上海市长宁区2022届高三上学期数学一模试卷解析版
高三数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3}，则a= .【答案】3【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为A={1，2}，B={2，a}，且A∪B={1，2，3}，所以a=3.故答案为：
高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合 㔸ݧ㔸 ， 쬐ɶ쬐ݧ ， ， ， ，则 㔸2．( t쬐) 的二项展开式中쬐 的系数为 3．lim㔸 t 쬐㔸 4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则 㔸 㔸 5．在直角坐标系쬐 中，角 的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角 的终边经过点( ， )， 则쬐㔸 6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.7．已知双曲线 ：쬐 㔸 的左，右焦点为 、 ，过 的直线 与双曲线 的左、右支分别交 于点 、 .若 为等边三角形，则 的边长为8．在复平面쬐 内，复数 ， 所对应的点分别为 、 ，对于下列四个式子：⑴ 㔸ɶ ɶ； ⑵ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ； ⑶ 㔸ɶ ɶ ；⑷ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．设쬐， ， t ， t ，若 쬐㔸 㔸 ， t 㔸 ，则t的最大值为쬐 10．已知公差不为0的等差数列ݧ ， ， 若， 为和项 前的 ݧ ， ，则 的最小值为11．已知点 、 在抛物线 ： 㔸 쬐上，点 在 的准线上，线段 、 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴交于点 ( ， )，则ɶ ɶ的最小值为．12．设曲线 与函数 (쬐)㔸 쬐 ( 쬐 )的图像关于直线 㔸 쬐对称，若曲线 仍然为某函数 的图象，则实数 的取值范围为二、单选题 13．“ ”是“ t ”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．给定一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设这组数据的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，则（）A． t t B． t t C． t t D． t t 15．已知平面 经过圆柱 的旋转轴，点 、 是在圆柱 的侧面上，但不在平面 上，则下列 个命题中真命题的个数是（）①总存在直线 ， 且 与 异面；②总存在直线 ， 且 ；③总存在平面 ， 且 ；④总存在平面 ， 且 // .A．lB．2C．3D．4 16．若函数 (쬐)㔸 sin 쬐t cos 쬐( 쬐 ， t )的值域为[ ， ]，则cos的取值范围为 （） A．[，]B．[，]C．[ ，]D．[ ，] 三、解答题17．在直三棱柱 中， ， 㔸 㔸 㔸 .（1）求四棱锥 的体积 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值. 18．已知三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 㔸 ，cos 㔸 （1）若sin 㔸 sin ，求 的面积；（2）设线段 的中点为 ，若 㔸 ，求 外接圆半径的值.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 ( ∗)年后共支出费用为 万元，求 的表达式；（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 %，设使用 ( ∗)年后养护保险年平均费用为 ，当 㔸 时， 最小，请你列出 t 时 的表达式，并利用计算器确定 的值（只需写出 的值） 20．已知函数 (쬐)㔸(쬐 ). 쬐t （1）求证：函数 (쬐)是 上的减函数；（2）已知函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )的充要条件是 (쬐)㔸 (쬐t ) 的图像关于原点中心对称，判断函数 (쬐)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ，求实数 的最大值.21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系쬐 中，定义点 (쬐 ， )， (쬐 ， )的“直角距离” ( ， )为： ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ ɶ，设 ( ， )， ( ， ).（1）写出一个满足 (C，M)㔸 (C，N)的点 的坐标；（2）过点 ( ， )， ( ， )作斜率为2的直线 、 ，点 、 分别是直线 、 上的动点，求 ( ， )的最小值；（3）设 (쬐， )，记方程 ( ， )t ( ，N)㔸 的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分1．【答案】ݧ 2．【答案】243．【答案】14．【答案】-1 5．【答案】 6．【答案】67．【答案】48．【答案】（2）（3）9．【答案】110．【答案】-12 11．【答案】 12．【答案】( ， ]13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】（1）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 ， 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为 㔸 㔸 㔸 ，所以 㔸 所以四棱锥 的体积 㔸 㔸 㔸 .（2）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为在直三棱柱 中， // ，所以 平面 ，故连接 ， ，则 是直线 与平面 所成角， 所以tan 㔸㔸㔸， 所以直线 与平面 所成角的正切值为. 18．【答案】（1）解：因为sin 㔸 sin ，所以 㔸 ， 因为 㔸 ，cos 㔸 ， 所以 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以 的面积为 㔸 sin 㔸 㔸 . （2）解：因为线段 的中点为 ， 㔸 ， 㔸 ，cos 㔸 ， () t t 所以在 中，由cos 㔸 㔸 㔸 ，解得 㔸 （ 㔸 舍）， 所以在 中， 㔸 t cos 㔸 ，即 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以由正弦定理得 外接圆半经 满足 㔸sin 㔸 㔸 ， 所以 外接圆半径 㔸 19．【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第 ( ∗)年的燃油费用为 㔸 . t . ， ( . t . t ) 所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后燃油的总费用是㔸t ， 因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后养护费用共 万元， 所以 㔸t t t 㔸tt ， ∗. （2）解：当 t 时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加 %，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 . ，公比为 . ，所以从第七年起，第 ( ∗， t )年的养护保险费用为 . ， ∗，所以购买该种型号汽车 ( ∗， t )年后，养护保险费为 t . ( . )㔸 . ， . . 