广东省2022年高二上学期数学期中试卷三套附答案(Word版）
陕西省2022年高二上学期数学期中考试试卷三套附答案(Word版）
5662183735968350877597125593高二上学期数学期中考试试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.A．12B．13C．03D．401．下列给出的赋值语句中，正确的是()9．已知实数，则下列不等关系中错误
高二上学期数学期中调研试卷A．2B．3C．D．4一、单选题二、多选题1.设，，且，则等于（）9.已知直线，，，则下列结论正确的是（）A．-1B．1C．-2D．2A.直线l恒过定点2.已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（）B.当时，直线l的斜
简介：高二上学期数学期中考试试卷则PD的最大值为（）一、单选题A．3B．C．D．21.直线的倾斜角（）二、多选题A．B．C．D．9.以下说法正确的是（）A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）B.空间的任意两个向量都是共面向量A．2B．4C．8D．16C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则3.已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则（）10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列A．B．6C．4D．正确的是（）4.无论m取何实数，直线一定过（）A.椭圆的长轴长为8A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B.椭圆的离心率为C．椭5.方程化简的结果是（）圆的离心率为D．椭圆的一A．B．C．D．个方程可能为6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用，，表示向量的结果是（）定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.A.B．已知在平面直角坐标系中，､，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论C．D．正确的是（）7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的A.曲线的方程为数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样B.在曲线上存在点D，使得走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线C.在曲线上存在点M，使M在直线上所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）D.在曲线上存在点N，使得A．B．C．D．12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（）8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足， A．21．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设B.平面平面一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为C.三棱锥的体积为.D.三棱锥的外接球的表面积为（1）若，求两站点之间的距离；三、填空题（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，13.椭圆的焦距为2，则．为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？14.直线：截圆的弦为，当取最小值时的值22.如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆为．弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，15.已知点，则在上的投影向量的长度为.之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐16.设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点段所在的圆方程分别为.Q的轨迹方程为．（1）求“帽体段”的方程；四、解答题17.已知，.（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点（1）求；，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分（2）求､的值使得与z轴垂直，且.1．【答案】A18.已知两直线，【解析】【解答】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为（1）求直线与交点P的坐标；．（2）设，求过点P且与距离相等的直线方程．故答案为：A．19.求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．（2）过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.2.【答案】C20.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩【解析】【解答】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而形，，平面平面．，所以．（1）求证：平面平面；故答案为：C．（2）求二面角的正弦值． 【分析】由题意结合椭圆的定义可得点P到右焦点的距离．【解析】【解答】由题意可得，=-3.【答案】D=-(+).【解析】【解答】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，∵，，所以，∴.故答案为：D故答案为：D.【分析】利用对称的性质分别求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出结果．【分析】连接MN，=-，由M是A1D1的中点，用表示出，由条件：点N是CA1上的4.【答案】C点，且CN：NA1＝1：4，得到，再用，，表示向量即可．【解析】【解答】，则.7.【答案】C取，解得，故直线过定点，必过第三象限.【解析】【解答】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为故答案为：C，∴，解得，即.【分析】直线的方程即，不论m为何实数，直线l恒过的交点M，解方程组求得M的坐标．∴.5.【答案】D故答案为：C【解析】【解答】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y=3的对称点A’，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；8.【答案】B∴；【解析】【解答】如图所示，在平面内，，∴椭圆的方程是，即为化简的结所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为果．故答案为：D．轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，6.【答案】D 故答案为：ABC.所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，，【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件、共面向量以及空间向量共线与垂直需满足的条件逐项判断故点正好为椭圆短轴的一个端点，即可．10.【答案】B,D，则，【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，因为，故只需计算的最大值.∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则a=8，设，则，所以，则，离心率为，当时，取最大值，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，即，则椭圆的方程为.故答案为：BD.因此可得，故的最大值为.故答案为：B.【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程设出点的1.【答案】A,D坐标然后表示出结合二次函数的性质求【解析】【解答】设点，由，出最大值即可。得，化简得，即，A选项正确；9.【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，对于B选项，设，由得，则也是空间的一个基底，A符合题意；又，联立方程可知无解，B选项错误；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，B符合题意；对于C选项，设，由M在直线上得，对于C，由方向向量的性质得出，C符合题意；又，联立方程可知无解，C选项错误；对于D，因为，所以，D不符合题意；对于D选项，设，由，得，又，联 立方程可知有解，D选项正确.三棱锥的外接球的表面积为，D符合题故答案为：AD.意．故答案为：CD．【分析】通过设出点P的坐标，利用求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据【分析】选项A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．推导出与不垂直；在选项B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出12.【答案】C,D平面与平面相交；在选项C中，三棱锥的体积；在D中，三棱锥【解析】【解答】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．则，0，4)，，2，2)，，0，4)，，0，，，2，-2)，，0，-4)，13.【答案】3或5，与不垂直，A不符合题意；【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，在B中，，0，4)，，2，0)，，2，2)，，0，4)，，0，0)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；，-2，4)，，0，2)，，0，4)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；设平面的法向量，，，综上所述，或．故答案为：3或5．则，取，得，2，1)，设平面的法向量，，，【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．14.【答案】1则，取，得，1，，【解析】【解答】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所不共线，平面与平面相交，B不符合题意；以定点与圆心的距离为：，在C中，三棱锥的体积为：所以则的最小值为：，，C符合题意；此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故答案为：1．三棱锥的外接球半径，【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值， 推出m即可．依题意，15.【答案】【解析】【解答】由已知得，即，∴，又，故，解得，.所以在上的投影向量的长度为.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可；（2）取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可．故答案为：.18.【答案】（1）解：由解得，∴点P的坐标为（2）解：设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：【分析】利用空间向量投影的定义求解即可．①时，，不妨设直线l方程为：16.【答案】∵直线l过点P，∴，得【解析】【解答】由已知椭圆的方程可得：，，则，∴直线方程为：，即由椭圆的定义可得，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得又因为，所以，∵，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴所求的直线方程为：，即所以点的轨迹方程为：，综上所述，所求直线方程为：或故答案为：【解析】【分析】（1）由，解得点P的坐标．【分析】由题意可得，，为定值，再由椭圆的方程可得（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：，进而求出Q的轨迹方程．①时，，不妨设直线l方程为：，根据直线l过点P，代入解得b．17.【答案】（1）解：因为，，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得，利用点斜式即可得出．所以.19.【答案】（1）解：圆心到直线的距离为：（2）解：取轴上的单位向量，，设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得： 故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25若是面的一个法向量，则，令，即，（2）解：由题意故过AB的直线方程为y＝－x＋2，，故.又A、B的中点为（1，1），【解析】【分析】（1）连接BD，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由勾∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；故方程为y＝x（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平由解得，即圆心坐标为（－1，－1），面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．半径为，21.【答案】（1）解：过作直线于，则，设，∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16则，（），【解析】【分析】（1）选求圆心到直线的距离，利用圆中的弦长求出圆的半径，可得圆的方程，故，，（2）先求出AB和垂直平分线方程，再求与直线的交点坐标即圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．，20.【答案】（1）证明：由题设，中，而，又，∴，即，又面面，面面且，面，由，得，∴面，又面，则，又且面，故，当且仅当，时取等号.∴面，又面，即面面；此时，有最小值为.（2）解：由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，即两出入口之间距离的最小值为.∴，则（2）解：由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为，此时直线为圆与圆的公切线.因为，出入口在古建筑群和市中心之间，若是面的一个法向量，则，令，即，如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 由，，将代入得，因为圆的方程为，圆的方程为，所以，设直线的方程为，由题意得，将，代入上式得则所以，两式相除，得，，所以或，所以此时或（舍去），此时，要使得为定值，又由（1）知当时，，即为定值，即，解得，综上，.即时，为定值，即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.②当直线与轴重合时，直线的方程为，【解析】【分析】（1）过作直线于，则，设，可得，利用成立勾股定理可求，，推出，利用两角差的正切公式即可计算求解．所以存在定点，使得为定值.（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线【解析】【分析】（1）直接由几何条件化为代数方程整理即得；的方程为，可求或，可求，此时，又当（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，将时，，综上即可得解．代入得，所以，2.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为，，可得时，为定值；②当直线与轴重合时，由图可得，可求得，所以结论成立．所以，所以，“帽体段”的方程：；（2）解：①当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 高二上学期数学期中考试试卷棱柱的高为（）一、单选题A.B．C．2D．41.直线经过原点和点，则的斜率是（）二、多选题A．0B．-1C．1D．不存在9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）2.双曲线的渐近线方程为（）A．A.B．C．D．B．C．3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）D．直线，夹角的余弦值为A．B．C．D．4．已知直线，直线，则与之间的距离为（）10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线A．B．C．D．与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A．B．5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为C．直线的斜率为1D．直线的斜率为4（）11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且A．B．交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）C．D．A．B．6．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）C．四边形的面积为5D．四边形的面积为10A．，，B．，，12．已知，，若圆上存在点，使得C．，，D．，，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．77.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且三、填空题13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则．的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）14.过点且与圆相切的直线方程为．A．B．C．D．15.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，8.在三棱柱中，，，，则该三 （为坐标原点），，则椭圆的长轴长为．22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角（1）若，求的方程．中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值且．为．答案解析部分四、解答题1.【答案】B17．已知直线过点．【解析】【解答】因为直线经过原点和点，所以的斜率（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；．（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．故答案为：B18.在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．【分析】根据题意由斜率的坐标公式，代入数值计算出结果即可。已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．2.【答案】D（1）求双曲线的方程；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．．故答案为：D.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知圆，直线．【分析】由双曲线的渐近线方程，代入数值计算出结果即可。（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；3.【答案】A（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围．【解析】【解答】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，且．所以.（1）证明：平面平面．故答案为：A（2）求二面角的正弦值【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足4.【答案】A．记点的轨迹为．【解析】【解答】直线的方程可化为，则直线与之间的距离（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值．．故答案为：A ，，，，【分析】根据题意由平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。