天津市滨海七校2022届高三下学期数学二模试卷及答案
高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合㔸ݧ㔸，쬐ɶ쬐ݧ，，，，则㔸2．(t쬐)的二项展开式中쬐的系数为3．lim㔸t쬐㔸4．若线性方程组的增广矩阵为()，解为，则㔸㔸5．在直角坐标系쬐中，角的始边为쬐正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边
高三下学期数学二模试卷一、单选题1．定义{|且，若{，，，，，{，，，则A-B=（）A．{9}B．{0，3，7}C．{1，5}D．{0，1，3，5，7}2．“o且”是“直线䀀过点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}【分析】根据交集的定义，可得答案。2．(2+x)4的二项展开式中x2的系数为 【答案】24【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(2+x)4展开式的通项公式为Tk+1=C4k24−kxk，k=0，1，2，3，4，故当k=2时，(2+x)4的二项展开式中x2的项为T2+1=C4222x2，其系数为24。故答案为：24。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(2+x)4的二项展开式中x2的系数。3．limn→∞3n−2n3n+1= 【答案】1【知识点】数列的极限【解析】【解答】limn→∞3n−2n3n+1=limn→∞1−2n3n1+13n=limn→∞1−(23)n1+13n=1−01+0=1.故答案为：1【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.4．若线性方程组的增广矩阵为(01c111c2)，解为x=1y=1，则c1−c2= 【答案】-1【知识点】二元一次方程组的矩阵形式【解析】【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：y=c1x+y=c2，将解x=1y=1代入上面方程组，可得：c1=1c2=2．所以c1−c2=1−2=−1故答案为：-1．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案.5．在直角坐标系xoy中，角α的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点(−3，4)，则x=π12 【答案】−45【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】sinα=4(−3)2+42=45，sin(α+π)=−sinα=−45.故答案为：−45【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，再利用诱导公式即可求出答案。6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.【答案】6【知识点】排列及排列数公式【解析】【解答】3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有A33=6种不同的安排方法.故答案为：6【分析】利用排列计算可得答案。7．已知双曲线M：x2−y26=1的左，右焦点为F1、F2，过F1的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则△ABF2的边长为 【答案】4【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r，|AF1|=m，因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|=r，由双曲线的方程知a=1，b=6，所以由双曲线的定义得|AF2|−|AF1|=2，|BF1|−|BF2|=2， 即r+m−r=2，r−m=2，解得r=4，m=2.所以△ABF2的边长为4.故答案：4.【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求解可得△ABF2的边长。8．在复平面xoy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1、Z2，对于下列四个式子：⑴z12=|z12|；⑵|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|；⑶OZ2=|OZ|2；⑷|OZ1⋅OZ2|=|OZ1|⋅|OZ2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模【解析】【解答】z1=1+i，z12=2i，|z12|=2，所以（1）错误.Z1(1，1)，Z2(1，−1)，|OZ1⋅OZ2|=0，|OZ1|⋅|OZ2|=2，所以（4）错误.设z1=a+bi，z2=c+di，Z1(a，b)，Z2(c，d)，|z1⋅z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以（2）正确.OZ2=|OZ|2=a2+b2，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）【分析】结合复数运算逐项进行分析，可得答案。9．设x，y∈R，a>0，b>0，若ax=by=3，a+2b=26，则1x+1y的最大值为 【答案】1【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以1x=log3a，1y=log3b，1x+1y=log3ab因为a+2b=26，所以2ab≤(a+2b2)2=6，故ab∈(0，3]，所以1x+1y=log3ab∈(0，1]故1x+1y的最大值为1.故答案为：1.【分析】由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3，即1x+1y=log3ab，再利用基本不等式即可求出1x+1y的最大值。10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−10，0}，则Sn的最小值为 【答案】-12【知识点】等差数列的前n项和【解析】【解答】Sn取得最小值，则公差d>0，a4=−10或a4=0，（1）当a4=0，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=0，S5=5a3=−10⇒a1+3d=0，5a1+10d=−10，⇒a1=−6，d=2>0，an=2n−8，an=2n−8≤0⇒n≤4，所以Sn的最小值为S4=4a1+6d=−24+12=−12.（2）当a4=−10，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=−70，不合题意.综上所述：a4=0，S5=−10，S7=0，Sn的最小值为-12.故答案为：-12【分析】根据题意，分类讨论，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn的最小值。11．已知点A、B在抛物线Γ：y2=4x上，点M在Γ的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线Γ上，设直线AB与y轴交于点N(0，n)，则|n|的最小值为 ．【答案】22【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】解：设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)所以MA的中点坐标为P(y12−48，m+y12)，由于P∈Γ，所以(m+y12)2=4×y12−48，即y12−2my1−m2−8=0；同理得y22−2my2−m2−8=0，所以y12−2my1−m2−8=0y22−2my2−m2−8=0，即y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，所以y1+y2=2m，y1y2=−m2−8，所以m≠0，kAB=y1−y2y124−y224=4y1+y2=2m，故lAB：y−y1=2m(x−y124) 由于直线AB与y轴交于点N(0，n)所以n−y1=2m(0−y124)，即n=−m2−4m，因为对勾函数y=x2+4x的取值范围是(−∞，−22]∪[22，+∞)，所以|n|min=22，故答案为：22【分析】设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)，进而根据题意得y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，利用韦达定理进而得lAB：y−y1=2m(x−y124)，再根据直线AB与y轴交于点N(0，n)得n=−m2−4m，再结合对勾函数的性质可得|n|的最小值。12．设曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，若曲线C仍然为某函数的图象，则实数m的取值范围为 【答案】(0，2]【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，因为曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，所以l的方程为l：y=33(x−m)+312m2故联立方程得y=33(x−m)+312m2y=312×2，即x2−4x+4m−m2=0，所以Δ=16−16m+4m2=0，解得m=2所以m的取值范围为(0，2]故答案为：(0，2].【分析】设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，根据题意得直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，进而得l的方程为l：y=33(x−m)+312m2，把直线l与曲线C方程联立可求得m的值，进而得实数m的取值范围。二、单选题13．“1a<1”是“a>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】因为1a<1，所以1a−1<0，所以1−aa<0，即a(a−1)>0，解得a>1或a<0，所以“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a=10+12+12+14+14+15+16+17+17+1710=14.4，中位数b=14+152=14.5，众数c=17，所以c>b>a故答案为：B【分析】分别求出平均数，中位数，众数可得答案。 15．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A、B是在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α.A．lB．2C．3D．4【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；当直线AB与平面α相交时，不存在存在平面β，AB⊂β且β//α，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故答案为：C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案。16．若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3，ω>0)的值域为[4，5]，则cosωπ3的取值范围为（ ）A．[725，45]B．[725，35]C．[−725，45]D．[−725，35]【答案】A【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+β)，(0≤x≤π3，ω>0)，tanβ=43，sinβ=45，cosβ=35，令t=ωx+β，则g(t)=5sint，因为0≤x≤π3，ω>0，所以β≤t≤πω3+β，0 6时Cn的表达式，并利用计算器确定n0的值（只需写出n0的值）【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为an=0.2n+1.8，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后燃油的总费用是n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后养护费用共n万元，所以Sn=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20，n∈N∗.（2）解：当n>6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第n(n∈N∗，n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗，n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1.1n−6)1−1.1=10×1.1n−5−5，所以当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用为Cn=10×1.1n−5−5n，n>6，n∈N∗.经计算器计算得n0=7时，Cn最小.【知识点】数列的应用【解析】【分析】（1）根据题意，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，根据等差数列的前n项和公是即可求出Sn的表达式；（2）从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，根据等比数列的前n项求和公式即可求出Cn最小，进而求出n0的值。