山东省2022年高二上学期数学期中考试试卷五套附答案(Word版）-中小学课件网

江苏省2022年高二上学期数学期中考试试卷十二套附答案(Word版）

辽宁省2022年高二上学期数学期中考试试卷七套附答案(Word版）

高二上学期数学期中考试试卷（B卷）A．2B．C．7D．一、单选题8.已知点，，动点到直线的距离为，，则（）1.圆的圆心坐标为（）A．B．C．D．A.点的轨迹是圆B.点的轨迹曲线的离心率等于2.已知三棱柱，点为线段的中点，则（）A.B．C.点

高二上学期数学期中考试试卷处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）一、单选题A．B．5C．D．1.已知直线过点，两点，则直线的斜率为（）二、多选题9.下列说法错误的是（）A.B．C．D．A.平面直角坐标系内的任意一条

简介：高二上学期数学期中考试试卷9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（）一、单选题A．与是共线向量1.若直线的倾斜角为，则等于（）B.与共线的单位向量是A．2B．1C．-2D．-1C.与夹角的余弦值是2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（）A．0B．C．0或-D．0或D.平面的一个法向量是3.直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（）10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已A.B．C．D．知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）4.直线与曲线（）A．B．C．D．A.没有交点B．只有一个交点11.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是（）C．有两个交点D．有三个交点A.异面直线与所成的角为5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）B.直线与垂直A．B．C．D．C.直线与平行6.已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（）D.直线平面A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0C．D．12.椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）7.设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值A．，满足的点P有两个为（）A．8B．10C．12D．15B．，满足的点P有四个8.已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点C．的面积的最大值在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（）D．的周长小于三、填空题A．B．2C．3D．413.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．二、多选题 14.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面15.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，积为．是的中点，则与平面所成角的正弦值为.（1）求椭圆的离心率；16.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．C的离心率的最小值为．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的答案解析部分离心率取得最小值时，的最大值是．1.【答案】B四、解答题【解析】【解答】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得。17.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．故答案为：B.（1）用向量表示，；【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再结合两点求斜率（2）若，求实数的值．公式，进而求出实数a的值。18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面2.【答案】CABCD，AB=AP=1，AD=3．【解析】【解答】由题意得出，解得或（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；。（2）求点D到平面PBC的距离．故答案为：C．19.已知圆C经过和两点，圆心在直线上．（1）求圆C的方程．【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的坐标表示，进而求出实数的值。（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．3.【答案】B20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且【解析】【解答】由直线与直线互相垂直，．可得，即，（1）求椭圆的标准方程；所以直线的方程为：；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．由，21.如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）.得它们的交点坐标为。（1）若为的中点，证明：；故答案为：B.（2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围. 【分析】理由已知条件结合直线与圆联立求交点的方法，得出两交点A，B的坐标，再利用中点坐标公式求【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数k的值，进而求出直线的方出线段AB的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段AB的中垂线的斜率，再利用点斜式方程求出线段AB的中垂线方程。程，再利用两直线联立求交点的方法，进而求出两直线的交点坐标。7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由已知，①【解析】【解答】当时，曲线为，与直线方程联立得：由椭圆定义知，解得：，此时直线与曲线有两个交点，②当时，曲线为，与直线方程联立得：由余弦定理得，③解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点由①②③得出。综上所述：直线与曲线有三个交点故答案为：D.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答从而得出，②，由余弦定理得案。，③，由①②③得出的值。5.【答案】C8.【答案】B【解析】【解答】因为空间向量，，，【解析】【解答】由双曲线，可得，，因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量是。过点作轴，垂足为，故答案为：C则，，即，【分析】理由已知条件结合数量积的坐标表示和数量积的定义，再利用向量的模的坐标表示，从而理由向量又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，投影的求解方法，进而求出向量在向量上的投影向量的坐标表示。6．【答案】B代入点的坐标，可得，【解析】【解答】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，整理得，即，所以双曲线的离心率为。所以，即，所以。故答案为：B.故答案为：B 【分析】设，由已知结合重心的定义，进而求出三角形△的重心坐标为，再利用三【分析】由双曲线，可得，再利用角形的重心在上，再结合代入法得出m-n的值，进而求出顶点C可以的坐标。，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函1.【答案】A,B,D数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且【解析】【解答】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进则，而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。对于A，，异面直线与所成的角，9.【答案】C,D【解析】【解答】对于，不存在实数，使得，所以与，则，A符合题意；不是共线向量，所以错误；对于B，，则，，即直线与垂直，B符合题意；对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所对于C，，则，，即直线与不平行，C以错误；不正确；对于，向量，所以，所以C符合题意；对于D，，显然，而点直线，则，而平面，平面，于是得出直线平面，D符合题意.对于，设平面的法向量是，因为，所故答案为：ABD以，即，令，则，所以D符合题意．故答案为：CD.【分析】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求【分析】根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入出异面直线与所成的角；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。标表示，进而证出直线与垂直；利用已知条件结合向量共线的坐标表示，再结合两向量垂直数量积10.【答案】A,D为0的等价关系，从而利用数量积的坐标表示，进而推出直线与不平行；再利用已知条件结合向量【解析】【解答】设，由已知△重心坐标为，共线的坐标表示，进而推出，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面，进又重心在上，则，可得，而找出结论正确的选项。∴A、D符合要求.12.【答案】A,C,D故答案为：AD【解析】【解答】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. A中，，，正确；c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．B中，，不存在90°的，错误；14.【答案】C中，面积，正确；【解析】【解答】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所D中，周长，正确.以最短弦长为故答案为：ACD【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3，1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出.【分析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知，再利用已知条件结合a，15.【答案】b的关系式和椭圆中a，b，c三者的关系式，得出b与c的关系式，从而得出，进【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故而得出满足的点P有两个；再利用已知条件结合a，b的关系式，得出两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，，不存在90°的；再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法和由，则，所以.设平面的法向量为几何法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，得出三角形的面积的最大值；再利用已知条件结合三角形，则，令可得平面的法向量坐标为，的周长公式和焦距的定义以及椭圆的定义，从而求出三角形的周长小于4a，进而找出说法正确的选于是所求线面角的正弦值为。项。故答案为：。13.【答案】2【解析】【解答】解：∵m2+4＞0【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故∴双曲线的焦点必在x轴上两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐因此a2=m＞0，b2=m2+4标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。∴c2=m+m2+4=m2+m+416.【答案】；∵双曲线的离心率为，【解析】【解答】如图所示：∴，可得c2=5a2，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，所以m2+m+4=5m，解之得m=2P对两个焦点的张角渐渐增大，故答案为：2当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，17.【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，可得中，，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，所以，即，用向量表示，。（2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，所以椭圆离心率e的最小值，由，，，y，z的值。解得，，18.【答案】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，圆的圆心，半径，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），，，∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），而当取得最大值时，取得最大值，设异面直线PB与CD所成角为θ，所以当共线时，取得最大值，则cosθ=，所以，所以异面直线PB与CD所成角大小为．。（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），故答案为：，。则，取x=1，得=（1，0，1），【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，点P对两个焦点的张角渐渐增∴点D到平面PBC的距离d=．大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由椭圆上存在一点P，使得【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点，可得在中，，可得中，，再利用正弦函数的图的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出异面直线PB与象的单调性，得出，再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率eCD所成角大小。（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合的最小值；再由结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式得出a，向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求出点D到平面PBC的距离。c的值，再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用椭圆的定义得出的值，从而得19.【答案】（1）因为，AB中点为，出，而当取得最大值时，取得最大值，所以当所以AB中垂线方程为，共线时，取得最大值，进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大即，解方程组得值。所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，于是得因此，所求的圆C的方程为．，（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，解得或，此时，符合．因直线与椭圆交于，两点，同理：，②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，因，即，于是得，而又因为，所以，，即，解得，直线方程为，所以.综上，直线l方程为或．【解析】【分析】（1）将直线的一般式方程求出直线AB的斜率，再利用已知条件结合两点中点坐标公式，进【解析】【分析】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，从而求出AB中点坐标，再利用点斜式方程求出直线AB中垂线方程，再结合两直线联立求交点的方法，进而求而求出c的值，再利用点为椭圆的上顶点，且，从而求出b的值，再利用椭圆中a，b，c出圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式，从而求出圆的半径长，进而求出圆C的标准方程。三者的关系式，得出a的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得出y的值，进而求出此时MN的长；当直线l斜率存在时，设方程为，再利用点到直线的距离公式得出圆心到（2）由(1)知，椭圆：，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设直线l的距离，再利用弦长公式得出d的值，进而求出直线的斜率，从而求出直线的方程，进而，再结合韦达定理得出，，再利用弦长公式得出求出满足要求的直线l的方程。，再利用直线与椭圆交于，两点，同理得出20.【答案】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，即c=1，，再利用，得出，而，从而证出因为椭圆的上顶点，且，则，，。所以椭圆的标准方程为.21.【答案】（1）解法一：取的中点，连接，.因为为正三角形，则.由已知，则平面，（2）由(1)知，椭圆：，令消去y得：，所以.①则，设，则有，，因为，，则，所以，从而与互余，所以.② 结合①②知，平面，所以.【解析】【分析】（1）利用两种方法证明。解法一：取的中点，连接，，再利用三角形解法二：分别取、的中点、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间为正三角形结合三线合一，推出，由已知结合线线垂直证出线面垂直，则直角坐标系.平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以①，再利用，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，，则，再结合两三角形全等对应角相等，则点，，，.所以，从而与互余，所以②，结合①②知，平面从而，，则，，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。解法二：分别取、的中点所以.、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，（2）解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为.再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0零向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表作，垂足为，连结，则，所以.示，从而证出。设（），由余弦定理可得，由等面积可得，（2）利用两种方法求解。解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为，作，垂足为，连结，则，所以，设（），由余弦由相似三角形性质可得.定理可得AE的长，由等面积可得BF的长，由相似三角形性质可得BD的长，在中结合正切函数的在中，.定义得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合商数关系得出的取值范围。解法二：设（），从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量因为，则，所以.的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得平面与面所成的二面角大小的余弦值，再利用解法二：设（），则点，.结合二次函数图象求值域的方法，进而求出的取值范围。设为平面的法向量，由，得，2.【答案】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．取，则，，所以.又由可得，即．又平面的法向量，则又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.．由（1）知，则直线AE的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，，因为，则，所以. 即点的坐标为．由已知，有．整理得．所以．即直线的斜率为．解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为由（1）知，则直线AE的方程为，即，由解得∴点坐标为，由已知，有，整理得，即．即直线的斜率为．【解析】【分析】（1）设椭圆的离心率为e，由已知结合三角形的面积公式，可得．又由椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式，进而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆的离心率。（2）利用两种方法求解。解法一：依题意，设直线的方程为，从而求出直线的斜率为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再与直线的方程联立求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出m的值，从而求出直线的斜率。解法二：依题意设直线的斜率为k，从而设出直线的方程为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再联立两直线方程求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出直线的斜率。高二上学期数学期中考试试卷A．B．C．D．一、单选题10．已知直线和直线，下列说法正确的是（）1.直线的一个方向向量是（）A.当时，A．B．C．D．B.当时，2.过两点的直线的倾斜角为（）C.当时，A．B．C．D．D.直线过定点，直线过定点3．已知向量，且，则（）11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可A．-2B．-C．D．2以是（）4.已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点A．B．2C．D．与共面，则的值为（）12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上A．-2B．-1C．1D．2的动点，则下列结论正确的是（）5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（）A.点到直线的距离为A．B．C．D．6.过点作圆的切线，则切线的长为（）B.与平面所成角为A．B．C．D．C．面7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同D．三棱柱的外接球半径为一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三、填空题的顶点，则欧拉线的方程为（）13．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A．B．14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程C．D．为．8．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）15．已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量．A．B．C．D．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程二、多选题是，面积的最大值是.9．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向四、解答题量，则下列各点在平面内的是（） 17.已知空间三点，设，.【解析】【解答】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，（1）若向量与互相垂直，求的值；又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，（2）求向量在向量上的投影向量.故答案为：A.18.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.（1）证明：平面；2.【答案】C（2）求点到平面的距离.【解析】【解答】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB19.已知的顶点.的倾斜角为.（1）求直线的方程；故答案为：C.（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解.20.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.3.【答案】A（1）求圆的方程；【解析】【解答】由题意可得，（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.解得，21.在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.所以.（1）求的取值范围；故答案为：A（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面【分析】根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解，即可得答案.与平面夹角的大小.4.【答案】B22.已知在中，点，，点在直线下方，且.【解析】【解答】由点与共面，且，（1）求的外接圆的方程；可得，解得：，（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定故答案为：B.点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可求出的值.答案解析部分5.【答案】C1.【答案】A 【解析】【解答】异面直线的方向向量分别是所以欧拉线的方程为.故答案为：D.，【分析】由题可得的重心，再由欧拉线的定义可得即是AB的中垂线，求出AB的中点D的坐标，异面直线所成角为范围为，夹角的大小是再求直线AB的斜率，可得AB的中垂线的方程，即求出欧拉线的直线方程.故答案为：C8．【答案】B【分析】根据题意，由空间向量数量积公式求出的值，进而求出的大小，由异面直线所成【解析】【解答】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：角的定义分析可得答案.可表示点与点连线斜率6.【答案】C当直线与圆相切时：设直线方程为，即【解析】【解答】由可得，所以圆心，半径，圆心到直线距离，则，解得或，所以切线的长为.故答案为：C.又，所以，当直线经过点时，，【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心和半径，求出圆心到点P的距离，根据圆的半径，即可求出切线长.综上7．【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】由题可得的重心为，【分析】由条件可得点P(x，y)是以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆上的点，而表示点直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为与点连线斜率，由几何意义可得答案.，即，9.【答案】A,C直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为【解析】【解答】设平面内点的坐标为，，即，则，联立可得垂心坐标为，平面的一个法向量是，所以，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，即. 故答案为：AC故答案为：BCD【分析】设平面内点的坐标为，利用，得到，即可得到答案.【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，求解可得答案.10.【答案】A,C,D12.【答案】B,C【解析】【解答】对A和B，如果，则和的斜率相等，时，【解析】【解答】对A，取中点，则，，则，解得或.当时，，，两直线既不平行也不垂直.，当时，，，A对.则，则点到的距离为，设点到直线的距离为，当时，，，B不符合题意.则，解得，A不符合题意；对C，当时，，，，所以，C对.对B，平面即平面，设直线与交于，连接，可得，对D，转化为斜截式为，即，所以过定点因为平面ABCD，则，所以平面，则即为与平面.同理，，时转化为斜截式为，即所成角，则，则，B符合题意；，过定点；时，为，也过定点，D对.对C，连接交于E，连接，，四边形为平行四故答案为：ACD.边形，，因为为中点，，则四边形为【分析】对A中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相等，与常数项之比不平行四边形，，因为在平面外，平面，所以平面等，来判断两条直线是否平行；对B中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相，C符合题意；等，与常数项之比不等，来判断两条直线是否平行；C中a的值代入，x，y的系数相乘，再相加是否为0来判断命题的真假；D中，将直线整理可知两条直线恒过的定点的坐标.对D，三棱柱的外接球等价于正方体的外接球，球半径为，D不符合题1.【答案】B,C,D意.【解析】【解答】因为圆心到直线的距离故答案为：BC.，【分析】对于A选项，点到直线的距离为，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线因为上恰有相异两点到直线的距离等于，与交于，连接，即为与平面所成角，再结合几何关系求解，即，即可；对于C选项，连接交于E，连接，证明即可判断；对于D选项，转化解得，为正方体的外接球求解即可.程；当直线过原点时，直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程，综合可得答案.13．【答案】相交15．【答案】【解析】【解答】由圆与圆，【解析】【解答】解：如图：分别得到标准方程和，.则两圆坐标分别为和，半径分别为，故答案为：.则两圆心之间的距离，【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于的表达式.则，即，故两圆的位置关系是相交，16.【答案】；3故答案为相交.【解析】【解答】设，由题，即，整理得，以OA为底，且到OA的最大距离为半径2，【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径R与r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.所以面积的最大值是.14．【答案】3x-2y=0或x+2y-8=0故答案为：；3.【解析】【解答】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，【分析】设M(x，y)，由条件列出方程，化简即可求出动点的轨迹方程；由到OA的最大距离为半径2，可得面积的最大值，从而可计算三角形面积.又直线l过点，故直线l的斜率，17.【答案】（1）解：由已知得，故直线l的方程为，即；.当时，直线l的方程为，即，所以，∴直线l过点，∴，.因为与互相垂直，所以∴，，∴直线l的方程为．即，解得或.综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-（2）解：因为，，，8=0．故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0.所以，【分析】当直线不过原点时，设直线l的方程为，把点代入求得a的值，即可求得直线l方即中线所在直线的方程为，所以向量在向量上的投影向量.设顶点，所以，【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量与的坐标，由向量垂直的充要条件，列式求解即可；因为，点到直线的距离，(2)利用向量投影的概念和公式求解计算即可.因为，所以，18.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．整理得，所以或，又因为分别为，的中点，，所以.即或.，又因为，所以.由得，此时顶点；由于，所以平面（2）解：由（1）知，，．又平面，由得，此时顶点，所以平面．因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系所以顶点的坐标为或.．【解析】【分析】(1)求出直线AB的斜率，代入点斜式方程求出直线AB的方程即可；(2)设出C的坐标，联立方程组，求出C的坐标即可.由题意得，，，，所以，，20.【答案】（1）解：设圆的方程为，因为到直线距离为.，设平面的法向量为，所以，从而，令，则所以，解得，所以圆的方程为；，，所以平面的法向量.所以点到平面的距离（2）解：因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.．中点坐标为，，【解析】【分析】(1)只要证明AC垂直于平面BEF内两条相交直线即可；(2)用向量数量积计算点到平面的距离.所以以与为直径端点圆的方程为.19.【答案】（1）解：直线的方程为，即；联立方程组，两式相减得.（2）解：边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得，所以直线的方程为.【解析】【分析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立的空间直角坐标系，设，求出，通过数量积为0，求解的【解析】【分析】（1）由圆心在x轴的正半轴上，设圆的方程为，由圆C被直线x-取值范围；y=0截得的弦长为，知圆心到直线距离为，求出a，由此能求出圆的方程；(2)当时，解得或，即满足条件的点E有两个，求出（2）求出以与为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程.求出平面和平面的的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面夹角的大21.【答案】（1）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建小.立如图所示的空间直角坐标系.2.【答案】（1）解：的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，所以该圆设，则，所以.的半径.因为，所以.圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.因为，所以，即.所以外接圆的方程为.（2）解：当时，，解得或.（2）解：设过点的直线方程为.①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.不妨取，②当时，由得，设，，所以，，设平面的法向量为，则，.由，得，则，即，整理得则，令，则，所以..设平面的一个法向量为，所以对恒成立，即恒成立，故，即则，令，则，所以..综上所述：存在点符合题意.所以，得.【解析】【分析】（1）由已知条件可得该圆的半径，圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标，进而可得外接圆的方程；所以平面与平面的夹角为. （2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标. 高二上学期数学期中考试试卷A．78B．72C．68D．62二、多选题一、单选题9．下列说法正确的是（）1.已知向量，，若，则（）A.任意两个空间向量都共面A.2B．C．-2D．B.若向量，共线，则与所在直线平行2.已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）C.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为A．B．D.已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得C．或D．不存在3.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为4.如图，在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点G满足，若，，，则（）B.点关于直线的对称点为A.B．C.圆与圆可能内含、内切或相交C．D．D.若圆与圆相离，则11.平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（）5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.点P到圆O上的点的距离最大值为A．B．B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为C．D．C.过点P与圆O相切的直线方程为6.已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1A．B．C．±1D．112.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，平面平面，A．当时，，则直线与直线所成角的余弦值为（）B.当时，平面A．B．C．D．C.当，时，三棱锥的体积为定值8.已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两D.当，时，与平面所成角的正切值为三、填空题点，则的值为（）（1）证明：平面平面；13.过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求m的值为．的长度，若不存在，说明理由．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为．22.已知圆，点，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于15.一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．，两点．16.如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为（1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；cm．（2）当时，求点Q的坐标；四、解答题17.如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．（3）求面积的最大值．（1）若，，求证：；答案解析部分（2）设，O为空间中任意一点，求证：．1.【答案】D18.已知圆，圆．【解析】【解答】，则，即，（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．故，解得，故.19.如图，平行六面体中，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；故答案为：D.（2）若四边形和均为正方形，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案.20.在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．2.【答案】C（1）求线段的中点C的轨迹方程；【解析】【解答】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；（2）若直线．当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；综上所述，或.②求直线l被曲线C截得的最短弦长．故答案为：C21.如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面．【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。 3.【答案】B的距离为1，计算即可得答案.【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的7．【答案】C象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。【解析】【解答】将平移到下图中的位置，再连接，则的大小即为直线【分析】本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。与直线所成的角.4.【答案】B由，设，则可得，，【解析】【解答】由空间的向量的运算法则，在中，由余弦定理有.可得故答案为：C..故答案为：B.【分析】将平移到下图中的位置，连接，可得的大小即为直线与直线所成的角，设，利用余弦定理可求得直线与直线所成角的余弦值。【分析】利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案.8.【答案】D5.【答案】A【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系【解析】【解答】根据题意，，根据题意，图中各点的坐标分别表示为在上的投影向量可为设点A的坐标为，则.故答案为：A.故答案为：D.【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案。9.【答案】A,C6.【答案】A【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个【解析】【解答】由圆可得圆心，半径，平面上的，所以是共面的，A符合题意；因为圆上有三个点到直线的距离等于1，对于B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，B不正确；所以圆心到直线的距离，对于C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，C符合题意；可得：，对于D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，故答案为：A.使得，D不正确.故答案为：AC.【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。意；10.【答案】B,C当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，A不符合题意；到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.C不正确；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得对于D，由题意知点，联立得，，故对称的点的坐标为，B符合题意；设，则，对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意；所以对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，.D符合题意.因为，所以或，所以或，D不符合题意.故答案为：ABD故答案为：BC【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为，依题意得到方程组，解得a，b，即点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。为k，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选1.【答案】A,B,D项C；设A，B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为及两根之积代入可得为定值，即可判断D.，A符合题意；12.【答案】B,C,D对于B，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长【解析】【解答】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，公式知，弦长为，B符合题意；则，，，，，，，对于C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题，则，，；对于A，设，则，面，由面面平行的性质可得平面，可判断B选项的正误；当，时，利用点又，，不恒成立，A不符合题意；到面的向量求法可求得点到平面的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判对于B，当时，四点共面，即平面；断C选项的正误；当，时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D，平面，平面，平面，选项的正误。13.【答案】-2同理可得：平面，又，平面，【解析】【解答】由题知，，设直线的方向向量为，则平面平面，平面，B符合题意；，对于C，设，则，即，得，解得或，设，则，，，，当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.，；故答案为：-2平面，平面的一个法向量为，【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为，得，利用坐标表示可得点到平面的距离，又，，求解可得m的值，检验可得实数m的值。，即三棱锥的体积为定值，C符合题意；14.【答案】对于D，当，时，，设，则，，，，【解析】【解答】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，平面，平面，平面，平面，平面的一个法向量，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，设与平面所成角为，则，，，，，即与平面所成角的正切值为，D符合题意.设平面的法向量，故答案为：BCD.则，令，解得：，，，【分析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，当点到平面的距离，时，得，可判断A选项的正误；当时，四点共即直线到平面的距离.【分析】设与的交点为N，过点作于M，连接AN，由等边三角形求出，由勾股定理求得CM的值，进而求出旋转后灯管升高的高度.故答案为：.17.【答案】（1）解：因为，，所以【分析】根据平面，直线到平面的距离转化为点到平面的距离，，利用向量法即可求出点到平面的距离，进而求出直线到平面的距离.所以．（2）解：因为分别是，，，的中点，15.【答案】所以【解析】【解答】由可得，即圆心为，半径所以.为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量减法法则及向量数量积的运算，即可证得；（2）利用向量加法的平行四边形法则可得，可证得结论。即，由反射光线与圆相交可得，，18.【答案】（1）解：圆的方程配方可得，圆心，半径，化简得，即.圆的方程配方可得，圆心，半径，故答案为：所以两圆心的距离，，，【分析】求出圆心与半径，关于轴的对称点的坐标，设出过A’与圆相交的直线方程，利用所以，圆心到直线的距离小于半径，可得，求解可得直线的斜率k的取值范围.所以，圆与圆相交．16.【答案】20将方程与相减，【解析】【解答】解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所得：，示：在中，，，所以，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；在中，，由勾股定理得，即，所以（2）解：由（1）可得，代入圆的方程，，又，所以旋转后灯管升高的高度为，，故答案为：20. 以过O点且平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，因为所以，如图所示：所以，，则，，，，，即四边形的面积为8．【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距大于两圆半径差的绝对值且所以，，小于两圆半径和可得两圆相交，直接联立两圆方程，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程；设平面的一个法向量，则有（2）由（1）可得点P的坐标，代入圆的方程可求得，结合根据勾股定理可得，进而求出四边形的面积．，即，19.【答案】（1）证明：取的中点G，连接，，如图所示：因为M为的中点，所以且，取，则，，则，平面的一个法向量，又因为N为的中点，所以且，设平面与平面夹角为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以，所以平面．即平面与平面夹角的余弦值为．（2）解：因为平行六面体中，四边形和均为正方形，【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，推出四边形为平行四边形，得所以，，，根据线面平行的判定定理可证得平面；又因为，所以平面，（2）由已知可知四边形和均为正方形，推出平面，过做过做交于O，交于O，推出平面，可得为与平面所成的因为平面，所以，角，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，以过O点且平行于的直线因为，所以平面.所以为与平面所成的角，即，为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面与平面夹角的余弦值．设，则，20．【答案】（1）解：设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，在中，，．即的斜边上的中线长，因为，所以，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，，，所以点C的轨迹方程是．轴平面，平面的一个法向量，（2）解：直线可整理为，设直线与平面所成的角为，则，方程组的解为，，当时，取得最小值，取得最大值，所以直线恒过定点，将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，又在上单调递增，当时，取得最大值，所以直线与曲线C恒有两个不同交点．此时，即的长度为．由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，【解析】【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；又所以此时弦长为，（2）以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求所以直线被曲线C截得的最短弦长为．出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值，进而求【解析】【分析】（1）由已知条件可得点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得线段的中点C的出的长度。轨迹方程；2.【答案】（1）解：由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，（2）①求出直线经过的定点，然后把定点代入圆C的方程，可得定点在圆C的内部，即可证得直线整理得，与曲线C恒有两个不同交点；②由①知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用勾股定理即可求出直线被曲线C截得的因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，最短弦长。21.【答案】（1）证明：在菱形中，，为的中点，，又因为，解得或，平面平面，且平面平面，平面，所以，直线的方程为或．平面，又平面，平面平面．（2）解：当时，，，（2）解：由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为因为直线，都是圆C的切线，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以直线的方程为；则，，，，，，，设，此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即因为，所以，所以，所以，，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），的最大值为，则直线，把代入，解得，所以面积的最大值为．所以点Q的坐标为．【解析】【分析】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，再根（3）解：因为为定值，且M，N在x轴上．据点到直线的距离公式和勾股定理即可求出直线的方程；所以要求面积的最大值，即求点Q的纵坐标的绝对值的最大值，（2）由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，再根据直线与圆相切的位设点Q的纵坐标为，置关系结合点到直线的距离公式即可求出点Q的坐标；由（2）知，当直线的斜率不存在时，，（3）由题意可知为定值，且M，N在x轴上，所以要求面积的最大值，即求点Q的根据对称性，当直线的斜率不存在时，；纵坐标的绝对值的最大值，由此分直线和的斜率不存在和直线，的斜率都存在两种所以当直线，的斜率都存在时，情况，求出点Q的纵坐标为，根据面积公式列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。设直线的斜率为，则，即，因为与圆C相切，所以有，得或（舍去）．所以．同理可得．由，解得．又，，高二上学期数学期中考试试卷A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多选题一、单选题9．已知直线，则下述正确的是（）1．直线的倾斜角()A.直线l的斜率可以等于A．30°B．60°C．120°D．150°B.直线l的斜率有可能不存在2．已知直线与直线平行，则实数的值是（）C.直线l可能过点A．1B．-2C．1或-2D．不存在D.若直线l的横纵截距相等，则3.已知向量，，且，其中、，则（）10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是A．4B．-4C．2D．-2（）4.圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为A．B．（）A．或B．或C．D．C．或D．或2＋y2－2x＝0和圆O226．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余11．圆O1：x2：x＋y＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0弦值为（）B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0A．B．C．D．C.公共弦AB的长为7.若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1A．B．12.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则C．D．称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A.距离坐标为（0，0）的点有1个8.已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足B.距离坐标为（0，1）的点有2个，则直线与圆的位置关系为（）. C.距离坐标为（1，2）的点有4个（2）求点到平面的距离；D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上（3）求二面角的余弦值．三、填空题21.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为实数a的值为.轴建立如图所示的平面直角坐标系.14．已知实数，满足方程，则的最大值为.（1）求直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.22.直线经过定点，点在直线上，且.16.已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求为.四、解答题的最小值.17.若直线的方程为.答案解析部分（1）若直线与直线垂直，求的值；1.【答案】A（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】【解答】可得直线的斜率为，18.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.由斜率和倾斜角的关系可得，又∵（1）试用向量，，表示向量；∴（2）若，，，求的值.故答案为：A.19.已知以点为圆心的圆与，过点的动直线与圆相交于，两【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆2.【答案】C的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问【解析】【解答】因为直线，互相平行题．则两直线的斜率都应存在，（1）求圆的方程；所以由两直线平行得到20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，是上一点，且．解得或，（1）证明：面；故答案为：C答案.6.【答案】C【分析】利用直线平行的性质可得，求解可得实数的值。【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3.【答案】B，所以，【解析】【解答】向量，，且，，解得因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，，故答案为：C.因此，.【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。故答案为：B.7.【答案】C【解析】【解答】由得，【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m=-6，n=2，由此能求出m+n.所以圆的圆心为，半径为，4.【答案】C因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，【解析】【解答】圆化为标准方程为：不妨设直线的方程为：，即圆化为标准方程为：则有，即，整理得，解得，所以两圆的圆心距为：两圆相交记的倾斜角为，则，故答案为：C又，所以.【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.5.【答案】A故答案为：C.【解析】【解答】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线倾斜角的取值范围.根据点，到直线的距离相等，得，解得8.【答案】A或，【解析】【解答】由得，故直线的方程为或.，故答案为：A.因为，，所以，【分析】设出的斜率，用点斜式写出直线的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得对于B，圆的圆心为，，所以圆心到直线的距离，故相切，则线段AB中垂线斜率为，故答案为：A.即线段AB中垂线方程为：，整理可得，B符合题意；【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.对于C，圆，圆心到的距离为9.【答案】B,D，半径【解析】【解答】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A不符合题意；B符合题意；，不在直线上，C不符合题意；所以，C不正确；时，纵截距不存在，时，令得，令，，由对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线得，D符合题意．故答案为：BD．AB距离的最大值为，【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距.D符合题意.10.【答案】A,C故答案为：ABD【解析】【解答】由图A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，A能成立；【分析】根据题意把两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断出选项A正确；求出两圆圆心坐由图B可得直线l1，的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断出选项B正确；根据题意求出圆心O1的距离，再由点到直矛盾，B不能成立；线AB的距离公式计算出d的值，进而求出d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公由图C可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，C共弦长，由此即可判断出选项C错误，D.正确；由此即可得出答案。能成立；12.【答案】A,B,C由图D可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，矛【解析】【解答】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离盾，D不能成立.坐标为（0，0)的点只有1个，A符合题意，故答案为：AC对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B符合题意，【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出答案.1.【答案】A,B,D对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，【解析】【解答】对于A，由圆与圆的交点为A，B，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C符合题意，两式作差可得，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D不符合题意，即公共弦AB所在直线方程为，A符合题意；故答案为：ABC作交于点，由，，平面所以平面，所以【分析】根据新定义逐项进行分析，可得答案。13.【答案】，所以【解析】【解答】由题意，故答案为：所以，解得.【分析】证明平面，所以，求得故答案为：，可得求点A1到直线DB的距离.