD，根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB；（2）根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23，∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中； 由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．18．如图（1）问题提出如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43， 在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF＝CFtan∠ABC＝3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB＝12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，由S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，求PF，即可得出结果.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3P´A，从而得出答案。20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=12AC=12×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=ADOA，∴OA=6÷32=43，故答案为：43；【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12AC=6，由等边三角形的性质得出∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=122.（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出DCMN=ADAN，从而求出DC=163，得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=35，从而求出MF.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°，故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．63【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×32=23，∴BC=43．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.故答案为：A.【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案为：B。【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝12∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案为：A.【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=32×5=532，∴AP=2PD=53，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP，由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB从而求出AP.二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．【答案】120【知识点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案为：120．【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .【答案】32+1 【知识点】正方形的性质；切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当⊙O与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC=90°连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4,∠ACB=45°，∴△OFC是等腰直角三角形，AC=42，∵⊙O的半径为1，∴OF=FC=1，∴OC=2，∴AO=AC−OC=32，∴AE=AO+OE=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为32+1；故答案为32+1.【分析】当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．【答案】1【知识点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB.（2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B作⊙O 的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8.∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=325【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝485【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，根据等边对等角得出∠MAB＝∠AMB，利用等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出△ABC∽△EAM，推出∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，故∠D＝∠AMD，根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB；（2）根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23，∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中； 由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．18．如图（1）问题提出如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43， 在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF＝CFtan∠ABC＝3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB＝12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，由S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，求PF，即可得出结果.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3P´A，从而得出答案。20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=12AC=12×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=ADOA，∴OA=6÷32=43，故答案为：43；【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12AC=6，由等边三角形的性质得出∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=122.（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出DCMN=ADAN，从而求出DC=163，得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=35，从而求出MF.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°，故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．63【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×32=23，∴BC=43．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.故答案为：A.【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案为：B。【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝12∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案为：A.【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=32×5=532，∴AP=2PD=53，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP，由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB从而求出AP.二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．【答案】120【知识点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案为：120．【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .【答案】32+1 【知识点】正方形的性质；切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当⊙O与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC=90°连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4,∠ACB=45°，∴△OFC是等腰直角三角形，AC=42，∵⊙O的半径为1，∴OF=FC=1，∴OC=2，∴AO=AC−OC=32，∴AE=AO+OE=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为32+1；故答案为32+1.【分析】当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．【答案】1【知识点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB.（2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B作⊙O 的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8.∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=325【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝485【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，根据等边对等角得出∠MAB＝∠AMB，利用等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出△ABC∽△EAM，推出∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，故∠D＝∠AMD，根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB；（2）根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23，∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中； 由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．18．如图（1）问题提出如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43， 在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF＝CFtan∠ABC＝3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB＝12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，由S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，求PF，即可得出结果.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3P´A，从而得出答案。20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=12AC=12×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=ADOA，∴OA=6÷32=43，故答案为：43；【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12AC=6，由等边三角形的性质得出∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=122.（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出DCMN=ADAN，从而求出DC=163，得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=35，从而求出MF.
简介：陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题9圆一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝65°，故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．33B．43C．53D．63【答案】B【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×32=23，∴BC=43．故选：B．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）A．44°B．45°C．54°D．67°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=12×88°=44°.故答案为：A.【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠C=92°，结合内角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，据此计算.4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理【解析】【解答】解：连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案为：B。【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝12∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）A．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案为：A.【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠A，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A，根据三角形的内角和即可得出答案。6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）A．5B．532C．52D．