双曲线的离心率的取值范围为.5.【答案】C【解析】【解答】因为三个顶点的坐标分别为，，，故答案为：A所以，所以，【分析】根据题意由双曲线的定义结合已知条件整理即可得出，由此即可得出a与c的关系，结合所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径离心率公式即可得出答案。．故所求圆的标准方程为8．【答案】B．【解析】【解答】设平面的法向量为，则所以，故答案为：C令，则，，所以以是平面的一个法向量．点到平面的距离，故该三棱柱的高为【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出，从而得出进而得出三角形的形状，然后由圆的几何性质求出圆心坐标和半径的值，从而求出圆的方程即可。．故答案为：B6.【答案】C【解析】【解答】A：，所以，，共面；B：，所以，，共面；【分析】根据题意首先求出平面的法向量，再由空间数量积的坐标公式计算出平面的一个法向量，把C：不能用，表示，所以，，不共面；数值代入到距离公式计算出结果即可。D：，共线，则，，共面．9．【答案】A,B,C故答案为：C【解析】【解答】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。由，所以A不符合题意；7．【答案】A【解析】【解答】设双曲线的焦距为，.设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不符合题意；是双曲线右支上的一点，，由，所以与不垂直，所以C不符合题意；的周长为，，由，可得，所以D符合题意.，，，，故答案为：ABC． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公抛物线的对称性求出角的大小，由三角形中的几何计算关系求出P的取值，结合四边形的面积公式代入数值式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数计算出结果即可。量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。12.【答案】B,C,D10．【答案】A,C【解析】【解答】解：设点，由，所以【解析】【解答】由题意可得，整理可得．，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点．设，，则，，两式相减可得圆，可化为，因为是圆上一点，．所以，解得．故答案为：BCD因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值则直线的斜率．范围即可。13.【答案】4故答案为：AC【解析】【解答】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，2，整理即可得出斜率的结果。于是得，解得，11．【答案】B,D所以.【解析】【解答】抛物线的焦点为，故答案为：4因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。14.【答案】x+y-3=0不妨设，，结合三角形的对称性可知，，【解析】【解答】可化为，其圆心为，半径为．所以，则，解得因为点在圆上，．四边形的所以切线的斜率满足，解得，面积为．故答案为：BD．则切线方程为，即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出点的坐标，然后由 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标和半径的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的设为平面的一个法向量，则，值，利用点斜式求出直线的方程即可。15．【答案】令，则，，所以．【解析】【解答】由椭圆，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．则，所以，故答案为：设，，则，且，所以，【分析】由长方体的几何性质计算出边的大小，建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，结合数量积的所以，解得，坐标公式求出平面的法向量，并把数值代入到夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，再由线面角与向所以椭圆的长轴长为．量夹角的关系，即可得出答案。故答案为：．17.【答案】（1）解：设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．16.【答案】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，【解析】【解答】在直角中，为斜边上的高，，，所以直线的方程是．则，，，，即在四面体中，综上，所求直线的方程为或．，，，，，则．【解析】【分析】(1)根据题意由直线垂直的性质设出直线的方程，然后由待定系数法计算出m的取值即可。要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，(2)由直线的方程求出斜率的取值，结合题意对直线分情况讨论，由此求出直线的方程即可。此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，18.【答案】（1）解：的标准方程为，同理计算即则．可.设双曲线的方程为，如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，解得，则，，，，，，，．所以双曲线的方程为； （2）解：双曲线的渐近线方程为．【解析】【分析】(1)根据题意整理化简直线的方程由此求出直线过的定点坐标，然后由斜率的坐标公式代入计算出，结合题意由直线垂直的性质计算出从而求出直线的方程。选①，设双曲线的标准方程为，(2)由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，所以解得，．又因为，在直角中，可得，所以，，所以双曲线的实轴长为2．所以，，选②，设双曲线的标准方程为由，所以，即，又由，且，所以平面，所以，解得，，又因为平面，所以平面平面．（2）解：因为平面，所以，所以双曲线的实轴长为．又因为，可得，所以，【解析】【分析】(1)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出m与n的取值，从而得出答案。如图所示，连接．(2)选①，由双曲线的简单性质代入数值计算出a与b的取值，从而得出答案；选②，由已知条件整理得因为平面，所以，，出a与b的取值，从而得出答案。又因为，，所以平面，，19.【答案】（1）解：由，可得．所以，，由，得即直线过定点．过点作交于点，可得，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，可化为，因为圆心，所以，可得，，，，．又因为当所截弦长最短时，，所以，设平面的法向量为，所以直线的方程为．（2）解：因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则，可取平面的一个法向量为，所以，又平面，所以平面的一个法向量为．解得或，即的取值范围为． 联立消元得，所以，．设二面角的平面角为，则，因为，则，所以二面角的正弦值为．由题设知，解得，所以的方程为．【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形中的几何计算关系结合三角形相似的性质求出角的大小，由此得到线线垂直然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。（2）解：设与抛物线相切的切线方程为，(2)由已知条件结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量则化简得．和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，把数值代入到同角三角函数的由，可得．基本关系式，由此得到二面角的正弦值。将点坐标代入方程，可得，，21．【答案】（1）解：设，，则，，．所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，由，得，．联立方程组可得，，所以交点在定直线上．因为在圆上，所以．故的方程为当时，显然成立；（2）解：设是曲线上任意一点，则，当时，，则，所以．综上所述，．所以【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方当时，．程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。所以圆半径的最大值为．(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，由此求出向量的坐标，然后把点的坐标代入到元的方程，计算求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出，从出结果即可。而得出线线垂直。(2)根据题意由两点间的距离公式整理即可得到y的方程，结合二次函数的图象和性质即可求出最大值。22．【答案】（1）解：由题意得，设直线的方程为，，， 二、多选题高二上学期数学期中考试试卷9．数列的前n项和为，已知，则（）一、单选题1.数列的一个通项公式为（）A．是递增数列A.B．C．D．B．C．当时，2.已知双曲线的离心率为，则（）D．当或4时，取得最大值A．2B．4C．8D．1210.直线与圆的交点个数可能为（）3.直线的倾斜角是（）A．0B．1C．2D．3A．30°B．60°C．120°D．150°11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反4.已知，则点A到直线的距离为（）之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线A．B．C．D．，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A5.双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（）反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（）A.若，则A．B．C．5D．6.如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，EB.若，则是的中点，F是上一点，当时，（）C.若，则平分A．3B．C．D．2D.若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）线方程为（）A．平面A．B．B.四边形面积的最大值为C．D．C.若四边形的面积为，则8.若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则D.若，则四棱锥的体积为（）三、填空题13.直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为．A.B．C．D． 14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘的中点．（1）证明：∥平面．积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准（2）求二面角的余弦值．方程为．22.已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分15.在公差为d的等差数列中，已知，则d的取值范围别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．为．（1）求E的方程；16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，的面积为，则，.N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．四、解答题答案解析部分17.等差数列的前n项和为，已知．1.【答案】A（1）求的通项公式；【解析】【解答】根据规律可知数列的前三项为，（2）若，求n的最小值．所以该数列的一个通项公式为．18.如图，在四棱柱中，平面，四边形是正方形，故答案为：A，E，F，G分别为棱的中点．【分析】由已知的数列的项，即可得出数列的通项公式。（1）求异面直线与所成角的余弦值；2.【答案】B（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【解答】因为离心率为，可得，解得，19.抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与故答案为：B．x轴交于点P．【分析】根据题意由双曲线的简单性质，计算出m的取值即可。（1）若，求l的方程；3.【答案】D（2）若，求．【解析】【解答】由可得，所以直线的斜率为20.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程.，（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，设直线的倾斜为，则，因为，所以使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.．故答案为：D21.如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是 则．因为，【分析】由已知条件把直线的方程化为斜截式，由此求出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。4.【答案】A所以，解得，所以【解析】【解答】由，可得，．故答案为：C则向量在方向上的投影为，【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后把结果代入到数量积的坐标公式计算出a的取值，从而即可得出答案。所以点A到直线的距离．7.【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形△ABC的重心为，故答案为：A.可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，计算出结果即可。5.【答案】B联立方程可得△ABC的垂心为，【解析】【解答】由双曲线，可得，可得，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，故△ABC的欧拉线方程为。所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：A.故答案为：B.【分析】由题可知，三角形△ABC的重心为，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率，再结合【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AB边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为6.【答案】C，再利用两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出【解析】【解答】分别取的中点O，G，连接，AC边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系方程，得出三角形△ABC的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线GH斜率，再利用点斜式求出直线GH方．程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形△ABC的欧拉线方程。设，则．设，8.【答案】C 延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，D符合题意；【解析】【解答】由等差数列的性质和求和公式，可得．若，则，C的焦点为，直线，可得故答案为：C.，B不正确；【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。时，因为，所以．又，所以平9.【答案】B,C,D分，C符合题意．【解析】【解答】当时，，又，所以故答案为：ACD.，则是递减数列，A不符合题意；，B符合题意；当时，【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的，C符合题意；因为的对称轴为，开口向下，所以当或4时，方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件取得最大值，D符合题结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得意．故答案为：BCD．出答案。12.【答案】A,C,D【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出【解析】【解答】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可；结合数列项的性质即可判断出选项A错误；把数值代入到通项公式计算出结果由此判断出选项B、C正确；结合等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质即可判断坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，出选项D正确，从而得出答案。则，，，.因为.所以.因为10.【答案】B,C平面，所以，则，【解析】【解答】．令解得.若平面，则，即，故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可，；若平面.则，即，能为1或2．，.因为，所以四边形的面积故答案为：BC.当时，四边形的面积最大，且最大【分析】根据题意首先整理化简直线的方程，联立直线的方程求解出定点的坐标，然后把点的坐标代入到圆的方程由此得出点在圆上，结合直线与圆的位置关系，即可得出答案。1.【答案】A,C,D值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，【解析】【解答】如图，故四棱锥的体积，B符合题意，D不正确.若四边形的面积若，则，C的焦点为，则，A符合题意； 【分析】根据题意由等差数列项的性质计算出，结合等差数列的通项公式即可得出d的取为.则或，解得或，C不正确.值范围。故答案为：ACD16.【答案】；或【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、【解析】【解答】因为圆C的半径，四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13.【答案】2x-y-3=0所以三角形的面积，【解析】【解答】因为直线经过点，且与直线平行，所以可设直线l的方程为所以.又为锐角三角形，所以，从而有，解得，故答案为：2x-y-3=0【分析】根据题意设出直线的方程，由直线平行的简单性质代入数值计算出的取值即可。因为点O在圆C上，所以或150°，14.【答案】故或。故答案为：；或。【解析】【解答】解：设C的标准方程为，则解得所以【分析】利用圆的一般式方程求出圆C的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结C的标准方程为合已知条件得出的值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出的值，进而得出．故答案为：的值，再利用点O在圆C上，从而得出的值，进而求出的值。17.【答案】（1）解：设的公差为d，.因为，可得，解得，【分析】根据题意设出双曲线的方程，由已知条件代入数值计算出a与b的取值，从而得出双曲线的方程。所以，即数列的通项公式为．15.【答案】（2）解：由，可得，【解析】【解答】因为，所以，根据二次函数的性质且，可得单调递增，所以．因为，所以当时，，故答案为：.故n的最小值为12．【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项和公差的值，由此得 出数列的通项公式。所以线段的中点为，故直线l的方程为，即(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的图象和性质即可得出答案。18.【答案】（1）解：因为平面，四边形是正方形，所以以A点为原点，（2）解：设l的方程为，联立方程组，整理得，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则，因为，所以，则，，故|．则，【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。故异面直线与所成角的余弦值为．(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y（2）解：因为，所以．的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。设平面的法向量为，则令，则，即20.【答案】（1）解：设圆M的方程为，．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面解得所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入故圆M的方程为.