【分析】由题意得，利用平面向量数量积的运算即可求出实数a的值。16．【答案】14．【答案】【解析】【解答】【解析】【解答】由，所以，圆心为，当且仅当时等号成立.圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，由在圆外知的取值范围是，所以能成立，所以的最大值为故的最小值为.故答案为：由知，萌点的轨迹为圆，方程为.故答案为：【分析】把已知圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，由圆心到的距离为2，可得圆上的点到的最大距离，进而求出的最大值。【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可得圆的萌点的轨迹方程.15．【答案】17．【答案】（1）解：直线与直线垂直，【解析】【解答】解：在菱形中，，，，解得．所以是边长为2的等边三角形，（2）解：当时，直线化为：．不满足题意．又因为为的中点，所以，又面面，面面，当时，可得直线与坐标轴的交点，．平面，所以平面，直线在两轴上的截距相等，，解得：．记线段的中点为，依据可得该直线的方程为：，．且，，则【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，所以，解得，直线的方程为．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．．18.【答案】（1），若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．故综上直线的方程为或．∵点E为AD的中点，【解析】【分析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；(2)由已知弦长求出点A到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解可故得直线的方程.（2）由题意得20.【答案】（1）因为平面，平面，所以，故又因为底面是矩形，所以，故又，所以面；【解析】【分析】(1)根据向量的运算性质求出即可；（2）如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系：(2)根据向量的运算性质代入计算即可.因为，，所以，19.【答案】（1）解：选①设，所以，，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离又因为，所以，所以，所以，即，所以圆的方程为设平面的一个法向量为，因为，．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，又，所以，取，所以，所以圆的方程为．记点到平面的距离为，选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则所以；，解得，或，舍去．（3）由（2）可知：，所以圆的方程为．（2）当时，求直线的方所以，程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以，取，所以，所以，又，所以，取，所以，所以，结合图形可知二面角为锐二面角，解得，所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面.ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面所以的长度为．PAD；【解析】【分析】(1)求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；(2)由(1)知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，(2)利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度.进一步得到M为PD的中.点，再由等体积法求M到平面PAC的距离；2.【答案】（1）解：，因为，(3)以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的则，所以，余弦值可得二面角B-AM-C的余弦值.（2）解：圆的方程为：，圆心；设关于直的对21.【答案】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；称的为，则，可得，所以，（2）设，的方程为，连接线段交圆于点，交直线于点，所以点到直线的距离为：则，，当且仅当，，，共线时，达到最小值，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以所以，．【解析】【分析】（1），因为，转化为坐标表示即可设，，，，求解；（2）圆心；求出关于直的对称的点，所以为的中点，在上；，再减去圆的半径即可求解. 高二上学期数学期中考试试卷A．+，-2，B．-，+3，2一、单选题C．，2，-D．+，-，1.直线的倾斜角为（）10.下列说法正确的是（）A．B．C．D．A.过，两点的直线方程为2.在空间直角坐标系中，，，则向量（）A．B．B.点关于直线的对称点为C．D．C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是23.直线在y轴上的截距为（）D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为A．B．3C．-3D．11.若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）4.已知向量，向量，且，则（）A.3B．C．1D．A．1B．2C．3D．45．两平行直线与之间的距离为（）12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．A．AC1=66．已知，，，若，，共面，则z的值是（）B．AC1⊥DBA．-5B．5C．-9D．9C．向量与的夹角是60°7.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则D．BD1与AC所成角的余弦值为＝（）三、填空题A.B．13.已知直线与直线垂直，则C．D．14.直线恒过定点为.8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值15.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为．范围是（）16.已知点在曲线上运动，则的取值范围为．A．B．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：C．D．（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；二、多选题（Ⅱ）求△ABC的面积．9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） 18.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.【解析】【解答】因为，，（1）求圆C的标准方程；所以向量。（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.故答案为：B.19.如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且．（1）证明：平面；【分析】利用已知条件结合三角形法则，从而结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标。（2）求点到平面的距离．3.【答案】D20.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，【解析】【解答】在令，得，且．．故答案为：D．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【分析】通过x=0，求出y的值，即可得到结论．21.已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线4.【答案】C所在直线的方程为.【解析】【解答】因为，则，解得，，因此，。（1）求点坐标；故答案为：C.（2）求边所在的直线方程.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示求出的值，进而求出的值。（1）求圆的方程；5.【答案】B（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，【解析】【解答】化简直线可得：，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．根据平行线间距离公式知。答案解析部分1.【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】因为，即，设直线的倾斜角为，则【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式，进而求出两平行直线与之间，因为，故。的距离。6.【答案】D故答案为：D.【解析】【解答】∵，，，，，共面，【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的∴，即，斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。2.【答案】B 【分析】利用直线分别与轴，轴交于，两点，从而求出点A，B的坐标，再利用两点求距离公式求出AB的长，再利用点P在圆上，从而求出圆心坐标，再利用点到直线的距离∴，解得。公式得出圆心到直线距离，从而求出点P到直线的距离的取值范围，再结合三角形面积公式得出三角形面积的取值范围。故答案为：D.9．【答案】A,C【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合【解析】【解答】A.设+=x（-2）+y=，则无解，所以+，-2，向量的坐标运算，进而解方程组求出x，y，z的值。不共面，故正确；7.【答案】C【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，B.设-=x（+3）+2y=，则，解得，所以-，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得。+3，2共面，故错误；故答案为：CC.设=2x）+y=，则，无解，所以，2，-不共面，故正【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中确；点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。D.设+=x（-）+y=，则，解得，所以+，-，共8.【答案】A面，故错误；【解析】【解答】直线分别与轴，轴交于，两点，故答案为：AC，则，【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法，从而找出能构成空间的一个基底的一组向量。点P在圆上，10.【答案】B,C圆心为（2，0），则圆心到直线距离，【解析】【解答】对于A：当，时，过，两点的直线方程为故点P到直线的距离的范围为。，A不正确；则。对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关故答案为：A. 于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B符合题意；=·-·+-·+·-=0，所以B符合题意；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.面积是，所以C符合题意；因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；因为=+-=+，故答案为：BC.所以||==6，||==6，【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截·=(+-)·(+)=36，距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。所以cos<>===，所以D不正确.1.【答案】B,C,D【解析】【解答】点在直线上，，则，故答案为：：AB.由图可知，中，，即点P在圆上，【分析】以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，再利用数量积的定义得出·故联立方程，得，有判别式，=·=·=18，再利用平行四边形法则和数量积求向量的模的公式，得出||的值；再利用数量即，解得，A不符合题意，BCD符合题意.积的运算法则结合数量积的定义，得出·=0，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出故答案为：BCD.AC1⊥DB；再利用三角形△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°，再由=，且向量与的夹角是120°，从而求出与的夹角；再利用平面向量基本定理结合数量积求向量的模的公式，得出||和【分析】利用点在直线上，，则，在中，|的值，再利用数量积的运算法则求出数量积的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出BD1与AC，即点P在圆上，再联立直线与圆的方程结合判别式法得出实数m的取值范围，所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。进而求出实数m可以取的值。13.【答案】12.【答案】A,B【解析】【解答】由题设知：，解得。【解析】【解答】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故答案为：。所以·=·=·=6×6×cos60°=18，【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，14.【答案】则||=|++|=6，所以A符合题意；【解析】【解答】直线方程可化为，由，得，·=(++)·(-)所以直线过定点。故答案为：。值，当时，得出，从而求出的取值范围。17．【答案】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．【分析】将直线方程化为，再利用方程组求出直线恒过的定点坐标。∴直线AD的方程为，15.【答案】整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），【解析】【解答】因为，，则，∴|BC|=．点到平面的距离为。又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，故答案为：。∴△ABC的面积为=10．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出线段BC的中点D的坐标，再利用两点式求出直线【分析】利用已知条件和向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用法向量的定义结合数量积求出点到AD的方程，再转化为直线AD的一般式方程。平面的距离。（2）利用B（-2，3），C（0，-3），再利用两点距离公式得出BC的长，再利用直线BC的方程为3x+y+3=0结合点到直线的距离公式，得出点A到直线BC的距离，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面16.【答案】积。【解析】【解答】变形得，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，直线方程为18．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，即，因此，（由图舍去），时，．直线与圆相切，．圆的标准方程为：，（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，所以的取值范围是。即：，，又，故答案为：。．解得：．直线的方程为：．【分析】将变形得出，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，因为点②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，从而设出直满足条件．线方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式得出k的综上所述的方程为：或因为，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距所以离，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程。方法二：在平行四边形中，易得，（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再利用弦长公式得出直线的斜率，从而求出由余弦定理得，，直线的方程。因为平面，所以有，，19．【答案】（1）设，，．所以，，由题知：，所以，又所以．故．方法三：在平行四边形中，易得，，故．平面，所以有，，又．，，故．所以，又因为平面，平面，且，所以平面．（2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为：所以，．（2）解：方法一：由（1）得，设为平面的一个法向量，所以，即，可取，【解析】【分析】（1）设，，，利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，得出，，再利用三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定同理，设为平面的一个法向量，理得出，再利用数量积的运算法则结合数量积定义，从而推出，再利用数量所以，即，积为0两向量垂直的等价关系，从而证出，同理得出，再利用线线垂直证出可取，线面垂直，从而证出平面。（2）由（1）结合数量积求向量的模的公式，从而得出点到平面的距离。所以，20.【答案】（1）证明：方法一：由得，，所以，由图可知，二面角的平面角是钝角，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，二面角的余弦值所以，，，，方法二：分别取，的中点，，连接，，，所以，，明PA⊥PC；由（1）知，，所以，，(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量，即可求得答案；由，，，知，方法二：(1)根据题意，求得：，即可证明PA⊥PC；又，分别为，的中点，所以，即，(2)构造出二面角的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值；因为，分别为平面与平面内的直线，方法三：利用向量法，分别表示出，因此可得，因此可得PA⊥PC；且它们的交点在直线上，所以为二面角的平面角，(2)根据几何关系，二面角的大小等于，根据向量的运算，即可求得二面角因为，所以，的余弦值.由（1）知，平面，即，21.【答案】（1）解：由题意可知，点在直线上，设点，所以，线段的中点坐标为，由图可知，二面角的平面角是钝角，由题意可知，点在直线上，则，所以，二面角的余弦值．解得，则，所以，点的坐标为方法三：由，得，所以，（2）解：设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，由（1）可知，平面，又面，所以，由四边形为平行四边形，所以，所以，由题意可得，解得，即点，取的中点，连接，，则，所以，所以，直线的斜率为，由且，得二面角的大小等于，所以，直线的方程为，即所以，，【解析】【分析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数所以，的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.又，2.【答案】（1）因为圆心在直线上，所以，二面角的余弦值．设圆心坐标为．【解析】【分析】方法一：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求得由，即可证又因为圆经过坐标原点和点，用圆经过坐标原点和点，再利用圆的半径长相等，所以，再利用两点距离公式得出所以，即，解得：a的值，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径长，从而求出圆C的标准方程。．所以圆心为．半径为．（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为，设过的与圆相切的直所以圆的方程为：．线斜率为，则切线方程为：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到切线的距离（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不，整理结合韦达定理得出，，记直线的斜率为，直线的斜率为，为．设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．从而而得出直线：和直线：，令，得，故圆心到切线的距离．，再利用两点距离公式得出，再利用三角形的面积公式得出整理得：．故：，，再结合换元法，令，则，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求．不妨记直线出三角形面积的取值范围，进而求出三角形面积的最小值。的斜率为，直线的斜率为．所以有：，：，令得，．所以：．．令，则．．所以．．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，结合代入法，从而设圆心坐标为，再利
简介：高二上学期数学期中考试试卷9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（）一、单选题A．与是共线向量1.若直线的倾斜角为，则等于（）B.与共线的单位向量是A．2B．1C．-2D．-1C.与夹角的余弦值是2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（）A．0B．C．0或-D．0或D.平面的一个法向量是3.直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（）10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已A.B．C．D．知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）4.直线与曲线（）A．B．C．D．A.没有交点B．只有一个交点11.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是（）C．有两个交点D．有三个交点A.异面直线与所成的角为5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）B.直线与垂直A．B．C．D．C.直线与平行6.已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（）D.直线平面A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0C．D．12.椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）7.设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值A．，满足的点P有两个为（）A．8B．10C．12D．15B．，满足的点P有四个8.已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点C．的面积的最大值在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（）D．的周长小于三、填空题A．B．2C．3D．413.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．二、多选题\n14.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面15.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，积为．是的中点，则与平面所成角的正弦值为.（1）求椭圆的离心率；16.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．C的离心率的最小值为．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的答案解析部分离心率取得最小值时，的最大值是．1.【答案】B四、解答题【解析】【解答】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得。17.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．故答案为：B.（1）用向量表示，；【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再结合两点求斜率（2）若，求实数的值．公式，进而求出实数a的值。18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面2.【答案】CABCD，AB=AP=1，AD=3．【解析】【解答】由题意得出，解得或（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；。（2）求点D到平面PBC的距离．故答案为：C．19.已知圆C经过和两点，圆心在直线上．（1）求圆C的方程．【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的坐标表示，进而求出实数的值。（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．3.【答案】B20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且【解析】【解答】由直线与直线互相垂直，．可得，即，（1）求椭圆的标准方程；所以直线的方程为：；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．由，21.如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）.得它们的交点坐标为。（1）若为的中点，证明：；故答案为：B.（2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围.\n【分析】理由已知条件结合直线与圆联立求交点的方法，得出两交点A，B的坐标，再利用中点坐标公式求【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数k的值，进而求出直线的方出线段AB的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段AB的中垂线的斜率，再利用点斜式方程求出线段AB的中垂线方程。程，再利用两直线联立求交点的方法，进而求出两直线的交点坐标。7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由已知，①【解析】【解答】当时，曲线为，与直线方程联立得：由椭圆定义知，解得：，此时直线与曲线有两个交点，②当时，曲线为，与直线方程联立得：由余弦定理得，③解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点由①②③得出。综上所述：直线与曲线有三个交点故答案为：D.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答从而得出，②，由余弦定理得案。，③，由①②③得出的值。5.【答案】C8.【答案】B【解析】【解答】因为空间向量，，，【解析】【解答】由双曲线，可得，，因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量是。过点作轴，垂足为，故答案为：C则，，即，【分析】理由已知条件结合数量积的坐标表示和数量积的定义，再利用向量的模的坐标表示，从而理由向量又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，投影的求解方法，进而求出向量在向量上的投影向量的坐标表示。6．【答案】B代入点的坐标，可得，【解析】【解答】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，整理得，即，所以双曲线的离心率为。所以，即，所以。故答案为：B.故答案为：B\n【分析】设，由已知结合重心的定义，进而求出三角形△的重心坐标为，再利用三【分析】由双曲线，可得，再利用角形的重心在上，再结合代入法得出m-n的值，进而求出顶点C可以的坐标。，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函1.【答案】A,B,D数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且【解析】【解答】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进则，而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。对于A，，异面直线与所成的角，9.【答案】C,D【解析】【解答】对于，不存在实数，使得，所以与，则，A符合题意；不是共线向量，所以错误；对于B，，则，，即直线与垂直，B符合题意；对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所对于C，，则，，即直线与不平行，C以错误；不正确；对于，向量，所以，所以C符合题意；对于D，，显然，而点直线，则，而平面，平面，于是得出直线平面，D符合题意.对于，设平面的法向量是，因为，所故答案为：ABD以，即，令，则，所以D符合题意．故答案为：CD.【分析】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求【分析】根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入出异面直线与所成的角；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。标表示，进而证出直线与垂直；利用已知条件结合向量共线的坐标表示，再结合两向量垂直数量积10.【答案】A,D为0的等价关系，从而利用数量积的坐标表示，进而推出直线与不平行；再利用已知条件结合向量【解析】【解答】设，由已知△重心坐标为，共线的坐标表示，进而推出，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面，进又重心在上，则，可得，而找出结论正确的选项。∴A、D符合要求.12.【答案】A,C,D故答案为：AD【解析】【解答】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知.\nA中，，，正确；c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．B中，，不存在90°的，错误；14.【答案】C中，面积，正确；【解析】【解答】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所D中，周长，正确.以最短弦长为故答案为：ACD【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3，1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出.【分析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知，再利用已知条件结合a，15.【答案】b的关系式和椭圆中a，b，c三者的关系式，得出b与c的关系式，从而得出，进【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故而得出满足的点P有两个；再利用已知条件结合a，b的关系式，得出两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，，不存在90°的；再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法和由，则，所以.设平面的法向量为几何法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，得出三角形的面积的最大值；再利用已知条件结合三角形，则，令可得平面的法向量坐标为，的周长公式和焦距的定义以及椭圆的定义，从而求出三角形的周长小于4a，进而找出说法正确的选于是所求线面角的正弦值为。项。故答案为：。13.【答案】2【解析】【解答】解：∵m2+4＞0【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故∴双曲线的焦点必在x轴上两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐因此a2=m＞0，b2=m2+4标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。∴c2=m+m2+4=m2+m+416.【答案】；∵双曲线的离心率为，【解析】【解答】如图所示：∴，可得c2=5a2，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，所以m2+m+4=5m，解之得m=2P对两个焦点的张角渐渐增大，故答案为：2当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得\n由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，17.【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，可得中，，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，所以，即，用向量表示，。（2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，所以椭圆离心率e的最小值，由，，，y，z的值。解得，，18.【答案】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，圆的圆心，半径，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），，，∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），而当取得最大值时，取得最大值，设异面直线PB与CD所成角为θ，所以当共线时，取得最大值，则cosθ=，所以，所以异面直线PB与CD所成角大小为．。（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），故答案为：，。则，取x=1，得=（1，0，1），【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，点P对两个焦点的张角渐渐增∴点D到平面PBC的距离d=．大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由椭圆上存在一点P，使得【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点，可得在中，，可得中，，再利用正弦函数的图的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出异面直线PB与象的单调性，得出，再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率eCD所成角大小。（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合的最小值；再由结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式得出a，向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求出点D到平面PBC的距离。c的值，再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用椭圆的定义得出的值，从而得19.【答案】（1）因为，AB中点为，出，而当取得最大值时，取得最大值，所以当所以AB中垂线方程为，共线时，取得最大值，进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大即，解方程组得值。\n所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，于是得因此，所求的圆C的方程为．，（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，解得或，此时，符合．因直线与椭圆交于，两点，同理：，②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，因，即，于是得，而又因为，所以，，即，解得，直线方程为，所以.综上，直线l方程为或．【解析】【分析】（1）将直线的一般式方程求出直线AB的斜率，再利用已知条件结合两点中点坐标公式，进【解析】【分析】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，从而求出AB中点坐标，再利用点斜式方程求出直线AB中垂线方程，再结合两直线联立求交点的方法，进而求而求出c的值，再利用点为椭圆的上顶点，且，从而求出b的值，再利用椭圆中a，b，c出圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式，从而求出圆的半径长，进而求出圆C的标准方程。三者的关系式，得出a的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得出y的值，进而求出此时MN的长；当直线l斜率存在时，设方程为，再利用点到直线的距离公式得出圆心到（2）由(1)知，椭圆：，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设直线l的距离，再利用弦长公式得出d的值，进而求出直线的斜率，从而求出直线的方程，进而，再结合韦达定理得出，，再利用弦长公式得出求出满足要求的直线l的方程。，再利用直线与椭圆交于，两点，同理得出20.【答案】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，即c=1，，再利用，得出，而，从而证出因为椭圆的上顶点，且，则，，。所以椭圆的标准方程为.21.【答案】（1）解法一：取的中点，连接，.因为为正三角形，则.由已知，则平面，（2）由(1)知，椭圆：，令消去y得：，所以.①则，设，则有，，因为，，则，所以，从而与互余，所以.②\n结合①②知，平面，所以.【解析】【分析】（1）利用两种方法证明。解法一：取的中点，连接，，再利用三角形解法二：分别取、的中点、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间为正三角形结合三线合一，推出，由已知结合线线垂直证出线面垂直，则直角坐标系.平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以①，再利用，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，，则，再结合两三角形全等对应角相等，则点，，，.所以，从而与互余，所以②，结合①②知，平面从而，，则，，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。解法二：分别取、的中点所以.、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，（2）解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为.再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0零向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表作，垂足为，连结，则，所以.示，从而证出。设（），由余弦定理可得，由等面积可得，（2）利用两种方法求解。解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为，作，垂足为，连结，则，所以，设（），由余弦由相似三角形性质可得.定理可得AE的长，由等面积可得BF的长，由相似三角形性质可得BD的长，在中结合正切函数的在中，.定义得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合商数关系得出的取值范围。解法二：设（），从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量因为，则，所以.的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得平面与面所成的二面角大小的余弦值，再利用解法二：设（），则点，.结合二次函数图象求值域的方法，进而求出的取值范围。设为平面的法向量，由，得，2.【答案】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．取，则，，所以.又由可得，即．又平面的法向量，则又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.．由（1）知，则直线AE的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，，因为，则，所以.\n即点的坐标为．由已知，有．整理得．所以．即直线的斜率为．解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为由（1）知，则直线AE的方程为，即，由解得∴点坐标为，由已知，有，整理得，即．即直线的斜率为．【解析】【分析】（1）设椭圆的离心率为e，由已知结合三角形的面积公式，可得．又由椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式，进而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆的离心率。（2）利用两种方法求解。解法一：依题意，设直线的方程为，从而求出直线的斜率为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再与直线的方程联立求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出m的值，从而求出直线的斜率。解法二：依题意设直线的斜率为k，从而设出直线的方程为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再联立两直线方程求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出直线的斜率。\n高二上学期数学期中考试试卷A．B．C．D．一、单选题10．已知直线和直线，下列说法正确的是（）1.直线的一个方向向量是（）A.当时，A．B．C．D．B.当时，2.过两点的直线的倾斜角为（）C.当时，A．B．C．D．D.直线过定点，直线过定点3．已知向量，且，则（）11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可A．-2B．-C．D．2以是（）4.已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点A．B．2C．D．与共面，则的值为（）12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上A．-2B．-1C．1D．2的动点，则下列结论正确的是（）5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（）A.点到直线的距离为A．B．C．D．6.过点作圆的切线，则切线的长为（）B.与平面所成角为A．B．C．D．C．面7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同D．三棱柱的外接球半径为一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三、填空题的顶点，则欧拉线的方程为（）13．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A．B．14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程C．D．为．8．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）15．已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量．A．B．C．D．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程二、多选题是，面积的最大值是.9．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向四、解答题量，则下列各点在平面内的是（）\n17.已知空间三点，设，.【解析】【解答】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，（1）若向量与互相垂直，求的值；又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，（2）求向量在向量上的投影向量.故答案为：A.18.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.（1）证明：平面；2.【答案】C（2）求点到平面的距离.【解析】【解答】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB19.已知的顶点.的倾斜角为.（1）求直线的方程；故答案为：C.（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解.20.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.3.【答案】A（1）求圆的方程；【解析】【解答】由题意可得，（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.解得，21.在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.所以.（1）求的取值范围；故答案为：A（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面【分析】根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解，即可得答案.与平面夹角的大小.4.【答案】B22.已知在中，点，，点在直线下方，且.【解析】【解答】由点与共面，且，（1）求的外接圆的方程；可得，解得：，（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定故答案为：B.点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可求出的值.答案解析部分5.【答案】C1.【答案】A\n【解析】【解答】异面直线的方向向量分别是所以欧拉线的方程为.故答案为：D.，【分析】由题可得的重心，再由欧拉线的定义可得即是AB的中垂线，求出AB的中点D的坐标，异面直线所成角为范围为，夹角的大小是再求直线AB的斜率，可得AB的中垂线的方程，即求出欧拉线的直线方程.故答案为：C8．【答案】B【分析】根据题意，由空间向量数量积公式求出的值，进而求出的大小，由异面直线所成【解析】【解答】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：角的定义分析可得答案.可表示点与点连线斜率6.【答案】C当直线与圆相切时：设直线方程为，即【解析】【解答】由可得，所以圆心，半径，圆心到直线距离，则，解得或，所以切线的长为.故答案为：C.又，所以，当直线经过点时，，【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心和半径，求出圆心到点P的距离，根据圆的半径，即可求出切线长.综上7．【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】由题可得的重心为，【分析】由条件可得点P(x，y)是以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆上的点，而表示点直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为与点连线斜率，由几何意义可得答案.，即，9.【答案】A,C直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为【解析】【解答】设平面内点的坐标为，，即，则，联立可得垂心坐标为，平面的一个法向量是，所以，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，即.\n故答案为：AC故答案为：BCD【分析】设平面内点的坐标为，利用，得到，即可得到答案.【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，求解可得答案.10.【答案】A,C,D12.【答案】B,C【解析】【解答】对A和B，如果，则和的斜率相等，时，【解析】【解答】对A，取中点，则，，则，解得或.当时，，，两直线既不平行也不垂直.，当时，，，A对.则，则点到的距离为，设点到直线的距离为，当时，，，B不符合题意.则，解得，A不符合题意；对C，当时，，，，所以，C对.对B，平面即平面，设直线与交于，连接，可得，对D，转化为斜截式为，即，所以过定点因为平面ABCD，则，所以平面，则即为与平面.同理，，时转化为斜截式为，即所成角，则，则，B符合题意；，过定点；时，为，也过定点，D对.对C，连接交于E，连接，，四边形为平行四故答案为：ACD.边形，，因为为中点，，则四边形为【分析】对A中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相等，与常数项之比不平行四边形，，因为在平面外，平面，所以平面等，来判断两条直线是否平行；对B中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相，C符合题意；等，与常数项之比不等，来判断两条直线是否平行；C中a的值代入，x，y的系数相乘，再相加是否为0来判断命题的真假；D中，将直线整理可知两条直线恒过的定点的坐标.对D，三棱柱的外接球等价于正方体的外接球，球半径为，D不符合题1.【答案】B,C,D意.【解析】【解答】因为圆心到直线的距离故答案为：BC.，【分析】对于A选项，点到直线的距离为，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线因为上恰有相异两点到直线的距离等于，与交于，连接，即为与平面所成角，再结合几何关系求解，即，即可；对于C选项，连接交于E，连接，证明即可判断；对于D选项，转化解得，\n为正方体的外接球求解即可.程；当直线过原点时，直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程，综合可得答案.13．【答案】相交15．【答案】【解析】【解答】由圆与圆，【解析】【解答】解：如图：分别得到标准方程和，.则两圆坐标分别为和，半径分别为，故答案为：.则两圆心之间的距离，【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于的表达式.则，即，故两圆的位置关系是相交，16.【答案】；3故答案为相交.【解析】【解答】设，由题，即，整理得，以OA为底，且到OA的最大距离为半径2，【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径R与r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.所以面积的最大值是.14．【答案】3x-2y=0或x+2y-8=0故答案为：；3.【解析】【解答】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，【分析】设M(x，y)，由条件列出方程，化简即可求出动点的轨迹方程；由到OA的最大距离为半径2，可得面积的最大值，从而可计算三角形面积.又直线l过点，故直线l的斜率，17.【答案】（1）解：由已知得，故直线l的方程为，即；.当时，直线l的方程为，即，所以，∴直线l过点，∴，.因为与互相垂直，所以∴，，∴直线l的方程为．即，解得或.综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-（2）解：因为，，，8=0．故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0.所以，【分析】当直线不过原点时，设直线l的方程为，把点代入求得a的值，即可求得直线l方\n即中线所在直线的方程为，所以向量在向量上的投影向量.设顶点，所以，【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量与的坐标，由向量垂直的充要条件，列式求解即可；因为，点到直线的距离，(2)利用向量投影的概念和公式求解计算即可.因为，所以，18.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．整理得，所以或，又因为分别为，的中点，，所以.即或.，又因为，所以.由得，此时顶点；由于，所以平面（2）解：由（1）知，，．又平面，由得，此时顶点，所以平面．因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系所以顶点的坐标为或.．【解析】【分析】(1)求出直线AB的斜率，代入点斜式方程求出直线AB的方程即可；(2)设出C的坐标，联立方程组，求出C的坐标即可.由题意得，，，，所以，，20.【答案】（1）解：设圆的方程为，因为到直线距离为.，设平面的法向量为，所以，从而，令，则所以，解得，所以圆的方程为；，，所以平面的法向量.所以点到平面的距离（2）解：因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.．中点坐标为，，【解析】【分析】(1)只要证明AC垂直于平面BEF内两条相交直线即可；(2)用向量数量积计算点到平面的距离.所以以与为直径端点圆的方程为.19.【答案】（1）解：直线的方程为，即；联立方程组，两式相减得.（2）解：边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得，\n所以直线的方程为.【解析】【分析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立的空间直角坐标系，设，求出，通过数量积为0，求解的【解析】【分析】（1）由圆心在x轴的正半轴上，设圆的方程为，由圆C被直线x-取值范围；y=0截得的弦长为，知圆心到直线距离为，求出a，由此能求出圆的方程；(2)当时，解得或，即满足条件的点E有两个，求出（2）求出以与为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程.求出平面和平面的的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面夹角的大21.【答案】（1）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建小.立如图所示的空间直角坐标系.2.【答案】（1）解：的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，所以该圆设，则，所以.的半径.因为，所以.圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.因为，所以，即.所以外接圆的方程为.（2）解：当时，，解得或.（2）解：设过点的直线方程为.①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.不妨取，②当时，由得，设，，所以，，设平面的法向量为，则，.由，得，则，即，整理得则，令，则，所以..设平面的一个法向量为，所以对恒成立，即恒成立，故，即则，令，则，所以..综上所述：存在点符合题意.所以，得.【解析】【分析】（1）由已知条件可得该圆的半径，圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标，进而可得外接圆的方程；所以平面与平面的夹角为.\n（2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标.\n高二上学期数学期中考试试卷A．78B．72C．68D．62二、多选题一、单选题9．下列说法正确的是（）1.已知向量，，若，则（）A.任意两个空间向量都共面A.2B．C．-2D．B.若向量，共线，则与所在直线平行2.已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）C.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为A．B．D.已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得C．或D．不存在3.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为4.如图，在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点G满足，若，，，则（）B.点关于直线的对称点为A.B．C.圆与圆可能内含、内切或相交C．D．D.若圆与圆相离，则11.平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（）5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.点P到圆O上的点的距离最大值为A．B．B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为C．D．C.过点P与圆O相切的直线方程为6.已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1A．B．C．±1D．112.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，平面平面，A．当时，，则直线与直线所成角的余弦值为（）B.当时，平面A．B．C．D．C.当，时，三棱锥的体积为定值8.已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两D.当，时，与平面所成角的正切值为三、填空题点，则的值为（）\n（1）证明：平面平面；13.过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求m的值为．的长度，若不存在，说明理由．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为．22.已知圆，点，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于15.一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．，两点．16.如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为（1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；cm．（2）当时，求点Q的坐标；四、解答题17.如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．（3）求面积的最大值．（1）若，，求证：；答案解析部分（2）设，O为空间中任意一点，求证：．1.【答案】D18.已知圆，圆．【解析】【解答】，则，即，（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．故，解得，故.19.如图，平行六面体中，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；故答案为：D.（2）若四边形和均为正方形，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案.20.在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．2.【答案】C（1）求线段的中点C的轨迹方程；【解析】【解答】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；（2）若直线．当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；综上所述，或.②求直线l被曲线C截得的最短弦长．故答案为：C21.如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面．【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。\n3.【答案】B的距离为1，计算即可得答案.【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的7．【答案】C象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。【解析】【解答】将平移到下图中的位置，再连接，则的大小即为直线【分析】本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。与直线所成的角.4.【答案】B由，设，则可得，，【解析】【解答】由空间的向量的运算法则，在中，由余弦定理有.可得故答案为：C..故答案为：B.【分析】将平移到下图中的位置，连接，可得的大小即为直线与直线所成的角，设，利用余弦定理可求得直线与直线所成角的余弦值。【分析】利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案.8.【答案】D5.【答案】A【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系【解析】【解答】根据题意，，根据题意，图中各点的坐标分别表示为在上的投影向量可为设点A的坐标为，则.故答案为：A.故答案为：D.