20．已知函数f(x)=12x+1(x∈R).（1）求证：函数f(x)是R上的减函数；（2）已知函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，求实数n的最大值.【答案】（1）解：设对于任意的实数x1，x2，x1 0，(2×1+1)(2×2+1)>0， 所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)是R上的减函数（2）解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，则g(x)=f(x+a)−b=12x+a+1−b的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所以g(−x)+g(x)=12−x+a+1−b+12x+a+1−b=0恒成立，即(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，所以1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解得a=0，b=12，所以函数f(x)的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，所以121−mx1+1+12x1x2+1=1，即21−mx1+x1x2=1，所以1−mx1+x1x2=0，即x2=mx1−1×1=m−1×1因为x1∈[1，n]，所以m−1×1∈[m−1，m−1n]因为x2∈[1，32]，所以[m−1，m−1n]⊆[1，32]，所以m−1≥1m−1n≤32，即m≥21n≥m−32所以1n≥(m−32)min=12，所以n≤2，即实数n的最大值为2.【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，根据题意将问题转化为(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，进而得1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解方程即可得出函数f(x)的图像存在对称中心；（3）根据题意得1−mx1+x1x2=0，进而结合已知条件得[m−1，m−1n]⊆[1，32]，，即1n≥(m−32)min=12，求解可得实数n的最大值。21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“直角距离”d(A，B)为：d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|，设M(1，1)，N(−1，−1).（1）写出一个满足d(C，M)=d(C，N)的点C的坐标；（2）过点M(1，1)，N(−1，−1)作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q，R)的最小值；（3）设P(x，y)，记方程d(P，M)+d(P，N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；【答案】（1）解：设C点的坐标为C(x0，y0)，若d(C，M)=d(C，N)，所以|x0−1|+|y0−1|=|x0+1|+|y0+1|，所以C点在直线y=−x上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，l1：y=2x−1，l2：y=2x+1，因此Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，所以d(Q，R)=|x1−x2|+|(2×1−1)−(2×2+1)|=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=|t|+2|t−1|，所以d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，所以当t=1时，d(Q，R)取得最小值1.（3）解：因为d(P，M)+d(P，N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(±3，±1)，(±1，±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3图像如图所示：【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【解析】【分析】（1）根据题意设C点的坐标为C(x0，y0)，进而代入(0，0)检验即可得出点C的坐标；（2）由题设Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，进而得d(Q，R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，再求函数的最值即可求出d(Q，R)的最小值；（3）根据题意，作出图像，结合图像研究曲线Γ的性质即可。
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}【分析】根据交集的定义，可得答案。2．(2+x)4的二项展开式中x2的系数为 【答案】24【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(2+x)4展开式的通项公式为Tk+1=C4k24−kxk，k=0，1，2，3，4，故当k=2时，(2+x)4的二项展开式中x2的项为T2+1=C4222x2，其系数为24。故答案为：24。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(2+x)4的二项展开式中x2的系数。3．limn→∞3n−2n3n+1= 【答案】1【知识点】数列的极限【解析】【解答】limn→∞3n−2n3n+1=limn→∞1−2n3n1+13n=limn→∞1−(23)n1+13n=1−01+0=1.故答案为：1【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.4．若线性方程组的增广矩阵为(01c111c2)，解为x=1y=1，则c1−c2= 【答案】-1【知识点】二元一次方程组的矩阵形式【解析】【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：y=c1x+y=c2，将解x=1y=1代入上面方程组，可得：c1=1c2=2．所以c1−c2=1−2=−1故答案为：-1．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案.5．在直角坐标系xoy中，角α的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点(−3，4)，则x=π12 【答案】−45【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】sinα=4(−3)2+42=45，sin(α+π)=−sinα=−45.故答案为：−45【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，再利用诱导公式即可求出答案。6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.【答案】6【知识点】排列及排列数公式【解析】【解答】3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有A33=6种不同的安排方法.故答案为：6【分析】利用排列计算可得答案。7．已知双曲线M：x2−y26=1的左，右焦点为F1、F2，过F1的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则△ABF2的边长为 【答案】4【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r，|AF1|=m，因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|=r，由双曲线的方程知a=1，b=6，所以由双曲线的定义得|AF2|−|AF1|=2，|BF1|−|BF2|=2， 即r+m−r=2，r−m=2，解得r=4，m=2.所以△ABF2的边长为4.故答案：4.【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求解可得△ABF2的边长。8．在复平面xoy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1、Z2，对于下列四个式子：⑴z12=|z12|；⑵|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|；⑶OZ2=|OZ|2；⑷|OZ1⋅OZ2|=|OZ1|⋅|OZ2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模【解析】【解答】z1=1+i，z12=2i，|z12|=2，所以（1）错误.Z1(1，1)，Z2(1，−1)，|OZ1⋅OZ2|=0，|OZ1|⋅|OZ2|=2，所以（4）错误.设z1=a+bi，z2=c+di，Z1(a，b)，Z2(c，d)，|z1⋅z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以（2）正确.OZ2=|OZ|2=a2+b2，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）【分析】结合复数运算逐项进行分析，可得答案。9．设x，y∈R，a>0，b>0，若ax=by=3，a+2b=26，则1x+1y的最大值为 【答案】1【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以1x=log3a，1y=log3b，1x+1y=log3ab因为a+2b=26，所以2ab≤(a+2b2)2=6，故ab∈(0，3]，所以1x+1y=log3ab∈(0，1]故1x+1y的最大值为1.故答案为：1.【分析】由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3，即1x+1y=log3ab，再利用基本不等式即可求出1x+1y的最大值。10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−10，0}，则Sn的最小值为 【答案】-12【知识点】等差数列的前n项和【解析】【解答】Sn取得最小值，则公差d>0，a4=−10或a4=0，（1）当a4=0，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=0，S5=5a3=−10⇒a1+3d=0，5a1+10d=−10，⇒a1=−6，d=2>0，an=2n−8，an=2n−8≤0⇒n≤4，所以Sn的最小值为S4=4a1+6d=−24+12=−12.（2）当a4=−10，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=−70，不合题意.综上所述：a4=0，S5=−10，S7=0，Sn的最小值为-12.故答案为：-12【分析】根据题意，分类讨论，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn的最小值。11．已知点A、B在抛物线Γ：y2=4x上，点M在Γ的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线Γ上，设直线AB与y轴交于点N(0，n)，则|n|的最小值为 ．【答案】22【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】解：设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)所以MA的中点坐标为P(y12−48，m+y12)，由于P∈Γ，所以(m+y12)2=4×y12−48，即y12−2my1−m2−8=0；同理得y22−2my2−m2−8=0，所以y12−2my1−m2−8=0y22−2my2−m2−8=0，即y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，所以y1+y2=2m，y1y2=−m2−8，所以m≠0，kAB=y1−y2y124−y224=4y1+y2=2m，故lAB：y−y1=2m(x−y124) 由于直线AB与y轴交于点N(0，n)所以n−y1=2m(0−y124)，即n=−m2−4m，因为对勾函数y=x2+4x的取值范围是(−∞，−22]∪[22，+∞)，所以|n|min=22，故答案为：22【分析】设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)，进而根据题意得y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，利用韦达定理进而得lAB：y−y1=2m(x−y124)，再根据直线AB与y轴交于点N(0，n)得n=−m2−4m，再结合对勾函数的性质可得|n|的最小值。12．设曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，若曲线C仍然为某函数的图象，则实数m的取值范围为 【答案】(0，2]【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，因为曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，所以l的方程为l：y=33(x−m)+312m2故联立方程得y=33(x−m)+312m2y=312×2，即x2−4x+4m−m2=0，所以Δ=16−16m+4m2=0，解得m=2所以m的取值范围为(0，2]故答案为：(0，2].