所以当 t 时，使用 ( ∗)年后，养护保险费的年平均费用为 㔸， t ， ∗.经计算器计算得 㔸 时， 最小.20．【答案】（1）解：设对于任意的实数쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，쬐쬐쬐쬐 ( t ) ( t ) 则 (쬐 ) (쬐 )㔸쬐 쬐㔸쬐쬐㔸쬐쬐， t t ( t )( t )( t )( t )因为쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，所以 쬐 쬐 t ，( 쬐 t )( 쬐 t )t ，所以 (쬐 ) (쬐 )t ，即 (쬐 )t (쬐 )所以函数 (쬐)是 上的减函数（2）解：假设函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )， 则 (쬐)㔸 (쬐t ) 㔸 的图像关于原点中心对称， 쬐t t 由于函数的定义域为 ， 所以 ( 쬐)t (쬐)㔸 t 㔸 恒成立， 쬐t t 쬐t t 即( )( 쬐t t 쬐t )t 㔸 恒成立， 㔸 所以 ，解得 㔸 ， 㔸， 㔸 所以函数 (쬐)的图像存在对称中心( ，) （3）解：因为对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ， 所以 쬐t쬐쬐㔸 ，即 쬐 t쬐 쬐 㔸 ， t t 쬐 所以 쬐 t쬐 쬐 㔸 ，即쬐 㔸쬐㔸 쬐 因为쬐 [ ， ]，所以 쬐 [ ， ] 因为쬐 [ ，]，所以[ ， ] [ ，]， 所以 ，即 所以 ( )min㔸 ，所以 ，即实数 的最大值为2.21．【答案】（1）解：设 点的坐标为 (쬐 ， )，若 (C，M)㔸 (C，N)，所以ɶ쬐 ɶtɶ ɶ㔸ɶ쬐 t ɶtɶ t ɶ，所以 点在直线 㔸 쬐上，故( ， )满足要求.（2）解：由题可知， ： 㔸 쬐 ， ： 㔸 쬐t ，因此 (쬐 ， 쬐 )， (쬐 ， 쬐 )，所以 ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ( 쬐 ) ( 쬐 t )ɶ㔸ɶ쬐 쬐 ɶt ɶ쬐 쬐 ɶ，令쬐 쬐 㔸 ，则 ( ， )㔸ɶ ɶt ɶ ɶ， t ， 所以 ( ， )㔸 t ， ， ， 所以当 㔸 时， ( ， )取得最小值1.（3）解：因为 ( ， )t ( ， )㔸 ， 所以ɶ쬐 ɶtɶ쬐t ɶtɶ ɶtɶ t ɶ㔸 ，所以，类比椭圆的几何性质，曲线 的性质的性质有：对称性：曲线 即是以쬐轴、 轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：( ， )，( ， )范围： 쬐 ， 图像如图所示：
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合 㔸ݧ㔸 ， 쬐ɶ쬐ݧ ， ， ， ，则 㔸2．( t쬐) 的二项展开式中쬐 的系数为 3．lim㔸 t 쬐㔸 4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则 㔸 㔸 5．在直角坐标系쬐 中，角 的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角 的终边经过点( ， )， 则쬐㔸 6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.7．已知双曲线 ：쬐 㔸 的左，右焦点为 、 ，过 的直线 与双曲线 的左、右支分别交 于点 、 .若 为等边三角形，则 的边长为8．在复平面쬐 内，复数 ， 所对应的点分别为 、 ，对于下列四个式子：⑴ 㔸ɶ ɶ； ⑵ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ； ⑶ 㔸ɶ ɶ ；⑷ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．设쬐， ， t ， t ，若 쬐㔸 㔸 ， t 㔸 ，则t的最大值为쬐 10．已知公差不为0的等差数列ݧ ， ， 若， 为和项 前的 ݧ ， ，则 的最小值为11．已知点 、 在抛物线 ： 㔸 쬐上，点 在 的准线上，线段 、 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴交于点 ( ， )，则ɶ ɶ的最小值为．12．设曲线 与函数 (쬐)㔸 쬐 ( 쬐 )的图像关于直线 㔸 쬐对称，若曲线 仍然为某函数 的图象，则实数 的取值范围为二、单选题 13．“ ”是“ t ”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．给定一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设这组数据的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，则（）A． t t B． t t C． t t D． t t 15．已知平面 经过圆柱 的旋转轴，点 、 是在圆柱 的侧面上，但不在平面 上，则下列 个命题中真命题的个数是（）①总存在直线 ， 且 与 异面；②总存在直线 ， 且 ；③总存在平面 ， 且 ；④总存在平面 ， 且 // .A．lB．2C．3D．4 16．若函数 (쬐)㔸 sin 쬐t cos 쬐( 쬐 ， t )的值域为[ ， ]，则cos的取值范围为 （） A．[，]B．[，]C．[ ，]D．[ ，] 三、解答题17．在直三棱柱 中， ， 㔸 㔸 㔸 .（1）求四棱锥 的体积 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值. 18．已知三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 㔸 ，cos 㔸 （1）若sin 㔸 sin ，求 的面积；（2）设线段 的中点为 ，若 㔸 ，求 外接圆半径的值.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 ( ∗)年后共支出费用为 万元，求 的表达式；（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 %，设使用 ( ∗)年后养护保险年平均费用为 ，当 㔸 时， 最小，请你列出 t 时 的表达式，并利用计算器确定 的值（只需写出 的值） 20．已知函数 (쬐)㔸(쬐 ). 쬐t （1）求证：函数 (쬐)是 上的减函数；（2）已知函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )的充要条件是 (쬐)㔸 (쬐t ) 的图像关于原点中心对称，判断函数 (쬐)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ，求实数 的最大值.21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系쬐 中，定义点 (쬐 ， )， (쬐 ， )的“直角距离” ( ， )为： ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ ɶ，设 ( ， )， ( ， ).