【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案。9.【答案】A,C6.【答案】A【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个【解析】【解答】由圆可得圆心，半径，平面上的，所以是共面的，A符合题意；因为圆上有三个点到直线的距离等于1，对于B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，B不正确；所以圆心到直线的距离，对于C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，C符合题意；可得：，对于D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，故答案为：A.使得，D不正确.故答案为：AC.【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线\n【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。意；10.【答案】B,C当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，A不符合题意；到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.C不正确；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得对于D，由题意知点，联立得，，故对称的点的坐标为，B符合题意；设，则，对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意；所以对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，.D符合题意.因为，所以或，所以或，D不符合题意.故答案为：ABD故答案为：BC【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为，依题意得到方程组，解得a，b，即点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。为k，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选1.【答案】A,B,D项C；设A，B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为及两根之积代入可得为定值，即可判断D.，A符合题意；12.【答案】B,C,D对于B，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长【解析】【解答】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，公式知，弦长为，B符合题意；则，，，，，，，对于C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题，则，，；\n对于A，设，则，面，由面面平行的性质可得平面，可判断B选项的正误；当，时，利用点又，，不恒成立，A不符合题意；到面的向量求法可求得点到平面的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判对于B，当时，四点共面，即平面；断C选项的正误；当，时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D，平面，平面，平面，选项的正误。13.【答案】-2同理可得：平面，又，平面，【解析】【解答】由题知，，设直线的方向向量为，则平面平面，平面，B符合题意；，对于C，设，则，即，得，解得或，设，则，，，，当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.，；故答案为：-2平面，平面的一个法向量为，【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为，得，利用坐标表示可得点到平面的距离，又，，求解可得m的值，检验可得实数m的值。，即三棱锥的体积为定值，C符合题意；14.【答案】对于D，当，时，，设，则，，，，【解析】【解答】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，平面，平面，平面，平面，平面的一个法向量，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，设与平面所成角为，则，，，，，即与平面所成角的正切值为，D符合题意.设平面的法向量，故答案为：BCD.则，令，解得：，，，【分析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，当点到平面的距离，时，得，可判断A选项的正误；当时，四点共\n即直线到平面的距离.【分析】设与的交点为N，过点作于M，连接AN，由等边三角形求出，由勾股定理求得CM的值，进而求出旋转后灯管升高的高度.故答案为：.17.【答案】（1）解：因为，，所以【分析】根据平面，直线到平面的距离转化为点到平面的距离，，利用向量法即可求出点到平面的距离，进而求出直线到平面的距离.所以．（2）解：因为分别是，，，的中点，15.【答案】所以【解析】【解答】由可得，即圆心为，半径所以.为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量减法法则及向量数量积的运算，即可证得；（2）利用向量加法的平行四边形法则可得，可证得结论。即，由反射光线与圆相交可得，，18.【答案】（1）解：圆的方程配方可得，圆心，半径，化简得，即.圆的方程配方可得，圆心，半径，故答案为：所以两圆心的距离，，，【分析】求出圆心与半径，关于轴的对称点的坐标，设出过A’与圆相交的直线方程，利用所以，圆心到直线的距离小于半径，可得，求解可得直线的斜率k的取值范围.所以，圆与圆相交．16.【答案】20将方程与相减，【解析】【解答】解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所得：，示：在中，，，所以，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；在中，，由勾股定理得，即，所以（2）解：由（1）可得，代入圆的方程，，又，所以旋转后灯管升高的高度为，，故答案为：20.\n以过O点且平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，因为所以，如图所示：所以，，则，，，，，即四边形的面积为8．【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距大于两圆半径差的绝对值且所以，，小于两圆半径和可得两圆相交，直接联立两圆方程，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程；设平面的一个法向量，则有（2）由（1）可得点P的坐标，代入圆的方程可求得，结合根据勾股定理可得，进而求出四边形的面积．，即，19.【答案】（1）证明：取的中点G，连接，，如图所示：因为M为的中点，所以且，取，则，，则，平面的一个法向量，又因为N为的中点，所以且，设平面与平面夹角为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以，所以平面．即平面与平面夹角的余弦值为．（2）解：因为平行六面体中，四边形和均为正方形，【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，推出四边形为平行四边形，得所以，，，根据线面平行的判定定理可证得平面；又因为，所以平面，（2）由已知可知四边形和均为正方形，推出平面，过做过做交于O，交于O，推出平面，可得为与平面所成的因为平面，所以，角，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，以过O点且平行于的直线因为，所以平面.所以为与平面所成的角，即，为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面与平面夹角的余弦值．设，则，20．【答案】（1）解：设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，在中，，．即的斜边上的中线长，因为，所以，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，\n所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，，，所以点C的轨迹方程是．轴平面，平面的一个法向量，（2）解：直线可整理为，设直线与平面所成的角为，则，方程组的解为，，当时，取得最小值，取得最大值，所以直线恒过定点，将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，又在上单调递增，当时，取得最大值，所以直线与曲线C恒有两个不同交点．此时，即的长度为．由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，【解析】【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；又所以此时弦长为，（2）以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求所以直线被曲线C截得的最短弦长为．出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值，进而求【解析】【分析】（1）由已知条件可得点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得线段的中点C的出的长度。轨迹方程；2.【答案】（1）解：由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，（2）①求出直线经过的定点，然后把定点代入圆C的方程，可得定点在圆C的内部，即可证得直线整理得，与曲线C恒有两个不同交点；②由①知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用勾股定理即可求出直线被曲线C截得的因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，最短弦长。21.【答案】（1）证明：在菱形中，，为的中点，，又因为，解得或，平面平面，且平面平面，平面，所以，直线的方程为或．平面，又平面，平面平面．（2）解：当时，，，（2）解：由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为因为直线，都是圆C的切线，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以直线的方程为；则，，，，，，，设，\n此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即因为，所以，所以，所以，，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），的最大值为，则直线，把代入，解得，所以面积的最大值为．所以点Q的坐标为．【解析】【分析】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，再根（3）解：因为为定值，且M，N在x轴上．据点到直线的距离公式和勾股定理即可求出直线的方程；所以要求面积的最大值，即求点Q的纵坐标的绝对值的最大值，（2）由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，再根据直线与圆相切的位设点Q的纵坐标为，置关系结合点到直线的距离公式即可求出点Q的坐标；由（2）知，当直线的斜率不存在时，，（3）由题意可知为定值，且M，N在x轴上，所以要求面积的最大值，即求点Q的根据对称性，当直线的斜率不存在时，；纵坐标的绝对值的最大值，由此分直线和的斜率不存在和直线，的斜率都存在两种所以当直线，的斜率都存在时，情况，求出点Q的纵坐标为，根据面积公式列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。设直线的斜率为，则，即，因为与圆C相切，所以有，得或（舍去）．所以．同理可得．由，解得．又，，\n高二上学期数学期中考试试卷A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多选题一、单选题9．已知直线，则下述正确的是（）1．直线的倾斜角()A.直线l的斜率可以等于A．30°B．60°C．120°D．150°B.直线l的斜率有可能不存在2．已知直线与直线平行，则实数的值是（）C.直线l可能过点A．1B．-2C．1或-2D．不存在D.若直线l的横纵截距相等，则3.已知向量，，且，其中、，则（）10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是A．4B．-4C．2D．-2（）4.圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为A．B．（）A．或B．或C．D．C．或D．或2＋y2－2x＝0和圆O226．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余11．圆O1：x2：x＋y＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0弦值为（）B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0A．B．C．D．C.公共弦AB的长为7.若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1A．B．12.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则C．D．称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A.距离坐标为（0，0）的点有1个8.已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足B.距离坐标为（0，1）的点有2个，则直线与圆的位置关系为（）.\nC.距离坐标为（1，2）的点有4个（2）求点到平面的距离；D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上（3）求二面角的余弦值．三、填空题21.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为实数a的值为.轴建立如图所示的平面直角坐标系.14．已知实数，满足方程，则的最大值为.（1）求直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.22.直线经过定点，点在直线上，且.16.已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求为.四、解答题的最小值.17.若直线的方程为.答案解析部分（1）若直线与直线垂直，求的值；1.【答案】A（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】【解答】可得直线的斜率为，18.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.由斜率和倾斜角的关系可得，又∵（1）试用向量，，表示向量；∴（2）若，，，求的值.故答案为：A.19.已知以点为圆心的圆与，过点的动直线与圆相交于，两【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆2.【答案】C的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问【解析】【解答】因为直线，互相平行题．则两直线的斜率都应存在，（1）求圆的方程；所以由两直线平行得到20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，是上一点，且．解得或，（1）证明：面；\n故答案为：C答案.6.【答案】C【分析】利用直线平行的性质可得，求解可得实数的值。【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3.【答案】B，所以，【解析】【解答】向量，，且，，解得因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，，故答案为：C.因此，.【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。故答案为：B.7.【答案】C【解析】【解答】由得，【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m=-6，n=2，由此能求出m+n.所以圆的圆心为，半径为，4.【答案】C因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，【解析】【解答】圆化为标准方程为：不妨设直线的方程为：，即圆化为标准方程为：则有，即，整理得，解得，所以两圆的圆心距为：两圆相交记的倾斜角为，则，故答案为：C又，所以.【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.5.【答案】A故答案为：C.【解析】【解答】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线倾斜角的取值范围.根据点，到直线的距离相等，得，解得8.【答案】A或，【解析】【解答】由得，故直线的方程为或.，故答案为：A.因为，，所以，【分析】设出的斜率，用点斜式写出直线的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得\n对于B，圆的圆心为，，所以圆心到直线的距离，故相切，则线段AB中垂线斜率为，故答案为：A.即线段AB中垂线方程为：，整理可得，B符合题意；【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.对于C，圆，圆心到的距离为9.【答案】B,D，半径【解析】【解答】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A不符合题意；B符合题意；，不在直线上，C不符合题意；所以，C不正确；时，纵截距不存在，时，令得，令，，由对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线得，D符合题意．故答案为：BD．AB距离的最大值为，【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距.D符合题意.10.【答案】A,C故答案为：ABD【解析】【解答】由图A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，A能成立；【分析】根据题意把两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断出选项A正确；求出两圆圆心坐由图B可得直线l1，的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断出选项B正确；根据题意求出圆心O1的距离，再由点到直矛盾，B不能成立；线AB的距离公式计算出d的值，进而求出d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公由图C可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，C共弦长，由此即可判断出选项C错误，D.正确；由此即可得出答案。能成立；12.【答案】A,B,C由图D可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，矛【解析】【解答】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离盾，D不能成立.坐标为（0，0)的点只有1个，A符合题意，故答案为：AC对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B符合题意，【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出答案.1.【答案】A,B,D对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，【解析】【解答】对于A，由圆与圆的交点为A，B，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C符合题意，两式作差可得，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D不符合题意，即公共弦AB所在直线方程为，A符合题意；\n故答案为：ABC作交于点，由，，平面所以平面，所以【分析】根据新定义逐项进行分析，可得答案。13.【答案】，所以【解析】【解答】由题意，故答案为：所以，解得.【分析】证明平面，所以，求得故答案为：，可得求点A1到直线DB的距离.【分析】由题意得，利用平面向量数量积的运算即可求出实数a的值。16．【答案】14．【答案】【解析】【解答】【解析】【解答】由，所以，圆心为，当且仅当时等号成立.圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，由在圆外知的取值范围是，所以能成立，所以的最大值为故的最小值为.故答案为：由知，萌点的轨迹为圆，方程为.故答案为：【分析】把已知圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，由圆心到的距离为2，可得圆上的点到的最大距离，进而求出的最大值。【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可得圆的萌点的轨迹方程.15．【答案】17．【答案】（1）解：直线与直线垂直，【解析】【解答】解：在菱形中，，，，解得．所以是边长为2的等边三角形，（2）解：当时，直线化为：．不满足题意．又因为为的中点，所以，又面面，面面，当时，可得直线与坐标轴的交点，．平面，所以平面，\n直线在两轴上的截距相等，，解得：．记线段的中点为，依据可得该直线的方程为：，．且，，则【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，所以，解得，直线的方程为．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．．18.【答案】（1），若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．故综上直线的方程为或．∵点E为AD的中点，【解析】【分析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；(2)由已知弦长求出点A到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解可故得直线的方程.（2）由题意得20.【答案】（1）因为平面，平面，所以，故又因为底面是矩形，所以，故又，所以面；【解析】【分析】(1)根据向量的运算性质求出即可；（2）如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系：(2)根据向量的运算性质代入计算即可.因为，，所以，19.【答案】（1）解：选①设，所以，，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离又因为，所以，所以，所以，即，所以圆的方程为设平面的一个法向量为，因为，．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，又，所以，取，所以，所以圆的方程为．记点到平面的距离为，选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则所以；，解得，或，舍去．（3）由（2）可知：，所以圆的方程为．（2）当时，求直线的方所以，程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，\n所以，所以，取，所以，所以，又，所以，取，所以，所以，结合图形可知二面角为锐二面角，解得，所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面.ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面所以的长度为．PAD；【解析】【分析】(1)求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；(2)由(1)知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，(2)利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度.进一步得到M为PD的中.点，再由等体积法求M到平面PAC的距离；2.【答案】（1）解：，因为，(3)以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的则，所以，余弦值可得二面角B-AM-C的余弦值.（2）解：圆的方程为：，圆心；设关于直的对21.【答案】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；称的为，则，可得，所以，（2）设，的方程为，连接线段交圆于点，交直线于点，所以点到直线的距离为：则，，当且仅当，，，共线时，达到最小值，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以所以，．【解析】【分析】（1），因为，转化为坐标表示即可设，，，，求解；（2）圆心；求出关于直的对称的点，所以为的中点，在上；，再减去圆的半径即可求解.\n高二上学期数学期中考试试卷A．+，-2，B．-，+3，2一、单选题C．，2，-D．+，-，1.直线的倾斜角为（）10.下列说法正确的是（）A．B．C．D．A.过，两点的直线方程为2.在空间直角坐标系中，，，则向量（）A．B．B.点关于直线的对称点为C．D．C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是23.直线在y轴上的截距为（）D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为A．B．3C．-3D．11.若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）4.已知向量，向量，且，则（）A.3B．C．1D．A．1B．2C．3D．45．两平行直线与之间的距离为（）12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．A．AC1=66．已知，，，若，，共面，则z的值是（）B．AC1⊥DBA．-5B．5C．-9D．9C．向量与的夹角是60°7.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则D．BD1与AC所成角的余弦值为＝（）三、填空题A.B．13.已知直线与直线垂直，则C．D．14.直线恒过定点为.8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值15.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为．范围是（）16.已知点在曲线上运动，则的取值范围为．A．B．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：C．D．（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；二、多选题（Ⅱ）求△ABC的面积．9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）\n18.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.【解析】【解答】因为，，（1）求圆C的标准方程；所以向量。（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.故答案为：B.19.如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且．（1）证明：平面；【分析】利用已知条件结合三角形法则，从而结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标。（2）求点到平面的距离．3.【答案】D20.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，【解析】【解答】在令，得，且．．故答案为：D．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【分析】通过x=0，求出y的值，即可得到结论．21.已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线4.【答案】C所在直线的方程为.【解析】【解答】因为，则，解得，，因此，。（1）求点坐标；故答案为：C.（2）求边所在的直线方程.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示求出的值，进而求出的值。（1）求圆的方程；5.【答案】B（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，【解析】【解答】化简直线可得：，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．根据平行线间距离公式知。答案解析部分1.【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】因为，即，设直线的倾斜角为，则【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式，进而求出两平行直线与之间，因为，故。的距离。6.【答案】D故答案为：D.【解析】【解答】∵，，，，，共面，【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的∴，即，斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。2.【答案】B\n【分析】利用直线分别与轴，轴交于，两点，从而求出点A，B的坐标，再利用两点求距离公式求出AB的长，再利用点P在圆上，从而求出圆心坐标，再利用点到直线的距离∴，解得。公式得出圆心到直线距离，从而求出点P到直线的距离的取值范围，再结合三角形面积公式得出三角形面积的取值范围。故答案为：D.9．【答案】A,C【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合【解析】【解答】A.设+=x（-2）+y=，则无解，所以+，-2，向量的坐标运算，进而解方程组求出x，y，z的值。不共面，故正确；7.【答案】C【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，B.设-=x（+3）+2y=，则，解得，所以-，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得。+3，2共面，故错误；故答案为：CC.设=2x）+y=，则，无解，所以，2，-不共面，故正【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中确；点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。D.设+=x（-）+y=，则，解得，所以+，-，共8.【答案】A面，故错误；【解析】【解答】直线分别与轴，轴交于，两点，故答案为：AC，则，【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法，从而找出能构成空间的一个基底的一组向量。点P在圆上，10.【答案】B,C圆心为（2，0），则圆心到直线距离，【解析】【解答】对于A：当，时，过，两点的直线方程为故点P到直线的距离的范围为。，A不正确；则。对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关故答案为：A.\n于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B符合题意；=·-·+-·+·-=0，所以B符合题意；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.面积是，所以C符合题意；因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；因为=+-=+，故答案为：BC.所以||==6，||==6，【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截·=(+-)·(+)=36，距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。所以cos<>===，所以D不正确.1.【答案】B,C,D【解析】【解答】点在直线上，，则，故答案为：：AB.由图可知，中，，即点P在圆上，【分析】以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，再利用数量积的定义得出·故联立方程，得，有判别式，=·=·=18，再利用平行四边形法则和数量积求向量的模的公式，得出||的值；再利用数量即，解得，A不符合题意，BCD符合题意.积的运算法则结合数量积的定义，得出·=0，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出故答案为：BCD.AC1⊥DB；再利用三角形△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°，再由=，且向量与的夹角是120°，从而求出与的夹角；再利用平面向量基本定理结合数量积求向量的模的公式，得出||和【分析】利用点在直线上，，则，在中，|的值，再利用数量积的运算法则求出数量积的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出BD1与AC，即点P在圆上，再联立直线与圆的方程结合判别式法得出实数m的取值范围，所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。进而求出实数m可以取的值。13.【答案】12.【答案】A,B【解析】【解答】由题设知：，解得。【解析】【解答】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故答案为：。所以·=·=·=6×6×cos60°=18，【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，14.【答案】则||=|++|=6，所以A符合题意；【解析】【解答】直线方程可化为，由，得，·=(++)·(-)所以直线过定点。\n故答案为：。值，当时，得出，从而求出的取值范围。17．【答案】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．【分析】将直线方程化为，再利用方程组求出直线恒过的定点坐标。∴直线AD的方程为，15.【答案】整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），【解析】【解答】因为，，则，∴|BC|=．点到平面的距离为。又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，故答案为：。∴△ABC的面积为=10．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出线段BC的中点D的坐标，再利用两点式求出直线【分析】利用已知条件和向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用法向量的定义结合数量积求出点到AD的方程，再转化为直线AD的一般式方程。平面的距离。（2）利用B（-2，3），C（0，-3），再利用两点距离公式得出BC的长，再利用直线BC的方程为3x+y+3=0结合点到直线的距离公式，得出点A到直线BC的距离，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面16.【答案】积。【解析】【解答】变形得，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，直线方程为18．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，即，因此，（由图舍去），时，．直线与圆相切，．圆的标准方程为：，（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，所以的取值范围是。即：，，又，故答案为：。．解得：．直线的方程为：．【分析】将变形得出，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，因为点②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，从而设出直满足条件．线方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式得出k的\n综上所述的方程为：或因为，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距所以离，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程。方法二：在平行四边形中，易得，（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再利用弦长公式得出直线的斜率，从而求出由余弦定理得，，直线的方程。因为平面，所以有，，19．【答案】（1）设，，．所以，，由题知：，所以，又所以．故．方法三：在平行四边形中，易得，，故．平面，所以有，，又．，，故．所以，又因为平面，平面，且，所以平面．（2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为：所以，．（2）解：方法一：由（1）得，设为平面的一个法向量，所以，即，可取，【解析】【分析】（1）设，，，利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，得出，，再利用三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定同理，设为平面的一个法向量，理得出，再利用数量积的运算法则结合数量积定义，从而推出，再利用数量所以，即，积为0两向量垂直的等价关系，从而证出，同理得出，再利用线线垂直证出可取，线面垂直，从而证出平面。（2）由（1）结合数量积求向量的模的公式，从而得出点到平面的距离。所以，20.【答案】（1）证明：方法一：由得，，所以，由图可知，二面角的平面角是钝角，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，二面角的余弦值所以，，，，方法二：分别取，的中点，，连接，，，所以，，\n明PA⊥PC；由（1）知，，所以，，(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量，即可求得答案；由，，，知，方法二：(1)根据题意，求得：，即可证明PA⊥PC；又，分别为，的中点，所以，即，(2)构造出二面角的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值；因为，分别为平面与平面内的直线，方法三：利用向量法，分别表示出，因此可得，因此可得PA⊥PC；且它们的交点在直线上，所以为二面角的平面角，(2)根据几何关系，二面角的大小等于，根据向量的运算，即可求得二面角因为，所以，的余弦值.由（1）知，平面，即，21.【答案】（1）解：由题意可知，点在直线上，设点，所以，线段的中点坐标为，由图可知，二面角的平面角是钝角，由题意可知，点在直线上，则，所以，二面角的余弦值．解得，则，所以，点的坐标为方法三：由，得，所以，（2）解：设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，由（1）可知，平面，又面，所以，由四边形为平行四边形，所以，所以，由题意可得，解得，即点，取的中点，连接，，则，所以，所以，直线的斜率为，由且，得二面角的大小等于，所以，直线的方程为，即所以，，【解析】【分析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数所以，的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.又，2.【答案】（1）因为圆心在直线上，所以，二面角的余弦值．设圆心坐标为．【解析】【分析】方法一：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求得由，即可证\n又因为圆经过坐标原点和点，用圆经过坐标原点和点，再利用圆的半径长相等，所以，再利用两点距离公式得出所以，即，解得：a的值，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径长，从而求出圆C的标准方程。．所以圆心为．半径为．（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为，设过的与圆相切的直所以圆的方程为：．线斜率为，则切线方程为：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到切线的距离（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不，整理结合韦达定理得出，，记直线的斜率为，直线的斜率为，为．设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．从而而得出直线：和直线：，令，得，故圆心到切线的距离．，再利用两点距离公式得出，再利用三角形的面积公式得出整理得：．故：，，再结合换元法，令，则，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求．不妨记直线出三角形面积的取值范围，进而求出三角形面积的最小值。的斜率为，直线的斜率为．所以有：，：，令得，．所以：．．令，则．．所以．．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，结合代入法，从而设圆心坐标为，再利
简介：高二上学期数学期中考试试卷9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（）一、单选题A．与是共线向量1.若直线的倾斜角为，则等于（）B.与共线的单位向量是A．2B．1C．-2D．-1C.与夹角的余弦值是2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（）A．0B．C．0或-D．0或D.平面的一个法向量是3.直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（）10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已A.B．C．D．知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）4.直线与曲线（）A．B．C．D．A.没有交点B．只有一个交点11.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是（）C．有两个交点D．有三个交点A.异面直线与所成的角为5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）B.直线与垂直A．B．C．D．C.直线与平行6.已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（）D.直线平面A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0C．D．12.椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）7.设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值A．，满足的点P有两个为（）A．8B．10C．12D．15B．，满足的点P有四个8.已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点C．的面积的最大值在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（）D．的周长小于三、填空题A．B．2C．3D．413.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．二、多选题 14.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面15.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，积为．是的中点，则与平面所成角的正弦值为.（1）求椭圆的离心率；16.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．C的离心率的最小值为．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的答案解析部分离心率取得最小值时，的最大值是．1.【答案】B四、解答题【解析】【解答】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得。17.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．故答案为：B.（1）用向量表示，；【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再结合两点求斜率（2）若，求实数的值．公式，进而求出实数a的值。18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面2.【答案】CABCD，AB=AP=1，AD=3．【解析】【解答】由题意得出，解得或（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；。（2）求点D到平面PBC的距离．故答案为：C．19.已知圆C经过和两点，圆心在直线上．（1）求圆C的方程．【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的坐标表示，进而求出实数的值。（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．3.【答案】B20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且【解析】【解答】由直线与直线互相垂直，．可得，即，（1）求椭圆的标准方程；所以直线的方程为：；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．由，21.如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）.得它们的交点坐标为。（1）若为的中点，证明：；故答案为：B.（2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围. 【分析】理由已知条件结合直线与圆联立求交点的方法，得出两交点A，B的坐标，再利用中点坐标公式求【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数k的值，进而求出直线的方出线段AB的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段AB的中垂线的斜率，再利用点斜式方程求出线段AB的中垂线方程。程，再利用两直线联立求交点的方法，进而求出两直线的交点坐标。7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由已知，①【解析】【解答】当时，曲线为，与直线方程联立得：由椭圆定义知，解得：，此时直线与曲线有两个交点，②当时，曲线为，与直线方程联立得：由余弦定理得，③解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点由①②③得出。综上所述：直线与曲线有三个交点故答案为：D.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答从而得出，②，由余弦定理得案。，③，由①②③得出的值。5.【答案】C8.【答案】B【解析】【解答】因为空间向量，，，【解析】【解答】由双曲线，可得，，因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量是。过点作轴，垂足为，故答案为：C则，，即，【分析】理由已知条件结合数量积的坐标表示和数量积的定义，再利用向量的模的坐标表示，从而理由向量又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，投影的求解方法，进而求出向量在向量上的投影向量的坐标表示。6．【答案】B代入点的坐标，可得，【解析】【解答】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，整理得，即，所以双曲线的离心率为。所以，即，所以。故答案为：B.故答案为：B 【分析】设，由已知结合重心的定义，进而求出三角形△的重心坐标为，再利用三【分析】由双曲线，可得，再利用角形的重心在上，再结合代入法得出m-n的值，进而求出顶点C可以的坐标。，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函1.【答案】A,B,D数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且【解析】【解答】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进则，而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。对于A，，异面直线与所成的角，9.【答案】C,D【解析】【解答】对于，不存在实数，使得，所以与，则，A符合题意；不是共线向量，所以错误；对于B，，则，，即直线与垂直，B符合题意；对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所对于C，，则，，即直线与不平行，C以错误；不正确；对于，向量，所以，所以C符合题意；对于D，，显然，而点直线，则，而平面，平面，于是得出直线平面，D符合题意.对于，设平面的法向量是，因为，所故答案为：ABD以，即，令，则，所以D符合题意．故答案为：CD.【分析】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求【分析】根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入出异面直线与所成的角；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。标表示，进而证出直线与垂直；利用已知条件结合向量共线的坐标表示，再结合两向量垂直数量积10.【答案】A,D为0的等价关系，从而利用数量积的坐标表示，进而推出直线与不平行；再利用已知条件结合向量【解析】【解答】设，由已知△重心坐标为，共线的坐标表示，进而推出，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面，进又重心在上，则，可得，而找出结论正确的选项。∴A、D符合要求.12.【答案】A,C,D故答案为：AD【解析】【解答】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. A中，，，正确；c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．B中，，不存在90°的，错误；14.【答案】C中，面积，正确；【解析】【解答】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所D中，周长，正确.以最短弦长为故答案为：ACD【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3，1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出.【分析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知，再利用已知条件结合a，15.【答案】b的关系式和椭圆中a，b，c三者的关系式，得出b与c的关系式，从而得出，进【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故而得出满足的点P有两个；再利用已知条件结合a，b的关系式，得出两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，，不存在90°的；再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法和由，则，所以.设平面的法向量为几何法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，得出三角形的面积的最大值；再利用已知条件结合三角形，则，令可得平面的法向量坐标为，的周长公式和焦距的定义以及椭圆的定义，从而求出三角形的周长小于4a，进而找出说法正确的选于是所求线面角的正弦值为。项。故答案为：。13.【答案】2【解析】【解答】解：∵m2+4＞0【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故∴双曲线的焦点必在x轴上两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐因此a2=m＞0，b2=m2+4标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。∴c2=m+m2+4=m2+m+416.【答案】；∵双曲线的离心率为，【解析】【解答】如图所示：∴，可得c2=5a2，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，所以m2+m+4=5m，解之得m=2P对两个焦点的张角渐渐增大，故答案为：2当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，17.【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，可得中，，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，所以，即，用向量表示，。（2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，所以椭圆离心率e的最小值，由，，，y，z的值。解得，，18.【答案】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，圆的圆心，半径，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），，，∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），而当取得最大值时，取得最大值，设异面直线PB与CD所成角为θ，所以当共线时，取得最大值，则cosθ=，所以，所以异面直线PB与CD所成角大小为．。（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），故答案为：，。则，取x=1，得=（1，0，1），【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，点P对两个焦点的张角渐渐增∴点D到平面PBC的距离d=．大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由椭圆上存在一点P，使得【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点，可得在中，，可得中，，再利用正弦函数的图的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出异面直线PB与象的单调性，得出，再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率eCD所成角大小。（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合的最小值；再由结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式得出a，向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求出点D到平面PBC的距离。c的值，再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用椭圆的定义得出的值，从而得19.【答案】（1）因为，AB中点为，出，而当取得最大值时，取得最大值，所以当所以AB中垂线方程为，共线时，取得最大值，进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大即，解方程组得值。所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，于是得因此，所求的圆C的方程为．，（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，解得或，此时，符合．因直线与椭圆交于，两点，同理：，②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，因，即，于是得，而又因为，所以，，即，解得，直线方程为，所以.综上，直线l方程为或．【解析】【分析】（1）将直线的一般式方程求出直线AB的斜率，再利用已知条件结合两点中点坐标公式，进【解析】【分析】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，从而求出AB中点坐标，再利用点斜式方程求出直线AB中垂线方程，再结合两直线联立求交点的方法，进而求而求出c的值，再利用点为椭圆的上顶点，且，从而求出b的值，再利用椭圆中a，b，c出圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式，从而求出圆的半径长，进而求出圆C的标准方程。三者的关系式，得出a的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得出y的值，进而求出此时MN的长；当直线l斜率存在时，设方程为，再利用点到直线的距离公式得出圆心到（2）由(1)知，椭圆：，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设直线l的距离，再利用弦长公式得出d的值，进而求出直线的斜率，从而求出直线的方程，进而，再结合韦达定理得出，，再利用弦长公式得出求出满足要求的直线l的方程。，再利用直线与椭圆交于，两点，同理得出20.【答案】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，即c=1，，再利用，得出，而，从而证出因为椭圆的上顶点，且，则，，。所以椭圆的标准方程为.21.【答案】（1）解法一：取的中点，连接，.因为为正三角形，则.由已知，则平面，（2）由(1)知，椭圆：，令消去y得：，所以.①则，设，则有，，因为，，则，所以，从而与互余，所以.② 结合①②知，平面，所以.【解析】【分析】（1）利用两种方法证明。解法一：取的中点，连接，，再利用三角形解法二：分别取、的中点、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间为正三角形结合三线合一，推出，由已知结合线线垂直证出线面垂直，则直角坐标系.平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以①，再利用，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，，则，再结合两三角形全等对应角相等，则点，，，.所以，从而与互余，所以②，结合①②知，平面从而，，则，，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。解法二：分别取、的中点所以.、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，（2）解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为.再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0零向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表作，垂足为，连结，则，所以.示，从而证出。设（），由余弦定理可得，由等面积可得，（2）利用两种方法求解。解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为，作，垂足为，连结，则，所以，设（），由余弦由相似三角形性质可得.定理可得AE的长，由等面积可得BF的长，由相似三角形性质可得BD的长，在中结合正切函数的在中，.定义得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合商数关系得出的取值范围。解法二：设（），从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量因为，则，所以.的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得平面与面所成的二面角大小的余弦值，再利用解法二：设（），则点，.结合二次函数图象求值域的方法，进而求出的取值范围。设为平面的法向量，由，得，2.【答案】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．取，则，，所以.又由可得，即．又平面的法向量，则又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.．由（1）知，则直线AE的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，，因为，则，所以. 