陕西省商洛市高三下学期理数二模试卷（附答案）
高三下学期数学三模试卷【分析】直接由向量夹角的坐标运算求解即可.一、单选题4．在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）1．已知复数z满足，则（ ）A．-32B．-1C．1D．32A．2B．3C．D．【答案
高三下学期理数二模试卷一、单选题1．（ ）A．3B．C．10D．1002．已知集合，，则集合的子集有（ ）A．2个B．4个C．8个D．16个3．若，则（ ）A．B．C．D．4．若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C
简介：高三数学三模试卷【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为一、单选题2，则有，解得，故，得，1．若集合，，则（ ）故答案为：CA．B．C．D．【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.【答案】A4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体【知识点】交、并、补集的混合运算积为（ ）【解析】【解答】，，所以.A．B．故答案为：A.C．D．【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解即可.【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）【解析】【解答】解：如图，A．充要条件B．充分不必要条件由题意可知，，，，C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件则，【答案】D，【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断圆台的高为，【解析】【解答】当直线与直线平行时，圆台体积为．，解得，故答案为：A．当时，直线与直线重合，【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式即可．所以是的既不充分也不必要条件，5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）故答案为：DA．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件定义，结合两直线平行的条件分析判断即可得到答案.【知识点】平面向量数量积的运算3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，A．1B．C．2D．4则，，，，【答案】C又，，，【知识点】抛物线的简单性质 则，7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得即，即，，则的最小值是（ ）A．16B．2C．D．则，【答案】B则，，【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式【解析】【解答】由题设，即，又为正项等比数列，则；所以，，故答案为：C．由，则，即，所以，【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积.则，6．已知，且，则（ ）当且仅当时等号成立，满足，A．B．C．-1D．1所以的最小值为2.【答案】C故答案为：B【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，【分析】由题设及为正项等比数列，可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.，8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是，（ ）或，A．B．C．D．由平方可得，即，【答案】B由平方可得，即，【知识点】数量积表示两个向量的夹角；古典概型及其概率计算公式因为，所以，，【解析】【解答】，综上，.可得，因为，所以，，故答案为：C对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.因此，的概率为. 故答案为：B.【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出，的值，即可求得双曲线的离心率.【分析】由题意可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的10．已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）概率公式可求得结果.A．若，则B．二、多选题9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双C．若，则D．曲线上，则该双曲线的离心率可为（ ）【答案】B,DA．B．C．D．【知识点】复数求模【解析】【解答】对A，设，，则，【答案】A,C,D【知识点】双曲线的简单性质，，不满足，A不符合题意.【解析】【解答】分以下三种情况讨论：对B，设在复平面内表示的向量分别为，且，①若、两点在双曲线上，则，当方向相同时，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，当方向不相同时，，此时，双曲线的离心率为，综上，B符合题意.同理，若、两点在双曲线上，则；对C，设，，，②若、两点在双曲线上，则，，，C不符合题意.由双曲线的定义可得，对D，设，，，此时，双曲线的离心率为，，则，同理，若、两点在双曲线上，则；，③若、两点在双曲线上，则，D符合题意.由双曲线的定义可得，故答案为：BD此时，双曲线的离心率为，同理，若、两点在双曲线上，则.【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.故答案为：ACD. 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取B．出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为A．事件与事件相互独立B．【答案】B,CC．【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性D．【解析】【解答】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A不符合题【答案】B,D意；【知识点】相互独立事件；条件概率与独立事件；全概率公式对于B选项，因为且函数为偶函数，【解析】【解答】由题意，，，所以，可得，所以，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，所以，对任意的，，B对；先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，对于C选项，因为，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；所以，B符合题意；，对于D选项，当时，，，，所以，，D不符合题意.，C不符合题意；故答案为：BC.则，，，A不符合题意；【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性，D符合题意.可判断C选项；设，利用可判断D选项.故答案为：BD三、填空题13．若，则 ．【分析】易知，两两互斥，根据条件概率公式分别计算从乙箱中取出的球是红球的事件的概【答案】7【知识点】排列、组合及简单计数问题率，即可判断B；再利用全概率公式即可判断C；根据贝叶斯公式即可判断D选项.【解析】【解答】因为，12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）所以，A．的图象关于对称即，解得. 故答案为：7四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为 万元/平方米，二线城市房价的方差为 【答案】2；29.9【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设二线城市房产均价为，方差为，14．设．若，则 ．因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房【答案】产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，【知识点】分段函数的应用所以，【解析】【解答】由在上递增，在上递增，解得（万元/平方米），由题意可得，所以，由，则，解得，故，可得.故答案为：2；29.9.故答案为：【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.【分析】由分段函数结合，推出，所以，即可求结果.四、解答题17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为15．设随机变量，满足．若，则 ．【答案】．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型（1）求函数的解析式；【解析】【解答】由，故，则，（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线所以，则，而，交于，求的长．则.【答案】（1）解：因为，故答案为：设函数的周期为，由题意，即，解得，【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据所以方差的性质求的值.16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均（2）解：由得：，即，解得，价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、因为，所以， 因为的平分线交于，所以所以，即，可得，【知识点】等差数列的通项公式；数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；由余弦定理得：，，而，（2）由题意求出，根据错位相减法求和即可.得，因此.19．选修4-4：坐标系与参数方程【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号离、勾股定理求得，即可得解析式.摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概，进而可得的长．率；18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方（1）求数列的通项公式；案.【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球（2）若，求数列的前项和．为事件，则，故所求概率．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，因为，，成等比数列，所以，（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，解得（舍去），或，又由，，解得，，满足条件，故，，（2）解：由（1）得，所以，故的分布列为67810所以，所以，所以（万元）（万元），则，所以选择第二种方案根划算．