数值计算出结果即可。(2)由已知条件求出平面法向量的坐标，然后由线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到夹角的数量积公（2）解：假设存在实数，使得.式计算出结果即可。由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线19.【答案】（1）解：设，则，两式相减得，所以，所以，．此时点M到直线l的距离，符合条件，因为线段中点M的纵坐标为1，所以.．又，所以，【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式方程。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABD的坐标，再由数量积的坐标公（2）假设存在实数，使得，由（1）可知，圆M的圆心坐标和半径长，再利用点O在圆式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入M上，得出，所以直线，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线OM的数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。斜率，进而求出实数a的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点M到直线l2.【答案】（1）解：由内切圆的性质得，的距离，符合条件，再结合弦长公式得出的值。所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，21.【答案】（1）证明：如图，取的中点P，连接则，，．因为E是的中点，，所以．故E的方程为又∥，所以四边形是平行四边形．因为M，N分别是的中点，所以∥∥．（2）解：当T不为坐标原点时，设，则又平面平面，所以∥平面∥平面．因为，所以平面∥平面．两式相减得，即，又平面，所以∥平面．（2）解：取的中点O，连接．所以，设，在图1中，因为，所以与是等边三角形，所以在图2中，，所以．联立方程组整理得，以O为原点，射线为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．．设，则，因为T是线段的中点，所以．．设平面的法向量为，联立方程组解得．联立方程组解得则令，则，即．，由题可知，平面的一个法向量为．所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．故．【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形是平行四边形，结合四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．【解析】【分析】(1)根据题意由圆和椭圆的几何性质，整理即可求出a与c的值，由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，并把坐标代入由点差法结合斜率的坐标计算出，结合点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理结合两点间的距离公式代入数值计算出点的坐标，由已知条件整理化简即可得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题C.D．1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．二、多选题C．D．9.平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．A．B．C．D．l与斜交C．D．3.点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半10.已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（）径等于（）A.直线l的倾斜角是A．B．C．3D．9B.若直线m：＝0，则l⊥m4.在棱长为a的正方体ABCD-中，向量与向量所成的角为（）C.点到直线l的距离是2A．60°B．150°C．90°D．120°D.过与直线l平行的直线方程是5.已知三顶点为、、，则是（）A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为46.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）B.圆截轴所得的弦长为A．B．C．D．C.圆上的点到直线的最小距离为17.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的D.圆与圆相离距离的最大值为（）12.如图，在长方体中，，，是侧面的中A．B．6C．D．心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为8.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是（）轴建立空间直角坐标系，则（）A．是单位向量A.B．B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为（2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定三、填空题值，求出该值；否则，请说明理由．13.已知两个平面，的法向量分别是和，若，则．22.如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一般式（1）求证：AB⊥CD；为．（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若，，分别记答案解析部分为，，，则用，，表示的结果为．1.【答案】B16.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程【解析】【解答】倾斜角为的直线斜率为.为．利用点斜式可得.四、解答题17.在中，，整理得.（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；故答案为：B.（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果.18.如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂2.【答案】B直BD于E，F为的中点．【解析】【解答】由，，则（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；所以，则（2）求点A到平面BDF的距离．故答案为：B．19.（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．【分析】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．3.【答案】C20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．【解析】【解答】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，（1）证明：平面；则圆心坐标为（－，－1），半径为（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，21.已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．（1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，所以－＋1＋1＝0，k＝4．解得k，所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.则k的取值范围是[，故答案为：C．+∞）．故答案为：D．【分析】根据题意可得：直线经过圆心，代入运算解得，再代入【分析】由题意可得或，解不等式即可得到所求范围．求圆的半径．7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由得，【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系因此圆心为，半径为，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）因此圆心到坐标原点的距离为，∴cos＜，＞===﹣即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.即＜，＞=120°故答案为：D.故答案为：D【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．8.【答案】D5.【答案】B【解析】【解答】逐一根据a，b的几何意义验证知D中，直线ax+by=ab，即+=1在x，y轴上的截距分别【解析】【解答】由已知，，，为b<0和a>0时，D中圆的圆心亦为b<0和a>0，∴，即，故答案为：D.【分析】根据直线在坐标轴上的截距的符号，以及圆心的坐标符号，判定ABC都不可能，而D中由直线位置∴是直角三角形.可得b<0和a>0，圆的圆心亦为b<0和a>0，故D正确.故答案为：B.9.【答案】A,C【解析】【解答】由圆的方程可知其圆心为，半径，【分析】由向量坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.由题意可设所求直线方程为：，6.【答案】D则圆心到直线距离，解得：，【解析】【解答】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 故答案为：BC.所求切线方程为：或.故答案为：AC.【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.选项.10.【答案】B,C,D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；【解析】【解答】对于A，，，，对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B符合题意；，为单位向量，A符合题意；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C符合题意；对于B，，，，，，对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D符合题意；，即，，平面，故答案为：BCD．是平面的一个法向量，B符合题意；【分析】对A，根据斜率判断即可；对于C，，，对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；，对D，先求得斜率，再根据点斜式求解即可.11．【答案】B,C即异面直线与所成角的余弦值为，C不符合题意；【解析】【解答】对于A：由可得，所以的半径为，A不正确；对于D，，，，对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，B符合题意；由B知：为平面的一个法向量，对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的点到平面的距离，D符合题意.最小距离为，C符合题意；故答案为：ABD.对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，D不正确；【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量是单位向量；再利用法向量的定义，从 而得出是平面的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异故答案为：面直线与所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.标，再利用为平面的一个法向量，从而利用数量积求出点到平面的距16.【答案】＝2离，进而找出正确的选项。【解析】【解答】解：由题意得：圆心在直线上，13.【答案】4又圆心在直线上，令，得【解析】【解答】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，圆心的坐标为，又，所以，解得，半径，所以，则圆的方程为．故答案为：4故答案为：【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出，进而可求得答案.14．【答案】x+3y-10=0或x-2y=0【分析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线，令，得，所以圆心坐标【解析】【解答】当截距为0时，设直线方程为y=kx，，利用两点间的距离公式求出，由圆心和半径写出圆的方程即可．则4k=2，∴17.【答案】（1）解：设AB边的垂直平分线为l，∴直线方程为有题可知，，当截距不为0时，设直线方程为又可知AB中点为，由题意，，∴a=．∴．l的方程为，即，综上，x+3y-10=0或x-2y=0（2）解：设B关于直线的对称点M的坐标为；【分析】当截距为0时，此时直线方程为；当截距不为0时，设直线方程为，把则，解得，所以，代入即可得出答案.15.【答案】由题可知，两点都在直线AC上，【解析】【解答】因为G是AE的中点，E是线段BC的中点，故所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为. 【解析】【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.19．【答案】（1）解：圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x18.【答案】（1）解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.由已知AB＝＝1，（2）解：方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝最小值为－2－.从而易得【解析】【分析】（1）根据的几何意义求解，即求得到圆心的距离，由这∵＝＝（－1，0，1）．个距离加减半径后平方可得最大值和最小值．设异面直线AE与BF所成的角为，（2）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，即可求得结果．20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面，则．所以，因为，，平面，即异面直线AE、BF所成的角的余弦为所以平面，因为平面，所以，（2）解：设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．因为底面为平行四边形，所以，＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，所以，因为，，平面，0）．由∴，即所以平面；取＝（2）解：由（1）可知，所以点A到平面BDF的距离因为，，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为【解析】【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，（2）解：∵l过原点O且不与y轴重合，则，，，，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，所以，，，，依题意知是上方程的两根，则＝＝设平面的法向量为，则．则＝＝＝故是定值令，，，得面的法向量．同理可得平面的法向量【解析】【分析】（1）法一：设点，点，再根据中点的性质表达出，所以，因为二面角为锐二面角，，代入化简求解即可；法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆所以二面角的余弦值为求解即可【解析】【分析】(1)根据题意，先判断BD⊥平面APD，得到PD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得出结论；（2）设直线l的方程为，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可.(2)根据题意，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求2.【答案】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出即可.∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；21.【答案】（1）解：法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（2）解：由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），于是有，．①∴＝＝＝因为点P在圆上运动，设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……整理，得＝4．设直线AE与平面BCE所成角为，这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝则，2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为． 【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD，即可证明AB⊥CD.（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
简介：高二上学期数学期中考试试卷则PD的最大值为（）一、单选题A．3B．C．D．21.直线的倾斜角（）二、多选题A．B．C．D．9.以下说法正确的是（）A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）B.空间的任意两个向量都是共面向量A．2B．4C．8D．16C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则3.已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则（）10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列A．B．6C．4D．正确的是（）4.无论m取何实数，直线一定过（）A.椭圆的长轴长为8A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B.椭圆的离心率为C．椭5.方程化简的结果是（）圆的离心率为D．椭圆的一A．B．C．D．个方程可能为6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用，，表示向量的结果是（）定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.A.B．已知在平面直角坐标系中，､，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论C．D．正确的是（）7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的A.曲线的方程为数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样B.在曲线上存在点D，使得走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线C.在曲线上存在点M，使M在直线上所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）D.在曲线上存在点N，使得A．B．C．D．12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（）8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足， A．21．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设B.平面平面一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为C.三棱锥的体积为.D.三棱锥的外接球的表面积为（1）若，求两站点之间的距离；三、填空题（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，13.椭圆的焦距为2，则．为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？14.直线：截圆的弦为，当取最小值时的值22.如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆为．弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，15.已知点，则在上的投影向量的长度为.之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐16.设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点段所在的圆方程分别为.Q的轨迹方程为．