53【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=32×5=532，∴AP=2PD=53，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OP，由等腰三角形性质得出∠APB=∠C=30°；再由PB=AB得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形内角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性质得出OB⊥AP，AD=PD，由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在Rt△PBD中，由锐角三角函数得出PD=cos30°•PB从而求出AP.二、填空题7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．【答案】120【知识点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案为：120．【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .【答案】32+1 【知识点】正方形的性质；切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当⊙O与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC=90°连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=4,∠ACB=45°，∴△OFC是等腰直角三角形，AC=42，∵⊙O的半径为1，∴OF=FC=1，∴OC=2，∴AO=AC−OC=32，∴AE=AO+OE=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为32+1；故答案为32+1.【分析】当⊙O与CB、CD相切时，切点分别为F、G，点A到⊙O上的点的距离取得最大，连接AC，OF，AC交⊙O于点E，此时AE的长即为点A到⊙O上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE＝OF，由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.9．△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．【答案】1【知识点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．故答案为：1．【分析】根据题意可知，∠C是外接圆的圆周角，因为∠C为直角，所以∠C所对应的边AB=2为该圆的直径，则半径为2÷2=1.三、综合题10．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.（1）求证：∠CAB=∠APB；（2）若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长.【答案】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90°.∵CD⊥AB∴∠CEA=90°，∴AM∥CD.∴∠CDB=∠APB.∵∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠APB.（2）解：如图，连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB，∴∠ADC=∠C.∴AD=AC=8.∵AB=2r=10，∴BD=AB2−AD2=6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴△ADB∽△PAB.∴ABPB=BDAB.∴PB=AB2BD=1006=503.∴DP=503−6=323.【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAM=90°，根据垂直的概念可得∠CEA=90°，推出AM∥CD，根据平行线的性质可得∠CDB=∠APB，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，据此证明；（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，则AD=AC=8，利用勾股定理求出BD，证明△ADB∽△PAB，根据相似三角形的性质可得PB，然后根据DP=PB-BD进行计算.11．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF=2BE，连接OE、AF，过点B作⊙O 的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF的中点M，连接OM、OF，∵BF=2BE，∴BM=MF=BE，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC=ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB=4×63=8.∴AD=62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD，∴FD=BD2AD=8210=325【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC=ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB＝ABAD=32，∴AD＝12×23＝83，∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF＝EFAF=3， ∴EF＝3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解.13．如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝AC2−AB2=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，即1012=8AM，∴AM＝485，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝485【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，根据等边对等角得出∠MAB＝∠AMB，利用等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，根据勾股定理算出BC的长，然后判断出△ABC∽△EAM，推出∠C＝∠AME，ACEM=BCAM，根据比例式算出AM的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，故∠D＝∠AMD，根据等角对对等边即可得出AD=AM，从而得出答案。14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）解：如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB（2）解：如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝12CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝12CB，∴MD＝NB．【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD＝CD＝DB，根据等边对等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根据等量代换得出∠ONC＝∠DBC，根据同位角相等，两直线平行得出ON∥AB，根据切线的性质及平行线的性质得出NE⊥AB；（2）根据中位线的判定定理，由ON∥AB，OC＝OD，得出CN＝NB＝12CB，根据圆周角定理得出∠CMD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC，再根据三角形的中位线定理得出MD＝12CB，根据等量代换得出MD＝NB．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=23，∴阴影部分的面积=12×2×23﹣60⋅π×22360=23﹣23π．【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.16．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．【答案】（1）解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=532∴AC=2AD=53（2）证明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；切线的性质【解析】【分析】（1）连接OA，由切线性质得出∠PAO=90°，再由三角形内角和得出∠AOD=60°，由AC⊥PB，PB过圆心O得出AD=DC；在Rt△ODA中； 由锐角三角函数求出AD=OA•sin60°；从而求出AC=2AD（2）由AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；从而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行线的判定得出ABC∥PA.17．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）证明:连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB=BCAB，∴AB2=BC•BG．【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．18．如图（1）问题提出如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 .（2）问题探究如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长.（3）问题解决如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA，∴∠APB＝90°，∠AOP＝13×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32＝43， 在Rt△CFB中BF＝CFtan∠ABC＝CFtan30∘＝CF33＝3CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43＝CF+3CF，解得：CF＝6﹣23；（3）解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝22AB＝22×70＝352，∴S△ACB＝12AC2＝12×（352）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝12x（70﹣x）+1225＝﹣12×2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，∵S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，∴12×50×PF＝12×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时.室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2.【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF＝CFtan∠ABC＝3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝12PA′•PB＝12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB＝12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝A′P2+PB2＝302+402＝50，由S△A′PB＝12A′B•PF＝12PB•A′P，求PF，即可得出结果.19．如图（1）【问题提出】如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．（2）【问题探究】如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）【问题解决】如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．【答案】（1）5（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝132−122＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37－33，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝3P´A＝321－9，所以PE＋EF＋FP的最小值为321－9km【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，故答案为：5；【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA，OB，等腰三角形的三线合一得出∠BAO=∠OAC=12∠BAC=12×120°=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，根据三角形三边之间的关系及等量代换得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出OM的长，根据线段的和差即可得出结论；（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，首先判断出∆ABC是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC的长度，BC所对的圆心角为60°，进而判断出∆OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠CBO＝60°，BO＝BC，进而得出∠ABO＝90°，Aode长，PA的长，∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，根据余弦函数，由P´P＂＝2P´Acos∠AP´E=3P´A，从而得出答案。20．综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1）43（2）解：存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴CQ=AP=3， 过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ=PM2+MQ2=122+122=122.（3）解：如图3，作射线ED交AM于点C∵AD=DB，ED⊥AB，AB是劣弧，∴AB所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=12AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴12AB•MN=96，12×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴DCMN=ADAN，∴DC8=1218，∴DC=163，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM=MH2+OH2=32+62=35，∴MF=OM+r=35+13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=12AC=12×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=ADOA，∴OA=6÷32=43，故答案为：43；【分析】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，得出AD=12AC=6，由等边三角形的性质得出∠OAD=12∠BAC=12×60°=30°；在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM⊥BC于点，求出P，MQ的值；再由勾股定理得PQ=122.（3）如图3，作射线ED交AM于点C；在Rt△AOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+（r﹣8）2，求出r=13，OD=5；过点M作MN⊥AB，垂足为N，由S△ABM=96，AB=24得出MN=8，NB=6，AN=18；由CD∥MN得出△ADC∽△ANM，根据相似三角形的性质得出DCMN=ADAN，从而求出DC=163，得出OD＜CD，点O在△AMB内部；过O作OH⊥MN，垂足为H，由勾股定理得出OM=35，从而求出MF.