两式相减得：【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差.【解析】【分析】（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都 没有摸出幸运球，其概率为，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为即，取，则，，；所以平面的一个法向量为，（2）选择方案一的价格为（万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期因为是平面的法向量，望，然后再比较.设平面与平面夹角为，则，20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．故平面与平面夹角的余弦值为．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由【答案】（1）证明：因为，，为的中点，线面垂直的性质得到，从而得到，所以，，即可得到平面，，从而得到所以，且，，即可得证；又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，以为坐因为平面，平面，所以，所以，标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二因为，平面，所以平面，平面，面角的余弦值.所以，所以四边形为矩形．21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，．所以三棱锥的体积（1）求椭圆的标准方程；，（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在当且仅当时等号成立，此时，之间），若为线段上的点，且满足，证明：．据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．【答案】（1）解：由题设可知，，即，由已知可得下列点的坐标：，，，，因为，，所以，，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以椭圆的标准方程为 所以函数的两个零点分别是，，（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，联立，得，所以，，即，若，则，即所以，，（2）解：，所以，设点，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，即，所以，所以，，因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，，，所以，所以在上单调递增，又，即，所以当时，，单调递减；因为为的一个外角，所以当时，，单调递增，【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题所以在处取得极小值，即，【解析】【分析】（1）由题设可知，，即，离心率进而可求出结果；即当时，，（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从设的正根为，则，而可得出结论.所以，因为是增函数，22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的，即，切线方程为，其中为自然对数的底数．结合（1），设的根为，则，（1）当时，比较与的大小；因为为减函数，，（2）若，且，证明：．所以，【答案】（1）解：令，因为 所以，设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，所以，所以【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线在点处的切线方程为，作差后构造函数，利用导数求最小值为0，可得，设的正根为，则，推出，再利用放缩法求证即可.
简介：高三数学三模试卷【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为一、单选题2，则有，解得，故，得，1．若集合，，则（ ）故答案为：CA．B．C．D．【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.【答案】A4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体【知识点】交、并、补集的混合运算积为（ ）【解析】【解答】，，所以.A．B．故答案为：A.C．D．【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解即可.【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）【解析】【解答】解：如图，A．充要条件B．充分不必要条件由题意可知，，，，C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件则，【答案】D，【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断圆台的高为，【解析】【解答】当直线与直线平行时，圆台体积为．，解得，故答案为：A．当时，直线与直线重合，【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式即可．所以是的既不充分也不必要条件，5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）故答案为：DA．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件定义，结合两直线平行的条件分析判断即可得到答案.【知识点】平面向量数量积的运算3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，A．1B．C．2D．4则，，，，【答案】C又，，，【知识点】抛物线的简单性质 则，7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得即，即，，则的最小值是（ ）A．16B．2C．D．则，【答案】B则，，【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式【解析】【解答】由题设，即，又为正项等比数列，则；所以，，故答案为：C．由，则，即，所以，【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积.则，6．已知，且，则（ ）当且仅当时等号成立，满足，A．B．C．-1D．1所以的最小值为2.【答案】C故答案为：B【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，【分析】由题设及为正项等比数列，可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.，8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是，（ ）或，A．B．C．D．由平方可得，即，【答案】B由平方可得，即，【知识点】数量积表示两个向量的夹角；古典概型及其概率计算公式因为，所以，，【解析】【解答】，综上，.可得，因为，所以，，故答案为：C对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.因此，的概率为. 故答案为：B.【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出，的值，即可求得双曲线的离心率.【分析】由题意可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的10．已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）概率公式可求得结果.A．若，则B．二、多选题9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双C．若，则D．曲线上，则该双曲线的离心率可为（ ）【答案】B,DA．B．C．D．【知识点】复数求模【解析】【解答】对A，设，，则，【答案】A,C,D【知识点】双曲线的简单性质，，不满足，A不符合题意.【解析】【解答】分以下三种情况讨论：对B，设在复平面内表示的向量分别为，且，①若、两点在双曲线上，则，当方向相同时，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，当方向不相同时，，此时，双曲线的离心率为，综上，B符合题意.同理，若、两点在双曲线上，则；对C，设，，，②若、两点在双曲线上，则，，，C不符合题意.由双曲线的定义可得，对D，设，，，此时，双曲线的离心率为，，则，同理，若、两点在双曲线上，则；，③若、两点在双曲线上，则，D符合题意.由双曲线的定义可得，故答案为：BD此时，双曲线的离心率为，同理，若、两点在双曲线上，则.【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.故答案为：ACD. 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取B．出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为A．事件与事件相互独立B．【答案】B,CC．【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性D．【解析】【解答】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A不符合题【答案】B,D意；【知识点】相互独立事件；条件概率与独立事件；全概率公式对于B选项，因为且函数为偶函数，【解析】【解答】由题意，，，所以，可得，所以，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，所以，对任意的，，B对；先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，对于C选项，因为，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；所以，B符合题意；，对于D选项，当时，，，，所以，，D不符合题意.，C不符合题意；故答案为：BC.则，，，A不符合题意；【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性，D符合题意.可判断C选项；设，利用可判断D选项.故答案为：BD三、填空题13．若，则 ．【分析】易知，两两互斥，根据条件概率公式分别计算从乙箱中取出的球是红球的事件的概【答案】7【知识点】排列、组合及简单计数问题率，即可判断B；再利用全概率公式即可判断C；根据贝叶斯公式即可判断D选项.