（1）求“帽体段”的方程；四、解答题17.已知，.（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点（1）求；，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分（2）求､的值使得与z轴垂直，且.1．【答案】A18.已知两直线，【解析】【解答】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为（1）求直线与交点P的坐标；．（2）设，求过点P且与距离相等的直线方程．故答案为：A．19.求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．（2）过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.2.【答案】C20.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩【解析】【解答】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而形，，平面平面．，所以．（1）求证：平面平面；故答案为：C．（2）求二面角的正弦值． 【分析】由题意结合椭圆的定义可得点P到右焦点的距离．【解析】【解答】由题意可得，=-3.【答案】D=-(+).【解析】【解答】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，∵，，所以，∴.故答案为：D故答案为：D.【分析】利用对称的性质分别求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出结果．【分析】连接MN，=-，由M是A1D1的中点，用表示出，由条件：点N是CA1上的4.【答案】C点，且CN：NA1＝1：4，得到，再用，，表示向量即可．【解析】【解答】，则.7.【答案】C取，解得，故直线过定点，必过第三象限.【解析】【解答】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为故答案为：C，∴，解得，即.【分析】直线的方程即，不论m为何实数，直线l恒过的交点M，解方程组求得M的坐标．∴.5.【答案】D故答案为：C【解析】【解答】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y=3的对称点A’，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；8.【答案】B∴；【解析】【解答】如图所示，在平面内，，∴椭圆的方程是，即为化简的结所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为果．故答案为：D．轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，6.【答案】D 故答案为：ABC.所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，，【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件、共面向量以及空间向量共线与垂直需满足的条件逐项判断故点正好为椭圆短轴的一个端点，即可．10.【答案】B,D，则，【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，因为，故只需计算的最大值.∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则a=8，设，则，所以，则，离心率为，当时，取最大值，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，即，则椭圆的方程为.故答案为：BD.因此可得，故的最大值为.故答案为：B.【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程设出点的1.【答案】A,D坐标然后表示出结合二次函数的性质求【解析】【解答】设点，由，出最大值即可。得，化简得，即，A选项正确；9.【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，对于B选项，设，由得，则也是空间的一个基底，A符合题意；又，联立方程可知无解，B选项错误；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，B符合题意；对于C选项，设，由M在直线上得，对于C，由方向向量的性质得出，C符合题意；又，联立方程可知无解，C选项错误；对于D，因为，所以，D不符合题意；对于D选项，设，由，得，又，联 立方程可知有解，D选项正确.三棱锥的外接球的表面积为，D符合题故答案为：AD.意．故答案为：CD．【分析】通过设出点P的坐标，利用求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据【分析】选项A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．推导出与不垂直；在选项B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出12.【答案】C,D平面与平面相交；在选项C中，三棱锥的体积；在D中，三棱锥【解析】【解答】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．则，0，4)，，2，2)，，0，4)，，0，，，2，-2)，，0，-4)，13.【答案】3或5，与不垂直，A不符合题意；【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，在B中，，0，4)，，2，0)，，2，2)，，0，4)，，0，0)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；，-2，4)，，0，2)，，0，4)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；设平面的法向量，，，综上所述，或．故答案为：3或5．则，取，得，2，1)，设平面的法向量，，，【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．14.【答案】1则，取，得，1，，【解析】【解答】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所不共线，平面与平面相交，B不符合题意；以定点与圆心的距离为：，在C中，三棱锥的体积为：所以则的最小值为：，，C符合题意；此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故答案为：1．三棱锥的外接球半径，【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值， 推出m即可．依题意，15.【答案】【解析】【解答】由已知得，即，∴，又，故，解得，.所以在上的投影向量的长度为.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可；（2）取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可．故答案为：.18.【答案】（1）解：由解得，∴点P的坐标为（2）解：设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：【分析】利用空间向量投影的定义求解即可．①时，，不妨设直线l方程为：16.【答案】∵直线l过点P，∴，得【解析】【解答】由已知椭圆的方程可得：，，则，∴直线方程为：，即由椭圆的定义可得，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得又因为，所以，∵，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴所求的直线方程为：，即所以点的轨迹方程为：，综上所述，所求直线方程为：或故答案为：【解析】【分析】（1）由，解得点P的坐标．【分析】由题意可得，，为定值，再由椭圆的方程可得（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：，进而求出Q的轨迹方程．①时，，不妨设直线l方程为：，根据直线l过点P，代入解得b．17.【答案】（1）解：因为，，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得，利用点斜式即可得出．所以.19.【答案】（1）解：圆心到直线的距离为：（2）解：取轴上的单位向量，，设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得： 故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25若是面的一个法向量，则，令，即，（2）解：由题意故过AB的直线方程为y＝－x＋2，，故.又A、B的中点为（1，1），【解析】【分析】（1）连接BD，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由勾∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；故方程为y＝x（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平由解得，即圆心坐标为（－1，－1），面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．半径为，21.【答案】（1）解：过作直线于，则，设，∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16则，（），【解析】【分析】（1）选求圆心到直线的距离，利用圆中的弦长求出圆的半径，可得圆的方程，故，，（2）先求出AB和垂直平分线方程，再求与直线的交点坐标即圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．，20.【答案】（1）证明：由题设，中，而，又，∴，即，又面面，面面且，面，由，得，∴面，又面，则，又且面，故，当且仅当，时取等号.∴面，又面，即面面；此时，有最小值为.（2）解：由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，即两出入口之间距离的最小值为.∴，则（2）解：由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为，此时直线为圆与圆的公切线.因为，出入口在古建筑群和市中心之间，若是面的一个法向量，则，令，即，如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 由，，将代入得，因为圆的方程为，圆的方程为，所以，设直线的方程为，由题意得，将，代入上式得则所以，两式相除，得，，所以或，所以此时或（舍去），此时，要使得为定值，又由（1）知当时，，即为定值，即，解得，综上，.即时，为定值，即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.②当直线与轴重合时，直线的方程为，【解析】【分析】（1）过作直线于，则，设，可得，利用成立勾股定理可求，，推出，利用两角差的正切公式即可计算求解．所以存在定点，使得为定值.（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线【解析】【分析】（1）直接由几何条件化为代数方程整理即得；的方程为，可求或，可求，此时，又当（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，将时，，综上即可得解．代入得，所以，2.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为，，可得时，为定值；②当直线与轴重合时，由图可得，可求得，所以结论成立．所以，所以，“帽体段”的方程：；（2）解：①当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 高二上学期数学期中考试试卷棱柱的高为（）一、单选题A.B．C．2D．41.直线经过原点和点，则的斜率是（）二、多选题A．0B．-1C．1D．不存在9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）2.双曲线的渐近线方程为（）A．A.B．C．D．B．C．3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）D．直线，夹角的余弦值为A．B．C．D．4．已知直线，直线，则与之间的距离为（）10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线A．B．C．D．与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A．B．5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为C．直线的斜率为1D．直线的斜率为4（）11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且A．B．交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）C．D．A．B．6．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）C．四边形的面积为5D．四边形的面积为10A．，，B．，，12．已知，，若圆上存在点，使得C．，，D．，，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．77.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且三、填空题13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则．的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）14.过点且与圆相切的直线方程为．A．B．C．D．15.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，8.在三棱柱中，，，，则该三 （为坐标原点），，则椭圆的长轴长为．22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角（1）若，求的方程．中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值且．为．答案解析部分四、解答题1.【答案】B17．已知直线过点．【解析】【解答】因为直线经过原点和点，所以的斜率（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；．（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．故答案为：B18.在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．【分析】根据题意由斜率的坐标公式，代入数值计算出结果即可。已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．2.【答案】D（1）求双曲线的方程；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．．故答案为：D.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知圆，直线．【分析】由双曲线的渐近线方程，代入数值计算出结果即可。（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；3.【答案】A（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围．【解析】【解答】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，且．所以.（1）证明：平面平面．故答案为：A（2）求二面角的正弦值【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足4.【答案】A．记点的轨迹为．【解析】【解答】直线的方程可化为，则直线与之间的距离（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值．．故答案为：A ，，，，【分析】根据题意由平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。双曲线的离心率的取值范围为.5.【答案】C【解析】【解答】因为三个顶点的坐标分别为，，，故答案为：A所以，所以，【分析】根据题意由双曲线的定义结合已知条件整理即可得出，由此即可得出a与c的关系，结合所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径离心率公式即可得出答案。．故所求圆的标准方程为8．【答案】B．【解析】【解答】设平面的法向量为，则所以，故答案为：C令，则，，所以以是平面的一个法向量．点到平面的距离，故该三棱柱的高为【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出，从而得出进而得出三角形的形状，然后由圆的几何性质求出圆心坐标和半径的值，从而求出圆的方程即可。．故答案为：B6.【答案】C【解析】【解答】A：，所以，，共面；B：，所以，，共面；【分析】根据题意首先求出平面的法向量，再由空间数量积的坐标公式计算出平面的一个法向量，把C：不能用，表示，所以，，不共面；数值代入到距离公式计算出结果即可。D：，共线，则，，共面．9．【答案】A,B,C故答案为：C【解析】【解答】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。由，所以A不符合题意；7．【答案】A【解析】【解答】设双曲线的焦距为，.设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不符合题意；是双曲线右支上的一点，，由，所以与不垂直，所以C不符合题意；的周长为，，由，可得，所以D符合题意.，，，，故答案为：ABC． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公抛物线的对称性求出角的大小，由三角形中的几何计算关系求出P的取值，结合四边形的面积公式代入数值式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数计算出结果即可。量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。12.【答案】B,C,D10．【答案】A,C【解析】【解答】解：设点，由，所以【解析】【解答】由题意可得，整理可得．，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点．设，，则，，两式相减可得圆，可化为，因为是圆上一点，．所以，解得．故答案为：BCD因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值则直线的斜率．范围即可。13.【答案】4故答案为：AC【解析】【解答】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，2，整理即可得出斜率的结果。于是得，解得，11．【答案】B,D所以.【解析】【解答】抛物线的焦点为，故答案为：4因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。14.【答案】x+y-3=0不妨设，，结合三角形的对称性可知，，【解析】【解答】可化为，其圆心为，半径为．所以，则，解得因为点在圆上，．四边形的所以切线的斜率满足，解得，面积为．故答案为：BD．则切线方程为，即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出点的坐标，然后由 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标和半径的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的设为平面的一个法向量，则，值，利用点斜式求出直线的方程即可。15．【答案】令，则，，所以．【解析】【解答】由椭圆，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．则，所以，故答案为：设，，则，且，所以，【分析】由长方体的几何性质计算出边的大小，建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，结合数量积的所以，解得，坐标公式求出平面的法向量，并把数值代入到夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，再由线面角与向所以椭圆的长轴长为．量夹角的关系，即可得出答案。故答案为：．17.