【分析】设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，根据题意得直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，进而得l的方程为l：y=33(x−m)+312m2，把直线l与曲线C方程联立可求得m的值，进而得实数m的取值范围。二、单选题13．“1a<1”是“a>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】因为1a<1，所以1a−1<0，所以1−aa<0，即a(a−1)>0，解得a>1或a<0，所以“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a=10+12+12+14+14+15+16+17+17+1710=14.4，中位数b=14+152=14.5，众数c=17，所以c>b>a故答案为：B【分析】分别求出平均数，中位数，众数可得答案。 15．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A、B是在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α.A．lB．2C．3D．4【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；当直线AB与平面α相交时，不存在存在平面β，AB⊂β且β//α，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故答案为：C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案。16．若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3，ω>0)的值域为[4，5]，则cosωπ3的取值范围为（ ）A．[725，45]B．[725，35]C．[−725，45]D．[−725，35]【答案】A【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+β)，(0≤x≤π3，ω>0)，tanβ=43，sinβ=45，cosβ=35，令t=ωx+β，则g(t)=5sint，因为0≤x≤π3，ω>0，所以β≤t≤πω3+β，0 6时Cn的表达式，并利用计算器确定n0的值（只需写出n0的值）【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为an=0.2n+1.8，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后燃油的总费用是n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后养护费用共n万元，所以Sn=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20，n∈N∗.（2）解：当n>6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第n(n∈N∗，n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗，n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1.1n−6)1−1.1=10×1.1n−5−5，所以当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用为Cn=10×1.1n−5−5n，n>6，n∈N∗.经计算器计算得n0=7时，Cn最小.【知识点】数列的应用【解析】【分析】（1）根据题意，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，根据等差数列的前n项和公是即可求出Sn的表达式；（2）从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，根据等比数列的前n项求和公式即可求出Cn最小，进而求出n0的值。20．已知函数f(x)=12x+1(x∈R).（1）求证：函数f(x)是R上的减函数；（2）已知函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，求实数n的最大值.【答案】（1）解：设对于任意的实数x1，x2，x1 0，(2×1+1)(2×2+1)>0， 所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)是R上的减函数（2）解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，则g(x)=f(x+a)−b=12x+a+1−b的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所以g(−x)+g(x)=12−x+a+1−b+12x+a+1−b=0恒成立，即(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，所以1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解得a=0，b=12，所以函数f(x)的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，所以121−mx1+1+12x1x2+1=1，即21−mx1+x1x2=1，所以1−mx1+x1x2=0，即x2=mx1−1×1=m−1×1因为x1∈[1，n]，所以m−1×1∈[m−1，m−1n]因为x2∈[1，32]，所以[m−1，m−1n]⊆[1，32]，所以m−1≥1m−1n≤32，即m≥21n≥m−32所以1n≥(m−32)min=12，所以n≤2，即实数n的最大值为2.【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，根据题意将问题转化为(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，进而得1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解方程即可得出函数f(x)的图像存在对称中心；（3）根据题意得1−mx1+x1x2=0，进而结合已知条件得[m−1，m−1n]⊆[1，32]，，即1n≥(m−32)min=12，求解可得实数n的最大值。21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“直角距离”d(A，B)为：d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|，设M(1，1)，N(−1，−1).（1）写出一个满足d(C，M)=d(C，N)的点C的坐标；（2）过点M(1，1)，N(−1，−1)作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q，R)的最小值；（3）设P(x，y)，记方程d(P，M)+d(P，N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；【答案】（1）解：设C点的坐标为C(x0，y0)，若d(C，M)=d(C，N)，所以|x0−1|+|y0−1|=|x0+1|+|y0+1|，所以C点在直线y=−x上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，l1：y=2x−1，l2：y=2x+1，因此Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，所以d(Q，R)=|x1−x2|+|(2×1−1)−(2×2+1)|=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=|t|+2|t−1|，所以d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，所以当t=1时，d(Q，R)取得最小值1.（3）解：因为d(P，M)+d(P，N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(±3，±1)，(±1，±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3图像如图所示：【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【解析】【分析】（1）根据题意设C点的坐标为C(x0，y0)，进而代入(0，0)检验即可得出点C的坐标；（2）由题设Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，进而得d(Q，R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，再求函数的最值即可求出d(Q，R)的最小值；（3）根据题意，作出图像，结合图像研究曲线Γ的性质即可。
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}【分析】根据交集的定义，可得答案。2．(2+x)4的二项展开式中x2的系数为 【答案】24【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(2+x)4展开式的通项公式为Tk+1=C4k24−kxk，k=0，1，2，3，4，故当k=2时，(2+x)4的二项展开式中x2的项为T2+1=C4222x2，其系数为24。故答案为：24。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(2+x)4的二项展开式中x2的系数。3．limn→∞3n−2n3n+1= 【答案】1【知识点】数列的极限【解析】【解答】limn→∞3n−2n3n+1=limn→∞1−2n3n1+13n=limn→∞1−(23)n1+13n=1−01+0=1.故答案为：1【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.4．若线性方程组的增广矩阵为(01c111c2)，解为x=1y=1，则c1−c2= 【答案】-1【知识点】二元一次方程组的矩阵形式【解析】【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：y=c1x+y=c2，将解x=1y=1代入上面方程组，可得：c1=1c2=2．所以c1−c2=1−2=−1故答案为：-1．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案.5．在直角坐标系xoy中，角α的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点(−3，4)，则x=π12 【答案】−45【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】sinα=4(−3)2+42=45，sin(α+π)=−sinα=−45.故答案为：−45【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，再利用诱导公式即可求出答案。6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.【答案】6【知识点】排列及排列数公式【解析】【解答】3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有A33=6种不同的安排方法.故答案为：6【分析】利用排列计算可得答案。7．已知双曲线M：x2−y26=1的左，右焦点为F1、F2，过F1的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则△ABF2的边长为 【答案】4【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r，|AF1|=m，因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|=r，由双曲线的方程知a=1，b=6，所以由双曲线的定义得|AF2|−|AF1|=2，|BF1|−|BF2|=2， 即r+m−r=2，r−m=2，解得r=4，m=2.所以△ABF2的边长为4.故答案：4.【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求解可得△ABF2的边长。8．在复平面xoy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1、Z2，对于下列四个式子：⑴z12=|z12|；⑵|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|；⑶OZ2=|OZ|2；⑷|OZ1⋅OZ2|=|OZ1|⋅|OZ2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模【解析】【解答】z1=1+i，z12=2i，|z12|=2，所以（1）错误.Z1(1，1)，Z2(1，−1)，|OZ1⋅OZ2|=0，|OZ1|⋅|OZ2|=2，所以（4）错误.设z1=a+bi，z2=c+di，Z1(a，b)，Z2(c，d)，|z1⋅z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以（2）正确.OZ2=|OZ|2=a2+b2，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）【分析】结合复数运算逐项进行分析，可得答案。