【解析】【解答】因为，12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）所以，A．的图象关于对称即，解得. 故答案为：7四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为 万元/平方米，二线城市房价的方差为 【答案】2；29.9【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设二线城市房产均价为，方差为，14．设．若，则 ．因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房【答案】产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，【知识点】分段函数的应用所以，【解析】【解答】由在上递增，在上递增，解得（万元/平方米），由题意可得，所以，由，则，解得，故，可得.故答案为：2；29.9.故答案为：【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.【分析】由分段函数结合，推出，所以，即可求结果.四、解答题17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为15．设随机变量，满足．若，则 ．【答案】．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型（1）求函数的解析式；【解析】【解答】由，故，则，（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线所以，则，而，交于，求的长．则.【答案】（1）解：因为，故答案为：设函数的周期为，由题意，即，解得，【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据所以方差的性质求的值.16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均（2）解：由得：，即，解得，价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、因为，所以， 因为的平分线交于，所以所以，即，可得，【知识点】等差数列的通项公式；数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；由余弦定理得：，，而，（2）由题意求出，根据错位相减法求和即可.得，因此.19．选修4-4：坐标系与参数方程【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号离、勾股定理求得，即可得解析式.摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概，进而可得的长．率；18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方（1）求数列的通项公式；案.【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球（2）若，求数列的前项和．为事件，则，故所求概率．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，因为，，成等比数列，所以，（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，解得（舍去），或，又由，，解得，，满足条件，故，，（2）解：由（1）得，所以，故的分布列为67810所以，所以，所以（万元）（万元），则，所以选择第二种方案根划算．两式相减得：【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差.【解析】【分析】（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都 没有摸出幸运球，其概率为，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为即，取，则，，；所以平面的一个法向量为，（2）选择方案一的价格为（万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期因为是平面的法向量，望，然后再比较.设平面与平面夹角为，则，20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．故平面与平面夹角的余弦值为．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由【答案】（1）证明：因为，，为的中点，线面垂直的性质得到，从而得到，所以，，即可得到平面，，从而得到所以，且，，即可得证；又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，以为坐因为平面，平面，所以，所以，标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二因为，平面，所以平面，平面，面角的余弦值.所以，所以四边形为矩形．21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，．所以三棱锥的体积（1）求椭圆的标准方程；，（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在当且仅当时等号成立，此时，之间），若为线段上的点，且满足，证明：．据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．【答案】（1）解：由题设可知，，即，由已知可得下列点的坐标：，，，，因为，，所以，，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以椭圆的标准方程为 所以函数的两个零点分别是，，（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，联立，得，所以，，即，若，则，即所以，，（2）解：，所以，设点，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，即，所以，所以，，因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，，，所以，所以在上单调递增，又，即，所以当时，，单调递减；因为为的一个外角，所以当时，，单调递增，【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题所以在处取得极小值，即，【解析】【分析】（1）由题设可知，，即，离心率进而可求出结果；即当时，，（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从设的正根为，则，而可得出结论.所以，因为是增函数，22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的，即，切线方程为，其中为自然对数的底数．结合（1），设的根为，则，（1）当时，比较与的大小；因为为减函数，，（2）若，且，证明：．所以，【答案】（1）解：令，因为 所以，设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，所以，所以【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线在点处的切线方程为，作差后构造函数，利用导数求最小值为0，可得，设的正根为，则，推出，再利用放缩法求证即可.
简介：高三数学三模试卷【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为一、单选题2，则有，解得，故，得，1．若集合，，则（ ）故答案为：CA．B．C．D．【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.【答案】A4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体【知识点】交、并、补集的混合运算积为（ ）【解析】【解答】，，所以.A．B．故答案为：A.C．D．【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解即可.【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）【解析】【解答】解：如图，A．充要条件B．充分不必要条件由题意可知，，，，C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件则，【答案】D，【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断圆台的高为，【解析】【解答】当直线与直线平行时，圆台体积为．，解得，故答案为：A．当时，直线与直线重合，【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式即可．所以是的既不充分也不必要条件，5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）故答案为：DA．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件定义，结合两直线平行的条件分析判断即可得到答案.【知识点】平面向量数量积的运算3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，A．1B．C．2D．4则，，，，【答案】C又，，，【知识点】抛物线的简单性质 则，7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得即，即，，则的最小值是（ ）A．16B．2C．D．则，【答案】B则，，【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式【解析】【解答】由题设，即，又为正项等比数列，则；所以，，故答案为：C．由，则，即，所以，【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积.则，6．已知，且，则（ ）当且仅当时等号成立，满足，A．B．C．-1D．1所以的最小值为2.【答案】C故答案为：B【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，【分析】由题设及为正项等比数列，可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.，8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是，（ ）或，A．B．C．D．由平方可得，即，【答案】B由平方可得，即，【知识点】数量积表示两个向量的夹角；古典概型及其概率计算公式因为，所以，，【解析】【解答】，综上，.可得，因为，所以，，故答案为：C对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.