【答案】（1）解：设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．16.【答案】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，【解析】【解答】在直角中，为斜边上的高，，，所以直线的方程是．则，，，，即在四面体中，综上，所求直线的方程为或．，，，，，则．【解析】【分析】(1)根据题意由直线垂直的性质设出直线的方程，然后由待定系数法计算出m的取值即可。要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，(2)由直线的方程求出斜率的取值，结合题意对直线分情况讨论，由此求出直线的方程即可。此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，18.【答案】（1）解：的标准方程为，同理计算即则．可.设双曲线的方程为，如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，解得，则，，，，，，，．所以双曲线的方程为； （2）解：双曲线的渐近线方程为．【解析】【分析】(1)根据题意整理化简直线的方程由此求出直线过的定点坐标，然后由斜率的坐标公式代入计算出，结合题意由直线垂直的性质计算出从而求出直线的方程。选①，设双曲线的标准方程为，(2)由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，所以解得，．又因为，在直角中，可得，所以，，所以双曲线的实轴长为2．所以，，选②，设双曲线的标准方程为由，所以，即，又由，且，所以平面，所以，解得，，又因为平面，所以平面平面．（2）解：因为平面，所以，所以双曲线的实轴长为．又因为，可得，所以，【解析】【分析】(1)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出m与n的取值，从而得出答案。如图所示，连接．(2)选①，由双曲线的简单性质代入数值计算出a与b的取值，从而得出答案；选②，由已知条件整理得因为平面，所以，，出a与b的取值，从而得出答案。又因为，，所以平面，，19.【答案】（1）解：由，可得．所以，，由，得即直线过定点．过点作交于点，可得，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，可化为，因为圆心，所以，可得，，，，．又因为当所截弦长最短时，，所以，设平面的法向量为，所以直线的方程为．（2）解：因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则，可取平面的一个法向量为，所以，又平面，所以平面的一个法向量为．解得或，即的取值范围为． 联立消元得，所以，．设二面角的平面角为，则，因为，则，所以二面角的正弦值为．由题设知，解得，所以的方程为．【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形中的几何计算关系结合三角形相似的性质求出角的大小，由此得到线线垂直然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。（2）解：设与抛物线相切的切线方程为，(2)由已知条件结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量则化简得．和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，把数值代入到同角三角函数的由，可得．基本关系式，由此得到二面角的正弦值。将点坐标代入方程，可得，，21．【答案】（1）解：设，，则，，．所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，由，得，．联立方程组可得，，所以交点在定直线上．因为在圆上，所以．故的方程为当时，显然成立；（2）解：设是曲线上任意一点，则，当时，，则，所以．综上所述，．所以【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方当时，．程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。所以圆半径的最大值为．(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，由此求出向量的坐标，然后把点的坐标代入到元的方程，计算求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出，从出结果即可。而得出线线垂直。(2)根据题意由两点间的距离公式整理即可得到y的方程，结合二次函数的图象和性质即可求出最大值。22．【答案】（1）解：由题意得，设直线的方程为，，， 二、多选题高二上学期数学期中考试试卷9．数列的前n项和为，已知，则（）一、单选题1.数列的一个通项公式为（）A．是递增数列A.B．C．D．B．C．当时，2.已知双曲线的离心率为，则（）D．当或4时，取得最大值A．2B．4C．8D．1210.直线与圆的交点个数可能为（）3.直线的倾斜角是（）A．0B．1C．2D．3A．30°B．60°C．120°D．150°11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反4.已知，则点A到直线的距离为（）之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线A．B．C．D．，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A5.双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（）反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（）A.若，则A．B．C．5D．6.如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，EB.若，则是的中点，F是上一点，当时，（）C.若，则平分A．3B．C．D．2D.若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）线方程为（）A．平面A．B．B.四边形面积的最大值为C．D．C.若四边形的面积为，则8.若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则D.若，则四棱锥的体积为（）三、填空题13.直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为．A.B．C．D． 14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘的中点．（1）证明：∥平面．积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准（2）求二面角的余弦值．方程为．22.已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分15.在公差为d的等差数列中，已知，则d的取值范围别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．为．（1）求E的方程；16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，的面积为，则，.N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．四、解答题答案解析部分17.等差数列的前n项和为，已知．1.【答案】A（1）求的通项公式；【解析】【解答】根据规律可知数列的前三项为，（2）若，求n的最小值．所以该数列的一个通项公式为．18.如图，在四棱柱中，平面，四边形是正方形，故答案为：A，E，F，G分别为棱的中点．【分析】由已知的数列的项，即可得出数列的通项公式。（1）求异面直线与所成角的余弦值；2.【答案】B（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【解答】因为离心率为，可得，解得，19.抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与故答案为：B．x轴交于点P．【分析】根据题意由双曲线的简单性质，计算出m的取值即可。（1）若，求l的方程；3.【答案】D（2）若，求．【解析】【解答】由可得，所以直线的斜率为20.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程.，（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，设直线的倾斜为，则，因为，所以使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.．故答案为：D21.如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是 则．因为，【分析】由已知条件把直线的方程化为斜截式，由此求出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。4.【答案】A所以，解得，所以【解析】【解答】由，可得，．故答案为：C则向量在方向上的投影为，【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后把结果代入到数量积的坐标公式计算出a的取值，从而即可得出答案。所以点A到直线的距离．7.【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形△ABC的重心为，故答案为：A.可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，计算出结果即可。5.【答案】B联立方程可得△ABC的垂心为，【解析】【解答】由双曲线，可得，可得，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，故△ABC的欧拉线方程为。所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：A.故答案为：B.【分析】由题可知，三角形△ABC的重心为，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率，再结合【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AB边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为6.【答案】C，再利用两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出【解析】【解答】分别取的中点O，G，连接，AC边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系方程，得出三角形△ABC的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线GH斜率，再利用点斜式求出直线GH方．程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形△ABC的欧拉线方程。设，则．设，8.【答案】C 延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，D符合题意；【解析】【解答】由等差数列的性质和求和公式，可得．若，则，C的焦点为，直线，可得故答案为：C.，B不正确；【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。时，因为，所以．又，所以平9.【答案】B,C,D分，C符合题意．【解析】【解答】当时，，又，所以故答案为：ACD.，则是递减数列，A不符合题意；，B符合题意；当时，【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的，C符合题意；因为的对称轴为，开口向下，所以当或4时，方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件取得最大值，D符合题结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得意．故答案为：BCD．出答案。12.【答案】A,C,D【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出【解析】【解答】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可；结合数列项的性质即可判断出选项A错误；把数值代入到通项公式计算出结果由此判断出选项B、C正确；结合等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质即可判断坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，出选项D正确，从而得出答案。则，，，.因为.所以.因为10.【答案】B,C平面，所以，则，【解析】【解答】．令解得.若平面，则，即，故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可，；若平面.则，即，能为1或2．，.因为，所以四边形的面积故答案为：BC.当时，四边形的面积最大，且最大【分析】根据题意首先整理化简直线的方程，联立直线的方程求解出定点的坐标，然后把点的坐标代入到圆的方程由此得出点在圆上，结合直线与圆的位置关系，即可得出答案。1.【答案】A,C,D值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，【解析】【解答】如图，故四棱锥的体积，B符合题意，D不正确.若四边形的面积若，则，C的焦点为，则，A符合题意； 【分析】根据题意由等差数列项的性质计算出，结合等差数列的通项公式即可得出d的取为.则或，解得或，C不正确.值范围。故答案为：ACD16.【答案】；或【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、【解析】【解答】因为圆C的半径，四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13.【答案】2x-y-3=0所以三角形的面积，【解析】【解答】因为直线经过点，且与直线平行，所以可设直线l的方程为所以.又为锐角三角形，所以，从而有，解得，故答案为：2x-y-3=0【分析】根据题意设出直线的方程，由直线平行的简单性质代入数值计算出的取值即可。因为点O在圆C上，所以或150°，14.【答案】故或。故答案为：；或。【解析】【解答】解：设C的标准方程为，则解得所以【分析】利用圆的一般式方程求出圆C的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结C的标准方程为合已知条件得出的值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出的值，进而得出．故答案为：的值，再利用点O在圆C上，从而得出的值，进而求出的值。17.【答案】（1）解：设的公差为d，.因为，可得，解得，【分析】根据题意设出双曲线的方程，由已知条件代入数值计算出a与b的取值，从而得出双曲线的方程。所以，即数列的通项公式为．15.【答案】（2）解：由，可得，【解析】【解答】因为，所以，根据二次函数的性质且，可得单调递增，所以．因为，所以当时，，故答案为：.故n的最小值为12．【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项和公差的值，由此得 出数列的通项公式。所以线段的中点为，故直线l的方程为，即(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的图象和性质即可得出答案。18.【答案】（1）解：因为平面，四边形是正方形，所以以A点为原点，（2）解：设l的方程为，联立方程组，整理得，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则，因为，所以，则，，故|．则，【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。故异面直线与所成角的余弦值为．(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y（2）解：因为，所以．的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。设平面的法向量为，则令，则，即20.【答案】（1）解：设圆M的方程为，．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面解得所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入故圆M的方程为.数值计算出结果即可。(2)由已知条件求出平面法向量的坐标，然后由线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到夹角的数量积公（2）解：假设存在实数，使得.式计算出结果即可。由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线19.【答案】（1）解：设，则，两式相减得，所以，所以，．此时点M到直线l的距离，符合条件，因为线段中点M的纵坐标为1，所以.．又，所以，【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式方程。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABD的坐标，再由数量积的坐标公（2）假设存在实数，使得，由（1）可知，圆M的圆心坐标和半径长，再利用点O在圆式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入M上，得出，所以直线，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线OM的数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。斜率，进而求出实数a的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点M到直线l2.【答案】（1）解：由内切圆的性质得，的距离，符合条件，再结合弦长公式得出的值。所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，21.【答案】（1）证明：如图，取的中点P，连接则，，．因为E是的中点，，所以．故E的方程为又∥，所以四边形是平行四边形．因为M，N分别是的中点，所以∥∥．（2）解：当T不为坐标原点时，设，则又平面平面，所以∥平面∥平面．因为，所以平面∥平面．两式相减得，即，又平面，所以∥平面．（2）解：取的中点O，连接．所以，设，在图1中，因为，所以与是等边三角形，所以在图2中，，所以．联立方程组整理得，以O为原点，射线为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．．设，则，因为T是线段的中点，所以．．设平面的法向量为，联立方程组解得．联立方程组解得则令，则，即．，由题可知，平面的一个法向量为．所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．故．【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形是平行四边形，结合四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．【解析】【分析】(1)根据题意由圆和椭圆的几何性质，整理即可求出a与c的值，由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，并把坐标代入由点差法结合斜率的坐标计算出，结合点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理结合两点间的距离公式代入数值计算出点的坐标，由已知条件整理化简即可得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题C.D．1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．二、多选题C．D．9.平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．A．B．C．D．l与斜交C．D．3.点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半10.已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（）径等于（）A.直线l的倾斜角是A．B．C．3D．9B.若直线m：＝0，则l⊥m4.在棱长为a的正方体ABCD-中，向量与向量所成的角为（）C.点到直线l的距离是2A．60°B．150°C．90°D．120°D.过与直线l平行的直线方程是5.已知三顶点为、、，则是（）A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为46.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）B.