9．设x，y∈R，a>0，b>0，若ax=by=3，a+2b=26，则1x+1y的最大值为 【答案】1【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以1x=log3a，1y=log3b，1x+1y=log3ab因为a+2b=26，所以2ab≤(a+2b2)2=6，故ab∈(0，3]，所以1x+1y=log3ab∈(0，1]故1x+1y的最大值为1.故答案为：1.【分析】由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3，即1x+1y=log3ab，再利用基本不等式即可求出1x+1y的最大值。10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−10，0}，则Sn的最小值为 【答案】-12【知识点】等差数列的前n项和【解析】【解答】Sn取得最小值，则公差d>0，a4=−10或a4=0，（1）当a4=0，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=0，S5=5a3=−10⇒a1+3d=0，5a1+10d=−10，⇒a1=−6，d=2>0，an=2n−8，an=2n−8≤0⇒n≤4，所以Sn的最小值为S4=4a1+6d=−24+12=−12.（2）当a4=−10，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=−70，不合题意.综上所述：a4=0，S5=−10，S7=0，Sn的最小值为-12.故答案为：-12【分析】根据题意，分类讨论，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn的最小值。11．已知点A、B在抛物线Γ：y2=4x上，点M在Γ的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线Γ上，设直线AB与y轴交于点N(0，n)，则|n|的最小值为 ．【答案】22【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】解：设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)所以MA的中点坐标为P(y12−48，m+y12)，由于P∈Γ，所以(m+y12)2=4×y12−48，即y12−2my1−m2−8=0；同理得y22−2my2−m2−8=0，所以y12−2my1−m2−8=0y22−2my2−m2−8=0，即y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，所以y1+y2=2m，y1y2=−m2−8，所以m≠0，kAB=y1−y2y124−y224=4y1+y2=2m，故lAB：y−y1=2m(x−y124) 由于直线AB与y轴交于点N(0，n)所以n−y1=2m(0−y124)，即n=−m2−4m，因为对勾函数y=x2+4x的取值范围是(−∞，−22]∪[22，+∞)，所以|n|min=22，故答案为：22【分析】设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)，进而根据题意得y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，利用韦达定理进而得lAB：y−y1=2m(x−y124)，再根据直线AB与y轴交于点N(0，n)得n=−m2−4m，再结合对勾函数的性质可得|n|的最小值。12．设曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，若曲线C仍然为某函数的图象，则实数m的取值范围为 【答案】(0，2]【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，因为曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，所以l的方程为l：y=33(x−m)+312m2故联立方程得y=33(x−m)+312m2y=312×2，即x2−4x+4m−m2=0，所以Δ=16−16m+4m2=0，解得m=2所以m的取值范围为(0，2]故答案为：(0，2].【分析】设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，根据题意得直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，进而得l的方程为l：y=33(x−m)+312m2，把直线l与曲线C方程联立可求得m的值，进而得实数m的取值范围。二、单选题13．“1a<1”是“a>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】因为1a<1，所以1a−1<0，所以1−aa<0，即a(a−1)>0，解得a>1或a<0，所以“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a=10+12+12+14+14+15+16+17+17+1710=14.4，中位数b=14+152=14.5，众数c=17，所以c>b>a故答案为：B【分析】分别求出平均数，中位数，众数可得答案。 15．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A、B是在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α.A．lB．2C．3D．4【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；当直线AB与平面α相交时，不存在存在平面β，AB⊂β且β//α，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故答案为：C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案。16．若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3，ω>0)的值域为[4，5]，则cosωπ3的取值范围为（ ）A．[725，45]B．[725，35]C．[−725，45]D．[−725，35]【答案】A【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+β)，(0≤x≤π3，ω>0)，tanβ=43，sinβ=45，cosβ=35，令t=ωx+β，则g(t)=5sint，因为0≤x≤π3，ω>0，所以β≤t≤πω3+β，0 6时Cn的表达式，并利用计算器确定n0的值（只需写出n0的值）【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为an=0.2n+1.8，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后燃油的总费用是n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后养护费用共n万元，所以Sn=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20，n∈N∗.（2）解：当n>6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第n(n∈N∗，n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗，n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1.1n−6)1−1.1=10×1.1n−5−5，所以当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用为Cn=10×1.1n−5−5n，n>6，n∈N∗.经计算器计算得n0=7时，Cn最小.【知识点】数列的应用【解析】【分析】（1）根据题意，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，根据等差数列的前n项和公是即可求出Sn的表达式；（2）从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，根据等比数列的前n项求和公式即可求出Cn最小，进而求出n0的值。20．已知函数f(x)=12x+1(x∈R).（1）求证：函数f(x)是R上的减函数；（2）已知函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，求实数n的最大值.【答案】（1）解：设对于任意的实数x1，x2，x1 0，(2×1+1)(2×2+1)>0， 所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)是R上的减函数（2）解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，则g(x)=f(x+a)−b=12x+a+1−b的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所以g(−x)+g(x)=12−x+a+1−b+12x+a+1−b=0恒成立，即(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，所以1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解得a=0，b=12，所以函数f(x)的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，所以121−mx1+1+12x1x2+1=1，即21−mx1+x1x2=1，所以1−mx1+x1x2=0，即x2=mx1−1×1=m−1×1因为x1∈[1，n]，所以m−1×1∈[m−1，m−1n]因为x2∈[1，32]，所以[m−1，m−1n]⊆[1，32]，所以m−1≥1m−1n≤32，即m≥21n≥m−32所以1n≥(m−32)min=12，所以n≤2，即实数n的最大值为2.【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，根据题意将问题转化为(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，进而得1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解方程即可得出函数f(x)的图像存在对称中心；（3）根据题意得1−mx1+x1x2=0，进而结合已知条件得[m−1，m−1n]⊆[1，32]，，即1n≥(m−32)min=12，求解可得实数n的最大值。21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“直角距离”d(A，B)为：d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|，设M(1，1)，N(−1，−1).（1）写出一个满足d(C，M)=d(C，N)的点C的坐标；（2）过点M(1，1)，N(−1，−1)作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q，R)的最小值；（3）设P(x，y)，记方程d(P，M)+d(P，N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；【答案】（1）解：设C点的坐标为C(x0，y0)，若d(C，M)=d(C，N)，所以|x0−1|+|y0−1|=|x0+1|+|y0+1|，所以C点在直线y=−x上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，l1：y=2x−1，l2：y=2x+1，因此Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，所以d(Q，R)=|x1−x2|+|(2×1−1)−(2×2+1)|=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=|t|+2|t−1|，所以d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，所以当t=1时，d(Q，R)取得最小值1.（3）解：因为d(P，M)+d(P，N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(±3，±1)，(±1，±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3图像如图所示：【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【解析】【分析】（1）根据题意设C点的坐标为C(x0，y0)，进而代入(0，0)检验即可得出点C的坐标；（2）由题设Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，进而得d(Q，R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，再求函数的最值即可求出d(Q，R)的最小值；（3）根据题意，作出图像，结合图像研究曲线Γ的性质即可。