因此，的概率为. 故答案为：B.【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出，的值，即可求得双曲线的离心率.【分析】由题意可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的10．已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）概率公式可求得结果.A．若，则B．二、多选题9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双C．若，则D．曲线上，则该双曲线的离心率可为（ ）【答案】B,DA．B．C．D．【知识点】复数求模【解析】【解答】对A，设，，则，【答案】A,C,D【知识点】双曲线的简单性质，，不满足，A不符合题意.【解析】【解答】分以下三种情况讨论：对B，设在复平面内表示的向量分别为，且，①若、两点在双曲线上，则，当方向相同时，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，当方向不相同时，，此时，双曲线的离心率为，综上，B符合题意.同理，若、两点在双曲线上，则；对C，设，，，②若、两点在双曲线上，则，，，C不符合题意.由双曲线的定义可得，对D，设，，，此时，双曲线的离心率为，，则，同理，若、两点在双曲线上，则；，③若、两点在双曲线上，则，D符合题意.由双曲线的定义可得，故答案为：BD此时，双曲线的离心率为，同理，若、两点在双曲线上，则.【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.故答案为：ACD. 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取B．出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为A．事件与事件相互独立B．【答案】B,CC．【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性D．【解析】【解答】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A不符合题【答案】B,D意；【知识点】相互独立事件；条件概率与独立事件；全概率公式对于B选项，因为且函数为偶函数，【解析】【解答】由题意，，，所以，可得，所以，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，所以，对任意的，，B对；先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，对于C选项，因为，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；所以，B符合题意；，对于D选项，当时，，，，所以，，D不符合题意.，C不符合题意；故答案为：BC.则，，，A不符合题意；【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性，D符合题意.可判断C选项；设，利用可判断D选项.故答案为：BD三、填空题13．若，则 ．【分析】易知，两两互斥，根据条件概率公式分别计算从乙箱中取出的球是红球的事件的概【答案】7【知识点】排列、组合及简单计数问题率，即可判断B；再利用全概率公式即可判断C；根据贝叶斯公式即可判断D选项.【解析】【解答】因为，12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）所以，A．的图象关于对称即，解得. 故答案为：7四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为 万元/平方米，二线城市房价的方差为 【答案】2；29.9【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设二线城市房产均价为，方差为，14．设．若，则 ．因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房【答案】产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，【知识点】分段函数的应用所以，【解析】【解答】由在上递增，在上递增，解得（万元/平方米），由题意可得，所以，由，则，解得，故，可得.故答案为：2；29.9.故答案为：【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.【分析】由分段函数结合，推出，所以，即可求结果.四、解答题17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为15．设随机变量，满足．若，则 ．【答案】．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型（1）求函数的解析式；【解析】【解答】由，故，则，（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线所以，则，而，交于，求的长．则.【答案】（1）解：因为，故答案为：设函数的周期为，由题意，即，解得，【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据所以方差的性质求的值.16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均（2）解：由得：，即，解得，价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、因为，所以， 因为的平分线交于，所以所以，即，可得，【知识点】等差数列的通项公式；数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；由余弦定理得：，，而，（2）由题意求出，根据错位相减法求和即可.得，因此.19．选修4-4：坐标系与参数方程【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号离、勾股定理求得，即可得解析式.摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概，进而可得的长．率；18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方（1）求数列的通项公式；案.【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球（2）若，求数列的前项和．为事件，则，故所求概率．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，因为，，成等比数列，所以，（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，解得（舍去），或，又由，，解得，，满足条件，故，，（2）解：由（1）得，所以，故的分布列为67810所以，所以，所以（万元）（万元），则，所以选择第二种方案根划算．两式相减得：【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差.【解析】【分析】（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都 没有摸出幸运球，其概率为，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为即，取，则，，；所以平面的一个法向量为，（2）选择方案一的价格为（万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期因为是平面的法向量，望，然后再比较.设平面与平面夹角为，则，20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．故平面与平面夹角的余弦值为．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由【答案】（1）证明：因为，，为的中点，线面垂直的性质得到，从而得到，所以，，即可得到平面，，从而得到所以，且，，即可得证；又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，以为坐因为平面，平面，所以，所以，标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二因为，平面，所以平面，平面，面角的余弦值.所以，所以四边形为矩形．21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，．所以三棱锥的体积（1）求椭圆的标准方程；，（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在当且仅当时等号成立，此时，之间），若为线段上的点，且满足，证明：．据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．【答案】（1）解：由题设可知，，即，由已知可得下列点的坐标：，，，，因为，，所以，，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以椭圆的标准方程为 所以函数的两个零点分别是，，（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，联立，得，所以，，即，若，则，即所以，，（2）解：，所以，设点，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，即，所以，所以，，因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，，，所以，所以在上单调递增，又，即，所以当时，，单调递减；因为为的一个外角，所以当时，，单调递增，【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题所以在处取得极小值，即，【解析】【分析】（1）由题设可知，，即，离心率进而可求出结果；即当时，，（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从设的正根为，则，而可得出结论.所以，因为是增函数，22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的，即，切线方程为，其中为自然对数的底数．结合（1），设的根为，则，（1）当时，比较与的大小；因为为减函数，，（2）若，且，证明：．所以，【答案】（1）解：令，因为 所以，设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，所以，所以【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线在点处的切线方程为，作差后构造函数，利用导数求最小值为0，可得，设的正根为，则，推出，再利用放缩法求证即可.