即点的坐标为．由已知，有．整理得．所以．即直线的斜率为．解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为由（1）知，则直线AE的方程为，即，由解得∴点坐标为，由已知，有，整理得，即．即直线的斜率为．【解析】【分析】（1）设椭圆的离心率为e，由已知结合三角形的面积公式，可得．又由椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式，进而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆的离心率。（2）利用两种方法求解。解法一：依题意，设直线的方程为，从而求出直线的斜率为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再与直线的方程联立求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出m的值，从而求出直线的斜率。解法二：依题意设直线的斜率为k，从而设出直线的方程为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再联立两直线方程求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出直线的斜率。高二上学期数学期中考试试卷A．B．C．D．一、单选题10．已知直线和直线，下列说法正确的是（）1.直线的一个方向向量是（）A.当时，A．B．C．D．B.当时，2.过两点的直线的倾斜角为（）C.当时，A．B．C．D．D.直线过定点，直线过定点3．已知向量，且，则（）11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可A．-2B．-C．D．2以是（）4.已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点A．B．2C．D．与共面，则的值为（）12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上A．-2B．-1C．1D．2的动点，则下列结论正确的是（）5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（）A.点到直线的距离为A．B．C．D．6.过点作圆的切线，则切线的长为（）B.与平面所成角为A．B．C．D．C．面7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同D．三棱柱的外接球半径为一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三、填空题的顶点，则欧拉线的方程为（）13．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A．B．14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程C．D．为．8．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）15．已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量．A．B．C．D．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程二、多选题是，面积的最大值是.9．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向四、解答题量，则下列各点在平面内的是（） 17.已知空间三点，设，.【解析】【解答】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，（1）若向量与互相垂直，求的值；又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，（2）求向量在向量上的投影向量.故答案为：A.18.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.（1）证明：平面；2.【答案】C（2）求点到平面的距离.【解析】【解答】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB19.已知的顶点.的倾斜角为.（1）求直线的方程；故答案为：C.（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解.20.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.3.【答案】A（1）求圆的方程；【解析】【解答】由题意可得，（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.解得，21.在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.所以.（1）求的取值范围；故答案为：A（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面【分析】根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解，即可得答案.与平面夹角的大小.4.【答案】B22.已知在中，点，，点在直线下方，且.【解析】【解答】由点与共面，且，（1）求的外接圆的方程；可得，解得：，（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定故答案为：B.点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可求出的值.答案解析部分5.【答案】C1.【答案】A 【解析】【解答】异面直线的方向向量分别是所以欧拉线的方程为.故答案为：D.，【分析】由题可得的重心，再由欧拉线的定义可得即是AB的中垂线，求出AB的中点D的坐标，异面直线所成角为范围为，夹角的大小是再求直线AB的斜率，可得AB的中垂线的方程，即求出欧拉线的直线方程.故答案为：C8．【答案】B【分析】根据题意，由空间向量数量积公式求出的值，进而求出的大小，由异面直线所成【解析】【解答】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：角的定义分析可得答案.可表示点与点连线斜率6.【答案】C当直线与圆相切时：设直线方程为，即【解析】【解答】由可得，所以圆心，半径，圆心到直线距离，则，解得或，所以切线的长为.故答案为：C.又，所以，当直线经过点时，，【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心和半径，求出圆心到点P的距离，根据圆的半径，即可求出切线长.综上7．【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】由题可得的重心为，【分析】由条件可得点P(x，y)是以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆上的点，而表示点直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为与点连线斜率，由几何意义可得答案.，即，9.【答案】A,C直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为【解析】【解答】设平面内点的坐标为，，即，则，联立可得垂心坐标为，平面的一个法向量是，所以，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，即. 故答案为：AC故答案为：BCD【分析】设平面内点的坐标为，利用，得到，即可得到答案.【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，求解可得答案.10.【答案】A,C,D12.【答案】B,C【解析】【解答】对A和B，如果，则和的斜率相等，时，【解析】【解答】对A，取中点，则，，则，解得或.当时，，，两直线既不平行也不垂直.，当时，，，A对.则，则点到的距离为，设点到直线的距离为，当时，，，B不符合题意.则，解得，A不符合题意；对C，当时，，，，所以，C对.对B，平面即平面，设直线与交于，连接，可得，对D，转化为斜截式为，即，所以过定点因为平面ABCD，则，所以平面，则即为与平面.同理，，时转化为斜截式为，即所成角，则，则，B符合题意；，过定点；时，为，也过定点，D对.对C，连接交于E，连接，，四边形为平行四故答案为：ACD.边形，，因为为中点，，则四边形为【分析】对A中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相等，与常数项之比不平行四边形，，因为在平面外，平面，所以平面等，来判断两条直线是否平行；对B中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相，C符合题意；等，与常数项之比不等，来判断两条直线是否平行；C中a的值代入，x，y的系数相乘，再相加是否为0来判断命题的真假；D中，将直线整理可知两条直线恒过的定点的坐标.对D，三棱柱的外接球等价于正方体的外接球，球半径为，D不符合题1.【答案】B,C,D意.【解析】【解答】因为圆心到直线的距离故答案为：BC.，【分析】对于A选项，点到直线的距离为，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线因为上恰有相异两点到直线的距离等于，与交于，连接，即为与平面所成角，再结合几何关系求解，即，即可；对于C选项，连接交于E，连接，证明即可判断；对于D选项，转化解得，为正方体的外接球求解即可.程；当直线过原点时，直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程，综合可得答案.13．【答案】相交15．【答案】【解析】【解答】由圆与圆，【解析】【解答】解：如图：分别得到标准方程和，.则两圆坐标分别为和，半径分别为，故答案为：.则两圆心之间的距离，【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于的表达式.则，即，故两圆的位置关系是相交，16.【答案】；3故答案为相交.【解析】【解答】设，由题，即，整理得，以OA为底，且到OA的最大距离为半径2，【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径R与r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.所以面积的最大值是.14．【答案】3x-2y=0或x+2y-8=0故答案为：；3.【解析】【解答】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，【分析】设M(x，y)，由条件列出方程，化简即可求出动点的轨迹方程；由到OA的最大距离为半径2，可得面积的最大值，从而可计算三角形面积.又直线l过点，故直线l的斜率，17.【答案】（1）解：由已知得，故直线l的方程为，即；.当时，直线l的方程为，即，所以，∴直线l过点，∴，.因为与互相垂直，所以∴，，∴直线l的方程为．即，解得或.综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-（2）解：因为，，，8=0．故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0.所以，【分析】当直线不过原点时，设直线l的方程为，把点代入求得a的值，即可求得直线l方即中线所在直线的方程为，所以向量在向量上的投影向量.设顶点，所以，【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量与的坐标，由向量垂直的充要条件，列式求解即可；因为，点到直线的距离，(2)利用向量投影的概念和公式求解计算即可.因为，所以，18.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．整理得，所以或，又因为分别为，的中点，，所以.即或.，又因为，所以.由得，此时顶点；由于，所以平面（2）解：由（1）知，，．又平面，由得，此时顶点，所以平面．因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系所以顶点的坐标为或.．【解析】【分析】(1)求出直线AB的斜率，代入点斜式方程求出直线AB的方程即可；(2)设出C的坐标，联立方程组，求出C的坐标即可.由题意得，，，，所以，，20.【答案】（1）解：设圆的方程为，因为到直线距离为.，设平面的法向量为，所以，从而，令，则所以，解得，所以圆的方程为；，，所以平面的法向量.所以点到平面的距离（2）解：因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.．中点坐标为，，【解析】【分析】(1)只要证明AC垂直于平面BEF内两条相交直线即可；(2)用向量数量积计算点到平面的距离.所以以与为直径端点圆的方程为.19.【答案】（1）解：直线的方程为，即；联立方程组，两式相减得.（2）解：边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得，所以直线的方程为.【解析】【分析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立的空间直角坐标系，设，求出，通过数量积为0，求解的【解析】【分析】（1）由圆心在x轴的正半轴上，设圆的方程为，由圆C被直线x-取值范围；y=0截得的弦长为，知圆心到直线距离为，求出a，由此能求出圆的方程；(2)当时，解得或，即满足条件的点E有两个，求出（2）求出以与为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程.求出平面和平面的的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面夹角的大21.【答案】（1）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建小.立如图所示的空间直角坐标系.2.【答案】（1）解：的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，所以该圆设，则，所以.的半径.因为，所以.圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.因为，所以，即.所以外接圆的方程为.（2）解：当时，，解得或.（2）解：设过点的直线方程为.①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.不妨取，②当时，由得，设，，所以，，设平面的法向量为，则，.由，得，则，即，整理得则，令，则，所以..设平面的一个法向量为，所以对恒成立，即恒成立，故，即则，令，则，所以..综上所述：存在点符合题意.所以，得.【解析】【分析】（1）由已知条件可得该圆的半径，圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标，进而可得外接圆的方程；所以平面与平面的夹角为. （2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标. 高二上学期数学期中考试试卷A．78B．72C．68D．62二、多选题一、单选题9．下列说法正确的是（）1.已知向量，，若，则（）A.任意两个空间向量都共面A.2B．C．-2D．B.若向量，共线，则与所在直线平行2.已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）C.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为A．B．D.已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得C．或D．不存在3.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为4.如图，在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点G满足，若，，，则（）B.点关于直线的对称点为A.B．C.圆与圆可能内含、内切或相交C．D．D.若圆与圆相离，则11.平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（）5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.点P到圆O上的点的距离最大值为A．B．B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为C．D．C.过点P与圆O相切的直线方程为6.已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1A．B．C．±1D．112.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，平面平面，A．当时，，则直线与直线所成角的余弦值为（）B.当时，平面A．B．C．D．C.当，时，三棱锥的体积为定值8.已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两D.当，时，与平面所成角的正切值为三、填空题点，则的值为（）（1）证明：平面平面；13.过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求m的值为．的长度，若不存在，说明理由．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为．22.已知圆，点，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于15.一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．，两点．16.如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为（1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；cm．（2）当时，求点Q的坐标；四、解答题17.如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．（3）求面积的最大值．（1）若，，求证：；答案解析部分（2）设，O为空间中任意一点，求证：．1.【答案】D18.已知圆，圆．【解析】【解答】，则，即，（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．故，解得，故.19.如图，平行六面体中，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；故答案为：D.（2）若四边形和均为正方形，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案.20.在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．2.【答案】C（1）求线段的中点C的轨迹方程；【解析】【解答】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；（2）若直线．当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；综上所述，或.②求直线l被曲线C截得的最短弦长．故答案为：C21.如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面．【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。 3.【答案】B的距离为1，计算即可得答案.【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的7．【答案】C象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。【解析】【解答】将平移到下图中的位置，再连接，则的大小即为直线【分析】本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。与直线所成的角.4.【答案】B由，设，则可得，，【解析】【解答】由空间的向量的运算法则，在中，由余弦定理有.可得故答案为：C..故答案为：B.【分析】将平移到下图中的位置，连接，可得的大小即为直线与直线所成的角，设，利用余弦定理可求得直线与直线所成角的余弦值。【分析】利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案.8.【答案】D5.【答案】A【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系【解析】【解答】根据题意，，根据题意，图中各点的坐标分别表示为在上的投影向量可为设点A的坐标为，则.故答案为：A.故答案为：D.【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案。9.【答案】A,C6.【答案】A【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个【解析】【解答】由圆可得圆心，半径，平面上的，所以是共面的，A符合题意；因为圆上有三个点到直线的距离等于1，对于B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，B不正确；所以圆心到直线的距离，对于C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，C符合题意；可得：，对于D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，故答案为：A.使得，D不正确.故答案为：AC.【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。意；10.【答案】B,C当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，A不符合题意；到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.C不正确；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得对于D，由题意知点，联立得，，故对称的点的坐标为，B符合题意；设，则，对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意；所以对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，.D符合题意.因为，所以或，所以或，D不符合题意.故答案为：ABD故答案为：BC【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为，依题意得到方程组，解得a，b，即点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。为k，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选1.【答案】A,B,D项C；设A，B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为及两根之积代入可得为定值，即可判断D.，A符合题意；12.【答案】B,C,D对于B，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长【解析】【解答】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，公式知，弦长为，B符合题意；则，，，，，，，对于C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题，则，，；对于A，设，则，面，由面面平行的性质可得平面，可判断B选项的正误；当，时，利用点又，，不恒成立，A不符合题意；到面的向量求法可求得点到平面的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判对于B，当时，四点共面，即平面；断C选项的正误；当，时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D，平面，平面，平面，选项的正误。13.【答案】-2同理可得：平面，又，平面，【解析】【解答】由题知，，设直线的方向向量为，则平面平面，平面，B符合题意；，对于C，设，则，即，得，解得或，设，则，，，，当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.，；故答案为：-2平面，平面的一个法向量为，【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为，得，利用坐标表示可得点到平面的距离，又，，求解可得m的值，检验可得实数m的值。，即三棱锥的体积为定值，C符合题意；14.【答案】对于D，当，时，，设，则，，，，【解析】【解答】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，平面，平面，平面，平面，平面的一个法向量，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，设与平面所成角为，则，，，，，即与平面所成角的正切值为，D符合题意.设平面的法向量，故答案为：BCD.则，令，解得：，，，【分析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，当点到平面的距离，时，得，可判断A选项的正误；当时，四点共即直线到平面的距离.【分析】设与的交点为N，过点作于M，连接AN，由等边三角形求出，由勾股定理求得CM的值，进而求出旋转后灯管升高的高度.故答案为：.17.【答案】（1）解：因为，，所以【分析】根据平面，直线到平面的距离转化为点到平面的距离，，利用向量法即可求出点到平面的距离，进而求出直线到平面的距离.所以．（2）解：因为分别是，，，的中点，15.【答案】所以【解析】【解答】由可得，即圆心为，半径所以.为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量减法法则及向量数量积的运算，即可证得；（2）利用向量加法的平行四边形法则可得，可证得结论。即，由反射光线与圆相交可得，，18.【答案】（1）解：圆的方程配方可得，圆心，半径，化简得，即.圆的方程配方可得，圆心，半径，故答案为：所以两圆心的距离，，，【分析】求出圆心与半径，关于轴的对称点的坐标，设出过A’与圆相交的直线方程，利用所以，圆心到直线的距离小于半径，可得，求解可得直线的斜率k的取值范围.所以，圆与圆相交．16.【答案】20将方程与相减，【解析】【解答】解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所得：，示：在中，，，所以，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；在中，，由勾股定理得，即，所以（2）解：由（1）可得，代入圆的方程，，又，所以旋转后灯管升高的高度为，，故答案为：20. 以过O点且平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，因为所以，如图所示：所以，，则，，，，，即四边形的面积为8．【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距大于两圆半径差的绝对值且所以，，小于两圆半径和可得两圆相交，直接联立两圆方程，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程；设平面的一个法向量，则有（2）由（1）可得点P的坐标，代入圆的方程可求得，结合根据勾股定理可得，进而求出四边形的面积．，即，19.【答案】（1）证明：取的中点G，连接，，如图所示：因为M为的中点，所以且，取，则，，则，平面的一个法向量，又因为N为的中点，所以且，设平面与平面夹角为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以，所以平面．即平面与平面夹角的余弦值为．（2）解：因为平行六面体中，四边形和均为正方形，【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，推出四边形为平行四边形，得所以，，，根据线面平行的判定定理可证得平面；又因为，所以平面，（2）由已知可知四边形和均为正方形，推出平面，过做过做交于O，交于O，推出平面，可得为与平面所成的因为平面，所以，角，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，以过O点且平行于的直线因为，所以平面.所以为与平面所成的角，即，为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面与平面夹角的余弦值．设，则，20．【答案】（1）解：设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，在中，，．即的斜边上的中线长，因为，所以，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，，，所以点C的轨迹方程是．轴平面，平面的一个法向量，（2）解：直线可整理为，设直线与平面所成的角为，则，方程组的解为，，当时，取得最小值，取得最大值，所以直线恒过定点，将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，又在上单调递增，当时，取得最大值，所以直线与曲线C恒有两个不同交点．此时，即的长度为．由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，【解析】【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；又所以此时弦长为，（2）以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求所以直线被曲线C截得的最短弦长为．出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值，进而求【解析】【分析】（1）由已知条件可得点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得线段的中点C的出的长度。轨迹方程；2.【答案】（1）解：由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，（2）①求出直线经过的定点，然后把定点代入圆C的方程，可得定点在圆C的内部，即可证得直线整理得，与曲线C恒有两个不同交点；②由①知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用勾股定理即可求出直线被曲线C截得的因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，最短弦长。21.【答案】（1）证明：在菱形中，，为的中点，，又因为，解得或，平面平面，且平面平面，平面，所以，直线的方程为或．平面，又平面，平面平面．（2）解：当时，，，（2）解：由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为因为直线，都是圆C的切线，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以直线的方程为；则，，，，，，，设，此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即因为，所以，所以，所以，，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），的最大值为，则直线，把代入，解得，所以面积的最大值为．所以点Q的坐标为．【解析】【分析】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，再根（3）解：因为为定值，且M，N在x轴上．据点到直线的距离公式和勾股定理即可求出直线的方程；所以要求面积的最大值，即求点Q的纵坐标的绝对值的最大值，（2）由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，再根据直线与圆相切的位设点Q的纵坐标为，置关系结合点到直线的距离公式即可求出点Q的坐标；由（2）知，当直线的斜率不存在时，，（3）由题意可知为定值，且M，N在x轴上，所以要求面积的最大值，即求点Q的根据对称性，当直线的斜率不存在时，；纵坐标的绝对值的最大值，由此分直线和的斜率不存在和直线，的斜率都存在两种所以当直线，的斜率都存在时，情况，求出点Q的纵坐标为，根据面积公式列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。设直线的斜率为，则，即，因为与圆C相切，所以有，得或（舍去）．所以．同理可得．由，解得．又，，高二上学期数学期中考试试卷A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多选题一、单选题9．已知直线，则下述正确的是（）1．直线的倾斜角()A.直线l的斜率可以等于A．30°B．60°C．120°D．150°B.直线l的斜率有可能不存在2．已知直线与直线平行，则实数的值是（）C.直线l可能过点A．1B．-2C．1或-2D．不存在D.若直线l的横纵截距相等，则3.已知向量，，且，其中、，则（）10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是A．4B．-4C．2D．-2（）4.圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为A．B．（）A．或B．或C．D．C．或D．或2＋y2－2x＝0和圆O226．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余11．圆O1：x2：x＋y＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0弦值为（）B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0A．B．C．D．C.公共弦AB的长为7.若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1A．B．12.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则C．D．称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A.距离坐标为（0，0）的点有1个8.已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足B.距离坐标为（0，1）的点有2个，则直线与圆的位置关系为（）. C.距离坐标为（1，2）的点有4个（2）求点到平面的距离；D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上（3）求二面角的余弦值．三、填空题21.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为实数a的值为.轴建立如图所示的平面直角坐标系.14．已知实数，满足方程，则的最大值为.（1）求直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.22.直线经过定点，点在直线上，且.16.已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求为.四、解答题的最小值.17.若直线的方程为.答案解析部分（1）若直线与直线垂直，求的值；1.【答案】A（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】【解答】可得直线的斜率为，18.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.由斜率和倾斜角的关系可得，又∵（1）试用向量，，表示向量；∴（2）若，，，求的值.故答案为：A.19.已知以点为圆心的圆与，过点的动直线与圆相交于，两【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆2.【答案】C的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问【解析】【解答】因为直线，互相平行题．则两直线的斜率都应存在，（1）求圆的方程；所以由两直线平行得到20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，是上一点，且．解得或，（1）证明：面；故答案为：C答案.6.【答案】C【分析】利用直线平行的性质可得，求解可得实数的值。【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3.【答案】B，所以，【解析】【解答】向量，，且，，解得因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，，故答案为：C.因此，.【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。故答案为：B.7.【答案】C【解析】【解答】由得，【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m=-6，n=2，由此能求出m+n.所以圆的圆心为，半径为，4.【答案】C因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，【解析】【解答】圆化为标准方程为：不妨设直线的方程为：，即圆化为标准方程为：则有，即，整理得，解得，所以两圆的圆心距为：两圆相交记的倾斜角为，则，故答案为：C又，所以.【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.5.【答案】A故答案为：C.【解析】【解答】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线倾斜角的取值范围.根据点，到直线的距离相等，得，解得8.【答案】A或，【解析】【解答】由得，故直线的方程为或.，故答案为：A.因为，，所以，【分析】设出的斜率，用点斜式写出直线的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得对于B，圆的圆心为，，所以圆心到直线的距离，故相切，则线段AB中垂线斜率为，故答案为：A.即线段AB中垂线方程为：，整理可得，B符合题意；【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.对于C，圆，圆心到的距离为9.【答案】B,D，半径【解析】【解答】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A不符合题意；B符合题意；，不在直线上，C不符合题意；所以，C不正确；时，纵截距不存在，时，令得，令，，由对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线得，D符合题意．故答案为：BD．AB距离的最大值为，【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距.D符合题意.10.【答案】A,C故答案为：ABD【解析】【解答】由图A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，A能成立；【分析】根据题意把两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断出选项A正确；求出两圆圆心坐由图B可得直线l1，的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断出选项B正确；根据题意求出圆心O1的距离，再由点到直矛盾，B不能成立；线AB的距离公式计算出d的值，进而求出d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公由图C可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，C共弦长，由此即可判断出选项C错误，D.正确；由此即可得出答案。能成立；12.【答案】A,B,C由图D可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，矛【解析】【解答】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离盾，D不能成立.坐标为（0，0)的点只有1个，A符合题意，故答案为：AC对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B符合题意，【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出答案.1.【答案】A,B,D对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，【解析】【解答】对于A，由圆与圆的交点为A，B，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C符合题意，两式作差可得，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D不符合题意，即公共弦AB所在直线方程为，A符合题意；故答案为：ABC作交于点，由，，平面所以平面，所以【分析】根据新定义逐项进行分析，可得答案。13.【答案】，所以【解析】【解答】由题意，故答案为：所以，解得.【分析】证明平面，所以，求得故答案为：，可得求点A1到直线DB的距离.【分析】由题意得，利用平面向量数量积的运算即可求出实数a的值。16．【答案】14．【答案】【解析】【解答】【解析】【解答】由，所以，圆心为，当且仅当时等号成立.圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，由在圆外知的取值范围是，所以能成立，所以的最大值为故的最小值为.故答案为：由知，萌点的轨迹为圆，方程为.故答案为：【分析】把已知圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，由圆心到的距离为2，可得圆上的点到的最大距离，进而求出的最大值。【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可得圆的萌点的轨迹方程.15．【答案】17．【答案】（1）解：直线与直线垂直，【解析】【解答】解：在菱形中，，，，解得．所以是边长为2的等边三角形，（2）解：当时，直线化为：．不满足题意．又因为为的中点，所以，又面面，面面，当时，可得直线与坐标轴的交点，．平面，所以平面，直线在两轴上的截距相等，，解得：．记线段的中点为，依据可得该直线的方程为：，．且，，则【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，所以，解得，直线的方程为．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．．18.【答案】（1），若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．故综上直线的方程为或．∵点E为AD的中点，【解析】【分析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；(2)由已知弦长求出点A到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解可故得直线的方程.（2）由题意得20.【答案】（1）因为平面，平面，所以，故又因为底面是矩形，所以，故又，所以面；【解析】【分析】(1)根据向量的运算性质求出即可；（2）如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系：(2)根据向量的运算性质代入计算即可.因为，，所以，19.【答案】（1）解：选①设，所以，，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离又因为，所以，所以，所以，即，所以圆的方程为设平面的一个法向量为，因为，．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，又，所以，取，所以，所以圆的方程为．记点到平面的距离为，选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则所以；，解得，或，舍去．（3）由（2）可知：，所以圆的方程为．（2）当时，求直线的方所以，程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以，取，所以，所以，又，所以，取，所以，所以，结合图形可知二面角为锐二面角，解得，所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面.ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面所以的长度为．PAD；【解析】【分析】(1)求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；(2)由(1)知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，(2)利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度.进一步得到M为PD的中.点，再由等体积法求M到平面PAC的距离；2.【答案】（1）解：，因为，(3)以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的则，所以，余弦值可得二面角B-AM-C的余弦值.（2）解：圆的方程为：，圆心；设关于直的对21.【答案】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；称的为，则，可得，所以，（2）设，的方程为，连接线段交圆于点，交直线于点，所以点到直线的距离为：则，，当且仅当，，，共线时，达到最小值，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以所以，．【解析】【分析】（1），因为，转化为坐标表示即可设，，，，求解；（2）圆心；求出关于直的对称的点，所以为的中点，在上；，再减去圆的半径即可求解. 高二上学期数学期中考试试卷A．+，-2，B．-，+3，2一、单选题C．，2，-D．+，-，1.直线的倾斜角为（）10.下列说法正确的是（）A．B．C．D．A.过，两点的直线方程为2.在空间直角坐标系中，，，则向量（）A．B．B.点关于直线的对称点为C．D．C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是23.直线在y轴上的截距为（）D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为A．B．3C．-3D．11.若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）4.已知向量，向量，且，则（）A.3B．C．1D．A．1B．2C．3D．45．两平行直线与之间的距离为（）12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．A．AC1=66．已知，，，若，，共面，则z的值是（）B．AC1⊥DBA．-5B．5C．-9D．9C．向量与的夹角是60°7.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则D．BD1与AC所成角的余弦值为＝（）三、填空题A.B．13.已知直线与直线垂直，则C．D．14.直线恒过定点为.8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值15.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为．范围是（）16.已知点在曲线上运动，则的取值范围为．A．B．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：C．D．（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；二、多选题（Ⅱ）求△ABC的面积．9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） 18.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.【解析】【解答】因为，，（1）求圆C的标准方程；所以向量。（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.故答案为：B.19.如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且．（1）证明：平面；【分析】利用已知条件结合三角形法则，从而结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标。（2）求点到平面的距离．3.【答案】D20.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，【解析】【解答】在令，得，且．．故答案为：D．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【分析】通过x=0，求出y的值，即可得到结论．21.已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线4.【答案】C所在直线的方程为.【解析】【解答】因为，则，解得，，因此，。（1）求点坐标；故答案为：C.（2）求边所在的直线方程.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示求出的值，进而求出的值。（1）求圆的方程；5.【答案】B（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，【解析】【解答】化简直线可得：，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．根据平行线间距离公式知。答案解析部分1.【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】因为，即，设直线的倾斜角为，则【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式，进而求出两平行直线与之间，因为，故。的距离。6.【答案】D故答案为：D.【解析】【解答】∵，，，，，共面，【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的∴，即，斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。2.【答案】B 【分析】利用直线分别与轴，轴交于，两点，从而求出点A，B的坐标，再利用两点求距离公式求出AB的长，再利用点P在圆上，从而求出圆心坐标，再利用点到直线的距离∴，解得。公式得出圆心到直线距离，从而求出点P到直线的距离的取值范围，再结合三角形面积公式得出三角形面积的取值范围。故答案为：D.9．【答案】A,C【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合【解析】【解答】A.设+=x（-2）+y=，则无解，所以+，-2，向量的坐标运算，进而解方程组求出x，y，z的值。不共面，故正确；7.【答案】C【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，B.设-=x（+3）+2y=，则，解得，所以-，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得。+3，2共面，故错误；故答案为：CC.设=2x）+y=，则，无解，所以，2，-不共面，故正【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中确；点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。D.设+=x（-）+y=，则，解得，所以+，-，共8.【答案】A面，故错误；【解析】【解答】直线分别与轴，轴交于，两点，故答案为：AC，则，【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法，从而找出能构成空间的一个基底的一组向量。点P在圆上，10.【答案】B,C圆心为（2，0），则圆心到直线距离，【解析】【解答】对于A：当，时，过，两点的直线方程为故点P到直线的距离的范围为。，A不正确；则。对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关故答案为：A. 于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B符合题意；=·-·+-·+·-=0，所以B符合题意；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.面积是，所以C符合题意；因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；因为=+-=+，故答案为：BC.所以||==6，||==6，【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截·=(+-)·(+)=36，距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。所以cos<>===，所以D不正确.1.【答案】B,C,D【解析】【解答】点在直线上，，则，故答案为：：AB.由图可知，中，，即点P在圆上，【分析】以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，再利用数量积的定义得出·故联立方程，得，有判别式，=·=·=18，再利用平行四边形法则和数量积求向量的模的公式，得出||的值；再利用数量即，解得，A不符合题意，BCD符合题意.积的运算法则结合数量积的定义，得出·=0，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出故答案为：BCD.AC1⊥DB；再利用三角形△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°，再由=，且向量与的夹角是120°，从而求出与的夹角；再利用平面向量基本定理结合数量积求向量的模的公式，得出||和【分析】利用点在直线上，，则，在中，|的值，再利用数量积的运算法则求出数量积的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出BD1与AC，即点P在圆上，再联立直线与圆的方程结合判别式法得出实数m的取值范围，所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。进而求出实数m可以取的值。13.【答案】12.【答案】A,B【解析】【解答】由题设知：，解得。【解析】【解答】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故答案为：。所以·=·=·=6×6×cos60°=18，【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，14.【答案】则||=|++|=6，所以A符合题意；【解析】【解答】直线方程可化为，由，得，·=(++)·(-)所以直线过定点。故答案为：。值，当时，得出，从而求出的取值范围。17．【答案】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．【分析】将直线方程化为，再利用方程组求出直线恒过的定点坐标。∴直线AD的方程为，15.【答案】整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），【解析】【解答】因为，，则，∴|BC|=．点到平面的距离为。又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，故答案为：。∴△ABC的面积为=10．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出线段BC的中点D的坐标，再利用两点式求出直线【分析】利用已知条件和向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用法向量的定义结合数量积求出点到AD的方程，再转化为直线AD的一般式方程。平面的距离。（2）利用B（-2，3），C（0，-3），再利用两点距离公式得出BC的长，再利用直线BC的方程为3x+y+3=0结合点到直线的距离公式，得出点A到直线BC的距离，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面16.【答案】积。【解析】【解答】变形得，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，直线方程为18．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，即，因此，（由图舍去），时，．直线与圆相切，．圆的标准方程为：，（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，所以的取值范围是。即：，，又，故答案为：。．解得：．直线的方程为：．【分析】将变形得出，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，因为点②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，从而设出直满足条件．线方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式得出k的综上所述的方程为：或因为，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距所以离，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程。方法二：在平行四边形中，易得，（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再利用弦长公式得出直线的斜率，从而求出由余弦定理得，，直线的方程。因为平面，所以有，，19．【答案】（1）设，，．所以，，由题知：，所以，又所以．故．方法三：在平行四边形中，易得，，故．平面，所以有，，又．，，故．所以，又因为平面，平面，且，所以平面．（2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为：所以，．（2）解：方法一：由（1）得，设为平面的一个法向量，所以，即，可取，【解析】【分析】（1）设，，，利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，得出，，再利用三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定同理，设为平面的一个法向量，理得出，再利用数量积的运算法则结合数量积定义，从而推出，再利用数量所以，即，积为0两向量垂直的等价关系，从而证出，同理得出，再利用线线垂直证出可取，线面垂直，从而证出平面。（2）由（1）结合数量积求向量的模的公式，从而得出点到平面的距离。所以，20.【答案】（1）证明：方法一：由得，，所以，由图可知，二面角的平面角是钝角，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，二面角的余弦值所以，，，，方法二：分别取，的中点，，连接，，，所以，，明PA⊥PC；由（1）知，，所以，，(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量，即可求得答案；由，，，知，方法二：(1)根据题意，求得：，即可证明PA⊥PC；又，分别为，的中点，所以，即，(2)构造出二面角的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值；因为，分别为平面与平面内的直线，方法三：利用向量法，分别表示出，因此可得，因此可得PA⊥PC；且它们的交点在直线上，所以为二面角的平面角，(2)根据几何关系，二面角的大小等于，根据向量的运算，即可求得二面角因为，所以，的余弦值.由（1）知，平面，即，21.【答案】（1）解：由题意可知，点在直线上，设点，所以，线段的中点坐标为，由图可知，二面角的平面角是钝角，由题意可知，点在直线上，则，所以，二面角的余弦值．解得，则，所以，点的坐标为方法三：由，得，所以，（2）解：设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，由（1）可知，平面，又面，所以，由四边形为平行四边形，所以，所以，由题意可得，解得，即点，取的中点，连接，，则，所以，所以，直线的斜率为，由且，得二面角的大小等于，所以，直线的方程为，即所以，，【解析】【分析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数所以，的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.又，2.【答案】（1）因为圆心在直线上，所以，二面角的余弦值．设圆心坐标为．【解析】【分析】方法一：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求得由，即可证又因为圆经过坐标原点和点，用圆经过坐标原点和点，再利用圆的半径长相等，所以，再利用两点距离公式得出所以，即，解得：a的值，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径长，从而求出圆C的标准方程。．所以圆心为．半径为．（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为，设过的与圆相切的直所以圆的方程为：．线斜率为，则切线方程为：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到切线的距离（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不，整理结合韦达定理得出，，记直线的斜率为，直线的斜率为，为．设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．从而而得出直线：和直线：，令，得，故圆心到切线的距离．，再利用两点距离公式得出，再利用三角形的面积公式得出整理得：．故：，，再结合换元法，令，则，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求．不妨记直线出三角形面积的取值范围，进而求出三角形面积的最小值。的斜率为，直线的斜率为．所以有：，：，令得，．所以：．．令，则．．所以．．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，结合代入法，从而设圆心坐标为，再利