（1）写出一个满足 (C，M)㔸 (C，N)的点 的坐标；（2）过点 ( ， )， ( ， )作斜率为2的直线 、 ，点 、 分别是直线 、 上的动点，求 ( ， )的最小值；（3）设 (쬐， )，记方程 ( ， )t ( ，N)㔸 的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分1．【答案】ݧ 2．【答案】243．【答案】14．【答案】-1 5．【答案】 6．【答案】67．【答案】48．【答案】（2）（3）9．【答案】110．【答案】-12 11．【答案】 12．【答案】( ， ]13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】（1）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 ， 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为 㔸 㔸 㔸 ，所以 㔸 所以四棱锥 的体积 㔸 㔸 㔸 .（2）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为在直三棱柱 中， // ，所以 平面 ，故连接 ， ，则 是直线 与平面 所成角， 所以tan 㔸㔸㔸， 所以直线 与平面 所成角的正切值为. 18．【答案】（1）解：因为sin 㔸 sin ，所以 㔸 ， 因为 㔸 ，cos 㔸 ， 所以 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以 的面积为 㔸 sin 㔸 㔸 . （2）解：因为线段 的中点为 ， 㔸 ， 㔸 ，cos 㔸 ， () t t 所以在 中，由cos 㔸 㔸 㔸 ，解得 㔸 （ 㔸 舍）， 所以在 中， 㔸 t cos 㔸 ，即 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以由正弦定理得 外接圆半经 满足 㔸sin 㔸 㔸 ， 所以 外接圆半径 㔸 19．【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第 ( ∗)年的燃油费用为 㔸 . t . ， ( . t . t ) 所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后燃油的总费用是㔸t ， 因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后养护费用共 万元， 所以 㔸t t t 㔸tt ， ∗. （2）解：当 t 时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加 %，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 . ，公比为 . ，所以从第七年起，第 ( ∗， t )年的养护保险费用为 . ， ∗，所以购买该种型号汽车 ( ∗， t )年后，养护保险费为 t . ( . )㔸 . ， . . 所以当 t 时，使用 ( ∗)年后，养护保险费的年平均费用为 㔸， t ， ∗.经计算器计算得 㔸 时， 最小.20．【答案】（1）解：设对于任意的实数쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，쬐쬐쬐쬐 ( t ) ( t ) 则 (쬐 ) (쬐 )㔸쬐 쬐㔸쬐쬐㔸쬐쬐， t t ( t )( t )( t )( t )因为쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，所以 쬐 쬐 t ，( 쬐 t )( 쬐 t )t ，所以 (쬐 ) (쬐 )t ，即 (쬐 )t (쬐 )所以函数 (쬐)是 上的减函数（2）解：假设函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )， 则 (쬐)㔸 (쬐t ) 㔸 的图像关于原点中心对称， 쬐t t 由于函数的定义域为 ， 所以 ( 쬐)t (쬐)㔸 t 㔸 恒成立， 쬐t t 쬐t t 即( )( 쬐t t 쬐t )t 㔸 恒成立， 㔸 所以 ，解得 㔸 ， 㔸， 㔸 所以函数 (쬐)的图像存在对称中心( ，) （3）解：因为对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ， 所以 쬐t쬐쬐㔸 ，即 쬐 t쬐 쬐 㔸 ， t t 쬐 所以 쬐 t쬐 쬐 㔸 ，即쬐 㔸쬐㔸 쬐 因为쬐 [ ， ]，所以 쬐 [ ， ] 因为쬐 [ ，]，所以[ ， ] [ ，]， 所以 ，即 所以 ( )min㔸 ，所以 ，即实数 的最大值为2.21．【答案】（1）解：设 点的坐标为 (쬐 ， )，若 (C，M)㔸 (C，N)，所以ɶ쬐 ɶtɶ ɶ㔸ɶ쬐 t ɶtɶ t ɶ，所以 点在直线 㔸 쬐上，故( ， )满足要求.（2）解：由题可知， ： 㔸 쬐 ， ： 㔸 쬐t ，因此 (쬐 ， 쬐 )， (쬐 ， 쬐 )，所以 ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ( 쬐 ) ( 쬐 t )ɶ㔸ɶ쬐 쬐 ɶt ɶ쬐 쬐 ɶ，令쬐 쬐 㔸 ，则 ( ， )㔸ɶ ɶt ɶ ɶ， t ， 所以 ( ， )㔸 t ， ， ， 所以当 㔸 时， ( ， )取得最小值1.（3）解：因为 ( ， )t ( ， )㔸 ， 所以ɶ쬐 ɶtɶ쬐t ɶtɶ ɶtɶ t ɶ㔸 ，所以，类比椭圆的几何性质，曲线 的性质的性质有：对称性：曲线 即是以쬐轴、 轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：( ， )，( ， )范围： 쬐 ， 图像如图所示：
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合 㔸ݧ㔸 ， 쬐ɶ쬐ݧ ， ， ， ，则 㔸2．( t쬐) 的二项展开式中쬐 的系数为 3．lim㔸 t 쬐㔸 4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则 㔸 㔸 5．在直角坐标系쬐 中，角 的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角 的终边经过点( ， )， 则쬐㔸 6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.7．已知双曲线 ：쬐 㔸 的左，右焦点为 、 ，过 的直线 与双曲线 的左、右支分别交 于点 、 .若 为等边三角形，则 的边长为8．在复平面쬐 内，复数 ， 所对应的点分别为 、 ，对于下列四个式子：⑴ 㔸ɶ ɶ； ⑵ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ； ⑶ 㔸ɶ ɶ ；⑷ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．设쬐， ， t ， t ，若 쬐㔸 㔸 ， t 㔸 ，则t的最大值为쬐 10．已知公差不为0的等差数列ݧ ， ， 若， 为和项 前的 ݧ ， ，则 的最小值为11．已知点 、 在抛物线 ： 㔸 쬐上，点 在 的准线上，线段 、 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴交于点 ( ， )，则ɶ ɶ的最小值为．12．设曲线 与函数 (쬐)㔸 쬐 ( 쬐 )的图像关于直线 㔸 쬐对称，若曲线 仍然为某函数 的图象，则实数 的取值范围为二、单选题 13．“ ”是“ t ”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．