简介：高三数学三模试卷【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为一、单选题2，则有，解得，故，得，1．若集合，，则（ ）故答案为：CA．B．C．D．【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.【答案】A4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体【知识点】交、并、补集的混合运算积为（ ）【解析】【解答】，，所以.A．B．故答案为：A.C．D．【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解即可.【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）【解析】【解答】解：如图，A．充要条件B．充分不必要条件由题意可知，，，，C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件则，【答案】D，【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断圆台的高为，【解析】【解答】当直线与直线平行时，圆台体积为．，解得，故答案为：A．当时，直线与直线重合，【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式即可．所以是的既不充分也不必要条件，5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）故答案为：DA．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件定义，结合两直线平行的条件分析判断即可得到答案.【知识点】平面向量数量积的运算3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，A．1B．C．2D．4则，，，，【答案】C又，，，【知识点】抛物线的简单性质 则，7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得即，即，，则的最小值是（ ）A．16B．2C．D．则，【答案】B则，，【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式【解析】【解答】由题设，即，又为正项等比数列，则；所以，，故答案为：C．由，则，即，所以，【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积.则，6．已知，且，则（ ）当且仅当时等号成立，满足，A．B．C．-1D．1所以的最小值为2.【答案】C故答案为：B【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，【分析】由题设及为正项等比数列，可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.，8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是，（ ）或，A．B．C．D．由平方可得，即，【答案】B由平方可得，即，【知识点】数量积表示两个向量的夹角；古典概型及其概率计算公式因为，所以，，【解析】【解答】，综上，.可得，因为，所以，，故答案为：C对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.因此，的概率为. 故答案为：B.【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出，的值，即可求得双曲线的离心率.【分析】由题意可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的10．已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）概率公式可求得结果.A．若，则B．二、多选题9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双C．若，则D．曲线上，则该双曲线的离心率可为（ ）【答案】B,DA．B．C．D．【知识点】复数求模【解析】【解答】对A，设，，则，【答案】A,C,D【知识点】双曲线的简单性质，，不满足，A不符合题意.【解析】【解答】分以下三种情况讨论：对B，设在复平面内表示的向量分别为，且，①若、两点在双曲线上，则，当方向相同时，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，当方向不相同时，，此时，双曲线的离心率为，综上，B符合题意.同理，若、两点在双曲线上，则；对C，设，，，②若、两点在双曲线上，则，，，C不符合题意.由双曲线的定义可得，对D，设，，，此时，双曲线的离心率为，，则，同理，若、两点在双曲线上，则；，③若、两点在双曲线上，则，D符合题意.由双曲线的定义可得，故答案为：BD此时，双曲线的离心率为，同理，若、两点在双曲线上，则.【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.故答案为：ACD. 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取B．出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为A．事件与事件相互独立B．【答案】B,CC．【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性D．【解析】【解答】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A不符合题【答案】B,D意；【知识点】相互独立事件；条件概率与独立事件；全概率公式对于B选项，因为且函数为偶函数，【解析】【解答】由题意，，，所以，可得，所以，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，所以，对任意的，，B对；先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，对于C选项，因为，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；所以，B符合题意；，对于D选项，当时，，，，所以，，D不符合题意.，C不符合题意；故答案为：BC.则，，，A不符合题意；【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性，D符合题意.可判断C选项；设，利用可判断D选项.故答案为：BD三、填空题13．若，则 ．【分析】易知，两两互斥，根据条件概率公式分别计算从乙箱中取出的球是红球的事件的概【答案】7【知识点】排列、组合及简单计数问题率，即可判断B；再利用全概率公式即可判断C；根据贝叶斯公式即可判断D选项.【解析】【解答】因为，12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）所以，A．的图象关于对称即，解得. 故答案为：7四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为 万元/平方米，二线城市房价的方差为 【答案】2；29.9【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设二线城市房产均价为，方差为，14．设．若，则 ．因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房【答案】产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，【知识点】分段函数的应用所以，【解析】【解答】由在上递增，在上递增，解得（万元/平方米），由题意可得，所以，由，则，解得，故，可得.故答案为：2；29.9.故答案为：【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.【分析】由分段函数结合，推出，所以，即可求结果.四、解答题17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为15．设随机变量，满足．若，则 ．【答案】．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型（1）求函数的解析式；【解析】【解答】由，故，则，（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线所以，则，而，交于，求的长．则.【答案】（1）解：因为，故答案为：设函数的周期为，由题意，即，解得，【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据所以方差的性质求的值.16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均（2）解：由得：，即，解得，价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、因为，所以， 因为的平分线交于，所以所以，即，可得，【知识点】等差数列的通项公式；数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；由余弦定理得：，，而，（2）由题意求出，根据错位相减法求和即可.得，因此.19．选修4-4：坐标系与参数方程【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号离、勾股定理求得，即可得解析式.摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概，进而可得的长．率；18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方（1）求数列的通项公式；案.【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球（2）若，求数列的前项和．为事件，则，故所求概率．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，因为，，成等比数列，所以，（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，解得（舍去），或，又由，，解得，，满足条件，故，，（2）解：由（1）得，所以，故的分布列为67810所以，所以，所以（万元）（万元），则，所以选择第二种方案根划算．两式相减得：【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差.【解析】【分析】（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都 没有摸出幸运球，其概率为，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为即，取，则，，；所以平面的一个法向量为，（2）选择方案一的价格为（万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期因为是平面的法向量，望，然后再比较.设平面与平面夹角为，则，20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．故平面与平面夹角的余弦值为．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由【答案】（1）证明：因为，，为的中点，线面垂直的性质得到，从而得到，所以，，即可得到平面，，从而得到所以，且，，即可得证；又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，以为坐因为平面，平面，所以，所以，标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二因为，平面，所以平面，平面，面角的余弦值.所以，所以四边形为矩形．21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，．所以三棱锥的体积（1）求椭圆的标准方程；，（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在当且仅当时等号成立，此时，之间），若为线段上的点，且满足，证明：．据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．【答案】（1）解：由题设可知，，即，由已知可得下列点的坐标：，，，，因为，，所以，，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以椭圆的标准方程为 所以函数的两个零点分别是，，（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，联立，得，所以，，即，若，则，即所以，，（2）解：，所以，设点，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，即，所以，所以，，因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，，，所以，所以在上单调递增，又，即，所以当时，，单调递减；因为为的一个外角，所以当时，，单调递增，【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题所以在处取得极小值，即，【解析】【分析】（1）由题设可知，，即，离心率进而可求出结果；即当时，，（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从设的正根为，则，而可得出结论.所以，因为是增函数，22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的，即，切线方程为，其中为自然对数的底数．结合（1），设的根为，则，（1）当时，比较与的大小；因为为减函数，，（2）若，且，证明：．所以，【答案】（1）解：令，因为 所以，设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，所以，所以【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线在点处的切线方程为，作差后构造函数，利用导数求最小值为0，可得，设的正根为，则，推出，再利用放缩法求证即可.