简介：高二上学期数学期中考试试卷9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（）一、单选题A．与是共线向量1.若直线的倾斜角为，则等于（）B.与共线的单位向量是A．2B．1C．-2D．-1C.与夹角的余弦值是2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（）A．0B．C．0或-D．0或D.平面的一个法向量是3.直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（）10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已A.B．C．D．知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）4.直线与曲线（）A．B．C．D．A.没有交点B．只有一个交点11.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是（）C．有两个交点D．有三个交点A.异面直线与所成的角为5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）B.直线与垂直A．B．C．D．C.直线与平行6.已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（）D.直线平面A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0C．D．12.椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）7.设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值A．，满足的点P有两个为（）A．8B．10C．12D．15B．，满足的点P有四个8.已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点C．的面积的最大值在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（）D．的周长小于三、填空题A．B．2C．3D．413.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．二、多选题 14.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面15.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，积为．是的中点，则与平面所成角的正弦值为.（1）求椭圆的离心率；16.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．C的离心率的最小值为．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的答案解析部分离心率取得最小值时，的最大值是．1.【答案】B四、解答题【解析】【解答】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得。17.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．故答案为：B.（1）用向量表示，；【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再结合两点求斜率（2）若，求实数的值．公式，进而求出实数a的值。18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面2.【答案】CABCD，AB=AP=1，AD=3．【解析】【解答】由题意得出，解得或（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；。（2）求点D到平面PBC的距离．故答案为：C．19.已知圆C经过和两点，圆心在直线上．（1）求圆C的方程．【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的坐标表示，进而求出实数的值。（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．3.【答案】B20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且【解析】【解答】由直线与直线互相垂直，．可得，即，（1）求椭圆的标准方程；所以直线的方程为：；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．由，21.如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）.得它们的交点坐标为。（1）若为的中点，证明：；故答案为：B.（2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围. 【分析】理由已知条件结合直线与圆联立求交点的方法，得出两交点A，B的坐标，再利用中点坐标公式求【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数k的值，进而求出直线的方出线段AB的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段AB的中垂线的斜率，再利用点斜式方程求出线段AB的中垂线方程。程，再利用两直线联立求交点的方法，进而求出两直线的交点坐标。7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由已知，①【解析】【解答】当时，曲线为，与直线方程联立得：由椭圆定义知，解得：，此时直线与曲线有两个交点，②当时，曲线为，与直线方程联立得：由余弦定理得，③解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点由①②③得出。综上所述：直线与曲线有三个交点故答案为：D.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答从而得出，②，由余弦定理得案。，③，由①②③得出的值。5.【答案】C8.【答案】B【解析】【解答】因为空间向量，，，【解析】【解答】由双曲线，可得，，因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量是。过点作轴，垂足为，故答案为：C则，，即，【分析】理由已知条件结合数量积的坐标表示和数量积的定义，再利用向量的模的坐标表示，从而理由向量又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，投影的求解方法，进而求出向量在向量上的投影向量的坐标表示。6．【答案】B代入点的坐标，可得，【解析】【解答】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，整理得，即，所以双曲线的离心率为。所以，即，所以。故答案为：B.故答案为：B 【分析】设，由已知结合重心的定义，进而求出三角形△的重心坐标为，再利用三【分析】由双曲线，可得，再利用角形的重心在上，再结合代入法得出m-n的值，进而求出顶点C可以的坐标。，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函1.【答案】A,B,D数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且【解析】【解答】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进则，而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。对于A，，异面直线与所成的角，9.【答案】C,D【解析】【解答】对于，不存在实数，使得，所以与，则，A符合题意；不是共线向量，所以错误；对于B，，则，，即直线与垂直，B符合题意；对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所对于C，，则，，即直线与不平行，C以错误；不正确；对于，向量，所以，所以C符合题意；对于D，，显然，而点直线，则，而平面，平面，于是得出直线平面，D符合题意.对于，设平面的法向量是，因为，所故答案为：ABD以，即，令，则，所以D符合题意．故答案为：CD.【分析】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求【分析】根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入出异面直线与所成的角；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。标表示，进而证出直线与垂直；利用已知条件结合向量共线的坐标表示，再结合两向量垂直数量积10.【答案】A,D为0的等价关系，从而利用数量积的坐标表示，进而推出直线与不平行；再利用已知条件结合向量【解析】【解答】设，由已知△重心坐标为，共线的坐标表示，进而推出，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面，进又重心在上，则，可得，而找出结论正确的选项。∴A、D符合要求.12.【答案】A,C,D故答案为：AD【解析】【解答】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. A中，，，正确；c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．B中，，不存在90°的，错误；14.【答案】C中，面积，正确；【解析】【解答】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所D中，周长，正确.以最短弦长为故答案为：ACD【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3，1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出.【分析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知，再利用已知条件结合a，15.【答案】b的关系式和椭圆中a，b，c三者的关系式，得出b与c的关系式，从而得出，进【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故而得出满足的点P有两个；再利用已知条件结合a，b的关系式，得出两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，，不存在90°的；再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法和由，则，所以.设平面的法向量为几何法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，得出三角形的面积的最大值；再利用已知条件结合三角形，则，令可得平面的法向量坐标为，的周长公式和焦距的定义以及椭圆的定义，从而求出三角形的周长小于4a，进而找出说法正确的选于是所求线面角的正弦值为。项。故答案为：。13.【答案】2【解析】【解答】解：∵m2+4＞0【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故∴双曲线的焦点必在x轴上两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐因此a2=m＞0，b2=m2+4标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。∴c2=m+m2+4=m2+m+416.【答案】；∵双曲线的离心率为，【解析】【解答】如图所示：∴，可得c2=5a2，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，所以m2+m+4=5m，解之得m=2P对两个焦点的张角渐渐增大，故答案为：2当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，17.【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，可得中，，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，所以，即，用向量表示，。（2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，所以椭圆离心率e的最小值，由，，，y，z的值。解得，，18.【答案】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，圆的圆心，半径，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），，，∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），而当取得最大值时，取得最大值，设异面直线PB与CD所成角为θ，所以当共线时，取得最大值，则cosθ=，所以，所以异面直线PB与CD所成角大小为．。（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），故答案为：，。则，取x=1，得=（1，0，1），【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，点P对两个焦点的张角渐渐增∴点D到平面PBC的距离d=．大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由椭圆上存在一点P，使得【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点，可得在中，，可得中，，再利用正弦函数的图的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出异面直线PB与象的单调性，得出，再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率eCD所成角大小。（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合的最小值；再由结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式得出a，向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求出点D到平面PBC的距离。c的值，再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用椭圆的定义得出的值，从而得19.【答案】（1）因为，AB中点为，出，而当取得最大值时，取得最大值，所以当所以AB中垂线方程为，共线时，取得最大值，进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大即，解方程组得值。所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，于是得因此，所求的圆C的方程为．，（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，解得或，此时，符合．因直线与椭圆交于，两点，同理：，②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，因，即，于是得，而又因为，所以，，即，解得，直线方程为，所以.综上，直线l方程为或．【解析】【分析】（1）将直线的一般式方程求出直线AB的斜率，再利用已知条件结合两点中点坐标公式，进【解析】【分析】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，从而求出AB中点坐标，再利用点斜式方程求出直线AB中垂线方程，再结合两直线联立求交点的方法，进而求而求出c的值，再利用点为椭圆的上顶点，且，从而求出b的值，再利用椭圆中a，b，c出圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式，从而求出圆的半径长，进而求出圆C的标准方程。三者的关系式，得出a的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得出y的值，进而求出此时MN的长；当直线l斜率存在时，设方程为，再利用点到直线的距离公式得出圆心到（2）由(1)知，椭圆：，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设直线l的距离，再利用弦长公式得出d的值，进而求出直线的斜率，从而求出直线的方程，进而，再结合韦达定理得出，，再利用弦长公式得出求出满足要求的直线l的方程。，再利用直线与椭圆交于，两点，同理得出20.【答案】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，即c=1，，再利用，得出，而，从而证出因为椭圆的上顶点，且，则，，。所以椭圆的标准方程为.21.【答案】（1）解法一：取的中点，连接，.因为为正三角形，则.由已知，则平面，（2）由(1)知，椭圆：，令消去y得：，所以.①则，设，则有，，因为，，则，所以，从而与互余，所以.② 结合①②知，平面，所以.【解析】【分析】（1）利用两种方法证明。解法一：取的中点，连接，，再利用三角形解法二：分别取、的中点、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间为正三角形结合三线合一，推出，由已知结合线线垂直证出线面垂直，则直角坐标系.平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以①，再利用，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，，则，再结合两三角形全等对应角相等，则点，，，.所以，从而与互余，所以②，结合①②知，平面从而，，则，，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。解法二：分别取、的中点所以.、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，（2）解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为.再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0零向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表作，垂足为，连结，则，所以.示，从而证出。设（），由余弦定理可得，由等面积可得，（2）利用两种方法求解。解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为，作，垂足为，连结，则，所以，设（），由余弦由相似三角形性质可得.定理可得AE的长，由等面积可得BF的长，由相似三角形性质可得BD的长，在中结合正切函数的在中，.定义得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合商数关系得出的取值范围。解法二：设（），从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量因为，则，所以.的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得平面与面所成的二面角大小的余弦值，再利用解法二：设（），则点，.结合二次函数图象求值域的方法，进而求出的取值范围。设为平面的法向量，由，得，2.【答案】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．取，则，，所以.又由可得，即．又平面的法向量，则又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.．由（1）知，则直线AE的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，，因为，则，所以. 即点的坐标为．由已知，有．整理得．所以．即直线的斜率为．解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为由（1）知，则直线AE的方程为，即，由解得∴点坐标为，由已知，有，整理得，即．即直线的斜率为．【解析】【分析】（1）设椭圆的离心率为e，由已知结合三角形的面积公式，可得．又由椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式，进而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆的离心率。（2）利用两种方法求解。解法一：依题意，设直线的方程为，从而求出直线的斜率为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再与直线的方程联立求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出m的值，从而求出直线的斜率。解法二：依题意设直线的斜率为k，从而设出直线的方程为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再联立两直线方程求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出直线的斜率。高二上学期数学期中考试试卷A．B．C．D．一、单选题10．已知直线和直线，下列说法正确的是（）1.直线的一个方向向量是（）A.当时，A．B．C．D．B.当时，2.过两点的直线的倾斜角为（）C.当时，A．B．C．D．D.直线过定点，直线过定点3．已知向量，且，则（）11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可A．-2B．-C．D．2以是（）4.已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点A．B．2C．D．与共面，则的值为（）12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上A．-2B．-1C．1D．2的动点，则下列结论正确的是（）5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（）A.点到直线的距离为A．B．C．D．6.过点作圆的切线，则切线的长为（）B.与平面所成角为A．B．C．D．C．面7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同D．三棱柱的外接球半径为一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三、填空题的顶点，则欧拉线的方程为（）13．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A．B．14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程C．D．为．8．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）15．已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量．A．B．C．D．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程二、多选题是，面积的最大值是.9．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向四、解答题量，则下列各点在平面内的是（） 17.已知空间三点，设，.【解析】【解答】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，（1）若向量与互相垂直，求的值；又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，（2）求向量在向量上的投影向量.故答案为：A.18.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.（1）证明：平面；2.【答案】C（2）求点到平面的距离.【解析】【解答】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB19.已知的顶点.的倾斜角为.（1）求直线的方程；故答案为：C.（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解.20.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.3.【答案】A（1）求圆的方程；【解析】【解答】由题意可得，（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.解得，21.在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.所以.（1）求的取值范围；故答案为：A（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面【分析】根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解，即可得答案.与平面夹角的大小.4.【答案】B22.已知在中，点，，点在直线下方，且.【解析】【解答】由点与共面，且，（1）求的外接圆的方程；可得，解得：，（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定故答案为：B.点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可求出的值.答案解析部分5.【答案】C1.【答案】A 【解析】【解答】异面直线的方向向量分别是所以欧拉线的方程为.故答案为：D.，【分析】由题可得的重心，再由欧拉线的定义可得即是AB的中垂线，求出AB的中点D的坐标，异面直线所成角为范围为，夹角的大小是再求直线AB的斜率，可得AB的中垂线的方程，即求出欧拉线的直线方程.故答案为：C8．【答案】B【分析】根据题意，由空间向量数量积公式求出的值，进而求出的大小，由异面直线所成【解析】【解答】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：角的定义分析可得答案.可表示点与点连线斜率6.【答案】C当直线与圆相切时：设直线方程为，即【解析】【解答】由可得，所以圆心，半径，圆心到直线距离，则，解得或，所以切线的长为.故答案为：C.又，所以，当直线经过点时，，【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心和半径，求出圆心到点P的距离，根据圆的半径，即可求出切线长.综上7．【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】由题可得的重心为，【分析】由条件可得点P(x，y)是以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆上的点，而表示点直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为与点连线斜率，由几何意义可得答案.，即，9.【答案】A,C直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为【解析】【解答】设平面内点的坐标为，，即，则，联立可得垂心坐标为，平面的一个法向量是，所以，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，即. 故答案为：AC故答案为：BCD【分析】设平面内点的坐标为，利用，得到，即可得到答案.【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，求解可得答案.10.【答案】A,C,D12.【答案】B,C【解析】【解答】对A和B，如果，则和的斜率相等，时，【解析】【解答】对A，取中点，则，，则，解得或.当时，，，两直线既不平行也不垂直.，当时，，，A对.则，则点到的距离为，设点到直线的距离为，当时，，，B不符合题意.则，解得，A不符合题意；对C，当时，，，，所以，C对.对B，平面即平面，设直线与交于，连接，可得，对D，转化为斜截式为，即，所以过定点因为平面ABCD，则，所以平面，则即为与平面.同理，，时转化为斜截式为，即所成角，则，则，B符合题意；，过定点；时，为，也过定点，D对.对C，连接交于E，连接，，四边形为平行四故答案为：ACD.边形，，因为为中点，，则四边形为【分析】对A中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相等，与常数项之比不平行四边形，，因为在平面外，平面，所以平面等，来判断两条直线是否平行；对B中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相，C符合题意；等，与常数项之比不等，来判断两条直线是否平行；C中a的值代入，x，y的系数相乘，再相加是否为0来判断命题的真假；D中，将直线整理可知两条直线恒过的定点的坐标.对D，三棱柱的外接球等价于正方体的外接球，球半径为，D不符合题1.【答案】B,C,D意.【解析】【解答】因为圆心到直线的距离故答案为：BC.，【分析】对于A选项，点到直线的距离为，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线因为上恰有相异两点到直线的距离等于，与交于，连接，即为与平面所成角，再结合几何关系求解，即，即可；对于C选项，连接交于E，连接，证明即可判断；对于D选项，转化解得，为正方体的外接球求解即可.程；当直线过原点时，直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程，综合可得答案.13．【答案】相交15．【答案】【解析】【解答】由圆与圆，【解析】【解答】解：如图：分别得到标准方程和，.则两圆坐标分别为和，半径分别为，故答案为：.则两圆心之间的距离，【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于的表达式.则，即，故两圆的位置关系是相交，16.【答案】；3故答案为相交.【解析】【解答】设，由题，即，整理得，以OA为底，且到OA的最大距离为半径2，【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径R与r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.所以面积的最大值是.14．【答案】3x-2y=0或x+2y-8=0故答案为：；3.【解析】【解答】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，【分析】设M(x，y)，由条件列出方程，化简即可求出动点的轨迹方程；由到OA的最大距离为半径2，可得面积的最大值，从而可计算三角形面积.又直线l过点，故直线l的斜率，17.【答案】（1）解：由已知得，故直线l的方程为，即；.当时，直线l的方程为，即，所以，∴直线l过点，∴，.因为与互相垂直，所以∴，，∴直线l的方程为．即，解得或.综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-（2）解：因为，，，8=0．故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0.所以，【分析】当直线不过原点时，设直线l的方程为，把点代入求得a的值，即可求得直线l方即中线所在直线的方程为，所以向量在向量上的投影向量.设顶点，所以，【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量与的坐标，由向量垂直的充要条件，列式求解即可；因为，点到直线的距离，(2)利用向量投影的概念和公式求解计算即可.因为，所以，18.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．整理得，所以或，又因为分别为，的中点，，所以.即或.，又因为，所以.由得，此时顶点；由于，所以平面（2）解：由（1）知，，．又平面，由得，此时顶点，所以平面．因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系所以顶点的坐标为或.．【解析】【分析】(1)求出直线AB的斜率，代入点斜式方程求出直线AB的方程即可；(2)设出C的坐标，联立方程组，求出C的坐标即可.由题意得，，，，所以，，20.【答案】（1）解：设圆的方程为，因为到直线距离为.，设平面的法向量为，所以，从而，令，则所以，解得，所以圆的方程为；，，所以平面的法向量.所以点到平面的距离（2）解：因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.．中点坐标为，，【解析】【分析】(1)只要证明AC垂直于平面BEF内两条相交直线即可；(2)用向量数量积计算点到平面的距离.所以以与为直径端点圆的方程为.19.【答案】（1）解：直线的方程为，即；联立方程组，两式相减得.（2）解：边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得，所以直线的方程为.【解析】【分析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立的空间直角坐标系，设，求出，通过数量积为0，求解的【解析】【分析】（1）由圆心在x轴的正半轴上，设圆的方程为，由圆C被直线x-取值范围；y=0截得的弦长为，知圆心到直线距离为，求出a，由此能求出圆的方程；(2)当时，解得或，即满足条件的点E有两个，求出（2）求出以与为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程.求出平面和平面的的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面夹角的大21.【答案】（1）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建小.立如图所示的空间直角坐标系.2.【答案】（1）解：的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，所以该圆设，则，所以.的半径.因为，所以.圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.因为，所以，即.所以外接圆的方程为.（2）解：当时，，解得或.（2）解：设过点的直线方程为.①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.不妨取，②当时，由得，设，，所以，，设平面的法向量为，则，.由，得，则，即，整理得则，令，则，所以..设平面的一个法向量为，所以对恒成立，即恒成立，故，即则，令，则，所以..综上所述：存在点符合题意.所以，得.【解析】【分析】（1）由已知条件可得该圆的半径，圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标，进而可得外接圆的方程；所以平面与平面的夹角为. （2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标. 高二上学期数学期中考试试卷A．78B．72C．68D．62二、多选题一、单选题9．下列说法正确的是（）1.已知向量，，若，则（）A.任意两个空间向量都共面A.2B．C．-2D．B.若向量，共线，则与所在直线平行2.已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）C.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为A．B．D.已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得C．或D．不存在3.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为4.如图，在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点G满足，若，，，则（）B.点关于直线的对称点为A.B．C.圆与圆可能内含、内切或相交C．D．D.若圆与圆相离，则11.平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（）5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.点P到圆O上的点的距离最大值为A．B．B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为C．D．C.过点P与圆O相切的直线方程为6.已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1A．B．C．±1D．112.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，平面平面，A．当时，，则直线与直线所成角的余弦值为（）B.当时，平面A．B．C．D．C.当，时，三棱锥的体积为定值8.已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两D.当，时，与平面所成角的正切值为三、填空题点，则的值为（）（1）证明：平面平面；13.过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求m的值为．的长度，若不存在，说明理由．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为．22.已知圆，点，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于15.一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．，两点．16.如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为（1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；cm．（2）当时，求点Q的坐标；四、解答题17.如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．（3）求面积的最大值．（1）若，，求证：；答案解析部分（2）设，O为空间中任意一点，求证：．1.【答案】D18.已知圆，圆．【解析】【解答】，则，即，（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．故，解得，故.19.如图，平行六面体中，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；故答案为：D.（2）若四边形和均为正方形，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案.20.在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．2.【答案】C（1）求线段的中点C的轨迹方程；【解析】【解答】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；（2）若直线．当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；综上所述，或.②求直线l被曲线C截得的最短弦长．故答案为：C21.如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面．【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。 3.【答案】B的距离为1，计算即可得答案.【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的7．【答案】C象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。【解析】【解答】将平移到下图中的位置，再连接，则的大小即为直线【分析】本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。与直线所成的角.4.【答案】B由，设，则可得，，【解析】【解答】由空间的向量的运算法则，在中，由余弦定理有.可得故答案为：C..故答案为：B.【分析】将平移到下图中的位置，连接，可得的大小即为直线与直线所成的角，设，利用余弦定理可求得直线与直线所成角的余弦值。【分析】利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案.8.【答案】D5.【答案】A【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系【解析】【解答】根据题意，，根据题意，图中各点的坐标分别表示为在上的投影向量可为设点A的坐标为，则.故答案为：A.故答案为：D.【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案。9.【答案】A,C6.【答案】A【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个【解析】【解答】由圆可得圆心，半径，平面上的，所以是共面的，A符合题意；因为圆上有三个点到直线的距离等于1，对于B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，B不正确；所以圆心到直线的距离，对于C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，C符合题意；可得：，对于D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，故答案为：A.使得，D不正确.故答案为：AC.【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。意；10.【答案】B,C当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，A不符合题意；到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.C不正确；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得对于D，由题意知点，联立得，，故对称的点的坐标为，B符合题意；设，则，对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意；所以对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，.D符合题意.因为，所以或，所以或，D不符合题意.故答案为：ABD故答案为：BC【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为，依题意得到方程组，解得a，b，即点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。为k，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选1.【答案】A,B,D项C；设A，B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为及两根之积代入可得为定值，即可判断D.，A符合题意；12.【答案】B,C,D对于B，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长【解析】【解答】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，公式知，弦长为，B符合题意；则，，，，，，，对于C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题，则，，；对于A，设，则，面，由面面平行的性质可得平面，可判断B选项的正误；当，时，利用点又，，不恒成立，A不符合题意；到面的向量求法可求得点到平面的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判对于B，当时，四点共面，即平面；断C选项的正误；当，时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D，平面，平面，平面，选项的正误。13.【答案】-2同理可得：平面，又，平面，【解析】【解答】由题知，，设直线的方向向量为，则平面平面，平面，B符合题意；，对于C，设，则，即，得，解得或，设，则，，，，当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.，；故答案为：-2平面，平面的一个法向量为，【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为，得，利用坐标表示可得点到平面的距离，又，，求解可得m的值，检验可得实数m的值。，即三棱锥的体积为定值，C符合题意；14.【答案】对于D，当，时，，设，则，，，，【解析】【解答】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，平面，平面，平面，平面，平面的一个法向量，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，设与平面所成角为，则，，，，，即与平面所成角的正切值为，D符合题意.设平面的法向量，故答案为：BCD.则，令，解得：，，，【分析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，当点到平面的距离，时，得，可判断A选项的正误；当时，四点共即直线到平面的距离.【分析】设与的交点为N，过点作于M，连接AN，由等边三角形求出，由勾股定理求得CM的值，进而求出旋转后灯管升高的高度.故答案为：.17.【答案】（1）解：因为，，所以【分析】根据平面，直线到平面的距离转化为点到平面的距离，，利用向量法即可求出点到平面的距离，进而求出直线到平面的距离.所以．（2）解：因为分别是，，，的中点，15.【答案】所以【解析】【解答】由可得，即圆心为，半径所以.为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量减法法则及向量数量积的运算，即可证得；（2）利用向量加法的平行四边形法则可得，可证得结论。即，由反射光线与圆相交可得，，18.【答案】（1）解：圆的方程配方可得，圆心，半径，化简得，即.圆的方程配方可得，圆心，半径，故答案为：所以两圆心的距离，，，【分析】求出圆心与半径，关于轴的对称点的坐标，设出过A’与圆相交的直线方程，利用所以，圆心到直线的距离小于半径，可得，求解可得直线的斜率k的取值范围.所以，圆与圆相交．16.【答案】20将方程与相减，【解析】【解答】解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所得：，示：在中，，，所以，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；在中，，由勾股定理得，即，所以（2）解：由（1）可得，代入圆的方程，，又，所以旋转后灯管升高的高度为，，故答案为：20. 以过O点且平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，因为所以，如图所示：所以，，则，，，，，即四边形的面积为8．【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距大于两圆半径差的绝对值且所以，，小于两圆半径和可得两圆相交，直接联立两圆方程，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程；设平面的一个法向量，则有（2）由（1）可得点P的坐标，代入圆的方程可求得，结合根据勾股定理可得，进而求出四边形的面积．，即，19.【答案】（1）证明：取的中点G，连接，，如图所示：因为M为的中点，所以且，取，则，，则，平面的一个法向量，又因为N为的中点，所以且，设平面与平面夹角为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以，所以平面．即平面与平面夹角的余弦值为．（2）解：因为平行六面体中，四边形和均为正方形，【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，推出四边形为平行四边形，得所以，，，根据线面平行的判定定理可证得平面；又因为，所以平面，（2）由已知可知四边形和均为正方形，推出平面，过做过做交于O，交于O，推出平面，可得为与平面所成的因为平面，所以，角，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，以过O点且平行于的直线因为，所以平面.所以为与平面所成的角，即，为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面与平面夹角的余弦值．设，则，20．【答案】（1）解：设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，在中，，．即的斜边上的中线长，因为，所以，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，，，所以点C的轨迹方程是．轴平面，平面的一个法向量，（2）解：直线可整理为，设直线与平面所成的角为，则，方程组的解为，，当时，取得最小值，取得最大值，所以直线恒过定点，将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，又在上单调递增，当时，取得最大值，所以直线与曲线C恒有两个不同交点．此时，即的长度为．由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，【解析】【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；又所以此时弦长为，（2）以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求所以直线被曲线C截得的最短弦长为．出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值，进而求【解析】【分析】（1）由已知条件可得点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得线段的中点C的出的长度。轨迹方程；2.【答案】（1）解：由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，（2）①求出直线经过的定点，然后把定点代入圆C的方程，可得定点在圆C的内部，即可证得直线整理得，与曲线C恒有两个不同交点；②由①知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用勾股定理即可求出直线被曲线C截得的因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，最短弦长。21.【答案】（1）证明：在菱形中，，为的中点，，又因为，解得或，平面平面，且平面平面，平面，所以，直线的方程为或．平面，又平面，平面平面．（2）解：当时，，，（2）解：由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为因为直线，都是圆C的切线，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以直线的方程为；则，，，，，，，设，此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即因为，所以，所以，所以，，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），的最大值为，则直线，把代入，解得，所以面积的最大值为．所以点Q的坐标为．【解析】【分析】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，再根（3）解：因为为定值，且M，N在x轴上．据点到直线的距离公式和勾股定理即可求出直线的方程；所以要求面积的最大值，即求点Q的纵坐标的绝对值的最大值，（2）由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，再根据直线与圆相切的位设点Q的纵坐标为，置关系结合点到直线的距离公式即可求出点Q的坐标；由（2）知，当直线的斜率不存在时，，（3）由题意可知为定值，且M，N在x轴上，所以要求面积的最大值，即求点Q的根据对称性，当直线的斜率不存在时，；纵坐标的绝对值的最大值，由此分直线和的斜率不存在和直线，的斜率都存在两种所以当直线，的斜率都存在时，情况，求出点Q的纵坐标为，根据面积公式列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。设直线的斜率为，则，即，因为与圆C相切，所以有，得或（舍去）．所以．同理可得．由，解得．又，，高二上学期数学期中考试试卷A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多选题一、单选题9．已知直线，则下述正确的是（）1．直线的倾斜角()A.直线l的斜率可以等于A．30°B．60°C．120°D．150°B.直线l的斜率有可能不存在2．已知直线与直线平行，则实数的值是（）C.直线l可能过点A．1B．-2C．1或-2D．不存在D.若直线l的横纵截距相等，则3.已知向量，，且，其中、，则（）10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是A．4B．-4C．2D．-2（）4.圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为A．B．（）A．或B．或C．D．C．或D．或2＋y2－2x＝0和圆O226．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余11．圆O1：x2：x＋y＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0弦值为（）B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0A．B．C．D．C.公共弦AB的长为7.若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1A．B．12.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则C．D．称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A.距离坐标为（0，0）的点有1个8.已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足B.距离坐标为（0，1）的点有2个，则直线与圆的位置关系为（）. C.距离坐标为（1，2）的点有4个（2）求点到平面的距离；D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上（3）求二面角的余弦值．三、填空题21.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为实数a的值为.轴建立如图所示的平面直角坐标系.14．已知实数，满足方程，则的最大值为.（1）求直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.22.直线经过定点，点在直线上，且.16.已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求为.四、解答题的最小值.17.若直线的方程为.答案解析部分（1）若直线与直线垂直，求的值；1.【答案】A（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】【解答】可得直线的斜率为，18.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.由斜率和倾斜角的关系可得，又∵（1）试用向量，，表示向量；∴（2）若，，，求的值.故答案为：A.19.已知以点为圆心的圆与，过点的动直线与圆相交于，两【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆2.【答案】C的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问【解析】【解答】因为直线，互相平行题．则两直线的斜率都应存在，（1）求圆的方程；所以由两直线平行得到20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，是上一点，且．解得或，（1）证明：面；故答案为：C答案.6.【答案】C【分析】利用直线平行的性质可得，求解可得实数的值。【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3.【答案】B，所以，【解析】【解答】向量，，且，，解得因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，，故答案为：C.因此，.【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。故答案为：B.7.【答案】C【解析】【解答】由得，【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m=-6，n=2，由此能求出m+n.所以圆的圆心为，半径为，4.【答案】C因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，【解析】【解答】圆化为标准方程为：不妨设直线的方程为：，即圆化为标准方程为：则有，即，整理得，解得，所以两圆的圆心距为：两圆相交记的倾斜角为，则，故答案为：C又，所以.【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.5.【答案】A故答案为：C.【解析】【解答】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线倾斜角的取值范围.根据点，到直线的距离相等，得，解得8.【答案】A或，【解析】【解答】由得，故直线的方程为或.，故答案为：A.因为，，所以，【分析】设出的斜率，用点斜式写出直线的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得对于B，圆的圆心为，，所以圆心到直线的距离，故相切，则线段AB中垂线斜率为，故答案为：A.即线段AB中垂线方程为：，整理可得，B符合题意；【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.对于C，圆，圆心到的距离为9.【答案】B,D，半径【解析】【解答】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A不符合题意；B符合题意；，不在直线上，C不符合题意；所以，C不正确；时，纵截距不存在，时，令得，令，，由对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线得，D符合题意．故答案为：BD．AB距离的最大值为，【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距.D符合题意.10.【答案】A,C故答案为：ABD【解析】【解答】由图A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，A能成立；【分析】根据题意把两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断出选项A正确；求出两圆圆心坐由图B可得直线l1，的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断出选项B正确；根据题意求出圆心O1的距离，再由点到直矛盾，B不能成立；线AB的距离公式计算出d的值，进而求出d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公由图C可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，C共弦长，由此即可判断出选项C错误，D.正确；由此即可得出答案。能成立；12.【答案】A,B,C由图D可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，矛【解析】【解答】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离盾，D不能成立.坐标为（0，0)的点只有1个，A符合题意，故答案为：AC对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B符合题意，【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出答案.1.【答案】A,B,D对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，【解析】【解答】对于A，由圆与圆的交点为A，B，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C符合题意，两式作差可得，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D不符合题意，即公共弦AB所在直线方程为，A符合题意；故答案为：ABC作交于点，由，，平面所以平面，所以【分析】根据新定义逐项进行分析，可得答案。13.【答案】，所以【解析】【解答】由题意，故答案为：所以，解得.【分析】证明平面，所以，求得故答案为：，可得求点A1到直线DB的距离.【分析】由题意得，利用平面向量数量积的运算即可求出实数a的值。16．【答案】14．【答案】【解析】【解答】【解析】【解答】由，所以，圆心为，当且仅当时等号成立.圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，由在圆外知的取值范围是，所以能成立，所以的最大值为故的最小值为.