给定一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设这组数据的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，则（）A． t t B． t t C． t t D． t t 15．已知平面 经过圆柱 的旋转轴，点 、 是在圆柱 的侧面上，但不在平面 上，则下列 个命题中真命题的个数是（）①总存在直线 ， 且 与 异面；②总存在直线 ， 且 ；③总存在平面 ， 且 ；④总存在平面 ， 且 // .A．lB．2C．3D．4 16．若函数 (쬐)㔸 sin 쬐t cos 쬐( 쬐 ， t )的值域为[ ， ]，则cos的取值范围为 （） A．[，]B．[，]C．[ ，]D．[ ，] 三、解答题17．在直三棱柱 中， ， 㔸 㔸 㔸 .（1）求四棱锥 的体积 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值. 18．已知三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 㔸 ，cos 㔸 （1）若sin 㔸 sin ，求 的面积；（2）设线段 的中点为 ，若 㔸 ，求 外接圆半径的值.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 ( ∗)年后共支出费用为 万元，求 的表达式；（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 %，设使用 ( ∗)年后养护保险年平均费用为 ，当 㔸 时， 最小，请你列出 t 时 的表达式，并利用计算器确定 的值（只需写出 的值） 20．已知函数 (쬐)㔸(쬐 ). 쬐t （1）求证：函数 (쬐)是 上的减函数；（2）已知函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )的充要条件是 (쬐)㔸 (쬐t ) 的图像关于原点中心对称，判断函数 (쬐)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ，求实数 的最大值.21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系쬐 中，定义点 (쬐 ， )， (쬐 ， )的“直角距离” ( ， )为： ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ ɶ，设 ( ， )， ( ， ).（1）写出一个满足 (C，M)㔸 (C，N)的点 的坐标；（2）过点 ( ， )， ( ， )作斜率为2的直线 、 ，点 、 分别是直线 、 上的动点，求 ( ， )的最小值；（3）设 (쬐， )，记方程 ( ， )t ( ，N)㔸 的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分1．【答案】ݧ 2．【答案】243．【答案】14．【答案】-1 5．【答案】 6．【答案】67．【答案】48．【答案】（2）（3）9．【答案】110．【答案】-12 11．【答案】 12．【答案】( ， ]13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】（1）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 ， 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为 㔸 㔸 㔸 ，所以 㔸 所以四棱锥 的体积 㔸 㔸 㔸 .（2）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为在直三棱柱 中， // ，所以 平面 ，故连接 ， ，则 是直线 与平面 所成角， 所以tan 㔸㔸㔸， 所以直线 与平面 所成角的正切值为. 18．【答案】（1）解：因为sin 㔸 sin ，所以 㔸 ， 因为 㔸 ，cos 㔸 ， 所以 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以 的面积为 㔸 sin 㔸 㔸 . （2）解：因为线段 的中点为 ， 㔸 ， 㔸 ，cos 㔸 ， () t t 所以在 中，由cos 㔸 㔸 㔸 ，解得 㔸 （ 㔸 舍）， 所以在 中， 㔸 t cos 㔸 ，即 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以由正弦定理得 外接圆半经 满足 㔸sin 㔸 㔸 ， 所以 外接圆半径 㔸 19．【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第 ( ∗)年的燃油费用为 㔸 . t . ， ( . t . t ) 所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后燃油的总费用是㔸t ， 因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后养护费用共 万元， 所以 㔸t t t 㔸tt ， ∗. （2）解：当 t 时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加 %，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 . ，公比为 . ，所以从第七年起，第 ( ∗， t )年的养护保险费用为 . ， ∗，所以购买该种型号汽车 ( ∗， t )年后，养护保险费为 t . ( . )㔸 . ， . . 所以当 t 时，使用 ( ∗)年后，养护保险费的年平均费用为 㔸， t ， ∗.经计算器计算得 㔸 时， 最小.20．【答案】（1）解：设对于任意的实数쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，쬐쬐쬐쬐 ( t ) ( t ) 则 (쬐 ) (쬐 )㔸쬐 쬐㔸쬐쬐㔸쬐쬐， t t ( t )( t )( t )( t )因为쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，所以 쬐 쬐 t ，( 쬐 t )( 쬐 t )t ，所以 (쬐 ) (쬐 )t ，即 (쬐 )t (쬐 )所以函数 (쬐)是 上的减函数（2）解：假设函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )， 则 (쬐)㔸 (쬐t ) 㔸 的图像关于原点中心对称， 쬐t t 由于函数的定义域为 ， 所以 ( 쬐)t (쬐)㔸 t 㔸 恒成立， 쬐t t 쬐t t 即( )( 쬐t t 쬐t )t 㔸 恒成立， 㔸 所以 ，解得 㔸 ， 㔸， 㔸 所以函数 (쬐)的图像存在对称中心( ，) （3）解：因为对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ， 所以 쬐t쬐쬐㔸 ，即 쬐 t쬐 쬐 㔸 ， t t 쬐 所以 쬐 t쬐 쬐 㔸 ，即쬐 㔸쬐㔸 쬐 因为쬐 [ ， ]，所以 쬐 [ ， ] 因为쬐 [ ，]，所以[ ， ] [ ，]， 所以 ，即 所以 ( )min㔸 ，所以 ，即实数 的最大值为2.21．【答案】（1）解：设 点的坐标为 (쬐 ， )，若 (C，M)㔸 (C，N)，所以ɶ쬐 ɶtɶ ɶ㔸ɶ쬐 t ɶtɶ t ɶ，所以 点在直线 㔸 쬐上，故( ， )满足要求.（2）解：由题可知， ： 㔸 쬐 ， ： 㔸 쬐t ，因此 (쬐 ， 쬐 )， (쬐 ， 쬐 )，所以 ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ( 쬐 ) ( 쬐 t )ɶ㔸ɶ쬐 쬐 ɶt ɶ쬐 쬐 ɶ，令쬐 쬐 㔸 ，则 ( ， )㔸ɶ ɶt ɶ ɶ， t ， 所以 ( ， )㔸 t ， ， ， 所以当 㔸 时， ( ， )取得最小值1.（3）解：因为 ( ， )t ( ， )㔸 ， 所以ɶ쬐 ɶtɶ쬐t ɶtɶ ɶtɶ t ɶ㔸 ，所以，类比椭圆的几何性质，曲线 的性质的性质有：对称性：曲线 即是以쬐轴、 轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：( ， )，( ， )范围： 쬐 ， 图像如图所示：