圆截轴所得的弦长为A．B．C．D．C.圆上的点到直线的最小距离为17.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的D.圆与圆相离距离的最大值为（）12.如图，在长方体中，，，是侧面的中A．B．6C．D．心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为8.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是（）轴建立空间直角坐标系，则（）A．是单位向量A.B．B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为（2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定三、填空题值，求出该值；否则，请说明理由．13.已知两个平面，的法向量分别是和，若，则．22.如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一般式（1）求证：AB⊥CD；为．（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若，，分别记答案解析部分为，，，则用，，表示的结果为．1.【答案】B16.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程【解析】【解答】倾斜角为的直线斜率为.为．利用点斜式可得.四、解答题17.在中，，整理得.（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；故答案为：B.（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果.18.如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂2.【答案】B直BD于E，F为的中点．【解析】【解答】由，，则（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；所以，则（2）求点A到平面BDF的距离．故答案为：B．19.（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．【分析】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．3.【答案】C20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．【解析】【解答】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，（1）证明：平面；则圆心坐标为（－，－1），半径为（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，21.已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．（1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，所以－＋1＋1＝0，k＝4．解得k，所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.则k的取值范围是[，故答案为：C．+∞）．故答案为：D．【分析】根据题意可得：直线经过圆心，代入运算解得，再代入【分析】由题意可得或，解不等式即可得到所求范围．求圆的半径．7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由得，【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系因此圆心为，半径为，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）因此圆心到坐标原点的距离为，∴cos＜，＞===﹣即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.即＜，＞=120°故答案为：D.故答案为：D【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．8.【答案】D5.【答案】B【解析】【解答】逐一根据a，b的几何意义验证知D中，直线ax+by=ab，即+=1在x，y轴上的截距分别【解析】【解答】由已知，，，为b<0和a>0时，D中圆的圆心亦为b<0和a>0，∴，即，故答案为：D.【分析】根据直线在坐标轴上的截距的符号，以及圆心的坐标符号，判定ABC都不可能，而D中由直线位置∴是直角三角形.可得b<0和a>0，圆的圆心亦为b<0和a>0，故D正确.故答案为：B.9.【答案】A,C【解析】【解答】由圆的方程可知其圆心为，半径，【分析】由向量坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.由题意可设所求直线方程为：，6.【答案】D则圆心到直线距离，解得：，【解析】【解答】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 故答案为：BC.所求切线方程为：或.故答案为：AC.【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.选项.10.【答案】B,C,D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；【解析】【解答】对于A，，，，对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B符合题意；，为单位向量，A符合题意；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C符合题意；对于B，，，，，，对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D符合题意；，即，，平面，故答案为：BCD．是平面的一个法向量，B符合题意；【分析】对A，根据斜率判断即可；对于C，，，对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；，对D，先求得斜率，再根据点斜式求解即可.11．【答案】B,C即异面直线与所成角的余弦值为，C不符合题意；【解析】【解答】对于A：由可得，所以的半径为，A不正确；对于D，，，，对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，B符合题意；由B知：为平面的一个法向量，对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的点到平面的距离，D符合题意.最小距离为，C符合题意；故答案为：ABD.对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，D不正确；【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量是单位向量；再利用法向量的定义，从 而得出是平面的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异故答案为：面直线与所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.标，再利用为平面的一个法向量，从而利用数量积求出点到平面的距16.【答案】＝2离，进而找出正确的选项。【解析】【解答】解：由题意得：圆心在直线上，13.【答案】4又圆心在直线上，令，得【解析】【解答】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，圆心的坐标为，又，所以，解得，半径，所以，则圆的方程为．故答案为：4故答案为：【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出，进而可求得答案.14．【答案】x+3y-10=0或x-2y=0【分析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线，令，得，所以圆心坐标【解析】【解答】当截距为0时，设直线方程为y=kx，，利用两点间的距离公式求出，由圆心和半径写出圆的方程即可．则4k=2，∴17.【答案】（1）解：设AB边的垂直平分线为l，∴直线方程为有题可知，，当截距不为0时，设直线方程为又可知AB中点为，由题意，，∴a=．∴．l的方程为，即，综上，x+3y-10=0或x-2y=0（2）解：设B关于直线的对称点M的坐标为；【分析】当截距为0时，此时直线方程为；当截距不为0时，设直线方程为，把则，解得，所以，代入即可得出答案.15.【答案】由题可知，两点都在直线AC上，【解析】【解答】因为G是AE的中点，E是线段BC的中点，故所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为. 【解析】【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.19．【答案】（1）解：圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x18.【答案】（1）解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.由已知AB＝＝1，（2）解：方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝最小值为－2－.从而易得【解析】【分析】（1）根据的几何意义求解，即求得到圆心的距离，由这∵＝＝（－1，0，1）．个距离加减半径后平方可得最大值和最小值．设异面直线AE与BF所成的角为，（2）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，即可求得结果．20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面，则．所以，因为，，平面，即异面直线AE、BF所成的角的余弦为所以平面，因为平面，所以，（2）解：设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．因为底面为平行四边形，所以，＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，所以，因为，，平面，0）．由∴，即所以平面；取＝（2）解：由（1）可知，所以点A到平面BDF的距离因为，，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为【解析】【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，（2）解：∵l过原点O且不与y轴重合，则，，，，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，所以，，，，依题意知是上方程的两根，则＝＝设平面的法向量为，则．则＝＝＝故是定值令，，，得面的法向量．同理可得平面的法向量【解析】【分析】（1）法一：设点，点，再根据中点的性质表达出，所以，因为二面角为锐二面角，，代入化简求解即可；法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆所以二面角的余弦值为求解即可【解析】【分析】(1)根据题意，先判断BD⊥平面APD，得到PD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得出结论；（2）设直线l的方程为，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可.(2)根据题意，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求2.【答案】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出即可.∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；21.【答案】（1）解：法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（2）解：由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），于是有，．①∴＝＝＝因为点P在圆上运动，设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……整理，得＝4．设直线AE与平面BCE所成角为，这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝则，2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为． 【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD，即可证明AB⊥CD.（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
简介：高二上学期数学期中考试试卷则PD的最大值为（）一、单选题A．3B．C．D．21.直线的倾斜角（）二、多选题A．B．C．D．9.以下说法正确的是（）A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）B.空间的任意两个向量都是共面向量A．2B．4C．8D．16C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则3.已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则（）10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列A．B．6C．4D．正确的是（）4.无论m取何实数，直线一定过（）A.椭圆的长轴长为8A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B.椭圆的离心率为C．椭5.方程化简的结果是（）圆的离心率为D．椭圆的一A．B．C．D．个方程可能为6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用，，表示向量的结果是（）定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.A.B．已知在平面直角坐标系中，､，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论C．D．正确的是（）7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的A.曲线的方程为数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样B.在曲线上存在点D，使得走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线C.在曲线上存在点M，使M在直线上所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）D.在曲线上存在点N，使得A．B．C．D．12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（）8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足， A．21．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设B.平面平面一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为C.三棱锥的体积为.D.三棱锥的外接球的表面积为（1）若，求两站点之间的距离；三、填空题（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，13.椭圆的焦距为2，则．为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？14.直线：截圆的弦为，当取最小值时的值22.如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆为．弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，15.已知点，则在上的投影向量的长度为.之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐16.设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点段所在的圆方程分别为.Q的轨迹方程为．（1）求“帽体段”的方程；四、解答题17.已知，.（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点（1）求；，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分（2）求､的值使得与z轴垂直，且.1．【答案】A18.已知两直线，【解析】【解答】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为（1）求直线与交点P的坐标；．（2）设，求过点P且与距离相等的直线方程．故答案为：A．19.求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．（2）过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.2.【答案】C20.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩【解析】【解答】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而形，，平面平面．，所以．（1）求证：平面平面；故答案为：C．（2）求二面角的正弦值． 【分析】由题意结合椭圆的定义可得点P到右焦点的距离．【解析】【解答】由题意可得，=-3.【答案】D=-(+).【解析】【解答】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，∵，，所以，∴.故答案为：D故答案为：D.【分析】利用对称的性质分别求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出结果．【分析】连接MN，=-，由M是A1D1的中点，用表示出，由条件：点N是CA1上的4.【答案】C点，且CN：NA1＝1：4，得到，再用，，表示向量即可．【解析】【解答】，则.7.【答案】C取，解得，故直线过定点，必过第三象限.【解析】【解答】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为故答案为：C，∴，解得，即.【分析】直线的方程即，不论m为何实数，直线l恒过的交点M，解方程组求得M的坐标．∴.5.【答案】D故答案为：C【解析】【解答】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y=3的对称点A’，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；8.【答案】B∴；【解析】【解答】如图所示，在平面内，，∴椭圆的方程是，即为化简的结所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为果．故答案为：D．轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，6.【答案】D 故答案为：ABC.所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，，【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件、共面向量以及空间向量共线与垂直需满足的条件逐项判断故点正好为椭圆短轴的一个端点，即可．10.【答案】B,D，则，【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，因为，故只需计算的最大值.∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则a=8，设，则，所以，则，离心率为，当时，取最大值，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，即，则椭圆的方程为.故答案为：BD.因此可得，故的最大值为.故答案为：B.【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程设出点的1.【答案】A,D坐标然后表示出结合二次函数的性质求【解析】【解答】设点，由，出最大值即可。得，化简得，即，A选项正确；9.