简介：高三数学三模试卷【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为一、单选题2，则有，解得，故，得，1．若集合，，则（ ）故答案为：CA．B．C．D．【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.【答案】A4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体【知识点】交、并、补集的混合运算积为（ ）【解析】【解答】，，所以.A．B．故答案为：A.C．D．【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解即可.【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）【解析】【解答】解：如图，A．充要条件B．充分不必要条件由题意可知，，，，C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件则，【答案】D，【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断圆台的高为，【解析】【解答】当直线与直线平行时，圆台体积为．，解得，故答案为：A．当时，直线与直线重合，【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式即可．所以是的既不充分也不必要条件，5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）故答案为：DA．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件定义，结合两直线平行的条件分析判断即可得到答案.【知识点】平面向量数量积的运算3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，A．1B．C．2D．4则，，，，【答案】C又，，，【知识点】抛物线的简单性质 则，7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得即，即，，则的最小值是（ ）A．16B．2C．D．则，【答案】B则，，【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式【解析】【解答】由题设，即，又为正项等比数列，则；所以，，故答案为：C．由，则，即，所以，【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积.则，6．已知，且，则（ ）当且仅当时等号成立，满足，A．B．C．-1D．1所以的最小值为2.【答案】C故答案为：B【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，【分析】由题设及为正项等比数列，可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.，8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是，（ ）或，A．B．C．D．由平方可得，即，【答案】B由平方可得，即，【知识点】数量积表示两个向量的夹角；古典概型及其概率计算公式因为，所以，，【解析】【解答】，综上，.可得，因为，所以，，故答案为：C对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.因此，的概率为. 故答案为：B.【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出，的值，即可求得双曲线的离心率.【分析】由题意可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的10．已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）概率公式可求得结果.A．若，则B．二、多选题9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双C．若，则D．曲线上，则该双曲线的离心率可为（ ）【答案】B,DA．B．C．D．【知识点】复数求模【解析】【解答】对A，设，，则，【答案】A,C,D【知识点】双曲线的简单性质，，不满足，A不符合题意.【解析】【解答】分以下三种情况讨论：对B，设在复平面内表示的向量分别为，且，①若、两点在双曲线上，则，当方向相同时，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，当方向不相同时，，此时，双曲线的离心率为，综上，B符合题意.同理，若、两点在双曲线上，则；对C，设，，，②若、两点在双曲线上，则，，，C不符合题意.由双曲线的定义可得，对D，设，，，此时，双曲线的离心率为，，则，同理，若、两点在双曲线上，则；，③若、两点在双曲线上，则，D符合题意.由双曲线的定义可得，故答案为：BD此时，双曲线的离心率为，同理，若、两点在双曲线上，则.【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.故答案为：ACD. 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取B．出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为A．事件与事件相互独立B．【答案】B,CC．【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性D．【解析】【解答】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A不符合题【答案】B,D意；【知识点】相互独立事件；条件概率与独立事件；全概率公式对于B选项，因为且函数为偶函数，【解析】【解答】由题意，，，所以，可得，所以，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，所以，对任意的，，B对；先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，对于C选项，因为，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；所以，B符合题意；，对于D选项，当时，，，，所以，，D不符合题意.，C不符合题意；故答案为：BC.则，，，A不符合题意；【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性，D符合题意.可判断C选项；设，利用可判断D选项.故答案为：BD三、填空题13．若，则 ．【分析】易知，两两互斥，根据条件概率公式分别计算从乙箱中取出的球是红球的事件的概【答案】7【知识点】排列、组合及简单计数问题率，即可判断B；再利用全概率公式即可判断C；根据贝叶斯公式即可判断D选项.【解析】【解答】因为，12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）所以，A．的图象关于对称即，解得. 故答案为：7四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为 万元/平方米，二线城市房价的方差为 【答案】2；29.9【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设二线城市房产均价为，方差为，14．设．若，则 ．因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房【答案】产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，【知识点】分段函数的应用所以，【解析】【解答】由在上递增，在上递增，解得（万元/平方米），由题意可得，所以，由，则，解得，故，可得.故答案为：2；29.9.故答案为：【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.【分析】由分段函数结合，推出，所以，即可求结果.四、解答题17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为15．设随机变量，满足．若，则 ．【答案】．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型（1）求函数的解析式；【解析】【解答】由，故，则，（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线所以，则，而，交于，求的长．则.【答案】（1）解：因为，故答案为：设函数的周期为，由题意，即，解得，【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据所以方差的性质求的值.16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均（2）解：由得：，即，解得，价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、因为，所以， 因为的平分线交于，所以所以，即，可得，【知识点】等差数列的通项公式；数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；由余弦定理得：，，而，（2）由题意求出，根据错位相减法求和即可.得，因此.19．选修4-4：坐标系与参数方程【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号离、勾股定理求得，即可得解析式.摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概，进而可得的长．率；18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方（1）求数列的通项公式；案.【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球（2）若，求数列的前项和．为事件，则，故所求概率．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，因为，，成等比数列，所以，（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，解得（舍去），或，又由，，解得，，满足条件，故，，（2）解：由（1）得，所以，故的分布列为67810所以，所以，所以（万元）（万元），则，所以选择第二种方案根划算．两式相减得：【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差.【解析】【分析】（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都 没有摸出幸运球，其概率为，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为即，取，则，，；所以平面的一个法向量为，（2）选择方案一的价格为（万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期因为是平面的法向量，望，然后再比较.设平面与平面夹角为，则，20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．故平面与平面夹角的余弦值为．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由【答案】（1）证明：因为，，为的中点，线面垂直的性质得到，从而得到，所以，，即可得到平面，，从而得到所以，且，，即可得证；又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，以为坐因为平面，平面，所以，所以，标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二因为，平面，所以平面，平面，面角的余弦值.所以，所以四边形为矩形．21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，．所以三棱锥的体积（1）求椭圆的标准方程；，（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在当且仅当时等号成立，此时，之间），若为线段上的点，且满足，证明：．据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．【答案】（1）解：由题设可知，，即，由已知可得下列点的坐标：，，，，因为，，所以，，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以椭圆的标准方程为 所以函数的两个零点分别是，，（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，联立，得，所以，，即，若，则，即所以，，（2）解：，所以，设点，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，即，所以，所以，，因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，，，所以，所以在上单调递增，又，即，所以当时，，单调递减；因为为的一个外角，所以当时，，单调递增，【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题所以在处取得极小值，即，【解析】【分析】（1）由题设可知，，即，离心率进而可求出结果；即当时，，（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从设的正根为，则，而可得出结论.所以，因为是增函数，22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的，即，切线方程为，其中为自然对数的底数．结合（1），设的根为，则，（1）当时，比较与的大小；因为为减函数，，（2）若，且，证明：．所以，【答案】（1）解：令，因为 所以，设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，所以，所以【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线在点处的切线方程为，作差后构造函数，利用导数求最小值为0，可得，设的正根为，则，推出，再利用放缩法求证即可.
简介：高三数学三模试卷【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为一、单选题2，则有，解得，故，得，1．若集合，，则（ ）故答案为：CA．B．C．D．【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.【答案】A4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体【知识点】交、并、补集的混合运算积为（ ）【解析】【解答】，，所以.A．B．故答案为：A.C．D．【答案】A【分析】解分式不等式化简集合A，再利用补集、交集的定义求解即可.【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）【解析】【解答】解：如图，A．充要条件B．充分不必要条件由题意可知，，，，C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件则，【答案】D，【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断圆台的高为，【解析】【解答】当直线与直线平行时，圆台体积为．，解得，故答案为：A．当时，直线与直线重合，【分析】由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式即可．所以是的既不充分也不必要条件，5．如图在中，，为中点，，，，则（ ）故答案为：DA．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件定义，结合两直线平行的条件分析判断即可得到答案.【知识点】平面向量数量积的运算3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，A．1B．C．2D．4则，，，，【答案】C又，，，【知识点】抛物线的简单性质 则，7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得即，即，，则的最小值是（ ）A．16B．2C．D．则，【答案】B则，，【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式【解析】【解答】由题设，即，又为正项等比数列，则；所以，，故答案为：C．由，则，即，所以，【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积.则，6．已知，且，则（ ）当且仅当时等号成立，满足，A．B．C．-1D．1所以的最小值为2.【答案】C故答案为：B【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，【分析】由题设及为正项等比数列，可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.，8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是，（ ）或，A．B．C．D．由平方可得，即，【答案】B由平方可得，即，【知识点】数量积表示两个向量的夹角；古典概型及其概率计算公式因为，所以，，【解析】【解答】，综上，.可得，因为，所以，，故答案为：C对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.因此，的概率为. 故答案为：B.【分析】对双曲线的焦点进行分类讨论，求出，的值，即可求得双曲线的离心率.【分析】由题意可得，计算出满足条件的向量的取法种数，结合古典概型的10．已知复数，满足，下列说法正确的是（ ）概率公式可求得结果.A．若，则B．二、多选题9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双C．若，则D．曲线上，则该双曲线的离心率可为（ ）【答案】B,DA．B．C．D．【知识点】复数求模【解析】【解答】对A，设，，则，【答案】A,C,D【知识点】双曲线的简单性质，，不满足，A不符合题意.【解析】【解答】分以下三种情况讨论：对B，设在复平面内表示的向量分别为，且，①若、两点在双曲线上，则，当方向相同时，，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，当方向不相同时，，此时，双曲线的离心率为，综上，B符合题意.同理，若、两点在双曲线上，则；对C，设，，，②若、两点在双曲线上，则，，，C不符合题意.由双曲线的定义可得，对D，设，，，此时，双曲线的离心率为，，则，同理，若、两点在双曲线上，则；，③若、两点在双曲线上，则，D符合题意.由双曲线的定义可得，故答案为：BD此时，双曲线的离心率为，同理，若、两点在双曲线上，则.【分析】对选项A，C，利用特殊值法即可判断A，C错误，对选项B，根据复数模长的性质即可判断B正确，对选项C，根据复数模长公式即可判断D正确.