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合 㔸ݧ㔸 ， 쬐ɶ쬐ݧ ， ， ， ，则 㔸2．( t쬐) 的二项展开式中쬐 的系数为 3．lim㔸 t 쬐㔸 4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则 㔸 㔸 5．在直角坐标系쬐 中，角 的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角 的终边经过点( ， )， 则쬐㔸 6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.7．已知双曲线 ：쬐 㔸 的左，右焦点为 、 ，过 的直线 与双曲线 的左、右支分别交 于点 、 .若 为等边三角形，则 的边长为8．在复平面쬐 内，复数 ， 所对应的点分别为 、 ，对于下列四个式子：⑴ 㔸ɶ ɶ； ⑵ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ； ⑶ 㔸ɶ ɶ ；⑷ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．设쬐， ， t ， t ，若 쬐㔸 㔸 ， t 㔸 ，则t的最大值为쬐 10．已知公差不为0的等差数列ݧ ， ， 若， 为和项 前的 ݧ ， ，则 的最小值为11．已知点 、 在抛物线 ： 㔸 쬐上，点 在 的准线上，线段 、 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴交于点 ( ， )，则ɶ ɶ的最小值为．12．设曲线 与函数 (쬐)㔸 쬐 ( 쬐 )的图像关于直线 㔸 쬐对称，若曲线 仍然为某函数 的图象，则实数 的取值范围为二、单选题 13．“ ”是“ t ”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．给定一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设这组数据的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，则（）A． t t B． t t C． t t D． t t 15．已知平面 经过圆柱 的旋转轴，点 、 是在圆柱 的侧面上，但不在平面 上，则下列 个命题中真命题的个数是（）①总存在直线 ， 且 与 异面；②总存在直线 ， 且 ；③总存在平面 ， 且 ；④总存在平面 ， 且 // .A．lB．2C．3D．4 16．若函数 (쬐)㔸 sin 쬐t cos 쬐( 쬐 ， t )的值域为[ ， ]，则cos的取值范围为 （） A．[，]B．[，]C．[ ，]D．[ ，] 三、解答题17．在直三棱柱 中， ， 㔸 㔸 㔸 .（1）求四棱锥 的体积 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值. 18．已知三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 㔸 ，cos 㔸 （1）若sin 㔸 sin ，求 的面积；（2）设线段 的中点为 ，若 㔸 ，求 外接圆半径的值.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 ( ∗)年后共支出费用为 万元，求 的表达式；（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 %，设使用 ( ∗)年后养护保险年平均费用为 ，当 㔸 时， 最小，请你列出 t 时 的表达式，并利用计算器确定 的值（只需写出 的值） 20．已知函数 (쬐)㔸(쬐 ). 쬐t （1）求证：函数 (쬐)是 上的减函数；（2）已知函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )的充要条件是 (쬐)㔸 (쬐t ) 的图像关于原点中心对称，判断函数 (쬐)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ，求实数 的最大值.21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系쬐 中，定义点 (쬐 ， )， (쬐 ， )的“直角距离” ( ， )为： ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ ɶ，设 ( ， )， ( ， ).（1）写出一个满足 (C，M)㔸 (C，N)的点 的坐标；（2）过点 ( ， )， ( ， )作斜率为2的直线 、 ，点 、 分别是直线 、 上的动点，求 ( ， )的最小值；（3）设 (쬐， )，记方程 ( ， )t ( ，N)㔸 的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分1．【答案】ݧ 2．【答案】243．【答案】14．【答案】-1 5．【答案】 6．【答案】67．【答案】48．【答案】（2）（3）9．【答案】110．【答案】-12 11．【答案】 12．【答案】( ， ]13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】（1）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 ， 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为 㔸 㔸 㔸 ，所以 㔸 所以四棱锥 的体积 㔸 㔸 㔸 .（2）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为在直三棱柱 中， // ，所以 平面 ，故连接 ， ，则 是直线 与平面 所成角， 所以tan 㔸㔸㔸， 所以直线 与平面 所成角的正切值为. 18．【答案】（1）解：因为sin 㔸 sin ，所以 㔸 ， 因为 㔸 ，cos 㔸 ， 所以 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以 的面积为 㔸 sin 㔸 㔸 . （2）解：因为线段 的中点为 ， 㔸 ， 㔸 ，cos 㔸 ， () t t 所以在 中，由cos 㔸 㔸 㔸 ，解得 㔸 （ 㔸 舍）， 所以在 中， 㔸 t cos 㔸 ，即 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以由正弦定理得 外接圆半经 满足 㔸sin 㔸 㔸 ， 所以 外接圆半径 㔸 19．【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第 ( ∗)年的燃油费用为 㔸 . t . ， ( . t . t ) 所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后燃油的总费用是㔸t ， 因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后养护费用共 万元， 所以 㔸t t t 㔸tt ， ∗. （2）解：当 t 时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加 %，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 . ，公比为 . ，所以从第七年起，第 ( ∗， t )年的养护保险费用为 . ， ∗，所以购买该种型号汽车 ( ∗， t )年后，养护保险费为 t . ( . )㔸 . ， . . 