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}【分析】根据交集的定义，可得答案。2．(2+x)4的二项展开式中x2的系数为 【答案】24【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(2+x)4展开式的通项公式为Tk+1=C4k24−kxk，k=0，1，2，3，4，故当k=2时，(2+x)4的二项展开式中x2的项为T2+1=C4222x2，其系数为24。故答案为：24。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(2+x)4的二项展开式中x2的系数。3．limn→∞3n−2n3n+1= 【答案】1【知识点】数列的极限【解析】【解答】limn→∞3n−2n3n+1=limn→∞1−2n3n1+13n=limn→∞1−(23)n1+13n=1−01+0=1.故答案为：1【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.4．若线性方程组的增广矩阵为(01c111c2)，解为x=1y=1，则c1−c2= 【答案】-1【知识点】二元一次方程组的矩阵形式【解析】【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：y=c1x+y=c2，将解x=1y=1代入上面方程组，可得：c1=1c2=2．所以c1−c2=1−2=−1故答案为：-1．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案.5．在直角坐标系xoy中，角α的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点(−3，4)，则x=π12 【答案】−45【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】sinα=4(−3)2+42=45，sin(α+π)=−sinα=−45.故答案为：−45【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，再利用诱导公式即可求出答案。6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.【答案】6【知识点】排列及排列数公式【解析】【解答】3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有A33=6种不同的安排方法.故答案为：6【分析】利用排列计算可得答案。7．已知双曲线M：x2−y26=1的左，右焦点为F1、F2，过F1的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则△ABF2的边长为 【答案】4【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r，|AF1|=m，因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|=r，由双曲线的方程知a=1，b=6，所以由双曲线的定义得|AF2|−|AF1|=2，|BF1|−|BF2|=2， 即r+m−r=2，r−m=2，解得r=4，m=2.所以△ABF2的边长为4.故答案：4.【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求解可得△ABF2的边长。8．在复平面xoy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1、Z2，对于下列四个式子：⑴z12=|z12|；⑵|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|；⑶OZ2=|OZ|2；⑷|OZ1⋅OZ2|=|OZ1|⋅|OZ2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模【解析】【解答】z1=1+i，z12=2i，|z12|=2，所以（1）错误.Z1(1，1)，Z2(1，−1)，|OZ1⋅OZ2|=0，|OZ1|⋅|OZ2|=2，所以（4）错误.设z1=a+bi，z2=c+di，Z1(a，b)，Z2(c，d)，|z1⋅z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以（2）正确.OZ2=|OZ|2=a2+b2，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）【分析】结合复数运算逐项进行分析，可得答案。9．设x，y∈R，a>0，b>0，若ax=by=3，a+2b=26，则1x+1y的最大值为 【答案】1【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以1x=log3a，1y=log3b，1x+1y=log3ab因为a+2b=26，所以2ab≤(a+2b2)2=6，故ab∈(0，3]，所以1x+1y=log3ab∈(0，1]故1x+1y的最大值为1.故答案为：1.【分析】由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3，即1x+1y=log3ab，再利用基本不等式即可求出1x+1y的最大值。10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−10，0}，则Sn的最小值为 【答案】-12【知识点】等差数列的前n项和【解析】【解答】Sn取得最小值，则公差d>0，a4=−10或a4=0，（1）当a4=0，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=0，S5=5a3=−10⇒a1+3d=0，5a1+10d=−10，⇒a1=−6，d=2>0，an=2n−8，an=2n−8≤0⇒n≤4，所以Sn的最小值为S4=4a1+6d=−24+12=−12.（2）当a4=−10，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=−70，不合题意.综上所述：a4=0，S5=−10，S7=0，Sn的最小值为-12.故答案为：-12【分析】根据题意，分类讨论，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn的最小值。11．已知点A、B在抛物线Γ：y2=4x上，点M在Γ的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线Γ上，设直线AB与y轴交于点N(0，n)，则|n|的最小值为 ．【答案】22【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】解：设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)所以MA的中点坐标为P(y12−48，m+y12)，由于P∈Γ，所以(m+y12)2=4×y12−48，即y12−2my1−m2−8=0；同理得y22−2my2−m2−8=0，所以y12−2my1−m2−8=0y22−2my2−m2−8=0，即y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，所以y1+y2=2m，y1y2=−m2−8，所以m≠0，kAB=y1−y2y124−y224=4y1+y2=2m，故lAB：y−y1=2m(x−y124) 由于直线AB与y轴交于点N(0，n)所以n−y1=2m(0−y124)，即n=−m2−4m，因为对勾函数y=x2+4x的取值范围是(−∞，−22]∪[22，+∞)，所以|n|min=22，故答案为：22【分析】设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)，进而根据题意得y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，利用韦达定理进而得lAB：y−y1=2m(x−y124)，再根据直线AB与y轴交于点N(0，n)得n=−m2−4m，再结合对勾函数的性质可得|n|的最小值。12．设曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，若曲线C仍然为某函数的图象，则实数m的取值范围为 【答案】(0，2]【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，因为曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，所以l的方程为l：y=33(x−m)+312m2故联立方程得y=33(x−m)+312m2y=312×2，即x2−4x+4m−m2=0，所以Δ=16−16m+4m2=0，解得m=2所以m的取值范围为(0，2]故答案为：(0，2].【分析】设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，根据题意得直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，进而得l的方程为l：y=33(x−m)+312m2，把直线l与曲线C方程联立可求得m的值，进而得实数m的取值范围。二、单选题13．“1a<1”是“a>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】因为1a<1，所以1a−1<0，所以1−aa<0，即a(a−1)>0，解得a>1或a<0，所以“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a=10+12+12+14+14+15+16+17+17+1710=14.4，中位数b=14+152=14.5，众数c=17，所以c>b>a故答案为：B【分析】分别求出平均数，中位数，众数可得答案。 15．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A、B是在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α.A．lB．2C．3D．4【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；当直线AB与平面α相交时，不存在存在平面β，AB⊂β且β//α，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故答案为：C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案。16．若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3，ω>0)的值域为[4，5]，则cosωπ3的取值范围为（ ）A．[725，45]B．[725，35]C．[−725，45]D．[−725，35]【答案】A【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+β)，(0≤x≤π3，ω>0)，tanβ=43，sinβ=45，cosβ=35，令t=ωx+β，则g(t)=5sint，因为0≤x≤π3，ω>0，所以β≤t≤πω3+β，0 6时Cn的表达式，并利用计算器确定n0的值（只需写出n0的值）【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为an=0.2n+1.8，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后燃油的总费用是n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后养护费用共n万元，所以Sn=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20，n∈N∗.（2）解：当n>6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第n(n∈N∗，n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗，n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1.1n−6)1−1.1=10×1.1n−5−5，所以当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用为Cn=10×1.1n−5−5n，n>6，n∈N∗.经计算器计算得n0=7时，Cn最小.【知识点】数列的应用【解析】【分析】（1）根据题意，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，根据等差数列的前n项和公是即可求出Sn的表达式；（2）从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，根据等比数列的前n项求和公式即可求出Cn最小，进而求出n0的值。20．已知函数f(x)=12x+1(x∈R).（1）求证：函数f(x)是R上的减函数；（2）已知函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，求实数n的最大值.