故答案为：由知，萌点的轨迹为圆，方程为.故答案为：【分析】把已知圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，由圆心到的距离为2，可得圆上的点到的最大距离，进而求出的最大值。【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可得圆的萌点的轨迹方程.15．【答案】17．【答案】（1）解：直线与直线垂直，【解析】【解答】解：在菱形中，，，，解得．所以是边长为2的等边三角形，（2）解：当时，直线化为：．不满足题意．又因为为的中点，所以，又面面，面面，当时，可得直线与坐标轴的交点，．平面，所以平面，直线在两轴上的截距相等，，解得：．记线段的中点为，依据可得该直线的方程为：，．且，，则【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，所以，解得，直线的方程为．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．．18.【答案】（1），若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．故综上直线的方程为或．∵点E为AD的中点，【解析】【分析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；(2)由已知弦长求出点A到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解可故得直线的方程.（2）由题意得20.【答案】（1）因为平面，平面，所以，故又因为底面是矩形，所以，故又，所以面；【解析】【分析】(1)根据向量的运算性质求出即可；（2）如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系：(2)根据向量的运算性质代入计算即可.因为，，所以，19.【答案】（1）解：选①设，所以，，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离又因为，所以，所以，所以，即，所以圆的方程为设平面的一个法向量为，因为，．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，又，所以，取，所以，所以圆的方程为．记点到平面的距离为，选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则所以；，解得，或，舍去．（3）由（2）可知：，所以圆的方程为．（2）当时，求直线的方所以，程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以，取，所以，所以，又，所以，取，所以，所以，结合图形可知二面角为锐二面角，解得，所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面.ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面所以的长度为．PAD；【解析】【分析】(1)求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；(2)由(1)知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，(2)利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度.进一步得到M为PD的中.点，再由等体积法求M到平面PAC的距离；2.【答案】（1）解：，因为，(3)以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的则，所以，余弦值可得二面角B-AM-C的余弦值.（2）解：圆的方程为：，圆心；设关于直的对21.【答案】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；称的为，则，可得，所以，（2）设，的方程为，连接线段交圆于点，交直线于点，所以点到直线的距离为：则，，当且仅当，，，共线时，达到最小值，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以所以，．【解析】【分析】（1），因为，转化为坐标表示即可设，，，，求解；（2）圆心；求出关于直的对称的点，所以为的中点，在上；，再减去圆的半径即可求解. 高二上学期数学期中考试试卷A．+，-2，B．-，+3，2一、单选题C．，2，-D．+，-，1.直线的倾斜角为（）10.下列说法正确的是（）A．B．C．D．A.过，两点的直线方程为2.在空间直角坐标系中，，，则向量（）A．B．B.点关于直线的对称点为C．D．C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是23.直线在y轴上的截距为（）D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为A．B．3C．-3D．11.若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）4.已知向量，向量，且，则（）A.3B．C．1D．A．1B．2C．3D．45．两平行直线与之间的距离为（）12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．A．AC1=66．已知，，，若，，共面，则z的值是（）B．AC1⊥DBA．-5B．5C．-9D．9C．向量与的夹角是60°7.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则D．BD1与AC所成角的余弦值为＝（）三、填空题A.B．13.已知直线与直线垂直，则C．D．14.直线恒过定点为.8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值15.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为．范围是（）16.已知点在曲线上运动，则的取值范围为．A．B．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：C．D．（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；二、多选题（Ⅱ）求△ABC的面积．9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） 18.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.【解析】【解答】因为，，（1）求圆C的标准方程；所以向量。（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.故答案为：B.19.如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且．（1）证明：平面；【分析】利用已知条件结合三角形法则，从而结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标。（2）求点到平面的距离．3.【答案】D20.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，【解析】【解答】在令，得，且．．故答案为：D．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【分析】通过x=0，求出y的值，即可得到结论．21.已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线4.【答案】C所在直线的方程为.【解析】【解答】因为，则，解得，，因此，。（1）求点坐标；故答案为：C.（2）求边所在的直线方程.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示求出的值，进而求出的值。（1）求圆的方程；5.【答案】B（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，【解析】【解答】化简直线可得：，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．根据平行线间距离公式知。答案解析部分1.【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】因为，即，设直线的倾斜角为，则【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式，进而求出两平行直线与之间，因为，故。的距离。6.【答案】D故答案为：D.【解析】【解答】∵，，，，，共面，【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的∴，即，斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。2.【答案】B 【分析】利用直线分别与轴，轴交于，两点，从而求出点A，B的坐标，再利用两点求距离公式求出AB的长，再利用点P在圆上，从而求出圆心坐标，再利用点到直线的距离∴，解得。公式得出圆心到直线距离，从而求出点P到直线的距离的取值范围，再结合三角形面积公式得出三角形面积的取值范围。故答案为：D.9．【答案】A,C【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合【解析】【解答】A.设+=x（-2）+y=，则无解，所以+，-2，向量的坐标运算，进而解方程组求出x，y，z的值。不共面，故正确；7.【答案】C【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，B.设-=x（+3）+2y=，则，解得，所以-，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得。+3，2共面，故错误；故答案为：CC.设=2x）+y=，则，无解，所以，2，-不共面，故正【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中确；点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。D.设+=x（-）+y=，则，解得，所以+，-，共8.【答案】A面，故错误；【解析】【解答】直线分别与轴，轴交于，两点，故答案为：AC，则，【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法，从而找出能构成空间的一个基底的一组向量。点P在圆上，10.【答案】B,C圆心为（2，0），则圆心到直线距离，【解析】【解答】对于A：当，时，过，两点的直线方程为故点P到直线的距离的范围为。，A不正确；则。对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关故答案为：A. 于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B符合题意；=·-·+-·+·-=0，所以B符合题意；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.面积是，所以C符合题意；因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；因为=+-=+，故答案为：BC.所以||==6，||==6，【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截·=(+-)·(+)=36，距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。所以cos<>===，所以D不正确.1.【答案】B,C,D【解析】【解答】点在直线上，，则，故答案为：：AB.由图可知，中，，即点P在圆上，【分析】以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，再利用数量积的定义得出·故联立方程，得，有判别式，=·=·=18，再利用平行四边形法则和数量积求向量的模的公式，得出||的值；再利用数量即，解得，A不符合题意，BCD符合题意.积的运算法则结合数量积的定义，得出·=0，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出故答案为：BCD.AC1⊥DB；再利用三角形△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°，再由=，且向量与的夹角是120°，从而求出与的夹角；再利用平面向量基本定理结合数量积求向量的模的公式，得出||和【分析】利用点在直线上，，则，在中，|的值，再利用数量积的运算法则求出数量积的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出BD1与AC，即点P在圆上，再联立直线与圆的方程结合判别式法得出实数m的取值范围，所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。进而求出实数m可以取的值。13.【答案】12.【答案】A,B【解析】【解答】由题设知：，解得。【解析】【解答】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故答案为：。所以·=·=·=6×6×cos60°=18，【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，14.【答案】则||=|++|=6，所以A符合题意；【解析】【解答】直线方程可化为，由，得，·=(++)·(-)所以直线过定点。故答案为：。值，当时，得出，从而求出的取值范围。17．【答案】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．【分析】将直线方程化为，再利用方程组求出直线恒过的定点坐标。∴直线AD的方程为，15.【答案】整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），【解析】【解答】因为，，则，∴|BC|=．点到平面的距离为。又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，故答案为：。∴△ABC的面积为=10．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出线段BC的中点D的坐标，再利用两点式求出直线【分析】利用已知条件和向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用法向量的定义结合数量积求出点到AD的方程，再转化为直线AD的一般式方程。平面的距离。（2）利用B（-2，3），C（0，-3），再利用两点距离公式得出BC的长，再利用直线BC的方程为3x+y+3=0结合点到直线的距离公式，得出点A到直线BC的距离，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面16.【答案】积。【解析】【解答】变形得，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，直线方程为18．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，即，因此，（由图舍去），时，．直线与圆相切，．圆的标准方程为：，（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，所以的取值范围是。即：，，又，故答案为：。．解得：．直线的方程为：．【分析】将变形得出，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，因为点②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，从而设出直满足条件．线方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式得出k的综上所述的方程为：或因为，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距所以离，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程。方法二：在平行四边形中，易得，（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再利用弦长公式得出直线的斜率，从而求出由余弦定理得，，直线的方程。因为平面，所以有，，19．【答案】（1）设，，．所以，，由题知：，所以，又所以．故．方法三：在平行四边形中，易得，，故．平面，所以有，，又．，，故．所以，又因为平面，平面，且，所以平面．（2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为：所以，．（2）解：方法一：由（1）得，设为平面的一个法向量，所以，即，可取，【解析】【分析】（1）设，，，利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，得出，，再利用三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定同理，设为平面的一个法向量，理得出，再利用数量积的运算法则结合数量积定义，从而推出，再利用数量所以，即，积为0两向量垂直的等价关系，从而证出，同理得出，再利用线线垂直证出可取，线面垂直，从而证出平面。（2）由（1）结合数量积求向量的模的公式，从而得出点到平面的距离。所以，20.【答案】（1）证明：方法一：由得，，所以，由图可知，二面角的平面角是钝角，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，二面角的余弦值所以，，，，方法二：分别取，的中点，，连接，，，所以，，明PA⊥PC；由（1）知，，所以，，(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量，即可求得答案；由，，，知，方法二：(1)根据题意，求得：，即可证明PA⊥PC；又，分别为，的中点，所以，即，(2)构造出二面角的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值；因为，分别为平面与平面内的直线，方法三：利用向量法，分别表示出，因此可得，因此可得PA⊥PC；且它们的交点在直线上，所以为二面角的平面角，(2)根据几何关系，二面角的大小等于，根据向量的运算，即可求得二面角因为，所以，的余弦值.由（1）知，平面，即，21.【答案】（1）解：由题意可知，点在直线上，设点，所以，线段的中点坐标为，由图可知，二面角的平面角是钝角，由题意可知，点在直线上，则，所以，二面角的余弦值．解得，则，所以，点的坐标为方法三：由，得，所以，（2）解：设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，由（1）可知，平面，又面，所以，由四边形为平行四边形，所以，所以，由题意可得，解得，即点，取的中点，连接，，则，所以，所以，直线的斜率为，由且，得二面角的大小等于，所以，直线的方程为，即所以，，【解析】【分析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数所以，的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.又，2.【答案】（1）因为圆心在直线上，所以，二面角的余弦值．设圆心坐标为．【解析】【分析】方法一：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求得由，即可证又因为圆经过坐标原点和点，用圆经过坐标原点和点，再利用圆的半径长相等，所以，再利用两点距离公式得出所以，即，解得：a的值，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径长，从而求出圆C的标准方程。．所以圆心为．半径为．（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为，设过的与圆相切的直所以圆的方程为：．线斜率为，则切线方程为：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到切线的距离（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不，整理结合韦达定理得出，，记直线的斜率为，直线的斜率为，为．设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．从而而得出直线：和直线：，令，得，故圆心到切线的距离．，再利用两点距离公式得出，再利用三角形的面积公式得出整理得：．故：，，再结合换元法，令，则，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求．不妨记直线出三角形面积的取值范围，进而求出三角形面积的最小值。的斜率为，直线的斜率为．所以有：，：，令得，．所以：．．令，则．．所以．．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，结合代入法，从而设圆心坐标为，再利
简介：高二上学期数学期中考试试卷9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（）一、单选题A．与是共线向量1.若直线的倾斜角为，则等于（）B.与共线的单位向量是A．2B．1C．-2D．-1C.与夹角的余弦值是2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（）A．0B．C．0或-D．0或D.平面的一个法向量是3.直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（）10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已A.B．C．D．知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）4.直线与曲线（）A．B．C．D．A.没有交点B．只有一个交点11.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是（）C．有两个交点D．有三个交点A.异面直线与所成的角为5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）B.直线与垂直A．B．C．D．C.直线与平行6.已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（）D.直线平面A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0C．D．12.椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）7.设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值A．，满足的点P有两个为（）A．8B．10C．12D．15B．，满足的点P有四个8.已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点C．的面积的最大值在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（）D．的周长小于三、填空题A．B．2C．3D．413.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．二、多选题 14.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面15.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，积为．是的中点，则与平面所成角的正弦值为.（1）求椭圆的离心率；16.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．C的离心率的最小值为．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的答案解析部分离心率取得最小值时，的最大值是．1.【答案】B四、解答题【解析】【解答】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得。17.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．故答案为：B.（1）用向量表示，；【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再结合两点求斜率（2）若，求实数的值．公式，进而求出实数a的值。18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面2.【答案】CABCD，AB=AP=1，AD=3．【解析】【解答】由题意得出，解得或（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；。（2）求点D到平面PBC的距离．故答案为：C．19.已知圆C经过和两点，圆心在直线上．（1）求圆C的方程．【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的坐标表示，进而求出实数的值。（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．3.【答案】B20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且【解析】【解答】由直线与直线互相垂直，．可得，即，（1）求椭圆的标准方程；所以直线的方程为：；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．由，21.如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）.得它们的交点坐标为。（1）若为的中点，证明：；故答案为：B.（2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围. 【分析】理由已知条件结合直线与圆联立求交点的方法，得出两交点A，B的坐标，再利用中点坐标公式求【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数k的值，进而求出直线的方出线段AB的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段AB的中垂线的斜率，再利用点斜式方程求出线段AB的中垂线方程。程，再利用两直线联立求交点的方法，进而求出两直线的交点坐标。7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由已知，①【解析】【解答】当时，曲线为，与直线方程联立得：由椭圆定义知，解得：，此时直线与曲线有两个交点，②当时，曲线为，与直线方程联立得：由余弦定理得，③解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点由①②③得出。综上所述：直线与曲线有三个交点故答案为：D.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答从而得出，②，由余弦定理得案。，③，由①②③得出的值。5.【答案】C8.【答案】B【解析】【解答】因为空间向量，，，【解析】【解答】由双曲线，可得，，因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量是。过点作轴，垂足为，故答案为：C则，，即，【分析】理由已知条件结合数量积的坐标表示和数量积的定义，再利用向量的模的坐标表示，从而理由向量又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，投影的求解方法，进而求出向量在向量上的投影向量的坐标表示。6．【答案】B代入点的坐标，可得，【解析】【解答】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，整理得，即，所以双曲线的离心率为。所以，即，所以。故答案为：B.故答案为：B 【分析】设，由已知结合重心的定义，进而求出三角形△的重心坐标为，再利用三【分析】由双曲线，可得，再利用角形的重心在上，再结合代入法得出m-n的值，进而求出顶点C可以的坐标。，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函1.【答案】A,B,D数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且【解析】【解答】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进则，而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。对于A，，异面直线与所成的角，9.【答案】C,D【解析】【解答】对于，不存在实数，使得，所以与，则，A符合题意；不是共线向量，所以错误；对于B，，则，，即直线与垂直，B符合题意；对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所对于C，，则，，即直线与不平行，C以错误；不正确；对于，向量，所以，所以C符合题意；对于D，，显然，而点直线，则，而平面，平面，于是得出直线平面，D符合题意.对于，设平面的法向量是，因为，所故答案为：ABD以，即，令，则，所以D符合题意．故答案为：CD.【分析】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求【分析】根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入出异面直线与所成的角；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。标表示，进而证出直线与垂直；利用已知条件结合向量共线的坐标表示，再结合两向量垂直数量积10.【答案】A,D为0的等价关系，从而利用数量积的坐标表示，进而推出直线与不平行；再利用已知条件结合向量【解析】【解答】设，由已知△重心坐标为，共线的坐标表示，进而推出，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面，进又重心在上，则，可得，而找出结论正确的选项。∴A、D符合要求.12.【答案】A,C,D故答案为：AD【解析】【解答】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. A中，，，正确；c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．B中，，不存在90°的，错误；14.【答案】C中，面积，正确；【解析】【解答】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所D中，周长，正确.以最短弦长为故答案为：ACD【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3，1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出.【分析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知，再利用已知条件结合a，15.【答案】b的关系式和椭圆中a，b，c三者的关系式，得出b与c的关系式，从而得出，进【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故而得出满足的点P有两个；再利用已知条件结合a，b的关系式，得出两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，，不存在90°的；再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法和由，则，所以.设平面的法向量为几何法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，得出三角形的面积的最大值；再利用已知条件结合三角形，则，令可得平面的法向量坐标为，的周长公式和焦距的定义以及椭圆的定义，从而求出三角形的周长小于4a，进而找出说法正确的选于是所求线面角的正弦值为。项。故答案为：。13.【答案】2【解析】【解答】解：∵m2+4＞0【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故∴双曲线的焦点必在x轴上两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐因此a2=m＞0，b2=m2+4标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。∴c2=m+m2+4=m2+m+416.【答案】；∵双曲线的离心率为，【解析】【解答】如图所示：∴，可得c2=5a2，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，所以m2+m+4=5m，解之得m=2P对两个焦点的张角渐渐增大，故答案为：2当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，17.【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，可得中，，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，所以，即，用向量表示，。（2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，所以椭圆离心率e的最小值，由，，，y，z的值。解得，，18.【答案】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，圆的圆心，半径，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），，，∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），而当取得最大值时，取得最大值，设异面直线PB与CD所成角为θ，所以当共线时，取得最大值，则cosθ=，所以，所以异面直线PB与CD所成角大小为．。（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），故答案为：，。则，取x=1，得=（1，0，1），【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，点P对两个焦点的张角渐渐增∴点D到平面PBC的距离d=．大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由椭圆上存在一点P，使得【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点，可得在中，，可得中，，再利用正弦函数的图的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出异面直线PB与象的单调性，得出，再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率eCD所成角大小。（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合的最小值；再由结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式得出a，向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求出点D到平面PBC的距离。c的值，再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用椭圆的定义得出的值，从而得19.【答案】（1）因为，AB中点为，出，而当取得最大值时，取得最大值，所以当所以AB中垂线方程为，共线时，取得最大值，进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大即，解方程组得值。所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，于是得因此，所求的圆C的方程为．，（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，解得或，此时，符合．因直线与椭圆交于，两点，同理：，②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，因，即，于是得，而又因为，所以，，即，解得，直线方程为，所以.综上，直线l方程为或．【解析】【分析】（1）将直线的一般式方程求出直线AB的斜率，再利用已知条件结合两点中点坐标公式，进【解析】【分析】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，从而求出AB中点坐标，再利用点斜式方程求出直线AB中垂线方程，再结合两直线联立求交点的方法，进而求而求出c的值，再利用点为椭圆的上顶点，且，从而求出b的值，再利用椭圆中a，b，c出圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式，从而求出圆的半径长，进而求出圆C的标准方程。三者的关系式，得出a的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得出y的值，进而求出此时MN的长；当直线l斜率存在时，设方程为，再利用点到直线的距离公式得出圆心到（2）由(1)知，椭圆：，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设直线l的距离，再利用弦长公式得出d的值，进而求出直线的斜率，从而求出直线的方程，进而，再结合韦达定理得出，，再利用弦长公式得出求出满足要求的直线l的方程。，再利用直线与椭圆交于，两点，同理得出20.【答案】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，即c=1，，再利用，得出，而，从而证出因为椭圆的上顶点，且，则，，。所以椭圆的标准方程为.21.【答案】（1）解法一：取的中点，连接，.因为为正三角形，则.由已知，则平面，（2）由(1)知，椭圆：，令消去y得：，所以.①则，设，则有，，因为，，则，所以，从而与互余，所以.② 结合①②知，平面，所以.【解析】【分析】（1）利用两种方法证明。解法一：取的中点，连接，，再利用三角形解法二：分别取、的中点、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间为正三角形结合三线合一，推出，由已知结合线线垂直证出线面垂直，则直角坐标系.平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以①，再利用，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，，则，再结合两三角形全等对应角相等，则点，，，.所以，从而与互余，所以②，结合①②知，平面从而，，则，，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。解法二：分别取、的中点所以.、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，（2）解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为.再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0零向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表作，垂足为，连结，则，所以.示，从而证出。设（），由余弦定理可得，由等面积可得，（2）利用两种方法求解。解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为，作，垂足为，连结，则，所以，设（），由余弦由相似三角形性质可得.定理可得AE的长，由等面积可得BF的长，由相似三角形性质可得BD的长，在中结合正切函数的在中，.定义得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合商数关系得出的取值范围。解法二：设（），从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量因为，则，所以.的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得平面与面所成的二面角大小的余弦值，再利用解法二：设（），则点，.结合二次函数图象求值域的方法，进而求出的取值范围。设为平面的法向量，由，得，2.【答案】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．取，则，，所以.又由可得，即．又平面的法向量，则又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.．由（1）知，则直线AE的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，，因为，则，所以. 即点的坐标为．由已知，有．整理得．所以．即直线的斜率为．解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为由（1）知，则直线AE的方程为，即，由解得∴点坐标为，由已知，有，整理得，即．即直线的斜率为．【解析】【分析】（1）设椭圆的离心率为e，由已知结合三角形的面积公式，可得．又由椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式，进而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆的离心率。（2）利用两种方法求解。解法一：依题意，设直线的方程为，从而求出直线的斜率为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再与直线的方程联立求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出m的值，从而求出直线的斜率。解法二：依题意设直线的斜率为k，从而设出直线的方程为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再联立两直线方程求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出直线的斜率。高二上学期数学期中考试试卷A．B．C．D．一、单选题10．已知直线和直线，下列说法正确的是（）1.直线的一个方向向量是（）A.当时，A．B．C．D．B.当时，2.过两点的直线的倾斜角为（）C.当时，A．B．C．D．D.直线过定点，直线过定点3．已知向量，且，则（）11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可A．-2B．-C．D．2以是（）4.已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点A．B．2C．D．与共面，则的值为（）12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上A．-2B．-1C．1D．2的动点，则下列结论正确的是（）5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（）A.点到直线的距离为A．B．C．D．6.过点作圆的切线，则切线的长为（）B.与平面所成角为A．B．C．D．C．面7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同D．三棱柱的外接球半径为一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三、填空题的顶点，则欧拉线的方程为（）13．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A．B．14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程C．D．为．8．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）15．已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量．A．B．C．D．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程二、多选题是，面积的最大值是.9．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向四、解答题量，则下列各点在平面内的是（） 17.已知空间三点，设，.【解析】【解答】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，（1）若向量与互相垂直，求的值；又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，（2）求向量在向量上的投影向量.故答案为：A.18.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.（1）证明：平面；2.【答案】C（2）求点到平面的距离.【解析】【解答】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB19.已知的顶点.的倾斜角为.（1）求直线的方程；故答案为：C.（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解.20.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.3.【答案】A（1）求圆的方程；【解析】【解答】由题意可得，（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.解得，21.在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.所以.（1）求的取值范围；故答案为：A（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面【分析】根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解，即可得答案.与平面夹角的大小.4.【答案】B22.已知在中，点，，点在直线下方，且.【解析】【解答】由点与共面，且，（1）求的外接圆的方程；可得，解得：，（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定故答案为：B.点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可求出的值.答案解析部分5.【答案】C1.【答案】A 【解析】【解答】异面直线的方向向量分别是所以欧拉线的方程为.故答案为：D.，【分析】由题可得的重心，再由欧拉线的定义可得即是AB的中垂线，求出AB的中点D的坐标，异面直线所成角为范围为，夹角的大小是再求直线AB的斜率，可得AB的中垂线的方程，即求出欧拉线的直线方程.故答案为：C8．【答案】B【分析】根据题意，由空间向量数量积公式求出的值，进而求出的大小，由异面直线所成【解析】【解答】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：角的定义分析可得答案.可表示点与点连线斜率6.【答案】C当直线与圆相切时：设直线方程为，即【解析】【解答】由可得，所以圆心，半径，圆心到直线距离，则，解得或，所以切线的长为.故答案为：C.又，所以，当直线经过点时，，【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心和半径，求出圆心到点P的距离，根据圆的半径，即可求出切线长.综上7．【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】由题可得的重心为，【分析】由条件可得点P(x，y)是以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆上的点，而表示点直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为与点连线斜率，由几何意义可得答案.，即，9.【答案】A,C直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为【解析】【解答】设平面内点的坐标为，，即，则，联立可得垂心坐标为，平面的一个法向量是，所以，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，即. 故答案为：AC故答案为：BCD【分析】设平面内点的坐标为，利用，得到，即可得到答案.【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，求解可得答案.10.【答案】A,C,D12.【答案】B,C【解析】【解答】对A和B，如果，则和的斜率相等，时，【解析】【解答】对A，取中点，则，，则，解得或.当时，，，两直线既不平行也不垂直.，当时，，，A对.则，则点到的距离为，设点到直线的距离为，当时，，，B不符合题意.则，解得，A不符合题意；对C，当时，，，，所以，C对.对B，平面即平面，设直线与交于，连接，可得，对D，转化为斜截式为，即，所以过定点因为平面ABCD，则，所以平面，则即为与平面.同理，，时转化为斜截式为，即所成角，则，则，B符合题意；，过定点；时，为，也过定点，D对.对C，连接交于E，连接，，四边形为平行四故答案为：ACD.边形，，因为为中点，，则四边形为【分析】对A中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相等，与常数项之比不平行四边形，，因为在平面外，平面，所以平面等，来判断两条直线是否平行；对B中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相，C符合题意；等，与常数项之比不等，来判断两条直线是否平行；C中a的值代入，x，y的系数相乘，再相加是否为0来判断命题的真假；D中，将直线整理可知两条直线恒过的定点的坐标.对D，三棱柱的外接球等价于正方体的外接球，球半径为，D不符合题1.【答案】B,C,D意.【解析】【解答】因为圆心到直线的距离故答案为：BC.，【分析】对于A选项，点到直线的距离为，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线因为上恰有相异两点到直线的距离等于，与交于，连接，即为与平面所成角，再结合几何关系求解，即，即可；对于C选项，连接交于E，连接，证明即可判断；对于D选项，转化解得，为正方体的外接球求解即可.程；当直线过原点时，直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程，综合可得答案.13．【答案】相交15．【答案】【解析】【解答】由圆与圆，【解析】【解答】解：如图：分别得到标准方程和，.则两圆坐标分别为和，半径分别为，故答案为：.则两圆心之间的距离，【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于的表达式.则，即，故两圆的位置关系是相交，16.【答案】；3故答案为相交.【解析】【解答】设，由题，即，整理得，以OA为底，且到OA的最大距离为半径2，【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径R与r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.所以面积的最大值是.14．【答案】3x-2y=0或x+2y-8=0故答案为：；3.【解析】【解答】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，【分析】设M(x，y)，由条件列出方程，化简即可求出动点的轨迹方程；由到OA的最大距离为半径2，可得面积的最大值，从而可计算三角形面积.又直线l过点，故直线l的斜率，17.【答案】（1）解：由已知得，故直线l的方程为，即；.当时，直线l的方程为，即，所以，∴直线l过点，∴，.因为与互相垂直，所以∴，，∴直线l的方程为．即，解得或.综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-（2）解：因为，，，8=0．故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0.所以，【分析】当直线不过原点时，设直线l的方程为，把点代入求得a的值，即可求得直线l方即中线所在直线的方程为，所以向量在向量上的投影向量.设顶点，所以，【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量与的坐标，由向量垂直的充要条件，列式求解即可；因为，点到直线的距离，(2)利用向量投影的概念和公式求解计算即可.因为，所以，18.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．整理得，所以或，又因为分别为，的中点，，所以.即或.，又因为，所以.由得，此时顶点；由于，所以平面（2）解：由（1）知，，．又平面，由得，此时顶点，所以平面．因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系所以顶点的坐标为或.．【解析】【分析】(1)求出直线AB的斜率，代入点斜式方程求出直线AB的方程即可；(2)设出C的坐标，联立方程组，求出C的坐标即可.由题意得，，，，所以，，20.【答案】（1）解：设圆的方程为，因为到直线距离为.，设平面的法向量为，所以，从而，令，则所以，解得，所以圆的方程为；，，所以平面的法向量.所以点到平面的距离（2）解：因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.．中点坐标为，，【解析】【分析】(1)只要证明AC垂直于平面BEF内两条相交直线即可；(2)用向量数量积计算点到平面的距离.所以以与为直径端点圆的方程为.19.【答案】（1）解：直线的方程为，即；联立方程组，两式相减得.（2）解：边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得，所以直线的方程为.【解析】【分析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立的空间直角坐标系，设，求出，通过数量积为0，求解的【解析】【分析】（1）由圆心在x轴的正半轴上，设圆的方程为，由圆C被直线x-取值范围；y=0截得的弦长为，知圆心到直线距离为，求出a，由此能求出圆的方程；(2)当时，解得或，即满足条件的点E有两个，求出（2）求出以与为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程.求出平面和平面的的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面夹角的大21.【答案】（1）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建小.立如图所示的空间直角坐标系.2.【答案】（1）解：的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，所以该圆设，则，所以.的半径.因为，所以.圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.因为，所以，即.所以外接圆的方程为.（2）解：当时，，解得或.（2）解：设过点的直线方程为.①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.不妨取，②当时，由得，设，，所以，，设平面的法向量为，则，.由，得，则，即，整理得则，令，则，所以..设平面的一个法向量为，所以对恒成立，即恒成立，故，即则，令，则，所以..综上所述：存在点符合题意.所以，得.【解析】【分析】（1）由已知条件可得该圆的半径，圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标，进而可得外接圆的方程；所以平面与平面的夹角为. （2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标. 高二上学期数学期中考试试卷A．78B．72C．68D．62二、多选题一、单选题9．下列说法正确的是（）1.已知向量，，若，则（）A.任意两个空间向量都共面A.2B．C．-2D．B.若向量，共线，则与所在直线平行2.已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）C.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为A．B．D.已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得C．或D．不存在3.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为4.如图，在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点G满足，若，，，则（）B.点关于直线的对称点为A.B．C.圆与圆可能内含、内切或相交C．D．D.若圆与圆相离，则11.平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（）5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.点P到圆O上的点的距离最大值为A．B．B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为C．D．C.过点P与圆O相切的直线方程为6.已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1A．B．C．±1D．112.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，平面平面，A．当时，，则直线与直线所成角的余弦值为（）B.当时，平面A．B．C．D．C.当，时，三棱锥的体积为定值8.已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两D.当，时，与平面所成角的正切值为三、填空题点，则的值为（）（1）证明：平面平面；13.过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求m的值为．的长度，若不存在，说明理由．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为．22.已知圆，点，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于15.一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．，两点．16.如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为（1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；cm．（2）当时，求点Q的坐标；四、解答题17.如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．（3）求面积的最大值．（1）若，，求证：；答案解析部分（2）设，O为空间中任意一点，求证：．1.【答案】D18.已知圆，圆．【解析】【解答】，则，即，（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．故，解得，故.19.如图，平行六面体中，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；故答案为：D.（2）若四边形和均为正方形，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案.20.在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．2.【答案】C（1）求线段的中点C的轨迹方程；【解析】【解答】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；（2）若直线．当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；综上所述，或.②求直线l被曲线C截得的最短弦长．故答案为：C21.如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面．【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。 3.【答案】B的距离为1，计算即可得答案.【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的7．【答案】C象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。【解析】【解答】将平移到下图中的位置，再连接，则的大小即为直线【分析】本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。与直线所成的角.4.【答案】B由，设，则可得，，【解析】【解答】由空间的向量的运算法则，在中，由余弦定理有.可得故答案为：C..故答案为：B.【分析】将平移到下图中的位置，连接，可得的大小即为直线与直线所成的角，设，利用余弦定理可求得直线与直线所成角的余弦值。【分析】利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案.8.【答案】D5.【答案】A【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系【解析】【解答】根据题意，，根据题意，图中各点的坐标分别表示为在上的投影向量可为设点A的坐标为，则.故答案为：A.故答案为：D.【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案。9.【答案】A,C6.【答案】A【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个【解析】【解答】由圆可得圆心，半径，平面上的，所以是共面的，A符合题意；因为圆上有三个点到直线的距离等于1，对于B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，B不正确；所以圆心到直线的距离，对于C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，C符合题意；可得：，对于D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，故答案为：A.