故答案为：ACD. 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取B．出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为A．事件与事件相互独立B．【答案】B,CC．【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性D．【解析】【解答】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A不符合题【答案】B,D意；【知识点】相互独立事件；条件概率与独立事件；全概率公式对于B选项，因为且函数为偶函数，【解析】【解答】由题意，，，所以，可得，所以，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，所以，对任意的，，B对；先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，对于C选项，因为，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；所以，B符合题意；，对于D选项，当时，，，，所以，，D不符合题意.，C不符合题意；故答案为：BC.则，，，A不符合题意；【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性，D符合题意.可判断C选项；设，利用可判断D选项.故答案为：BD三、填空题13．若，则 ．【分析】易知，两两互斥，根据条件概率公式分别计算从乙箱中取出的球是红球的事件的概【答案】7【知识点】排列、组合及简单计数问题率，即可判断B；再利用全概率公式即可判断C；根据贝叶斯公式即可判断D选项.【解析】【解答】因为，12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）所以，A．的图象关于对称即，解得. 故答案为：7四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为 万元/平方米，二线城市房价的方差为 【答案】2；29.9【分析】根据排列数公式、组合数公式列出方程求解即可.【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设二线城市房产均价为，方差为，14．设．若，则 ．因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，三、四线城市的房【答案】产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，【知识点】分段函数的应用所以，【解析】【解答】由在上递增，在上递增，解得（万元/平方米），由题意可得，所以，由，则，解得，故，可得.故答案为：2；29.9.故答案为：【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.【分析】由分段函数结合，推出，所以，即可求结果.四、解答题17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为15．设随机变量，满足．若，则 ．【答案】．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型（1）求函数的解析式；【解析】【解答】由，故，则，（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线所以，则，而，交于，求的长．则.【答案】（1）解：因为，故答案为：设函数的周期为，由题意，即，解得，【分析】由题设有求出参数，再由二项分布方差公式求，最后根据所以方差的性质求的值.16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均（2）解：由得：，即，解得，价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、因为，所以， 因为的平分线交于，所以所以，即，可得，【知识点】等差数列的通项公式；数列递推式【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；由余弦定理得：，，而，（2）由题意求出，根据错位相减法求和即可.得，因此.19．选修4-4：坐标系与参数方程【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号离、勾股定理求得，即可得解析式.摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概，进而可得的长．率；18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方（1）求数列的通项公式；案.【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球（2）若，求数列的前项和．为事件，则，故所求概率．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，因为，，成等比数列，所以，（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，解得（舍去），或，又由，，解得，，满足条件，故，，（2）解：由（1）得，所以，故的分布列为67810所以，所以，所以（万元）（万元），则，所以选择第二种方案根划算．两式相减得：【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差.【解析】【分析】（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都 没有摸出幸运球，其概率为，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为即，取，则，，；所以平面的一个法向量为，（2）选择方案一的价格为（万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期因为是平面的法向量，望，然后再比较.设平面与平面夹角为，则，20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．故平面与平面夹角的余弦值为．（1）证明：四边形为矩形；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形为平行四边形，由【答案】（1）证明：因为，，为的中点，线面垂直的性质得到，从而得到，所以，，即可得到平面，，从而得到所以，且，，即可得证；又因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱锥体积最大值，以为坐因为平面，平面，所以，所以，标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二因为，平面，所以平面，平面，面角的余弦值.所以，所以四边形为矩形．21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，．所以三棱锥的体积（1）求椭圆的标准方程；，（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在当且仅当时等号成立，此时，之间），若为线段上的点，且满足，证明：．据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．【答案】（1）解：由题设可知，，即，由已知可得下列点的坐标：，，，，因为，，所以，，所以，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以椭圆的标准方程为 所以函数的两个零点分别是，，（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，联立，得，所以，，即，若，则，即所以，，（2）解：，所以，设点，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，记，即，所以，所以，，因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，，，所以，所以在上单调递增，又，即，所以当时，，单调递减；因为为的一个外角，所以当时，，单调递增，【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题所以在处取得极小值，即，【解析】【分析】（1）由题设可知，，即，离心率进而可求出结果；即当时，，（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理证得点在直线上，从设的正根为，则，而可得出结论.所以，因为是增函数，22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的，即，切线方程为，其中为自然对数的底数．结合（1），设的根为，则，（1）当时，比较与的大小；因为为减函数，，（2）若，且，证明：．所以，【答案】（1）解：令，因为 所以，设，，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，，，所以单调递增，因为，，所以存在唯一，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，若关于的方程有两个正根，必有，所以，所以【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线在点处的切线方程为，作差后构造函数，利用导数求最小值为0，可得，设的正根为，则，推出，再利用放缩法求证即可.