【答案】（1）解：设对于任意的实数x1，x2，x1 0，(2×1+1)(2×2+1)>0， 所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)是R上的减函数（2）解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，则g(x)=f(x+a)−b=12x+a+1−b的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所以g(−x)+g(x)=12−x+a+1−b+12x+a+1−b=0恒成立，即(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，所以1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解得a=0，b=12，所以函数f(x)的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，所以121−mx1+1+12x1x2+1=1，即21−mx1+x1x2=1，所以1−mx1+x1x2=0，即x2=mx1−1×1=m−1×1因为x1∈[1，n]，所以m−1×1∈[m−1，m−1n]因为x2∈[1，32]，所以[m−1，m−1n]⊆[1，32]，所以m−1≥1m−1n≤32，即m≥21n≥m−32所以1n≥(m−32)min=12，所以n≤2，即实数n的最大值为2.【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，根据题意将问题转化为(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，进而得1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解方程即可得出函数f(x)的图像存在对称中心；（3）根据题意得1−mx1+x1x2=0，进而结合已知条件得[m−1，m−1n]⊆[1，32]，，即1n≥(m−32)min=12，求解可得实数n的最大值。21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“直角距离”d(A，B)为：d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|，设M(1，1)，N(−1，−1).（1）写出一个满足d(C，M)=d(C，N)的点C的坐标；（2）过点M(1，1)，N(−1，−1)作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q，R)的最小值；（3）设P(x，y)，记方程d(P，M)+d(P，N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；【答案】（1）解：设C点的坐标为C(x0，y0)，若d(C，M)=d(C，N)，所以|x0−1|+|y0−1|=|x0+1|+|y0+1|，所以C点在直线y=−x上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，l1：y=2x−1，l2：y=2x+1，因此Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，所以d(Q，R)=|x1−x2|+|(2×1−1)−(2×2+1)|=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=|t|+2|t−1|，所以d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，所以当t=1时，d(Q，R)取得最小值1.（3）解：因为d(P，M)+d(P，N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(±3，±1)，(±1，±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3图像如图所示：【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【解析】【分析】（1）根据题意设C点的坐标为C(x0，y0)，进而代入(0，0)检验即可得出点C的坐标；（2）由题设Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，进而得d(Q，R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，再求函数的最值即可求出d(Q，R)的最小值；（3）根据题意，作出图像，结合图像研究曲线Γ的性质即可。
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}【分析】根据交集的定义，可得答案。2．(2+x)4的二项展开式中x2的系数为 【答案】24【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(2+x)4展开式的通项公式为Tk+1=C4k24−kxk，k=0，1，2，3，4，故当k=2时，(2+x)4的二项展开式中x2的项为T2+1=C4222x2，其系数为24。故答案为：24。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(2+x)4的二项展开式中x2的系数。3．limn→∞3n−2n3n+1= 【答案】1【知识点】数列的极限【解析】【解答】limn→∞3n−2n3n+1=limn→∞1−2n3n1+13n=limn→∞1−(23)n1+13n=1−01+0=1.故答案为：1【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.4．若线性方程组的增广矩阵为(01c111c2)，解为x=1y=1，则c1−c2= 【答案】-1【知识点】二元一次方程组的矩阵形式【解析】【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：y=c1x+y=c2，将解x=1y=1代入上面方程组，可得：c1=1c2=2．所以c1−c2=1−2=−1故答案为：-1．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案.5．在直角坐标系xoy中，角α的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点(−3，4)，则x=π12 【答案】−45【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】sinα=4(−3)2+42=45，sin(α+π)=−sinα=−45.故答案为：−45【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，再利用诱导公式即可求出答案。6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.【答案】6【知识点】排列及排列数公式【解析】【解答】3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有A33=6种不同的安排方法.故答案为：6【分析】利用排列计算可得答案。7．已知双曲线M：x2−y26=1的左，右焦点为F1、F2，过F1的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则△ABF2的边长为 【答案】4【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r，|AF1|=m，因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|=r，由双曲线的方程知a=1，b=6，所以由双曲线的定义得|AF2|−|AF1|=2，|BF1|−|BF2|=2， 即r+m−r=2，r−m=2，解得r=4，m=2.所以△ABF2的边长为4.故答案：4.【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求解可得△ABF2的边长。8．在复平面xoy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1、Z2，对于下列四个式子：⑴z12=|z12|；⑵|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|；⑶OZ2=|OZ|2；⑷|OZ1⋅OZ2|=|OZ1|⋅|OZ2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模【解析】【解答】z1=1+i，z12=2i，|z12|=2，所以（1）错误.Z1(1，1)，Z2(1，−1)，|OZ1⋅OZ2|=0，|OZ1|⋅|OZ2|=2，所以（4）错误.设z1=a+bi，z2=c+di，Z1(a，b)，Z2(c，d)，|z1⋅z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以（2）正确.OZ2=|OZ|2=a2+b2，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）【分析】结合复数运算逐项进行分析，可得答案。9．设x，y∈R，a>0，b>0，若ax=by=3，a+2b=26，则1x+1y的最大值为 【答案】1【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以1x=log3a，1y=log3b，1x+1y=log3ab因为a+2b=26，所以2ab≤(a+2b2)2=6，故ab∈(0，3]，所以1x+1y=log3ab∈(0，1]故1x+1y的最大值为1.故答案为：1.【分析】由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3，即1x+1y=log3ab，再利用基本不等式即可求出1x+1y的最大值。10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−10，0}，则Sn的最小值为 【答案】-12【知识点】等差数列的前n项和【解析】【解答】Sn取得最小值，则公差d>0，a4=−10或a4=0，（1）当a4=0，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=0，S5=5a3=−10⇒a1+3d=0，5a1+10d=−10，⇒a1=−6，d=2>0，an=2n−8，an=2n−8≤0⇒n≤4，所以Sn的最小值为S4=4a1+6d=−24+12=−12.（2）当a4=−10，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=−70，不合题意.综上所述：a4=0，S5=−10，S7=0，Sn的最小值为-12.故答案为：-12【分析】根据题意，分类讨论，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn的最小值。11．已知点A、B在抛物线Γ：y2=4x上，点M在Γ的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线Γ上，设直线AB与y轴交于点N(0，n)，则|n|的最小值为 ．【答案】22【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】解：设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)所以MA的中点坐标为P(y12−48，m+y12)，由于P∈Γ，所以(m+y12)2=4×y12−48，即y12−2my1−m2−8=0；同理得y22−2my2−m2−8=0，所以y12−2my1−m2−8=0y22−2my2−m2−8=0，即y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，所以y1+y2=2m，y1y2=−m2−8，所以m≠0，kAB=y1−y2y124−y224=4y1+y2=2m，故lAB：y−y1=2m(x−y124) 由于直线AB与y轴交于点N(0，n)所以n−y1=2m(0−y124)，即n=−m2−4m，因为对勾函数y=x2+4x的取值范围是(−∞，−22]∪[22，+∞)，所以|n|min=22，故答案为：22【分析】设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)，进而根据题意得y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，利用韦达定理进而得lAB：y−y1=2m(x−y124)，再根据直线AB与y轴交于点N(0，n)得n=−m2−4m，再结合对勾函数的性质可得|n|的最小值。12．设曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，若曲线C仍然为某函数的图象，则实数m的取值范围为 【答案】(0，2]【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，因为曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，所以l的方程为l：y=33(x−m)+312m2故联立方程得y=33(x−m)+312m2y=312×2，即x2−4x+4m−m2=0，所以Δ=16−16m+4m2=0，解得m=2所以m的取值范围为(0，2]故答案为：(0，2].【分析】设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，根据题意得直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，进而得l的方程为l：y=33(x−m)+312m2，把直线l与曲线C方程联立可求得m的值，进而得实数m的取值范围。二、单选题13．