【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，对于B选项，设，由得，则也是空间的一个基底，A符合题意；又，联立方程可知无解，B选项错误；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，B符合题意；对于C选项，设，由M在直线上得，对于C，由方向向量的性质得出，C符合题意；又，联立方程可知无解，C选项错误；对于D，因为，所以，D不符合题意；对于D选项，设，由，得，又，联 立方程可知有解，D选项正确.三棱锥的外接球的表面积为，D符合题故答案为：AD.意．故答案为：CD．【分析】通过设出点P的坐标，利用求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据【分析】选项A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．推导出与不垂直；在选项B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出12.【答案】C,D平面与平面相交；在选项C中，三棱锥的体积；在D中，三棱锥【解析】【解答】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．则，0，4)，，2，2)，，0，4)，，0，，，2，-2)，，0，-4)，13.【答案】3或5，与不垂直，A不符合题意；【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，在B中，，0，4)，，2，0)，，2，2)，，0，4)，，0，0)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；，-2，4)，，0，2)，，0，4)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；设平面的法向量，，，综上所述，或．故答案为：3或5．则，取，得，2，1)，设平面的法向量，，，【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．14.【答案】1则，取，得，1，，【解析】【解答】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所不共线，平面与平面相交，B不符合题意；以定点与圆心的距离为：，在C中，三棱锥的体积为：所以则的最小值为：，，C符合题意；此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故答案为：1．三棱锥的外接球半径，【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值， 推出m即可．依题意，15.【答案】【解析】【解答】由已知得，即，∴，又，故，解得，.所以在上的投影向量的长度为.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可；（2）取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可．故答案为：.18.【答案】（1）解：由解得，∴点P的坐标为（2）解：设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：【分析】利用空间向量投影的定义求解即可．①时，，不妨设直线l方程为：16.【答案】∵直线l过点P，∴，得【解析】【解答】由已知椭圆的方程可得：，，则，∴直线方程为：，即由椭圆的定义可得，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得又因为，所以，∵，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴所求的直线方程为：，即所以点的轨迹方程为：，综上所述，所求直线方程为：或故答案为：【解析】【分析】（1）由，解得点P的坐标．【分析】由题意可得，，为定值，再由椭圆的方程可得（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：，进而求出Q的轨迹方程．①时，，不妨设直线l方程为：，根据直线l过点P，代入解得b．17.【答案】（1）解：因为，，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得，利用点斜式即可得出．所以.19.【答案】（1）解：圆心到直线的距离为：（2）解：取轴上的单位向量，，设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得： 故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25若是面的一个法向量，则，令，即，（2）解：由题意故过AB的直线方程为y＝－x＋2，，故.又A、B的中点为（1，1），【解析】【分析】（1）连接BD，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由勾∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；故方程为y＝x（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平由解得，即圆心坐标为（－1，－1），面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．半径为，21.【答案】（1）解：过作直线于，则，设，∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16则，（），【解析】【分析】（1）选求圆心到直线的距离，利用圆中的弦长求出圆的半径，可得圆的方程，故，，（2）先求出AB和垂直平分线方程，再求与直线的交点坐标即圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．，20.【答案】（1）证明：由题设，中，而，又，∴，即，又面面，面面且，面，由，得，∴面，又面，则，又且面，故，当且仅当，时取等号.∴面，又面，即面面；此时，有最小值为.（2）解：由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，即两出入口之间距离的最小值为.∴，则（2）解：由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为，此时直线为圆与圆的公切线.因为，出入口在古建筑群和市中心之间，若是面的一个法向量，则，令，即，如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 由，，将代入得，因为圆的方程为，圆的方程为，所以，设直线的方程为，由题意得，将，代入上式得则所以，两式相除，得，，所以或，所以此时或（舍去），此时，要使得为定值，又由（1）知当时，，即为定值，即，解得，综上，.即时，为定值，即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.②当直线与轴重合时，直线的方程为，【解析】【分析】（1）过作直线于，则，设，可得，利用成立勾股定理可求，，推出，利用两角差的正切公式即可计算求解．所以存在定点，使得为定值.（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线【解析】【分析】（1）直接由几何条件化为代数方程整理即得；的方程为，可求或，可求，此时，又当（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，将时，，综上即可得解．代入得，所以，2.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为，，可得时，为定值；②当直线与轴重合时，由图可得，可求得，所以结论成立．所以，所以，“帽体段”的方程：；（2）解：①当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 高二上学期数学期中考试试卷棱柱的高为（）一、单选题A.B．C．2D．41.直线经过原点和点，则的斜率是（）二、多选题A．0B．-1C．1D．不存在9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）2.双曲线的渐近线方程为（）A．A.B．C．D．B．C．3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）D．直线，夹角的余弦值为A．B．C．D．4．已知直线，直线，则与之间的距离为（）10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线A．B．C．D．与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A．B．5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为C．直线的斜率为1D．直线的斜率为4（）11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且A．B．交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）C．D．A．B．6．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）C．四边形的面积为5D．四边形的面积为10A．，，B．，，12．已知，，若圆上存在点，使得C．，，D．，，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．77.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且三、填空题13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则．的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）14.过点且与圆相切的直线方程为．A．B．C．D．15.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，8.在三棱柱中，，，，则该三 （为坐标原点），，则椭圆的长轴长为．22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角（1）若，求的方程．中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值且．为．答案解析部分四、解答题1.【答案】B17．已知直线过点．【解析】【解答】因为直线经过原点和点，所以的斜率（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；．（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．故答案为：B18.在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．【分析】根据题意由斜率的坐标公式，代入数值计算出结果即可。已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．2.【答案】D（1）求双曲线的方程；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．．故答案为：D.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知圆，直线．【分析】由双曲线的渐近线方程，代入数值计算出结果即可。（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；3.【答案】A（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围．【解析】【解答】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，且．所以.（1）证明：平面平面．故答案为：A（2）求二面角的正弦值【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足4.【答案】A．记点的轨迹为．【解析】【解答】直线的方程可化为，则直线与之间的距离（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值．．故答案为：A ，，，，【分析】根据题意由平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。双曲线的离心率的取值范围为.5.【答案】C【解析】【解答】因为三个顶点的坐标分别为，，，故答案为：A所以，所以，【分析】根据题意由双曲线的定义结合已知条件整理即可得出，由此即可得出a与c的关系，结合所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径离心率公式即可得出答案。．故所求圆的标准方程为8．【答案】B．【解析】【解答】设平面的法向量为，则所以，故答案为：C令，则，，所以以是平面的一个法向量．点到平面的距离，故该三棱柱的高为【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出，从而得出进而得出三角形的形状，然后由圆的几何性质求出圆心坐标和半径的值，从而求出圆的方程即可。．故答案为：B6.【答案】C【解析】【解答】A：，所以，，共面；B：，所以，，共面；【分析】根据题意首先求出平面的法向量，再由空间数量积的坐标公式计算出平面的一个法向量，把C：不能用，表示，所以，，不共面；数值代入到距离公式计算出结果即可。D：，共线，则，，共面．9．【答案】A,B,C故答案为：C【解析】【解答】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。由，所以A不符合题意；7．【答案】A【解析】【解答】设双曲线的焦距为，.设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不符合题意；是双曲线右支上的一点，，由，所以与不垂直，所以C不符合题意；的周长为，，由，可得，所以D符合题意.，，，，故答案为：ABC． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公抛物线的对称性求出角的大小，由三角形中的几何计算关系求出P的取值，结合四边形的面积公式代入数值式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数计算出结果即可。量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。12.【答案】B,C,D10．【答案】A,C【解析】【解答】解：设点，由，所以【解析】【解答】由题意可得，整理可得．，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点．设，，则，，两式相减可得圆，可化为，因为是圆上一点，．所以，解得．故答案为：BCD因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值则直线的斜率．范围即可。13.【答案】4故答案为：AC【解析】【解答】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，2，整理即可得出斜率的结果。于是得，解得，11．【答案】B,D所以.【解析】【解答】抛物线的焦点为，故答案为：4因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。14.【答案】x+y-3=0不妨设，，结合三角形的对称性可知，，【解析】【解答】可化为，其圆心为，半径为．所以，则，解得因为点在圆上，．四边形的所以切线的斜率满足，解得，面积为．故答案为：BD．则切线方程为，即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出点的坐标，然后由 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标和半径的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的设为平面的一个法向量，则，值，利用点斜式求出直线的方程即可。15．【答案】令，则，，所以．【解析】【解答】由椭圆，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．则，所以，故答案为：设，，则，且，所以，【分析】由长方体的几何性质计算出边的大小，建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，结合数量积的所以，解得，坐标公式求出平面的法向量，并把数值代入到夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，再由线面角与向所以椭圆的长轴长为．量夹角的关系，即可得出答案。故答案为：．17.【答案】（1）解：设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．16.【答案】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，【解析】【解答】在直角中，为斜边上的高，，，所以直线的方程是．则，，，，即在四面体中，综上，所求直线的方程为或．，，，，，则．【解析】【分析】(1)根据题意由直线垂直的性质设出直线的方程，然后由待定系数法计算出m的取值即可。要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，(2)由直线的方程求出斜率的取值，结合题意对直线分情况讨论，由此求出直线的方程即可。此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，18.【答案】（1）解：的标准方程为，同理计算即则．可.设双曲线的方程为，如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，解得，则，，，，，，，．所以双曲线的方程为； （2）解：双曲线的渐近线方程为．【解析】【分析】(1)根据题意整理化简直线的方程由此求出直线过的定点坐标，然后由斜率的坐标公式代入计算出，结合题意由直线垂直的性质计算出从而求出直线的方程。选①，设双曲线的标准方程为，(2)由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，所以解得，．又因为，在直角中，可得，所以，，所以双曲线的实轴长为2．所以，，选②，设双曲线的标准方程为由，所以，即，又由，且，所以平面，所以，解得，，又因为平面，所以平面平面．（2）解：因为平面，所以，所以双曲线的实轴长为．又因为，可得，所以，【解析】【分析】(1)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出m与n的取值，从而得出答案。如图所示，连接．(2)选①，由双曲线的简单性质代入数值计算出a与b的取值，从而得出答案；选②，由已知条件整理得因为平面，所以，，出a与b的取值，从而得出答案。又因为，，所以平面，，19.【答案】（1）解：由，可得．所以，，由，得即直线过定点．过点作交于点，可得，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，可化为，因为圆心，所以，可得，，，，．又因为当所截弦长最短时，，所以，设平面的法向量为，所以直线的方程为．（2）解：因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则，可取平面的一个法向量为，所以，又平面，所以平面的一个法向量为．解得或，即的取值范围为． 联立消元得，所以，．设二面角的平面角为，则，因为，则，所以二面角的正弦值为．由题设知，解得，所以的方程为．【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形中的几何计算关系结合三角形相似的性质求出角的大小，由此得到线线垂直然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。（2）解：设与抛物线相切的切线方程为，(2)由已知条件结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量则化简得．和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，把数值代入到同角三角函数的由，可得．基本关系式，由此得到二面角的正弦值。将点坐标代入方程，可得，，21．【答案】（1）解：设，，则，，．所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，由，得，．联立方程组可得，，所以交点在定直线上．因为在圆上，所以．故的方程为当时，显然成立；（2）解：设是曲线上任意一点，则，当时，，则，所以．综上所述，．所以【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方当时，．程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。所以圆半径的最大值为．(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，由此求出向量的坐标，然后把点的坐标代入到元的方程，计算求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出，从出结果即可。