所以当 t 时，使用 ( ∗)年后，养护保险费的年平均费用为 㔸， t ， ∗.经计算器计算得 㔸 时， 最小.20．【答案】（1）解：设对于任意的实数쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，쬐쬐쬐쬐 ( t ) ( t ) 则 (쬐 ) (쬐 )㔸쬐 쬐㔸쬐쬐㔸쬐쬐， t t ( t )( t )( t )( t )因为쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，所以 쬐 쬐 t ，( 쬐 t )( 쬐 t )t ，所以 (쬐 ) (쬐 )t ，即 (쬐 )t (쬐 )所以函数 (쬐)是 上的减函数（2）解：假设函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )， 则 (쬐)㔸 (쬐t ) 㔸 的图像关于原点中心对称， 쬐t t 由于函数的定义域为 ， 所以 ( 쬐)t (쬐)㔸 t 㔸 恒成立， 쬐t t 쬐t t 即( )( 쬐t t 쬐t )t 㔸 恒成立， 㔸 所以 ，解得 㔸 ， 㔸， 㔸 所以函数 (쬐)的图像存在对称中心( ，) （3）解：因为对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ， 所以 쬐t쬐쬐㔸 ，即 쬐 t쬐 쬐 㔸 ， t t 쬐 所以 쬐 t쬐 쬐 㔸 ，即쬐 㔸쬐㔸 쬐 因为쬐 [ ， ]，所以 쬐 [ ， ] 因为쬐 [ ，]，所以[ ， ] [ ，]， 所以 ，即 所以 ( )min㔸 ，所以 ，即实数 的最大值为2.21．【答案】（1）解：设 点的坐标为 (쬐 ， )，若 (C，M)㔸 (C，N)，所以ɶ쬐 ɶtɶ ɶ㔸ɶ쬐 t ɶtɶ t ɶ，所以 点在直线 㔸 쬐上，故( ， )满足要求.（2）解：由题可知， ： 㔸 쬐 ， ： 㔸 쬐t ，因此 (쬐 ， 쬐 )， (쬐 ， 쬐 )，所以 ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ( 쬐 ) ( 쬐 t )ɶ㔸ɶ쬐 쬐 ɶt ɶ쬐 쬐 ɶ，令쬐 쬐 㔸 ，则 ( ， )㔸ɶ ɶt ɶ ɶ， t ， 所以 ( ， )㔸 t ， ， ， 所以当 㔸 时， ( ， )取得最小值1.（3）解：因为 ( ， )t ( ， )㔸 ， 所以ɶ쬐 ɶtɶ쬐t ɶtɶ ɶtɶ t ɶ㔸 ，所以，类比椭圆的几何性质，曲线 的性质的性质有：对称性：曲线 即是以쬐轴、 轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：( ， )，( ， )范围： 쬐 ， 图像如图所示：
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合 㔸ݧ㔸 ， 쬐ɶ쬐ݧ ， ， ， ，则 㔸2．( t쬐) 的二项展开式中쬐 的系数为 3．lim㔸 t 쬐㔸 4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则 㔸 㔸 5．在直角坐标系쬐 中，角 的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角 的终边经过点( ， )， 则쬐㔸 6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.7．已知双曲线 ：쬐 㔸 的左，右焦点为 、 ，过 的直线 与双曲线 的左、右支分别交 于点 、 .若 为等边三角形，则 的边长为8．在复平面쬐 内，复数 ， 所对应的点分别为 、 ，对于下列四个式子：⑴ 㔸ɶ ɶ； ⑵ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ； ⑶ 㔸ɶ ɶ ；⑷ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．设쬐， ， t ， t ，若 쬐㔸 㔸 ， t 㔸 ，则t的最大值为쬐 10．已知公差不为0的等差数列ݧ ， ， 若， 为和项 前的 ݧ ， ，则 的最小值为11．已知点 、 在抛物线 ： 㔸 쬐上，点 在 的准线上，线段 、 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴交于点 ( ， )，则ɶ ɶ的最小值为．12．设曲线 与函数 (쬐)㔸 쬐 ( 쬐 )的图像关于直线 㔸 쬐对称，若曲线 仍然为某函数 的图象，则实数 的取值范围为二、单选题 13．“ ”是“ t ”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．给定一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设这组数据的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，则（）A． t t B． t t C． t t D． t t 15．已知平面 经过圆柱 的旋转轴，点 、 是在圆柱 的侧面上，但不在平面 上，则下列 个命题中真命题的个数是（）①总存在直线 ， 且 与 异面；②总存在直线 ， 且 ；③总存在平面 ， 且 ；④总存在平面 ， 且 // .A．lB．2C．3D．4 16．若函数 (쬐)㔸 sin 쬐t cos 쬐( 쬐 ， t )的值域为[ ， ]，则cos的取值范围为 （） A．[，]B．[，]C．[ ，]D．[ ，] 三、解答题17．在直三棱柱 中， ， 㔸 㔸 㔸 .（1）求四棱锥 的体积 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值. 18．已知三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 㔸 ，cos 㔸 （1）若sin 㔸 sin ，求 的面积；（2）设线段 的中点为 ，若 㔸 ，求 外接圆半径的值.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 ( ∗)年后共支出费用为 万元，求 的表达式；（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 %，设使用 ( ∗)年后养护保险年平均费用为 ，当 㔸 时， 最小，请你列出 t 时 的表达式，并利用计算器确定 的值（只需写出 的值） 20．已知函数 (쬐)㔸(쬐 ). 쬐t （1）求证：函数 (쬐)是 上的减函数；（2）已知函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )的充要条件是 (쬐)㔸 (쬐t ) 的图像关于原点中心对称，判断函数 (쬐)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ，求实数 的最大值.21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系쬐 中，定义点 (쬐 ， )， (쬐 ， )的“直角距离” ( ， )为： ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ ɶ，设 ( ， )， ( ， ).