“1a<1”是“a>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】因为1a<1，所以1a−1<0，所以1−aa<0，即a(a−1)>0，解得a>1或a<0，所以“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a=10+12+12+14+14+15+16+17+17+1710=14.4，中位数b=14+152=14.5，众数c=17，所以c>b>a故答案为：B【分析】分别求出平均数，中位数，众数可得答案。 15．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A、B是在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α.A．lB．2C．3D．4【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；当直线AB与平面α相交时，不存在存在平面β，AB⊂β且β//α，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故答案为：C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案。16．若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3，ω>0)的值域为[4，5]，则cosωπ3的取值范围为（ ）A．[725，45]B．[725，35]C．[−725，45]D．[−725，35]【答案】A【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+β)，(0≤x≤π3，ω>0)，tanβ=43，sinβ=45，cosβ=35，令t=ωx+β，则g(t)=5sint，因为0≤x≤π3，ω>0，所以β≤t≤πω3+β，0 6时Cn的表达式，并利用计算器确定n0的值（只需写出n0的值）【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为an=0.2n+1.8，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后燃油的总费用是n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后养护费用共n万元，所以Sn=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20，n∈N∗.（2）解：当n>6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第n(n∈N∗，n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗，n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1.1n−6)1−1.1=10×1.1n−5−5，所以当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用为Cn=10×1.1n−5−5n，n>6，n∈N∗.经计算器计算得n0=7时，Cn最小.【知识点】数列的应用【解析】【分析】（1）根据题意，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，根据等差数列的前n项和公是即可求出Sn的表达式；（2）从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，根据等比数列的前n项求和公式即可求出Cn最小，进而求出n0的值。20．已知函数f(x)=12x+1(x∈R).（1）求证：函数f(x)是R上的减函数；（2）已知函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，求实数n的最大值.【答案】（1）解：设对于任意的实数x1，x2，x1 0，(2×1+1)(2×2+1)>0， 所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)是R上的减函数（2）解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，则g(x)=f(x+a)−b=12x+a+1−b的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所以g(−x)+g(x)=12−x+a+1−b+12x+a+1−b=0恒成立，即(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，所以1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解得a=0，b=12，所以函数f(x)的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，所以121−mx1+1+12x1x2+1=1，即21−mx1+x1x2=1，所以1−mx1+x1x2=0，即x2=mx1−1×1=m−1×1因为x1∈[1，n]，所以m−1×1∈[m−1，m−1n]因为x2∈[1，32]，所以[m−1，m−1n]⊆[1，32]，所以m−1≥1m−1n≤32，即m≥21n≥m−32所以1n≥(m−32)min=12，所以n≤2，即实数n的最大值为2.【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，根据题意将问题转化为(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，进而得1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解方程即可得出函数f(x)的图像存在对称中心；（3）根据题意得1−mx1+x1x2=0，进而结合已知条件得[m−1，m−1n]⊆[1，32]，，即1n≥(m−32)min=12，求解可得实数n的最大值。21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“直角距离”d(A，B)为：d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|，设M(1，1)，N(−1，−1).（1）写出一个满足d(C，M)=d(C，N)的点C的坐标；（2）过点M(1，1)，N(−1，−1)作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q，R)的最小值；（3）设P(x，y)，记方程d(P，M)+d(P，N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；【答案】（1）解：设C点的坐标为C(x0，y0)，若d(C，M)=d(C，N)，所以|x0−1|+|y0−1|=|x0+1|+|y0+1|，所以C点在直线y=−x上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，l1：y=2x−1，l2：y=2x+1，因此Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，所以d(Q，R)=|x1−x2|+|(2×1−1)−(2×2+1)|=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=|t|+2|t−1|，所以d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，所以当t=1时，d(Q，R)取得最小值1.（3）解：因为d(P，M)+d(P，N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(±3，±1)，(±1，±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3图像如图所示：【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【解析】【分析】（1）根据题意设C点的坐标为C(x0，y0)，进而代入(0，0)检验即可得出点C的坐标；（2）由题设Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，进而得d(Q，R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，再求函数的最值即可求出d(Q，R)的最小值；（3）根据题意，作出图像，结合图像研究曲线Γ的性质即可。
简介：高三上学期数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，则A∩B= 【答案】{1}【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，B={1，3，5，7}，所以A∩B={1}故答案为：{1}【分析】根据交集的定义，可得答案。2．(2+x)4的二项展开式中x2的系数为 【答案】24【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】(2+x)4展开式的通项公式为Tk+1=C4k24−kxk，k=0，1，2，3，4，故当k=2时，(2+x)4的二项展开式中x2的项为T2+1=C4222x2，其系数为24。故答案为：24。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(2+x)4的二项展开式中x2的系数。3．limn→∞3n−2n3n+1= 【答案】1【知识点】数列的极限【解析】【解答】limn→∞3n−2n3n+1=limn→∞1−2n3n1+13n=limn→∞1−(23)n1+13n=1−01+0=1.故答案为：1【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.4．若线性方程组的增广矩阵为(01c111c2)，解为x=1y=1，则c1−c2= 【答案】-1【知识点】二元一次方程组的矩阵形式【解析】【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：y=c1x+y=c2，将解x=1y=1代入上面方程组，可得：c1=1c2=2．所以c1−c2=1−2=−1故答案为：-1．【分析】根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c1，c2，即可求得答案.5．在直角坐标系xoy中，角α的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点(−3，4)，则x=π12 【答案】−45【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】sinα=4(−3)2+42=45，sin(α+π)=−sinα=−45.故答案为：−45【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sinα，再利用诱导公式即可求出答案。6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.【答案】6【知识点】排列及排列数公式【解析】【解答】3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有A33=6种不同的安排方法.故答案为：6【分析】利用排列计算可得答案。7．已知双曲线M：x2−y26=1的左，右焦点为F1、F2，过F1的直线l与双曲线M的左、右支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则△ABF2的边长为 【答案】4【知识点】双曲线的定义【解析】【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r，|AF1|=m，因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|BF2|=r，由双曲线的方程知a=1，b=6，所以由双曲线的定义得|AF2|−|AF1|=2，|BF1|−|BF2|=2， 即r+m−r=2，r−m=2，解得r=4，m=2.所以△ABF2的边长为4.故答案：4.【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求解可得△ABF2的边长。8．在复平面xoy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1、Z2，对于下列四个式子：⑴z12=|z12|；⑵|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|；⑶OZ2=|OZ|2；⑷|OZ1⋅OZ2|=|OZ1|⋅|OZ2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模【解析】【解答】z1=1+i，z12=2i，|z12|=2，所以（1）错误.Z1(1，1)，Z2(1，−1)，|OZ1⋅OZ2|=0，|OZ1|⋅|OZ2|=2，所以（4）错误.设z1=a+bi，z2=c+di，Z1(a，b)，Z2(c，d)，|z1⋅z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|⋅|z2|=a2+b2⋅c2+d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以（2）正确.OZ2=|OZ|2=a2+b2，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）【分析】结合复数运算逐项进行分析，可得答案。9．