使得，D不正确.故答案为：AC.【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。意；10.【答案】B,C当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，A不符合题意；到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.C不正确；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得对于D，由题意知点，联立得，，故对称的点的坐标为，B符合题意；设，则，对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意；所以对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，.D符合题意.因为，所以或，所以或，D不符合题意.故答案为：ABD故答案为：BC【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为，依题意得到方程组，解得a，b，即点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。为k，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选1.【答案】A,B,D项C；设A，B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为及两根之积代入可得为定值，即可判断D.，A符合题意；12.【答案】B,C,D对于B，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长【解析】【解答】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，公式知，弦长为，B符合题意；则，，，，，，，对于C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题，则，，；对于A，设，则，面，由面面平行的性质可得平面，可判断B选项的正误；当，时，利用点又，，不恒成立，A不符合题意；到面的向量求法可求得点到平面的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判对于B，当时，四点共面，即平面；断C选项的正误；当，时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D，平面，平面，平面，选项的正误。13.【答案】-2同理可得：平面，又，平面，【解析】【解答】由题知，，设直线的方向向量为，则平面平面，平面，B符合题意；，对于C，设，则，即，得，解得或，设，则，，，，当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.，；故答案为：-2平面，平面的一个法向量为，【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为，得，利用坐标表示可得点到平面的距离，又，，求解可得m的值，检验可得实数m的值。，即三棱锥的体积为定值，C符合题意；14.【答案】对于D，当，时，，设，则，，，，【解析】【解答】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，平面，平面，平面，平面，平面的一个法向量，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，设与平面所成角为，则，，，，，即与平面所成角的正切值为，D符合题意.设平面的法向量，故答案为：BCD.则，令，解得：，，，【分析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，当点到平面的距离，时，得，可判断A选项的正误；当时，四点共即直线到平面的距离.【分析】设与的交点为N，过点作于M，连接AN，由等边三角形求出，由勾股定理求得CM的值，进而求出旋转后灯管升高的高度.故答案为：.17.【答案】（1）解：因为，，所以【分析】根据平面，直线到平面的距离转化为点到平面的距离，，利用向量法即可求出点到平面的距离，进而求出直线到平面的距离.所以．（2）解：因为分别是，，，的中点，15.【答案】所以【解析】【解答】由可得，即圆心为，半径所以.为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量减法法则及向量数量积的运算，即可证得；（2）利用向量加法的平行四边形法则可得，可证得结论。即，由反射光线与圆相交可得，，18.【答案】（1）解：圆的方程配方可得，圆心，半径，化简得，即.圆的方程配方可得，圆心，半径，故答案为：所以两圆心的距离，，，【分析】求出圆心与半径，关于轴的对称点的坐标，设出过A’与圆相交的直线方程，利用所以，圆心到直线的距离小于半径，可得，求解可得直线的斜率k的取值范围.所以，圆与圆相交．16.【答案】20将方程与相减，【解析】【解答】解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所得：，示：在中，，，所以，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；在中，，由勾股定理得，即，所以（2）解：由（1）可得，代入圆的方程，，又，所以旋转后灯管升高的高度为，，故答案为：20. 以过O点且平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，因为所以，如图所示：所以，，则，，，，，即四边形的面积为8．【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距大于两圆半径差的绝对值且所以，，小于两圆半径和可得两圆相交，直接联立两圆方程，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程；设平面的一个法向量，则有（2）由（1）可得点P的坐标，代入圆的方程可求得，结合根据勾股定理可得，进而求出四边形的面积．，即，19.【答案】（1）证明：取的中点G，连接，，如图所示：因为M为的中点，所以且，取，则，，则，平面的一个法向量，又因为N为的中点，所以且，设平面与平面夹角为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以，所以平面．即平面与平面夹角的余弦值为．（2）解：因为平行六面体中，四边形和均为正方形，【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，推出四边形为平行四边形，得所以，，，根据线面平行的判定定理可证得平面；又因为，所以平面，（2）由已知可知四边形和均为正方形，推出平面，过做过做交于O，交于O，推出平面，可得为与平面所成的因为平面，所以，角，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，以过O点且平行于的直线因为，所以平面.所以为与平面所成的角，即，为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面与平面夹角的余弦值．设，则，20．【答案】（1）解：设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，在中，，．即的斜边上的中线长，因为，所以，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，，，所以点C的轨迹方程是．轴平面，平面的一个法向量，（2）解：直线可整理为，设直线与平面所成的角为，则，方程组的解为，，当时，取得最小值，取得最大值，所以直线恒过定点，将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，又在上单调递增，当时，取得最大值，所以直线与曲线C恒有两个不同交点．此时，即的长度为．由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，【解析】【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；又所以此时弦长为，（2）以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求所以直线被曲线C截得的最短弦长为．出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值，进而求【解析】【分析】（1）由已知条件可得点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得线段的中点C的出的长度。轨迹方程；2.【答案】（1）解：由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，（2）①求出直线经过的定点，然后把定点代入圆C的方程，可得定点在圆C的内部，即可证得直线整理得，与曲线C恒有两个不同交点；②由①知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用勾股定理即可求出直线被曲线C截得的因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，最短弦长。21.【答案】（1）证明：在菱形中，，为的中点，，又因为，解得或，平面平面，且平面平面，平面，所以，直线的方程为或．平面，又平面，平面平面．（2）解：当时，，，（2）解：由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为因为直线，都是圆C的切线，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以直线的方程为；则，，，，，，，设，此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即因为，所以，所以，所以，，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），的最大值为，则直线，把代入，解得，所以面积的最大值为．所以点Q的坐标为．【解析】【分析】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，再根（3）解：因为为定值，且M，N在x轴上．据点到直线的距离公式和勾股定理即可求出直线的方程；所以要求面积的最大值，即求点Q的纵坐标的绝对值的最大值，（2）由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，再根据直线与圆相切的位设点Q的纵坐标为，置关系结合点到直线的距离公式即可求出点Q的坐标；由（2）知，当直线的斜率不存在时，，（3）由题意可知为定值，且M，N在x轴上，所以要求面积的最大值，即求点Q的根据对称性，当直线的斜率不存在时，；纵坐标的绝对值的最大值，由此分直线和的斜率不存在和直线，的斜率都存在两种所以当直线，的斜率都存在时，情况，求出点Q的纵坐标为，根据面积公式列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。设直线的斜率为，则，即，因为与圆C相切，所以有，得或（舍去）．所以．同理可得．由，解得．又，，高二上学期数学期中考试试卷A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多选题一、单选题9．已知直线，则下述正确的是（）1．直线的倾斜角()A.直线l的斜率可以等于A．30°B．60°C．120°D．150°B.直线l的斜率有可能不存在2．已知直线与直线平行，则实数的值是（）C.直线l可能过点A．1B．-2C．1或-2D．不存在D.若直线l的横纵截距相等，则3.已知向量，，且，其中、，则（）10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是A．4B．-4C．2D．-2（）4.圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为A．B．（）A．或B．或C．D．C．或D．或2＋y2－2x＝0和圆O226．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余11．圆O1：x2：x＋y＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0弦值为（）B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0A．B．C．D．C.公共弦AB的长为7.若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1A．B．12.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则C．D．称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A.距离坐标为（0，0）的点有1个8.已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足B.距离坐标为（0，1）的点有2个，则直线与圆的位置关系为（）. C.距离坐标为（1，2）的点有4个（2）求点到平面的距离；D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上（3）求二面角的余弦值．三、填空题21.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为实数a的值为.轴建立如图所示的平面直角坐标系.14．已知实数，满足方程，则的最大值为.（1）求直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.22.直线经过定点，点在直线上，且.16.已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求为.四、解答题的最小值.17.若直线的方程为.答案解析部分（1）若直线与直线垂直，求的值；1.【答案】A（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】【解答】可得直线的斜率为，18.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.由斜率和倾斜角的关系可得，又∵（1）试用向量，，表示向量；∴（2）若，，，求的值.故答案为：A.19.已知以点为圆心的圆与，过点的动直线与圆相交于，两【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆2.【答案】C的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问【解析】【解答】因为直线，互相平行题．则两直线的斜率都应存在，（1）求圆的方程；所以由两直线平行得到20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，是上一点，且．解得或，（1）证明：面；故答案为：C答案.6.【答案】C【分析】利用直线平行的性质可得，求解可得实数的值。【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3.【答案】B，所以，【解析】【解答】向量，，且，，解得因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，，故答案为：C.因此，.【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。故答案为：B.7.【答案】C【解析】【解答】由得，【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m=-6，n=2，由此能求出m+n.所以圆的圆心为，半径为，4.【答案】C因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，【解析】【解答】圆化为标准方程为：不妨设直线的方程为：，即圆化为标准方程为：则有，即，整理得，解得，所以两圆的圆心距为：两圆相交记的倾斜角为，则，故答案为：C又，所以.【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.5.【答案】A故答案为：C.【解析】【解答】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线倾斜角的取值范围.根据点，到直线的距离相等，得，解得8.【答案】A或，【解析】【解答】由得，故直线的方程为或.，故答案为：A.因为，，所以，【分析】设出的斜率，用点斜式写出直线的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得对于B，圆的圆心为，，所以圆心到直线的距离，故相切，则线段AB中垂线斜率为，故答案为：A.即线段AB中垂线方程为：，整理可得，B符合题意；【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.对于C，圆，圆心到的距离为9.【答案】B,D，半径【解析】【解答】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A不符合题意；B符合题意；，不在直线上，C不符合题意；所以，C不正确；时，纵截距不存在，时，令得，令，，由对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线得，D符合题意．故答案为：BD．AB距离的最大值为，【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距.D符合题意.10.【答案】A,C故答案为：ABD【解析】【解答】由图A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，A能成立；【分析】根据题意把两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断出选项A正确；求出两圆圆心坐由图B可得直线l1，的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断出选项B正确；根据题意求出圆心O1的距离，再由点到直矛盾，B不能成立；线AB的距离公式计算出d的值，进而求出d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公由图C可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，C共弦长，由此即可判断出选项C错误，D.正确；由此即可得出答案。能成立；12.【答案】A,B,C由图D可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，矛【解析】【解答】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离盾，D不能成立.坐标为（0，0)的点只有1个，A符合题意，故答案为：AC对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B符合题意，【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出答案.1.【答案】A,B,D对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，【解析】【解答】对于A，由圆与圆的交点为A，B，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C符合题意，两式作差可得，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D不符合题意，即公共弦AB所在直线方程为，A符合题意；故答案为：ABC作交于点，由，，平面所以平面，所以【分析】根据新定义逐项进行分析，可得答案。13.【答案】，所以【解析】【解答】由题意，故答案为：所以，解得.【分析】证明平面，所以，求得故答案为：，可得求点A1到直线DB的距离.【分析】由题意得，利用平面向量数量积的运算即可求出实数a的值。16．【答案】14．【答案】【解析】【解答】【解析】【解答】由，所以，圆心为，当且仅当时等号成立.圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，由在圆外知的取值范围是，所以能成立，所以的最大值为故的最小值为.故答案为：由知，萌点的轨迹为圆，方程为.故答案为：【分析】把已知圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，由圆心到的距离为2，可得圆上的点到的最大距离，进而求出的最大值。【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可得圆的萌点的轨迹方程.15．【答案】17．【答案】（1）解：直线与直线垂直，【解析】【解答】解：在菱形中，，，，解得．所以是边长为2的等边三角形，（2）解：当时，直线化为：．不满足题意．又因为为的中点，所以，又面面，面面，当时，可得直线与坐标轴的交点，．平面，所以平面，直线在两轴上的截距相等，，解得：．记线段的中点为，依据可得该直线的方程为：，．且，，则【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，所以，解得，直线的方程为．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．．18.【答案】（1），若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．故综上直线的方程为或．∵点E为AD的中点，【解析】【分析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；(2)由已知弦长求出点A到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解可故得直线的方程.（2）由题意得20.【答案】（1）因为平面，平面，所以，故又因为底面是矩形，所以，故又，所以面；【解析】【分析】(1)根据向量的运算性质求出即可；（2）如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系：(2)根据向量的运算性质代入计算即可.因为，，所以，19.【答案】（1）解：选①设，所以，，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离又因为，所以，所以，所以，即，所以圆的方程为设平面的一个法向量为，因为，．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，又，所以，取，所以，所以圆的方程为．记点到平面的距离为，选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则所以；，解得，或，舍去．（3）由（2）可知：，所以圆的方程为．（2）当时，求直线的方所以，程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以，取，所以，所以，又，所以，取，所以，所以，结合图形可知二面角为锐二面角，解得，所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面.ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面所以的长度为．PAD；【解析】【分析】(1)求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；(2)由(1)知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，(2)利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度.进一步得到M为PD的中.点，再由等体积法求M到平面PAC的距离；2.【答案】（1）解：，因为，(3)以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的则，所以，余弦值可得二面角B-AM-C的余弦值.（2）解：圆的方程为：，圆心；设关于直的对21.【答案】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；称的为，则，可得，所以，（2）设，的方程为，连接线段交圆于点，交直线于点，所以点到直线的距离为：则，，当且仅当，，，共线时，达到最小值，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以所以，．【解析】【分析】（1），因为，转化为坐标表示即可设，，，，求解；（2）圆心；求出关于直的对称的点，所以为的中点，在上；，再减去圆的半径即可求解. 高二上学期数学期中考试试卷A．+，-2，B．-，+3，2一、单选题C．，2，-D．+，-，1.直线的倾斜角为（）10.下列说法正确的是（）A．B．C．D．A.过，两点的直线方程为2.在空间直角坐标系中，，，则向量（）A．B．B.点关于直线的对称点为C．D．C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是23.直线在y轴上的截距为（）D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为A．B．3C．-3D．11.若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）4.已知向量，向量，且，则（）A.3B．C．1D．A．1B．2C．3D．45．两平行直线与之间的距离为（）12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．A．AC1=66．已知，，，若，，共面，则z的值是（）B．AC1⊥DBA．-5B．5C．-9D．9C．向量与的夹角是60°7.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则D．BD1与AC所成角的余弦值为＝（）三、填空题A.B．13.已知直线与直线垂直，则C．D．14.直线恒过定点为.8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值15.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为．范围是（）16.已知点在曲线上运动，则的取值范围为．A．B．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：C．D．（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；二、多选题（Ⅱ）求△ABC的面积．9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） 18.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.【解析】【解答】因为，，（1）求圆C的标准方程；所以向量。（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.故答案为：B.19.如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且．（1）证明：平面；【分析】利用已知条件结合三角形法则，从而结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标。（2）求点到平面的距离．3.【答案】D20.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，【解析】【解答】在令，得，且．．故答案为：D．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【分析】通过x=0，求出y的值，即可得到结论．21.已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线4.【答案】C所在直线的方程为.【解析】【解答】因为，则，解得，，因此，。（1）求点坐标；故答案为：C.（2）求边所在的直线方程.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示求出的值，进而求出的值。（1）求圆的方程；5.【答案】B（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，【解析】【解答】化简直线可得：，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．根据平行线间距离公式知。答案解析部分1.【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】因为，即，设直线的倾斜角为，则【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式，进而求出两平行直线与之间，因为，故。的距离。6.【答案】D故答案为：D.【解析】【解答】∵，，，，，共面，【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的∴，即，斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。2.【答案】B 【分析】利用直线分别与轴，轴交于，两点，从而求出点A，B的坐标，再利用两点求距离公式求出AB的长，再利用点P在圆上，从而求出圆心坐标，再利用点到直线的距离∴，解得。公式得出圆心到直线距离，从而求出点P到直线的距离的取值范围，再结合三角形面积公式得出三角形面积的取值范围。故答案为：D.9．【答案】A,C【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合【解析】【解答】A.设+=x（-2）+y=，则无解，所以+，-2，向量的坐标运算，进而解方程组求出x，y，z的值。不共面，故正确；7.【答案】C【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，B.设-=x（+3）+2y=，则，解得，所以-，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得。+3，2共面，故错误；故答案为：CC.设=2x）+y=，则，无解，所以，2，-不共面，故正【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中确；点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。D.设+=x（-）+y=，则，解得，所以+，-，共8.【答案】A面，故错误；【解析】【解答】直线分别与轴，轴交于，两点，故答案为：AC，则，【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法，从而找出能构成空间的一个基底的一组向量。点P在圆上，10.【答案】B,C圆心为（2，0），则圆心到直线距离，【解析】【解答】对于A：当，时，过，两点的直线方程为故点P到直线的距离的范围为。，A不正确；则。对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关故答案为：A. 于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B符合题意；=·-·+-·+·-=0，所以B符合题意；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.面积是，所以C符合题意；因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；因为=+-=+，故答案为：BC.所以||==6，||==6，【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截·=(+-)·(+)=36，距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。所以cos<>===，所以D不正确.1.【答案】B,C,D【解析】【解答】点在直线上，，则，故答案为：：AB.由图可知，中，，即点P在圆上，【分析】以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，再利用数量积的定义得出·故联立方程，得，有判别式，=·=·=18，再利用平行四边形法则和数量积求向量的模的公式，得出||的值；再利用数量即，解得，A不符合题意，BCD符合题意.积的运算法则结合数量积的定义，得出·=0，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出故答案为：BCD.AC1⊥DB；再利用三角形△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°，再由=，且向量与的夹角是120°，从而求出与的夹角；再利用平面向量基本定理结合数量积求向量的模的公式，得出||和【分析】利用点在直线上，，则，在中，|的值，再利用数量积的运算法则求出数量积的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出BD1与AC，即点P在圆上，再联立直线与圆的方程结合判别式法得出实数m的取值范围，所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。进而求出实数m可以取的值。13.【答案】12.【答案】A,B【解析】【解答】由题设知：，解得。【解析】【解答】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故答案为：。所以·=·=·=6×6×cos60°=18，【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，14.【答案】则||=|++|=6，所以A符合题意；【解析】【解答】直线方程可化为，由，得，·=(++)·(-)所以直线过定点。故答案为：。值，当时，得出，从而求出的取值范围。17．【答案】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．【分析】将直线方程化为，再利用方程组求出直线恒过的定点坐标。∴直线AD的方程为，15.【答案】整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），【解析】【解答】因为，，则，∴|BC|=．点到平面的距离为。又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，故答案为：。∴△ABC的面积为=10．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出线段BC的中点D的坐标，再利用两点式求出直线【分析】利用已知条件和向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用法向量的定义结合数量积求出点到AD的方程，再转化为直线AD的一般式方程。平面的距离。（2）利用B（-2，3），C（0，-3），再利用两点距离公式得出BC的长，再利用直线BC的方程为3x+y+3=0结合点到直线的距离公式，得出点A到直线BC的距离，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面16.【答案】积。【解析】【解答】变形得，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，直线方程为18．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，即，因此，（由图舍去），时，．直线与圆相切，．圆的标准方程为：，（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，所以的取值范围是。即：，，又，故答案为：。．解得：．直线的方程为：．【分析】将变形得出，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，因为点②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，从而设出直满足条件．线方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式得出k的综上所述的方程为：或因为，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距所以离，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程。方法二：在平行四边形中，易得，（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再利用弦长公式得出直线的斜率，从而求出由余弦定理得，，直线的方程。因为平面，所以有，，19．【答案】（1）设，，．所以，，由题知：，所以，又所以．故．方法三：在平行四边形中，易得，，故．平面，所以有，，又．，，故．所以，又因为平面，平面，且，所以平面．（2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为：所以，．（2）解：方法一：由（1）得，设为平面的一个法向量，所以，即，可取，【解析】【分析】（1）设，，，利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，得出，，再利用三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定同理，设为平面的一个法向量，理得出，再利用数量积的运算法则结合数量积定义，从而推出，再利用数量所以，即，积为0两向量垂直的等价关系，从而证出，同理得出，再利用线线垂直证出可取，线面垂直，从而证出平面。（2）由（1）结合数量积求向量的模的公式，从而得出点到平面的距离。所以，20.【答案】（1）证明：方法一：由得，，所以，由图可知，二面角的平面角是钝角，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，二面角的余弦值所以，，，，方法二：分别取，的中点，，连接，，，所以，，明PA⊥PC；由（1）知，，所以，，(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量，即可求得答案；由，，，知，方法二：(1)根据题意，求得：，即可证明PA⊥PC；又，分别为，的中点，所以，即，(2)构造出二面角的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值；因为，分别为平面与平面内的直线，方法三：利用向量法，分别表示出，因此可得，因此可得PA⊥PC；且它们的交点在直线上，所以为二面角的平面角，(2)根据几何关系，二面角的大小等于，根据向量的运算，即可求得二面角因为，所以，的余弦值.由（1）知，平面，即，21.【答案】（1）解：由题意可知，点在直线上，设点，所以，线段的中点坐标为，由图可知，二面角的平面角是钝角，由题意可知，点在直线上，则，所以，二面角的余弦值．解得，则，所以，点的坐标为方法三：由，得，所以，（2）解：设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，由（1）可知，平面，又面，所以，由四边形为平行四边形，所以，所以，由题意可得，解得，即点，取的中点，连接，，则，所以，所以，直线的斜率为，由且，得二面角的大小等于，所以，直线的方程为，即所以，，【解析】【分析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数所以，的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.又，2.【答案】（1）因为圆心在直线上，所以，二面角的余弦值．设圆心坐标为．【解析】【分析】方法一：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求得由，即可证又因为圆经过坐标原点和点，用圆经过坐标原点和点，再利用圆的半径长相等，所以，再利用两点距离公式得出所以，即，解得：a的值，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径长，从而求出圆C的标准方程。．所以圆心为．半径为．（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为，设过的与圆相切的直所以圆的方程为：．线斜率为，则切线方程为：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到切线的距离（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不，整理结合韦达定理得出，，记直线的斜率为，直线的斜率为，为．设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．从而而得出直线：和直线：，令，得，故圆心到切线的距离．，再利用两点距离公式得出，再利用三角形的面积公式得出整理得：．故：，，再结合换元法，令，则，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求．不妨记直线出三角形面积的取值范围，进而求出三角形面积的最小值。的斜率为，直线的斜率为．所以有：，：，令得，．所以：．．令，则．．所以．．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，结合代入法，从而设圆心坐标为，再利
简介：高二上学期数学期中考试试卷9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（）一、单选题A．与是共线向量1.若直线的倾斜角为，则等于（）B.与共线的单位向量是A．2B．1C．-2D．-1C.与夹角的余弦值是2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（）A．0B．C．0或-D．0或D.平面的一个法向量是3.直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（）10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已A.B．C．D．知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）4.直线与曲线（）A．B．C．D．A.没有交点B．只有一个交点11.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是（）C．有两个交点D．有三个交点A.异面直线与所成的角为5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）B.直线与垂直A．B．C．D．C.直线与平行6.已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（）D.直线平面A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0C．D．12.椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（）7.设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值A．，满足的点P有两个为（）A．8B．10C．12D．15B．，满足的点P有四个8.已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点C．的面积的最大值在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（）D．的周长小于三、填空题A．B．2C．3D．413.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．二、多选题 14.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面15.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，积为．是的中点，则与平面所成角的正弦值为.（1）求椭圆的离心率；16.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．C的离心率的最小值为．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的答案解析部分离心率取得最小值时，的最大值是．1.【答案】B四、解答题【解析】【解答】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得。17.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．故答案为：B.（1）用向量表示，；【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再结合两点求斜率（2）若，求实数的值．公式，进而求出实数a的值。18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面2.【答案】CABCD，AB=AP=1，AD=3．【解析】【解答】由题意得出，解得或（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；。（2）求点D到平面PBC的距离．故答案为：C．19.已知圆C经过和两点，圆心在直线上．（1）求圆C的方程．【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的坐标表示，进而求出实数的值。（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．3.【答案】B20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且【解析】【解答】由直线与直线互相垂直，．可得，即，（1）求椭圆的标准方程；所以直线的方程为：；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．由，21.如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）.得它们的交点坐标为。（1）若为的中点，证明：；故答案为：B.（2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围. 【分析】理由已知条件结合直线与圆联立求交点的方法，得出两交点A，B的坐标，再利用中点坐标公式求【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数k的值，进而求出直线的方出线段AB的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出线段AB的中垂线的斜率，再利用点斜式方程求出线段AB的中垂线方程。程，再利用两直线联立求交点的方法，进而求出两直线的交点坐标。7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由已知，①【解析】【解答】当时，曲线为，与直线方程联立得：由椭圆定义知，解得：，此时直线与曲线有两个交点，②当时，曲线为，与直线方程联立得：由余弦定理得，③解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点由①②③得出。综上所述：直线与曲线有三个交点故答案为：D.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，【分析】由绝对值的几何意义整理得出曲线的方程，再联立直线与曲线的方程求出交点的个数即可得出答从而得出，②，由余弦定理得案。，③，由①②③得出的值。5.【答案】C8.【答案】B【解析】【解答】因为空间向量，，，【解析】【解答】由双曲线，可得，，因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量是。过点作轴，垂足为，故答案为：C则，，即，【分析】理由已知条件结合数量积的坐标表示和数量积的定义，再利用向量的模的坐标表示，从而理由向量又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，投影的求解方法，进而求出向量在向量上的投影向量的坐标表示。6．【答案】B代入点的坐标，可得，【解析】【解答】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，整理得，即，所以双曲线的离心率为。所以，即，所以。故答案为：B.故答案为：B 【分析】设，由已知结合重心的定义，进而求出三角形△的重心坐标为，再利用三【分析】由双曲线，可得，再利用角形的重心在上，再结合代入法得出m-n的值，进而求出顶点C可以的坐标。，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函1.【答案】A,B,D数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且【解析】【解答】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进则，而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。对于A，，异面直线与所成的角，9.【答案】C,D【解析】【解答】对于，不存在实数，使得，所以与，则，A符合题意；不是共线向量，所以错误；对于B，，则，，即直线与垂直，B符合题意；对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所对于C，，则，，即直线与不平行，C以错误；不正确；对于，向量，所以，所以C符合题意；对于D，，显然，而点直线，则，而平面，平面，于是得出直线平面，D符合题意.对于，设平面的法向量是，因为，所故答案为：ABD以，即，令，则，所以D符合题意．故答案为：CD.【分析】在正方体中，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求【分析】根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入出异面直线与所成的角；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。标表示，进而证出直线与垂直；利用已知条件结合向量共线的坐标表示，再结合两向量垂直数量积10.【答案】A,D为0的等价关系，从而利用数量积的坐标表示，进而推出直线与不平行；再利用已知条件结合向量【解析】【解答】设，由已知△重心坐标为，共线的坐标表示，进而推出，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面，进又重心在上，则，可得，而找出结论正确的选项。∴A、D符合要求.12.【答案】A,C,D故答案为：AD【解析】【解答】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. A中，，，正确；c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．B中，，不存在90°的，错误；14.【答案】C中，面积，正确；【解析】【解答】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所D中，周长，正确.以最短弦长为故答案为：ACD【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3，1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出.【分析】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知，再利用已知条件结合a，15.【答案】b的关系式和椭圆中a，b，c三者的关系式，得出b与c的关系式，从而得出，进【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故而得出满足的点P有两个；再利用已知条件结合a，b的关系式，得出两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，，不存在90°的；再利用三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法和由，则，所以.设平面的法向量为几何法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，得出三角形的面积的最大值；再利用已知条件结合三角形，则，令可得平面的法向量坐标为，的周长公式和焦距的定义以及椭圆的定义，从而求出三角形的周长小于4a，进而找出说法正确的选于是所求线面角的正弦值为。项。故答案为：。13.【答案】2【解析】【解答】解：∵m2+4＞0【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故∴双曲线的焦点必在x轴上两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐因此a2=m＞0，b2=m2+4标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。∴c2=m+m2+4=m2+m+416.【答案】；∵双曲线的离心率为，【解析】【解答】如图所示：∴，可得c2=5a2，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，所以m2+m+4=5m，解之得m=2P对两个焦点的张角渐渐增大，故答案为：2当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，17.【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，可得中，，（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，所以，即，用向量表示，。（2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，所以椭圆离心率e的最小值，由，，，y，z的值。解得，，18.【答案】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，圆的圆心，半径，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），，，∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），而当取得最大值时，取得最大值，设异面直线PB与CD所成角为θ，所以当共线时，取得最大值，则cosθ=，所以，所以异面直线PB与CD所成角大小为．。（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），故答案为：，。则，取x=1，得=（1，0，1），【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，点P对两个焦点的张角渐渐增∴点D到平面PBC的距离d=．大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由椭圆上存在一点P，使得【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点，可得在中，，可得中，，再利用正弦函数的图的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出异面直线PB与象的单调性，得出，再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率eCD所成角大小。（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合的最小值；再由结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式得出a，向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求出点D到平面PBC的距离。c的值，再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用椭圆的定义得出的值，从而得19.【答案】（1）因为，AB中点为，出，而当取得最大值时，取得最大值，所以当所以AB中垂线方程为，共线时，取得最大值，进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大即，解方程组得值。所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，于是得因此，所求的圆C的方程为．，（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，解得或，此时，符合．因直线与椭圆交于，两点，同理：，②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，因，即，于是得，而又因为，所以，，即，解得，直线方程为，所以.综上，直线l方程为或．【解析】【分析】（1）将直线的一般式方程求出直线AB的斜率，再利用已知条件结合两点中点坐标公式，进【解析】【分析】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，从而求出AB中点坐标，再利用点斜式方程求出直线AB中垂线方程，再结合两直线联立求交点的方法，进而求而求出c的值，再利用点为椭圆的上顶点，且，从而求出b的值，再利用椭圆中a，b，c出圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式，从而求出圆的半径长，进而求出圆C的标准方程。三者的关系式，得出a的值，从而求出椭圆的标准方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得出y的值，进而求出此时MN的长；当直线l斜率存在时，设方程为，再利用点到直线的距离公式得出圆心到（2）由(1)知，椭圆：，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法，得出，设直线l的距离，再利用弦长公式得出d的值，进而求出直线的斜率，从而求出直线的方程，进而，再结合韦达定理得出，，再利用弦长公式得出求出满足要求的直线l的方程。，再利用直线与椭圆交于，两点，同理得出20.【答案】（1）设椭圆G的方程为：，其半焦距为c，而为左焦点，即c=1，，再利用，得出，而，从而证出因为椭圆的上顶点，且，则，，。所以椭圆的标准方程为.21.【答案】（1）解法一：取的中点，连接，.因为为正三角形，则.由已知，则平面，（2）由(1)知，椭圆：，令消去y得：，所以.①则，设，则有，，因为，，则，所以，从而与互余，所以.② 结合①②知，平面，所以.【解析】【分析】（1）利用两种方法证明。解法一：取的中点，连接，，再利用三角形解法二：分别取、的中点、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间为正三角形结合三线合一，推出，由已知结合线线垂直证出线面垂直，则直角坐标系.平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以①，再利用，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，，则，再结合两三角形全等对应角相等，则点，，，.所以，从而与互余，所以②，结合①②知，平面从而，，则，，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。解法二：分别取、的中点所以.、，以为原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，（2）解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为.再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0零向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表作，垂足为，连结，则，所以.示，从而证出。设（），由余弦定理可得，由等面积可得，（2）利用两种方法求解。解法一：分别延长，相交于，连结，则二面角的平面角为，作，垂足为，连结，则，所以，设（），由余弦由相似三角形性质可得.定理可得AE的长，由等面积可得BF的长，由相似三角形性质可得BD的长，在中结合正切函数的在中，.定义得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，再结合商数关系得出的取值范围。解法二：设（），从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量因为，则，所以.的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得平面与面所成的二面角大小的余弦值，再利用解法二：设（），则点，.结合二次函数图象求值域的方法，进而求出的取值范围。设为平面的法向量，由，得，2.【答案】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．取，则，，所以.又由可得，即．又平面的法向量，则又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.．由（1）知，则直线AE的方程为，即，与直线的方程联立，可解得，，因为，则，所以. 即点的坐标为．由已知，有．整理得．所以．即直线的斜率为．解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为由（1）知，则直线AE的方程为，即，由解得∴点坐标为，由已知，有，整理得，即．即直线的斜率为．【解析】【分析】（1）设椭圆的离心率为e，由已知结合三角形的面积公式，可得．又由椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式，进而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆的离心率。（2）利用两种方法求解。