（1）写出一个满足 (C，M)㔸 (C，N)的点 的坐标；（2）过点 ( ， )， ( ， )作斜率为2的直线 、 ，点 、 分别是直线 、 上的动点，求 ( ， )的最小值；（3）设 (쬐， )，记方程 ( ， )t ( ，N)㔸 的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分1．【答案】ݧ 2．【答案】243．【答案】14．【答案】-1 5．【答案】 6．【答案】67．【答案】48．【答案】（2）（3）9．【答案】110．【答案】-12 11．【答案】 12．【答案】( ， ]13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】（1）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 ， 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为 㔸 㔸 㔸 ，所以 㔸 所以四棱锥 的体积 㔸 㔸 㔸 .（2）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为在直三棱柱 中， // ，所以 平面 ，故连接 ， ，则 是直线 与平面 所成角， 所以tan 㔸㔸㔸， 所以直线 与平面 所成角的正切值为. 18．【答案】（1）解：因为sin 㔸 sin ，所以 㔸 ， 因为 㔸 ，cos 㔸 ， 所以 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以 的面积为 㔸 sin 㔸 㔸 . （2）解：因为线段 的中点为 ， 㔸 ， 㔸 ，cos 㔸 ， () t t 所以在 中，由cos 㔸 㔸 㔸 ，解得 㔸 （ 㔸 舍）， 所以在 中， 㔸 t cos 㔸 ，即 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以由正弦定理得 外接圆半经 满足 㔸sin 㔸 㔸 ， 所以 外接圆半径 㔸 19．【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第 ( ∗)年的燃油费用为 㔸 . t . ， ( . t . t ) 所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后燃油的总费用是㔸t ， 因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后养护费用共 万元， 所以 㔸t t t 㔸tt ， ∗. （2）解：当 t 时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加 %，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 . ，公比为 . ，所以从第七年起，第 ( ∗， t )年的养护保险费用为 . ， ∗，所以购买该种型号汽车 ( ∗， t )年后，养护保险费为 t . ( . )㔸 . ， . . 所以当 t 时，使用 ( ∗)年后，养护保险费的年平均费用为 㔸， t ， ∗.经计算器计算得 㔸 时， 最小.20．【答案】（1）解：设对于任意的实数쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，쬐쬐쬐쬐 ( t ) ( t ) 则 (쬐 ) (쬐 )㔸쬐 쬐㔸쬐쬐㔸쬐쬐， t t ( t )( t )( t )( t )因为쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，所以 쬐 쬐 t ，( 쬐 t )( 쬐 t )t ，所以 (쬐 ) (쬐 )t ，即 (쬐 )t (쬐 )所以函数 (쬐)是 上的减函数（2）解：假设函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )， 则 (쬐)㔸 (쬐t ) 㔸 的图像关于原点中心对称， 쬐t t 由于函数的定义域为 ， 所以 ( 쬐)t (쬐)㔸 t 㔸 恒成立， 쬐t t 쬐t t 即( )( 쬐t t 쬐t )t 㔸 恒成立， 㔸 所以 ，解得 㔸 ， 㔸， 㔸 所以函数 (쬐)的图像存在对称中心( ，) （3）解：因为对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ， 所以 쬐t쬐쬐㔸 ，即 쬐 t쬐 쬐 㔸 ， t t 쬐 所以 쬐 t쬐 쬐 㔸 ，即쬐 㔸쬐㔸 쬐 因为쬐 [ ， ]，所以 쬐 [ ， ] 因为쬐 [ ，]，所以[ ， ] [ ，]， 所以 ，即 所以 ( )min㔸 ，所以 ，即实数 的最大值为2.21．【答案】（1）解：设 点的坐标为 (쬐 ， )，若 (C，M)㔸 (C，N)，所以ɶ쬐 ɶtɶ ɶ㔸ɶ쬐 t ɶtɶ t ɶ，所以 点在直线 㔸 쬐上，故( ， )满足要求.（2）解：由题可知， ： 㔸 쬐 ， ： 㔸 쬐t ，因此 (쬐 ， 쬐 )， (쬐 ， 쬐 )，所以 ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ( 쬐 ) ( 쬐 t )ɶ㔸ɶ쬐 쬐 ɶt ɶ쬐 쬐 ɶ，令쬐 쬐 㔸 ，则 ( ， )㔸ɶ ɶt ɶ ɶ， t ， 所以 ( ， )㔸 t ， ， ， 所以当 㔸 时， ( ， )取得最小值1.（3）解：因为 ( ， )t ( ， )㔸 ， 所以ɶ쬐 ɶtɶ쬐t ɶtɶ ɶtɶ t ɶ㔸 ，所以，类比椭圆的几何性质，曲线 的性质的性质有：对称性：曲线 即是以쬐轴、 轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：( ， )，( ， )范围： 쬐 ， 图像如图所示：
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合 㔸ݧ㔸 ， 쬐ɶ쬐ݧ ， ， ， ，则 㔸2．( t쬐) 的二项展开式中쬐 的系数为 3．lim㔸 t 쬐㔸 4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则 㔸 㔸 5．在直角坐标系쬐 中，角 的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角 的终边经过点( ， )， 则쬐㔸 6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.7．已知双曲线 ：쬐 㔸 的左，右焦点为 、 ，过 的直线 与双曲线 的左、右支分别交 于点 、 .若 为等边三角形，则 的边长为8．在复平面쬐 内，复数 ， 所对应的点分别为 、 ，对于下列四个式子：⑴ 㔸ɶ ɶ； ⑵ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ； ⑶ 㔸ɶ ɶ ；⑷ɶ ɶ㔸ɶ ɶ ɶ ɶ，其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．设쬐， ， t ， t ，若 쬐㔸 㔸 ， t 㔸 ，则t的最大值为쬐 10．已知公差不为0的等差数列ݧ ， ， 若， 为和项 前的 ݧ ， ，则 的最小值为11．已知点 、 在抛物线 ： 㔸 쬐上，点 在 的准线上，线段 、 的中点均在抛物线 上，设直线 与 轴交于点 ( ， )，则ɶ ɶ的最小值为．12．设曲线 与函数 (쬐)㔸 쬐 ( 쬐 )的图像关于直线 㔸 쬐对称，若曲线 仍然为某函数 的图象，则实数 的取值范围为二、单选题 13．“ ”是“ t ”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．给定一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设这组数据的平均数为 ，中位数为 ，众数为 ，则（）A． t t B． t t C． t t D． t t 15．