设x，y∈R，a>0，b>0，若ax=by=3，a+2b=26，则1x+1y的最大值为 【答案】1【知识点】基本不等式【解析】【解答】解：因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以1x=log3a，1y=log3b，1x+1y=log3ab因为a+2b=26，所以2ab≤(a+2b2)2=6，故ab∈(0，3]，所以1x+1y=log3ab∈(0，1]故1x+1y的最大值为1.故答案为：1.【分析】由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3，即1x+1y=log3ab，再利用基本不等式即可求出1x+1y的最大值。10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{−10，0}，则Sn的最小值为 【答案】-12【知识点】等差数列的前n项和【解析】【解答】Sn取得最小值，则公差d>0，a4=−10或a4=0，（1）当a4=0，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=0，S5=5a3=−10⇒a1+3d=0，5a1+10d=−10，⇒a1=−6，d=2>0，an=2n−8，an=2n−8≤0⇒n≤4，所以Sn的最小值为S4=4a1+6d=−24+12=−12.（2）当a4=−10，d>0，S7=a1+a72×7=7a4=−70，不合题意.综上所述：a4=0，S5=−10，S7=0，Sn的最小值为-12.故答案为：-12【分析】根据题意，分类讨论，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn的最小值。11．已知点A、B在抛物线Γ：y2=4x上，点M在Γ的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线Γ上，设直线AB与y轴交于点N(0，n)，则|n|的最小值为 ．【答案】22【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】解：设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)所以MA的中点坐标为P(y12−48，m+y12)，由于P∈Γ，所以(m+y12)2=4×y12−48，即y12−2my1−m2−8=0；同理得y22−2my2−m2−8=0，所以y12−2my1−m2−8=0y22−2my2−m2−8=0，即y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，所以y1+y2=2m，y1y2=−m2−8，所以m≠0，kAB=y1−y2y124−y224=4y1+y2=2m，故lAB：y−y1=2m(x−y124) 由于直线AB与y轴交于点N(0，n)所以n−y1=2m(0−y124)，即n=−m2−4m，因为对勾函数y=x2+4x的取值范围是(−∞，−22]∪[22，+∞)，所以|n|min=22，故答案为：22【分析】设A(y124，y1)，B(y224，y2)，M(−1，m)，进而根据题意得y1，y2是方程y2−2my−m2−8=0的两个实数根，利用韦达定理进而得lAB：y−y1=2m(x−y124)，再根据直线AB与y轴交于点N(0，n)得n=−m2−4m，再结合对勾函数的性质可得|n|的最小值。12．设曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，若曲线C仍然为某函数的图象，则实数m的取值范围为 【答案】(0，2]【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，因为曲线C与函数f(x)=312×2(0≤x≤m)的图像关于直线y=3x对称，所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，所以l的方程为l：y=33(x−m)+312m2故联立方程得y=33(x−m)+312m2y=312×2，即x2−4x+4m−m2=0，所以Δ=16−16m+4m2=0，解得m=2所以m的取值范围为(0，2]故答案为：(0，2].【分析】设l是f(x)=312×2(0≤x≤m)在点M(m，312m2)处的切线，根据题意得直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图象，进而得l的方程为l：y=33(x−m)+312m2，把直线l与曲线C方程联立可求得m的值，进而得实数m的取值范围。二、单选题13．“1a<1”是“a>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【解析】【解答】因为1a<1，所以1a−1<0，所以1−aa<0，即a(a−1)>0，解得a>1或a<0，所以“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件.故答案为：B【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14．给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a=10+12+12+14+14+15+16+17+17+1710=14.4，中位数b=14+152=14.5，众数c=17，所以c>b>a故答案为：B【分析】分别求出平均数，中位数，众数可得答案。 15．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A、B是在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线l，l⊂α且l与AB异面；②总存在直线l，l⊂α且l⊥AB；③总存在平面β，AB⊂β且β⊥α；④总存在平面β，AB⊂β且β//α.A．lB．2C．3D．4【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；当直线AB与平面α相交时，不存在存在平面β，AB⊂β且β//α，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故答案为：C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案。16．若函数f(x)=3sinωx+4cosωx(0≤x≤π3，ω>0)的值域为[4，5]，则cosωπ3的取值范围为（ ）A．[725，45]B．[725，35]C．[−725，45]D．[−725，35]【答案】A【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx+4cosωx=5sin(ωx+β)，(0≤x≤π3，ω>0)，tanβ=43，sinβ=45，cosβ=35，令t=ωx+β，则g(t)=5sint，因为0≤x≤π3，ω>0，所以β≤t≤πω3+β，0 6时Cn的表达式，并利用计算器确定n0的值（只需写出n0的值）【答案】（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，所以购买该种型号汽车第n(n∈N∗)年的燃油费用为an=0.2n+1.8，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后燃油的总费用是n(0.2n+1.8+2)2=n210+1910n，因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗)年后养护费用共n万元，所以Sn=n210+1910n+n+20=n210+29n10+20，n∈N∗.（2）解：当n>6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第n(n∈N∗，n>6)年的养护保险费用为1.1n−6，n∈N∗，所以购买该种型号汽车n(n∈N∗，n>6)年后，养护保险费为6+1.1×(1−1.1n−6)1−1.1=10×1.1n−5−5，所以当n>6时，使用n(n∈N∗)年后，养护保险费的年平均费用为Cn=10×1.1n−5−5n，n>6，n∈N∗.经计算器计算得n0=7时，Cn最小.【知识点】数列的应用【解析】【分析】（1）根据题意，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，根据等差数列的前n项和公是即可求出Sn的表达式；（2）从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，根据等比数列的前n项求和公式即可求出Cn最小，进而求出n0的值。20．已知函数f(x)=12x+1(x∈R).（1）求证：函数f(x)是R上的减函数；（2）已知函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)−b的图像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，求实数n的最大值.【答案】（1）解：设对于任意的实数x1，x2，x1 0，(2×1+1)(2×2+1)>0， 所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)是R上的减函数（2）解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，则g(x)=f(x+a)−b=12x+a+1−b的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所以g(−x)+g(x)=12−x+a+1−b+12x+a+1−b=0恒成立，即(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，所以1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解得a=0，b=12，所以函数f(x)的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意x1∈[1，n]，都存在x2∈[1，32]及实数m，使得f(1−mx1)+f(x1x2)=1，所以121−mx1+1+12x1x2+1=1，即21−mx1+x1x2=1，所以1−mx1+x1x2=0，即x2=mx1−1×1=m−1×1因为x1∈[1，n]，所以m−1×1∈[m−1，m−1n]因为x2∈[1，32]，所以[m−1，m−1n]⊆[1，32]，所以m−1≥1m−1n≤32，即m≥21n≥m−32所以1n≥(m−32)min=12，所以n≤2，即实数n的最大值为2.【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数f(x)的图像存在对称中心(a，b)，根据题意将问题转化为(1−2b)(2x+a+2−x+a)+2−2b−2b⋅22a=0恒成立，进而得1−2b=02−2b−2b⋅22a=0，解方程即可得出函数f(x)的图像存在对称中心；（3）根据题意得1−mx1+x1x2=0，进而结合已知条件得[m−1，m−1n]⊆[1，32]，，即1n≥(m−32)min=12，求解可得实数n的最大值。21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“直角距离”d(A，B)为：d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|，设M(1，1)，N(−1，−1).（1）写出一个满足d(C，M)=d(C，N)的点C的坐标；（2）过点M(1，1)，N(−1，−1)作斜率为2的直线l1、l2，点Q、R分别是直线l1、l2上的动点，求d(Q，R)的最小值；（3）设P(x，y)，记方程d(P，M)+d(P，N)=8的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；【答案】（1）解：设C点的坐标为C(x0，y0)，若d(C，M)=d(C，N)，所以|x0−1|+|y0−1|=|x0+1|+|y0+1|，所以C点在直线y=−x上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，l1：y=2x−1，l2：y=2x+1，因此Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，所以d(Q，R)=|x1−x2|+|(2×1−1)−(2×2+1)|=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=|t|+2|t−1|，所以d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，所以当t=1时，d(Q，R)取得最小值1.（3）解：因为d(P，M)+d(P，N)=8，所以|x−1|+|x+1|+|y−1|+|y+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线Γ的性质的性质有：对称性：曲线Γ即是以x轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(±3，±1)，(±1，±3)范围：−3≤x≤3，−3≤y≤3图像如图所示：【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【解析】【分析】（1）根据题意设C点的坐标为C(x0，y0)，进而代入(0，0)检验即可得出点C的坐标；（2）由题设Q(x1，2×1−1)，R(x2，2×2−1)，进而得d(Q，R)=|x1−x2|+2|x1−x2−1|，令x1−x2=t，则d(Q，R)=−3t+2，t<0−t+2，0≤t<13t−2，t≥1，再求函数的最值即可求出d(Q，R)的最小值；（3）根据题意，作出图像，结合图像研究曲线Γ的性质即可。