解法一：依题意，设直线的方程为，从而求出直线的斜率为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再与直线的方程联立求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出m的值，从而求出直线的斜率。解法二：依题意设直线的斜率为k，从而设出直线的方程为，由（1）知，从而求出直线AE的方程，再联立两直线方程求出交点Q的坐标为，由已知结合两点求距离公式得出直线的斜率。高二上学期数学期中考试试卷A．B．C．D．一、单选题10．已知直线和直线，下列说法正确的是（）1.直线的一个方向向量是（）A.当时，A．B．C．D．B.当时，2.过两点的直线的倾斜角为（）C.当时，A．B．C．D．D.直线过定点，直线过定点3．已知向量，且，则（）11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可A．-2B．-C．D．2以是（）4.已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点A．B．2C．D．与共面，则的值为（）12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上A．-2B．-1C．1D．2的动点，则下列结论正确的是（）5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是（）A.点到直线的距离为A．B．C．D．6.过点作圆的切线，则切线的长为（）B.与平面所成角为A．B．C．D．C．面7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同D．三棱柱的外接球半径为一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三、填空题的顶点，则欧拉线的方程为（）13．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A．B．14．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程C．D．为．8．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）15．已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量．A．B．C．D．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程二、多选题是，面积的最大值是.9．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向四、解答题量，则下列各点在平面内的是（） 17.已知空间三点，设，.【解析】【解答】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，（1）若向量与互相垂直，求的值；又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，（2）求向量在向量上的投影向量.故答案为：A.18.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.（1）证明：平面；2.【答案】C（2）求点到平面的距离.【解析】【解答】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB19.已知的顶点.的倾斜角为.（1）求直线的方程；故答案为：C.（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解.20.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.3.【答案】A（1）求圆的方程；【解析】【解答】由题意可得，（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.解得，21.在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.所以.（1）求的取值范围；故答案为：A（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面【分析】根据平面共线向量的坐标表示公式进行求解，即可得答案.与平面夹角的大小.4.【答案】B22.已知在中，点，，点在直线下方，且.【解析】【解答】由点与共面，且，（1）求的外接圆的方程；可得，解得：，（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定故答案为：B.点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可求出的值.答案解析部分5.【答案】C1.【答案】A 【解析】【解答】异面直线的方向向量分别是所以欧拉线的方程为.故答案为：D.，【分析】由题可得的重心，再由欧拉线的定义可得即是AB的中垂线，求出AB的中点D的坐标，异面直线所成角为范围为，夹角的大小是再求直线AB的斜率，可得AB的中垂线的方程，即求出欧拉线的直线方程.故答案为：C8．【答案】B【分析】根据题意，由空间向量数量积公式求出的值，进而求出的大小，由异面直线所成【解析】【解答】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：角的定义分析可得答案.可表示点与点连线斜率6.【答案】C当直线与圆相切时：设直线方程为，即【解析】【解答】由可得，所以圆心，半径，圆心到直线距离，则，解得或，所以切线的长为.故答案为：C.又，所以，当直线经过点时，，【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心和半径，求出圆心到点P的距离，根据圆的半径，即可求出切线长.综上7．【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】由题可得的重心为，【分析】由条件可得点P(x，y)是以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆上的点，而表示点直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为与点连线斜率，由几何意义可得答案.，即，9.【答案】A,C直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为【解析】【解答】设平面内点的坐标为，，即，则，联立可得垂心坐标为，平面的一个法向量是，所以，则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为，即. 故答案为：AC故答案为：BCD【分析】设平面内点的坐标为，利用，得到，即可得到答案.【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，求解可得答案.10.【答案】A,C,D12.【答案】B,C【解析】【解答】对A和B，如果，则和的斜率相等，时，【解析】【解答】对A，取中点，则，，则，解得或.当时，，，两直线既不平行也不垂直.，当时，，，A对.则，则点到的距离为，设点到直线的距离为，当时，，，B不符合题意.则，解得，A不符合题意；对C，当时，，，，所以，C对.对B，平面即平面，设直线与交于，连接，可得，对D，转化为斜截式为，即，所以过定点因为平面ABCD，则，所以平面，则即为与平面.同理，，时转化为斜截式为，即所成角，则，则，B符合题意；，过定点；时，为，也过定点，D对.对C，连接交于E，连接，，四边形为平行四故答案为：ACD.边形，，因为为中点，，则四边形为【分析】对A中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相等，与常数项之比不平行四边形，，因为在平面外，平面，所以平面等，来判断两条直线是否平行；对B中的a值代入，是否满足的两条直线平行时，则x，y前面的系数比相，C符合题意；等，与常数项之比不等，来判断两条直线是否平行；C中a的值代入，x，y的系数相乘，再相加是否为0来判断命题的真假；D中，将直线整理可知两条直线恒过的定点的坐标.对D，三棱柱的外接球等价于正方体的外接球，球半径为，D不符合题1.【答案】B,C,D意.【解析】【解答】因为圆心到直线的距离故答案为：BC.，【分析】对于A选项，点到直线的距离为，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线因为上恰有相异两点到直线的距离等于，与交于，连接，即为与平面所成角，再结合几何关系求解，即，即可；对于C选项，连接交于E，连接，证明即可判断；对于D选项，转化解得，为正方体的外接球求解即可.程；当直线过原点时，直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程，综合可得答案.13．【答案】相交15．【答案】【解析】【解答】由圆与圆，【解析】【解答】解：如图：分别得到标准方程和，.则两圆坐标分别为和，半径分别为，故答案为：.则两圆心之间的距离，【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于的表达式.则，即，故两圆的位置关系是相交，16.【答案】；3故答案为相交.【解析】【解答】设，由题，即，整理得，以OA为底，且到OA的最大距离为半径2，【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径R与r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，比较d与R-r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.所以面积的最大值是.14．【答案】3x-2y=0或x+2y-8=0故答案为：；3.【解析】【解答】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，【分析】设M(x，y)，由条件列出方程，化简即可求出动点的轨迹方程；由到OA的最大距离为半径2，可得面积的最大值，从而可计算三角形面积.又直线l过点，故直线l的斜率，17.【答案】（1）解：由已知得，故直线l的方程为，即；.当时，直线l的方程为，即，所以，∴直线l过点，∴，.因为与互相垂直，所以∴，，∴直线l的方程为．即，解得或.综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-（2）解：因为，，，8=0．故答案为：3x-2y=0或x+2y-8=0.所以，【分析】当直线不过原点时，设直线l的方程为，把点代入求得a的值，即可求得直线l方即中线所在直线的方程为，所以向量在向量上的投影向量.设顶点，所以，【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出向量与的坐标，由向量垂直的充要条件，列式求解即可；因为，点到直线的距离，(2)利用向量投影的概念和公式求解计算即可.因为，所以，18.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．整理得，所以或，又因为分别为，的中点，，所以.即或.，又因为，所以.由得，此时顶点；由于，所以平面（2）解：由（1）知，，．又平面，由得，此时顶点，所以平面．因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系所以顶点的坐标为或.．【解析】【分析】(1)求出直线AB的斜率，代入点斜式方程求出直线AB的方程即可；(2)设出C的坐标，联立方程组，求出C的坐标即可.由题意得，，，，所以，，20.【答案】（1）解：设圆的方程为，因为到直线距离为.，设平面的法向量为，所以，从而，令，则所以，解得，所以圆的方程为；，，所以平面的法向量.所以点到平面的距离（2）解：因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.．中点坐标为，，【解析】【分析】(1)只要证明AC垂直于平面BEF内两条相交直线即可；(2)用向量数量积计算点到平面的距离.所以以与为直径端点圆的方程为.19.【答案】（1）解：直线的方程为，即；联立方程组，两式相减得.（2）解：边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得，所以直线的方程为.【解析】【分析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立的空间直角坐标系，设，求出，通过数量积为0，求解的【解析】【分析】（1）由圆心在x轴的正半轴上，设圆的方程为，由圆C被直线x-取值范围；y=0截得的弦长为，知圆心到直线距离为，求出a，由此能求出圆的方程；(2)当时，解得或，即满足条件的点E有两个，求出（2）求出以与为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程.求出平面和平面的的法向量，然后利用向量的数量积求解平面与平面夹角的大21.【答案】（1）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建小.立如图所示的空间直角坐标系.2.【答案】（1）解：的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，所以该圆设，则，所以.的半径.因为，所以.圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.因为，所以，即.所以外接圆的方程为.（2）解：当时，，解得或.（2）解：设过点的直线方程为.①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.不妨取，②当时，由得，设，，所以，，设平面的法向量为，则，.由，得，则，即，整理得则，令，则，所以..设平面的一个法向量为，所以对恒成立，即恒成立，故，即则，令，则，所以..综上所述：存在点符合题意.所以，得.【解析】【分析】（1）由已知条件可得该圆的半径，圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标，进而可得外接圆的方程；所以平面与平面的夹角为. （2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标. 高二上学期数学期中考试试卷A．78B．72C．68D．62二、多选题一、单选题9．下列说法正确的是（）1.已知向量，，若，则（）A.任意两个空间向量都共面A.2B．C．-2D．B.若向量，共线，则与所在直线平行2.已知直线与直线垂直，则实数a的值为（）C.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为A．B．D.已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得C．或D．不存在3.如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为4.如图，在三棱锥中，点E，F分别是，的中点，点G满足，若，，，则（）B.点关于直线的对称点为A.B．C.圆与圆可能内含、内切或相交C．D．D.若圆与圆相离，则11.平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（）5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.点P到圆O上的点的距离最大值为A．B．B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为C．D．C.过点P与圆O相切的直线方程为6.已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1A．B．C．±1D．112.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，平面平面，A．当时，，则直线与直线所成角的余弦值为（）B.当时，平面A．B．C．D．C.当，时，三棱锥的体积为定值8.已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两D.当，时，与平面所成角的正切值为三、填空题点，则的值为（）（1）证明：平面平面；13.过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求m的值为．的长度，若不存在，说明理由．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为．22.已知圆，点，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于15.一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．，两点．16.如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为（1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；cm．（2）当时，求点Q的坐标；四、解答题17.如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．（3）求面积的最大值．（1）若，，求证：；答案解析部分（2）设，O为空间中任意一点，求证：．1.【答案】D18.已知圆，圆．【解析】【解答】，则，即，（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．故，解得，故.19.如图，平行六面体中，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；故答案为：D.（2）若四边形和均为正方形，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案.20.在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．2.【答案】C（1）求线段的中点C的轨迹方程；【解析】【解答】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；（2）若直线．当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；综上所述，或.②求直线l被曲线C截得的最短弦长．故答案为：C21.如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面．【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。 3.【答案】B的距离为1，计算即可得答案.【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的7．【答案】C象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。【解析】【解答】将平移到下图中的位置，再连接，则的大小即为直线【分析】本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。与直线所成的角.4.【答案】B由，设，则可得，，【解析】【解答】由空间的向量的运算法则，在中，由余弦定理有.可得故答案为：C..故答案为：B.【分析】将平移到下图中的位置，连接，可得的大小即为直线与直线所成的角，设，利用余弦定理可求得直线与直线所成角的余弦值。【分析】利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案.8.【答案】D5.【答案】A【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系【解析】【解答】根据题意，，根据题意，图中各点的坐标分别表示为在上的投影向量可为设点A的坐标为，则.故答案为：A.故答案为：D.【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案。9.【答案】A,C6.【答案】A【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个【解析】【解答】由圆可得圆心，半径，平面上的，所以是共面的，A符合题意；因为圆上有三个点到直线的距离等于1，对于B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，B不正确；所以圆心到直线的距离，对于C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，C符合题意；可得：，对于D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，故答案为：A.使得，D不正确.故答案为：AC.【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。意；10.【答案】B,C当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，A不符合题意；到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.C不正确；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得对于D，由题意知点，联立得，，故对称的点的坐标为，B符合题意；设，则，对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为4，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意；所以对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，.D符合题意.因为，所以或，所以或，D不符合题意.故答案为：ABD故答案为：BC【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为，依题意得到方程组，解得a，b，即点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。为k，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选1.【答案】A,B,D项C；设A，B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为及两根之积代入可得为定值，即可判断D.，A符合题意；12.【答案】B,C,D对于B，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长【解析】【解答】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，公式知，弦长为，B符合题意；则，，，，，，，对于C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题，则，，；对于A，设，则，面，由面面平行的性质可得平面，可判断B选项的正误；当，时，利用点又，，不恒成立，A不符合题意；到面的向量求法可求得点到平面的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判对于B，当时，四点共面，即平面；断C选项的正误；当，时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D，平面，平面，平面，选项的正误。13.【答案】-2同理可得：平面，又，平面，【解析】【解答】由题知，，设直线的方向向量为，则平面平面，平面，B符合题意；，对于C，设，则，即，得，解得或，设，则，，，，当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.，；故答案为：-2平面，平面的一个法向量为，【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为，得，利用坐标表示可得点到平面的距离，又，，求解可得m的值，检验可得实数m的值。，即三棱锥的体积为定值，C符合题意；14.【答案】对于D，当，时，，设，则，，，，【解析】【解答】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，平面，平面，平面，平面，平面的一个法向量，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，设与平面所成角为，则，，，，，即与平面所成角的正切值为，D符合题意.设平面的法向量，故答案为：BCD.则，令，解得：，，，【分析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，当点到平面的距离，时，得，可判断A选项的正误；当时，四点共即直线到平面的距离.【分析】设与的交点为N，过点作于M，连接AN，由等边三角形求出，由勾股定理求得CM的值，进而求出旋转后灯管升高的高度.故答案为：.17.【答案】（1）解：因为，，所以【分析】根据平面，直线到平面的距离转化为点到平面的距离，，利用向量法即可求出点到平面的距离，进而求出直线到平面的距离.所以．（2）解：因为分别是，，，的中点，15.【答案】所以【解析】【解答】由可得，即圆心为，半径所以.为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，【解析】【分析】（1）由已知条件结合向量减法法则及向量数量积的运算，即可证得；（2）利用向量加法的平行四边形法则可得，可证得结论。即，由反射光线与圆相交可得，，18.【答案】（1）解：圆的方程配方可得，圆心，半径，化简得，即.圆的方程配方可得，圆心，半径，故答案为：所以两圆心的距离，，，【分析】求出圆心与半径，关于轴的对称点的坐标，设出过A’与圆相交的直线方程，利用所以，圆心到直线的距离小于半径，可得，求解可得直线的斜率k的取值范围.所以，圆与圆相交．16.【答案】20将方程与相减，【解析】【解答】解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所得：，示：在中，，，所以，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；在中，，由勾股定理得，即，所以（2）解：由（1）可得，代入圆的方程，，又，所以旋转后灯管升高的高度为，，故答案为：20. 以过O点且平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系，因为所以，如图所示：所以，，则，，，，，即四边形的面积为8．【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距大于两圆半径差的绝对值且所以，，小于两圆半径和可得两圆相交，直接联立两圆方程，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程；设平面的一个法向量，则有（2）由（1）可得点P的坐标，代入圆的方程可求得，结合根据勾股定理可得，进而求出四边形的面积．，即，19.【答案】（1）证明：取的中点G，连接，，如图所示：因为M为的中点，所以且，取，则，，则，平面的一个法向量，又因为N为的中点，所以且，设平面与平面夹角为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以，所以平面．即平面与平面夹角的余弦值为．（2）解：因为平行六面体中，四边形和均为正方形，【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，推出四边形为平行四边形，得所以，，，根据线面平行的判定定理可证得平面；又因为，所以平面，（2）由已知可知四边形和均为正方形，推出平面，过做过做交于O，交于O，推出平面，可得为与平面所成的因为平面，所以，角，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，以过O点且平行于的直线因为，所以平面.所以为与平面所成的角，即，为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出平面与平面夹角的余弦值．设，则，20．【答案】（1）解：设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，在中，，．即的斜边上的中线长，因为，所以，以O为坐标原点，分别以射线，为，轴正半轴，所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，，，所以点C的轨迹方程是．轴平面，平面的一个法向量，（2）解：直线可整理为，设直线与平面所成的角为，则，方程组的解为，，当时，取得最小值，取得最大值，所以直线恒过定点，将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，又在上单调递增，当时，取得最大值，所以直线与曲线C恒有两个不同交点．此时，即的长度为．由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，【解析】【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；又所以此时弦长为，（2）以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求所以直线被曲线C截得的最短弦长为．出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成的角的正弦值，进而求【解析】【分析】（1）由已知条件可得点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，可得线段的中点C的出的长度。轨迹方程；2.【答案】（1）解：由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，（2）①求出直线经过的定点，然后把定点代入圆C的方程，可得定点在圆C的内部，即可证得直线整理得，与曲线C恒有两个不同交点；②由①知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用勾股定理即可求出直线被曲线C截得的因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，最短弦长。21.【答案】（1）证明：在菱形中，，为的中点，，又因为，解得或，平面平面，且平面平面，平面，所以，直线的方程为或．平面，又平面，平面平面．（2）解：当时，，，（2）解：由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为因为直线，都是圆C的切线，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以直线的方程为；则，，，，，，，设，此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即因为，所以，所以，所以，，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），的最大值为，则直线，把代入，解得，所以面积的最大值为．所以点Q的坐标为．【解析】【分析】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线l的方程为，再根（3）解：因为为定值，且M，N在x轴上．据点到直线的距离公式和勾股定理即可求出直线的方程；所以要求面积的最大值，即求点Q的纵坐标的绝对值的最大值，（2）由题意可知，直线的方程为，直线的方程为，再根据直线与圆相切的位设点Q的纵坐标为，置关系结合点到直线的距离公式即可求出点Q的坐标；由（2）知，当直线的斜率不存在时，，（3）由题意可知为定值，且M，N在x轴上，所以要求面积的最大值，即求点Q的根据对称性，当直线的斜率不存在时，；纵坐标的绝对值的最大值，由此分直线和的斜率不存在和直线，的斜率都存在两种所以当直线，的斜率都存在时，情况，求出点Q的纵坐标为，根据面积公式列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。设直线的斜率为，则，即，因为与圆C相切，所以有，得或（舍去）．所以．同理可得．由，解得．又，，高二上学期数学期中考试试卷A．相切B．相离C．相交D．不能确定二、多选题一、单选题9．已知直线，则下述正确的是（）1．直线的倾斜角()A.直线l的斜率可以等于A．30°B．60°C．120°D．150°B.直线l的斜率有可能不存在2．已知直线与直线平行，则实数的值是（）C.直线l可能过点A．1B．-2C．1或-2D．不存在D.若直线l的横纵截距相等，则3.已知向量，，且，其中、，则（）10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是A．4B．-4C．2D．-2（）4.圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为A．B．（）A．或B．或C．D．C．或D．或2＋y2－2x＝0和圆O226．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余11．圆O1：x2：x＋y＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0弦值为（）B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0A．B．C．D．C.公共弦AB的长为7.若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1A．B．12.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则C．D．称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A.距离坐标为（0，0）的点有1个8.已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足B.距离坐标为（0，1）的点有2个，则直线与圆的位置关系为（）. C.距离坐标为（1，2）的点有4个（2）求点到平面的距离；D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上（3）求二面角的余弦值．三、填空题21.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为实数a的值为.轴建立如图所示的平面直角坐标系.14．已知实数，满足方程，则的最大值为.（1）求直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.22.直线经过定点，点在直线上，且.16.已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别（1）当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程．为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程（2）已知点，是轨迹上一个动点，是直线上的一个动点，求为.四、解答题的最小值.17.若直线的方程为.答案解析部分（1）若直线与直线垂直，求的值；1.【答案】A（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】【解答】可得直线的斜率为，18.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.由斜率和倾斜角的关系可得，又∵（1）试用向量，，表示向量；∴（2）若，，，求的值.故答案为：A.19.已知以点为圆心的圆与，过点的动直线与圆相交于，两【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆2.【答案】C的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问【解析】【解答】因为直线，互相平行题．则两直线的斜率都应存在，（1）求圆的方程；所以由两直线平行得到20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，是上一点，且．解得或，（1）证明：面；故答案为：C答案.6.【答案】C【分析】利用直线平行的性质可得，求解可得实数的值。【解析】【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3.【答案】B，所以，【解析】【解答】向量，，且，，解得因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，，故答案为：C.因此，.【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线对应的向量，利用向量的夹角公式，即可求解。故答案为：B.7.【答案】C【解析】【解答】由得，【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m=-6，n=2，由此能求出m+n.所以圆的圆心为，半径为，4.【答案】C因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，【解析】【解答】圆化为标准方程为：不妨设直线的方程为：，即圆化为标准方程为：则有，即，整理得，解得，所以两圆的圆心距为：两圆相交记的倾斜角为，则，故答案为：C又，所以.【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.5.【答案】A故答案为：C.【解析】【解答】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由题意设直线的方程，再由圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可得直线倾斜角的取值范围.根据点，到直线的距离相等，得，解得8.【答案】A或，【解析】【解答】由得，故直线的方程为或.，故答案为：A.因为，，所以，【分析】设出的斜率，用点斜式写出直线的方程，再由题意利用点到直线的距离公式，求得k的值，可得对于B，圆的圆心为，，所以圆心到直线的距离，故相切，则线段AB中垂线斜率为，故答案为：A.即线段AB中垂线方程为：，整理可得，B符合题意；【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案.对于C，圆，圆心到的距离为9.【答案】B,D，半径【解析】【解答】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A不符合题意；B符合题意；，不在直线上，C不符合题意；所以，C不正确；时，纵截距不存在，时，令得，令，，由对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线得，D符合题意．故答案为：BD．AB距离的最大值为，【分析】根据直线的方程，可得直线的斜率，直线过定点，直线的的截距.D符合题意.10.【答案】A,C故答案为：ABD【解析】【解答】由图A可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，A能成立；【分析】根据题意把两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断出选项A正确；求出两圆圆心坐由图B可得直线l1，的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断出选项B正确；根据题意求出圆心O1的距离，再由点到直矛盾，B不能成立；线AB的距离公式计算出d的值，进而求出d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公由图C可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，C共弦长，由此即可判断出选项C错误，D.正确；由此即可得出答案。能成立；12.【答案】A,B,C由图D可得直线l1，的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，矛【解析】【解答】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离盾，D不能成立.坐标为（0，0)的点只有1个，A符合题意，故答案为：AC对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B符合题意，【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出答案.1.【答案】A,B,D对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，【解析】【解答】对于A，由圆与圆的交点为A，B，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C符合题意，两式作差可得，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D不符合题意，即公共弦AB所在直线方程为，A符合题意；故答案为：ABC作交于点，由，，平面所以平面，所以【分析】根据新定义逐项进行分析，可得答案。13.【答案】，所以【解析】【解答】由题意，故答案为：所以，解得.【分析】证明平面，所以，求得故答案为：，可得求点A1到直线DB的距离.【分析】由题意得，利用平面向量数量积的运算即可求出实数a的值。16．【答案】14．【答案】【解析】【解答】【解析】【解答】由，所以，圆心为，当且仅当时等号成立.圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，由在圆外知的取值范围是，所以能成立，所以的最大值为故的最小值为.故答案为：由知，萌点的轨迹为圆，方程为.故答案为：【分析】把已知圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，由圆心到的距离为2，可得圆上的点到的最大距离，进而求出的最大值。【分析】根据题中给出的新定义，利用TC表示出，再利用基本不等式求最值，找到取得最值时点T的值，结合圆的定义分析求解即可得圆的萌点的轨迹方程.15．【答案】17．【答案】（1）解：直线与直线垂直，【解析】【解答】解：在菱形中，，，，解得．所以是边长为2的等边三角形，（2）解：当时，直线化为：．不满足题意．又因为为的中点，所以，又面面，面面，当时，可得直线与坐标轴的交点，．平面，所以平面，直线在两轴上的截距相等，，解得：．记线段的中点为，依据可得该直线的方程为：，．且，，则【解析】【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．（2）当即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即，时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，所以，解得，直线的方程为．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．．18.【答案】（1），若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．故综上直线的方程为或．∵点E为AD的中点，【解析】【分析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；(2)由已知弦长求出点A到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公式求解可故得直线的方程.（2）由题意得20.【答案】（1）因为平面，平面，所以，故又因为底面是矩形，所以，故又，所以面；【解析】【分析】(1)根据向量的运算性质求出即可；（2）如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系：(2)根据向量的运算性质代入计算即可.因为，，所以，19.【答案】（1）解：选①设，所以，，由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离又因为，所以，所以，所以，即，所以圆的方程为设平面的一个法向量为，因为，．选②由与圆关于直线对称知圆的半径，又，所以，取，所以，所以圆的方程为．记点到平面的距离为，选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则所以；，解得，或，舍去．（3）由（2）可知：，所以圆的方程为．（2）当时，求直线的方所以，程．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，所以，取，所以，所以，又，所以，取，所以，所以，结合图形可知二面角为锐二面角，解得，所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面.ABCD，结合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面所以的长度为．PAD；【解析】【分析】(1)求出直线OB的斜率，即可写出直线OB的方程；(2)由(1)知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，(2)利用点到直线的距离求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出C、D的坐标，即可计算CD的长度.进一步得到M为PD的中.点，再由等体积法求M到平面PAC的距离；2.【答案】（1）解：，因为，(3)以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BAM与平面CAM的一个法向量，由两法向量所成角的则，所以，余弦值可得二面角B-AM-C的余弦值.（2）解：圆的方程为：，圆心；设关于直的对21.【答案】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；称的为，则，可得，所以，（2）设，的方程为，连接线段交圆于点，交直线于点，所以点到直线的距离为：则，，当且仅当，，，共线时，达到最小值，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以所以，．【解析】【分析】（1），因为，转化为坐标表示即可设，，，，求解；（2）圆心；求出关于直的对称的点，所以为的中点，在上；，再减去圆的半径即可求解. 高二上学期数学期中考试试卷A．+，-2，B．-，+3，2一、单选题C．，2，-D．+，-，1.直线的倾斜角为（）10.下列说法正确的是（）A．B．C．D．A.过，两点的直线方程为2.在空间直角坐标系中，，，则向量（）A．B．B.点关于直线的对称点为C．D．C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是23.直线在y轴上的截距为（）D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为A．B．3C．-3D．11.若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（）4.已知向量，向量，且，则（）A.3B．C．1D．A．1B．2C．3D．45．两平行直线与之间的距离为（）12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．A．AC1=66．已知，，，若，，共面，则z的值是（）B．AC1⊥DBA．-5B．5C．-9D．9C．向量与的夹角是60°7.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则D．BD1与AC所成角的余弦值为＝（）三、填空题A.B．13.已知直线与直线垂直，则C．D．14.直线恒过定点为.8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值15.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为．范围是（）16.已知点在曲线上运动，则的取值范围为．A．B．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：C．D．（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；二、多选题（Ⅱ）求△ABC的面积．9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） 18.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.【解析】【解答】因为，，（1）求圆C的标准方程；所以向量。（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.故答案为：B.19.如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且．（1）证明：平面；【分析】利用已知条件结合三角形法则，从而结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标。（2）求点到平面的距离．3.【答案】D20.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，【解析】【解答】在令，得，且．．故答案为：D．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【分析】通过x=0，求出y的值，即可得到结论．21.已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线4.【答案】C所在直线的方程为.【解析】【解答】因为，则，解得，，因此，。（1）求点坐标；故答案为：C.（2）求边所在的直线方程.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示求出的值，进而求出的值。（1）求圆的方程；5.【答案】B（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，【解析】【解答】化简直线可得：，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．根据平行线间距离公式知。答案解析部分1.【答案】D故答案为：B.【解析】【解答】因为，即，设直线的倾斜角为，则【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式，进而求出两平行直线与之间，因为，故。的距离。6.【答案】D故答案为：D.【解析】【解答】∵，，，，，共面，【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的∴，即，斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。2.【答案】B 【分析】利用直线分别与轴，轴交于，两点，从而求出点A，B的坐标，再利用两点求距离公式求出AB的长，再利用点P在圆上，从而求出圆心坐标，再利用点到直线的距离∴，解得。公式得出圆心到直线距离，从而求出点P到直线的距离的取值范围，再结合三角形面积公式得出三角形面积的取值范围。故答案为：D.9．【答案】A,C【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合【解析】【解答】A.设+=x（-2）+y=，则无解，所以+，-2，向量的坐标运算，进而解方程组求出x，y，z的值。不共面，故正确；7.【答案】C【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，B.设-=x（+3）+2y=，则，解得，所以-，=，=，=，因=，N为BC中点，则，，于是得。+3，2共面，故错误；故答案为：CC.设=2x）+y=，则，无解，所以，2，-不共面，故正【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中确；点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。D.设+=x（-）+y=，则，解得，所以+，-，共8.【答案】A面，故错误；【解析】【解答】直线分别与轴，轴交于，两点，故答案为：AC，则，【分析】利用已知条件结合平面向量基底的判断方法，从而找出能构成空间的一个基底的一组向量。点P在圆上，10.【答案】B,C圆心为（2，0），则圆心到直线距离，【解析】【解答】对于A：当，时，过，两点的直线方程为故点P到直线的距离的范围为。，A不正确；则。对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，满足直线方程,并且两点的斜率为：−1,所以点(0,2)关故答案为：A. 于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B符合题意；=·-·+-·+·-=0，所以B符合题意；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.面积是，所以C符合题意；因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；因为=+-=+，故答案为：BC.所以||==6，||==6，【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截·=(+-)·(+)=36，距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。所以cos<>===，所以D不正确.1.【答案】B,C,D【解析】【解答】点在直线上，，则，故答案为：：AB.由图可知，中，，即点P在圆上，【分析】以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，再利用数量积的定义得出·故联立方程，得，有判别式，=·=·=18，再利用平行四边形法则和数量积求向量的模的公式，得出||的值；再利用数量即，解得，A不符合题意，BCD符合题意.积的运算法则结合数量积的定义，得出·=0，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出故答案为：BCD.AC1⊥DB；再利用三角形△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°，再由=，且向量与的夹角是120°，从而求出与的夹角；再利用平面向量基本定理结合数量积求向量的模的公式，得出||和【分析】利用点在直线上，，则，在中，|的值，再利用数量积的运算法则求出数量积的值，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出BD1与AC，即点P在圆上，再联立直线与圆的方程结合判别式法得出实数m的取值范围，所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。进而求出实数m可以取的值。13.【答案】12.【答案】A,B【解析】【解答】由题设知：，解得。【解析】【解答】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故答案为：。所以·=·=·=6×6×cos60°=18，【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，14.【答案】则||=|++|=6，所以A符合题意；【解析】【解答】直线方程可化为，由，得，·=(++)·(-)所以直线过定点。故答案为：。值，当时，得出，从而求出的取值范围。17．【答案】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），∴D（-1，0）．【分析】将直线方程化为，再利用方程组求出直线恒过的定点坐标。∴直线AD的方程为，15.【答案】整理得：x-3y+1=0；（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），【解析】【解答】因为，，则，∴|BC|=．点到平面的距离为。又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，故答案为：。∴△ABC的面积为=10．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出线段BC的中点D的坐标，再利用两点式求出直线【分析】利用已知条件和向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用法向量的定义结合数量积求出点到AD的方程，再转化为直线AD的一般式方程。平面的距离。（2）利用B（-2，3），C（0，-3），再利用两点距离公式得出BC的长，再利用直线BC的方程为3x+y+3=0结合点到直线的距离公式，得出点A到直线BC的距离，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面16.【答案】积。【解析】【解答】变形得，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，直线方程为18．【答案】（1）解：圆心到直线的距离，即，因此，（由图舍去），时，．直线与圆相切，．圆的标准方程为：，（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，所以的取值范围是。即：，，又，故答案为：。．解得：．直线的方程为：．【分析】将变形得出，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，因为点②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，在半圆上，表示与定点连线的斜率，设直线与半圆相切时斜率为，从而设出直满足条件．线方程为，再转化为直线的一般式方程为，再利用点到直线的距离公式得出k的综上所述的方程为：或因为，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点到直线的距离公式，得出圆心到直线的距所以离，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而求出圆的半径长，进而求出圆的标准方程。方法二：在平行四边形中，易得，（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再利用弦长公式得出直线的斜率，从而求出由余弦定理得，，直线的方程。因为平面，所以有，，19．【答案】（1）设，，．所以，，由题知：，所以，又所以．故．方法三：在平行四边形中，易得，，故．平面，所以有，，又．，，故．所以，又因为平面，平面，且，所以平面．（2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为：所以，．（2）解：方法一：由（1）得，设为平面的一个法向量，所以，即，可取，【解析】【分析】（1）设，，，利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，得出，，再利用三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定同理，设为平面的一个法向量，理得出，再利用数量积的运算法则结合数量积定义，从而推出，再利用数量所以，即，积为0两向量垂直的等价关系，从而证出，同理得出，再利用线线垂直证出可取，线面垂直，从而证出平面。（2）由（1）结合数量积求向量的模的公式，从而得出点到平面的距离。所以，20.【答案】（1）证明：方法一：由得，，所以，由图可知，二面角的平面角是钝角，又平面，所以，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间坐标系，所以，二面角的余弦值所以，，，，方法二：分别取，的中点，，连接，，，所以，，明PA⊥PC；由（1）知，，所以，，(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量，即可求得答案；由，，，知，方法二：(1)根据题意，求得：，即可证明PA⊥PC；又，分别为，的中点，所以，即，(2)构造出二面角的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值；因为，分别为平面与平面内的直线，方法三：利用向量法，分别表示出，因此可得，因此可得PA⊥PC；且它们的交点在直线上，所以为二面角的平面角，(2)根据几何关系，二面角的大小等于，根据向量的运算，即可求得二面角因为，所以，的余弦值.由（1）知，平面，即，21.【答案】（1）解：由题意可知，点在直线上，设点，所以，线段的中点坐标为，由图可知，二面角的平面角是钝角，由题意可知，点在直线上，则，所以，二面角的余弦值．解得，则，所以，点的坐标为方法三：由，得，所以，（2）解：设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，由（1）可知，平面，又面，所以，由四边形为平行四边形，所以，所以，由题意可得，解得，即点，取的中点，连接，，则，所以，所以，直线的斜率为，由且，得二面角的大小等于，所以，直线的方程为，即所以，，【解析】【分析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数所以，的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.又，2.【答案】（1）因为圆心在直线上，所以，二面角的余弦值．设圆心坐标为．【解析】【分析】方法一：(1)根据题意，建立空间直角坐标系，求得由，即可证又因为圆经过坐标原点和点，用圆经过坐标原点和点，再利用圆的半径长相等，所以，再利用两点距离公式得出所以，即，解得：a的值，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式得出圆的半径长，从而求出圆C的标准方程。．所以圆心为．半径为．（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为，设过的与圆相切的直所以圆的方程为：．线斜率为，则切线方程为：，再利用点到直线的距离公式得出圆心到切线的距离（2）设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不，整理结合韦达定理得出，，记直线的斜率为，直线的斜率为，为．设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．从而而得出直线：和直线：，令，得，故圆心到切线的距离．，再利用两点距离公式得出，再利用三角形的面积公式得出整理得：．故：，，再结合换元法，令，则，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求．不妨记直线出三角形面积的取值范围，进而求出三角形面积的最小值。的斜率为，直线的斜率为．所以有：，：，令得，．所以：．．令，则．．所以．．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，结合代入法，从而设圆心坐标为，再利

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