已知平面 经过圆柱 的旋转轴，点 、 是在圆柱 的侧面上，但不在平面 上，则下列 个命题中真命题的个数是（）①总存在直线 ， 且 与 异面；②总存在直线 ， 且 ；③总存在平面 ， 且 ；④总存在平面 ， 且 // .A．lB．2C．3D．4 16．若函数 (쬐)㔸 sin 쬐t cos 쬐( 쬐 ， t )的值域为[ ， ]，则cos的取值范围为 （） A．[，]B．[，]C．[ ，]D．[ ，] 三、解答题17．在直三棱柱 中， ， 㔸 㔸 㔸 .（1）求四棱锥 的体积 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值. 18．已知三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 㔸 ，cos 㔸 （1）若sin 㔸 sin ，求 的面积；（2）设线段 的中点为 ，若 㔸 ，求 外接圆半径的值.19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车 ( ∗)年后共支出费用为 万元，求 的表达式；（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第 年起，每一年的养护保险费都比前一年增加 %，设使用 ( ∗)年后养护保险年平均费用为 ，当 㔸 时， 最小，请你列出 t 时 的表达式，并利用计算器确定 的值（只需写出 的值） 20．已知函数 (쬐)㔸(쬐 ). 쬐t （1）求证：函数 (쬐)是 上的减函数；（2）已知函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )的充要条件是 (쬐)㔸 (쬐t ) 的图像关于原点中心对称，判断函数 (쬐)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ，求实数 的最大值.21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系쬐 中，定义点 (쬐 ， )， (쬐 ， )的“直角距离” ( ， )为： ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ ɶ，设 ( ， )， ( ， ).（1）写出一个满足 (C，M)㔸 (C，N)的点 的坐标；（2）过点 ( ， )， ( ， )作斜率为2的直线 、 ，点 、 分别是直线 、 上的动点，求 ( ， )的最小值；（3）设 (쬐， )，记方程 ( ， )t ( ，N)㔸 的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分1．【答案】ݧ 2．【答案】243．【答案】14．【答案】-1 5．【答案】 6．【答案】67．【答案】48．【答案】（2）（3）9．【答案】110．【答案】-12 11．【答案】 12．【答案】( ， ]13．【答案】B14．【答案】B15．【答案】C16．【答案】A17．【答案】（1）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 ， 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为 㔸 㔸 㔸 ，所以 㔸 所以四棱锥 的体积 㔸 㔸 㔸 .（2）解：因为直三棱柱 中， 平面 ，所以 因为 ， 㔸 ，所以 平面 ，因为在直三棱柱 中， // ，所以 平面 ，故连接 ， ，则 是直线 与平面 所成角， 所以tan 㔸㔸㔸， 所以直线 与平面 所成角的正切值为. 18．【答案】（1）解：因为sin 㔸 sin ，所以 㔸 ， 因为 㔸 ，cos 㔸 ， 所以 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以 的面积为 㔸 sin 㔸 㔸 . （2）解：因为线段 的中点为 ， 㔸 ， 㔸 ，cos 㔸 ， () t t 所以在 中，由cos 㔸 㔸 㔸 ，解得 㔸 （ 㔸 舍）， 所以在 中， 㔸 t cos 㔸 ，即 㔸 ， 因为 ( ， )，所以sin 㔸 cos 㔸， 所以由正弦定理得 外接圆半经 满足 㔸sin 㔸 㔸 ， 所以 外接圆半径 㔸 19．【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第 ( ∗)年的燃油费用为 㔸 . t . ， ( . t . t ) 所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后燃油的总费用是㔸t ， 因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车 ( ∗)年后养护费用共 万元， 所以 㔸t t t 㔸tt ， ∗. （2）解：当 t 时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加 %，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 . ，公比为 . ，所以从第七年起，第 ( ∗， t )年的养护保险费用为 . ， ∗，所以购买该种型号汽车 ( ∗， t )年后，养护保险费为 t . ( . )㔸 . ， . . 所以当 t 时，使用 ( ∗)年后，养护保险费的年平均费用为 㔸， t ， ∗.经计算器计算得 㔸 时， 最小.20．【答案】（1）解：设对于任意的实数쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，쬐쬐쬐쬐 ( t ) ( t ) 则 (쬐 ) (쬐 )㔸쬐 쬐㔸쬐쬐㔸쬐쬐， t t ( t )( t )( t )( t )因为쬐 ，쬐 ，쬐 쬐 ，所以 쬐 쬐 t ，( 쬐 t )( 쬐 t )t ，所以 (쬐 ) (쬐 )t ，即 (쬐 )t (쬐 )所以函数 (쬐)是 上的减函数（2）解：假设函数 (쬐)的图像存在对称中心( ， )， 则 (쬐)㔸 (쬐t ) 㔸 的图像关于原点中心对称， 쬐t t 由于函数的定义域为 ， 所以 ( 쬐)t (쬐)㔸 t 㔸 恒成立， 쬐t t 쬐t t 即( )( 쬐t t 쬐t )t 㔸 恒成立， 㔸 所以 ，解得 㔸 ， 㔸， 㔸 所以函数 (쬐)的图像存在对称中心( ，) （3）解：因为对任意쬐 [ ， ]，都存在쬐 [ ， ]及实数 ，使得 ( 쬐 )t (쬐 쬐 )㔸 ， 所以 쬐t쬐쬐㔸 ，即 쬐 t쬐 쬐 㔸 ， t t 쬐 所以 쬐 t쬐 쬐 㔸 ，即쬐 㔸쬐㔸 쬐 因为쬐 [ ， ]，所以 쬐 [ ， ] 因为쬐 [ ，]，所以[ ， ] [ ，]， 所以 ，即 所以 ( )min㔸 ，所以 ，即实数 的最大值为2.21．【答案】（1）解：设 点的坐标为 (쬐 ， )，若 (C，M)㔸 (C，N)，所以ɶ쬐 ɶtɶ ɶ㔸ɶ쬐 t ɶtɶ t ɶ，所以 点在直线 㔸 쬐上，故( ， )满足要求.（2）解：由题可知， ： 㔸 쬐 ， ： 㔸 쬐t ，因此 (쬐 ， 쬐 )， (쬐 ， 쬐 )，所以 ( ， )㔸ɶ쬐 쬐 ɶtɶ( 쬐 ) ( 쬐 t )ɶ㔸ɶ쬐 쬐 ɶt ɶ쬐 쬐 ɶ，令쬐 쬐 㔸 ，则 ( ， )㔸ɶ ɶt ɶ ɶ， t ， 所以 ( ， )㔸 t ， ， ， 所以当 㔸 时， ( ， )取得最小值1.（3）解：因为 ( ， )t ( ， )㔸 ， 所以ɶ쬐 ɶtɶ쬐t ɶtɶ ɶtɶ t ɶ㔸 ，所以，类比椭圆的几何性质，曲线 的性质的性质有：对称性：曲线 即是以쬐轴、 轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：( ， )，( ， )范围： 쬐 ， 图像如图所示：