而得出线线垂直。(2)根据题意由两点间的距离公式整理即可得到y的方程，结合二次函数的图象和性质即可求出最大值。22．【答案】（1）解：由题意得，设直线的方程为，，， 二、多选题高二上学期数学期中考试试卷9．数列的前n项和为，已知，则（）一、单选题1.数列的一个通项公式为（）A．是递增数列A.B．C．D．B．C．当时，2.已知双曲线的离心率为，则（）D．当或4时，取得最大值A．2B．4C．8D．1210.直线与圆的交点个数可能为（）3.直线的倾斜角是（）A．0B．1C．2D．3A．30°B．60°C．120°D．150°11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反4.已知，则点A到直线的距离为（）之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线A．B．C．D．，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A5.双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（）反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（）A.若，则A．B．C．5D．6.如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，EB.若，则是的中点，F是上一点，当时，（）C.若，则平分A．3B．C．D．2D.若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）线方程为（）A．平面A．B．B.四边形面积的最大值为C．D．C.若四边形的面积为，则8.若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则D.若，则四棱锥的体积为（）三、填空题13.直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为．A.B．C．D． 14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘的中点．（1）证明：∥平面．积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准（2）求二面角的余弦值．方程为．22.已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分15.在公差为d的等差数列中，已知，则d的取值范围别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．为．（1）求E的方程；16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，的面积为，则，.N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．四、解答题答案解析部分17.等差数列的前n项和为，已知．1.【答案】A（1）求的通项公式；【解析】【解答】根据规律可知数列的前三项为，（2）若，求n的最小值．所以该数列的一个通项公式为．18.如图，在四棱柱中，平面，四边形是正方形，故答案为：A，E，F，G分别为棱的中点．【分析】由已知的数列的项，即可得出数列的通项公式。（1）求异面直线与所成角的余弦值；2.【答案】B（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【解答】因为离心率为，可得，解得，19.抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与故答案为：B．x轴交于点P．【分析】根据题意由双曲线的简单性质，计算出m的取值即可。（1）若，求l的方程；3.【答案】D（2）若，求．【解析】【解答】由可得，所以直线的斜率为20.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程.，（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，设直线的倾斜为，则，因为，所以使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.．故答案为：D21.如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是 则．因为，【分析】由已知条件把直线的方程化为斜截式，由此求出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。4.【答案】A所以，解得，所以【解析】【解答】由，可得，．故答案为：C则向量在方向上的投影为，【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后把结果代入到数量积的坐标公式计算出a的取值，从而即可得出答案。所以点A到直线的距离．7.【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形△ABC的重心为，故答案为：A.可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，计算出结果即可。5.【答案】B联立方程可得△ABC的垂心为，【解析】【解答】由双曲线，可得，可得，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，故△ABC的欧拉线方程为。所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：A.故答案为：B.【分析】由题可知，三角形△ABC的重心为，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率，再结合【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AB边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为6.【答案】C，再利用两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出【解析】【解答】分别取的中点O，G，连接，AC边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系方程，得出三角形△ABC的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线GH斜率，再利用点斜式求出直线GH方．程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形△ABC的欧拉线方程。设，则．设，8.【答案】C 延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，D符合题意；【解析】【解答】由等差数列的性质和求和公式，可得．若，则，C的焦点为，直线，可得故答案为：C.，B不正确；【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。时，因为，所以．又，所以平9.【答案】B,C,D分，C符合题意．【解析】【解答】当时，，又，所以故答案为：ACD.，则是递减数列，A不符合题意；，B符合题意；当时，【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的，C符合题意；因为的对称轴为，开口向下，所以当或4时，方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件取得最大值，D符合题结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得意．故答案为：BCD．出答案。12.【答案】A,C,D【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出【解析】【解答】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可；结合数列项的性质即可判断出选项A错误；把数值代入到通项公式计算出结果由此判断出选项B、C正确；结合等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质即可判断坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，出选项D正确，从而得出答案。则，，，.因为.所以.因为10.【答案】B,C平面，所以，则，【解析】【解答】．令解得.若平面，则，即，故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可，；若平面.则，即，能为1或2．，.因为，所以四边形的面积故答案为：BC.当时，四边形的面积最大，且最大【分析】根据题意首先整理化简直线的方程，联立直线的方程求解出定点的坐标，然后把点的坐标代入到圆的方程由此得出点在圆上，结合直线与圆的位置关系，即可得出答案。1.【答案】A,C,D值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，【解析】【解答】如图，故四棱锥的体积，B符合题意，D不正确.若四边形的面积若，则，C的焦点为，则，A符合题意； 【分析】根据题意由等差数列项的性质计算出，结合等差数列的通项公式即可得出d的取为.则或，解得或，C不正确.值范围。故答案为：ACD16.【答案】；或【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、【解析】【解答】因为圆C的半径，四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13.【答案】2x-y-3=0所以三角形的面积，【解析】【解答】因为直线经过点，且与直线平行，所以可设直线l的方程为所以.又为锐角三角形，所以，从而有，解得，故答案为：2x-y-3=0【分析】根据题意设出直线的方程，由直线平行的简单性质代入数值计算出的取值即可。因为点O在圆C上，所以或150°，14.【答案】故或。故答案为：；或。【解析】【解答】解：设C的标准方程为，则解得所以【分析】利用圆的一般式方程求出圆C的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结C的标准方程为合已知条件得出的值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出的值，进而得出．故答案为：的值，再利用点O在圆C上，从而得出的值，进而求出的值。17.【答案】（1）解：设的公差为d，.因为，可得，解得，【分析】根据题意设出双曲线的方程，由已知条件代入数值计算出a与b的取值，从而得出双曲线的方程。所以，即数列的通项公式为．15.【答案】（2）解：由，可得，【解析】【解答】因为，所以，根据二次函数的性质且，可得单调递增，所以．因为，所以当时，，故答案为：.故n的最小值为12．【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项和公差的值，由此得 出数列的通项公式。所以线段的中点为，故直线l的方程为，即(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的图象和性质即可得出答案。18.【答案】（1）解：因为平面，四边形是正方形，所以以A点为原点，（2）解：设l的方程为，联立方程组，整理得，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则，因为，所以，则，，故|．则，【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。故异面直线与所成角的余弦值为．(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y（2）解：因为，所以．的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。设平面的法向量为，则令，则，即20.【答案】（1）解：设圆M的方程为，．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面解得所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入故圆M的方程为.数值计算出结果即可。(2)由已知条件求出平面法向量的坐标，然后由线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到夹角的数量积公（2）解：假设存在实数，使得.式计算出结果即可。由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线19.【答案】（1）解：设，则，两式相减得，所以，所以，．此时点M到直线l的距离，符合条件，因为线段中点M的纵坐标为1，所以.．又，所以，【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式方程。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABD的坐标，再由数量积的坐标公（2）假设存在实数，使得，由（1）可知，圆M的圆心坐标和半径长，再利用点O在圆式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入M上，得出，所以直线，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线OM的数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。斜率，进而求出实数a的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点M到直线l2.【答案】（1）解：由内切圆的性质得，的距离，符合条件，再结合弦长公式得出的值。所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，21.【答案】（1）证明：如图，取的中点P，连接则，，．因为E是的中点，，所以．故E的方程为又∥，所以四边形是平行四边形．因为M，N分别是的中点，所以∥∥．（2）解：当T不为坐标原点时，设，则又平面平面，所以∥平面∥平面．因为，所以平面∥平面．两式相减得，即，又平面，所以∥平面．（2）解：取的中点O，连接．所以，设，在图1中，因为，所以与是等边三角形，所以在图2中，，所以．联立方程组整理得，以O为原点，射线为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．．设，则，因为T是线段的中点，所以．．设平面的法向量为，联立方程组解得．联立方程组解得则令，则，即．，由题可知，平面的一个法向量为．所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．故．【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形是平行四边形，结合四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．【解析】【分析】(1)根据题意由圆和椭圆的几何性质，整理即可求出a与c的值，由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，并把坐标代入由点差法结合斜率的坐标计算出，结合点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理结合两点间的距离公式代入数值计算出点的坐标，由已知条件整理化简即可得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题C.D．1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．二、多选题C．D．9.平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．A．B．C．D．l与斜交C．D．3.点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半10.已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（）径等于（）A.直线l的倾斜角是A．B．C．3D．9B.若直线m：＝0，则l⊥m4.在棱长为a的正方体ABCD-中，向量与向量所成的角为（）C.点到直线l的距离是2A．60°B．150°C．90°D．120°D.过与直线l平行的直线方程是5.已知三顶点为、、，则是（）A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为46.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）B.圆截轴所得的弦长为A．B．C．D．C.圆上的点到直线的最小距离为17.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的D.圆与圆相离距离的最大值为（）12.如图，在长方体中，，，是侧面的中A．B．6C．D．心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为8.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是（）轴建立空间直角坐标系，则（）A．是单位向量A.B．B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为（2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定三、填空题值，求出该值；否则，请说明理由．13.已知两个平面，的法向量分别是和，若，则．22.如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一般式（1）求证：AB⊥CD；为．（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若，，分别记答案解析部分为，，，则用，，表示的结果为．1.【答案】B16.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程【解析】【解答】倾斜角为的直线斜率为.为．利用点斜式可得.四、解答题17.在中，，整理得.（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；故答案为：B.（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果.18.如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂2.【答案】B直BD于E，F为的中点．【解析】【解答】由，，则（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；所以，则（2）求点A到平面BDF的距离．故答案为：B．19.（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．【分析】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．3.【答案】C20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．【解析】【解答】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，（1）证明：平面；则圆心坐标为（－，－1），半径为（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，21.已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．（1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，所以－＋1＋1＝0，k＝4．解得k，所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.则k的取值范围是[，故答案为：C．+∞）．故答案为：D．【分析】根据题意可得：直线经过圆心，代入运算解得，再代入【分析】由题意可得或，解不等式即可得到所求范围．求圆的半径．7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由得，【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系因此圆心为，半径为，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）因此圆心到坐标原点的距离为，∴cos＜，＞===﹣即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.即＜，＞=120°故答案为：D.故答案为：D【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．8.【答案】D5.【答案】B【解析】【解答】逐一根据a，b的几何意义验证知D中，直线ax+by=ab，即+=1在x，y轴上的截距分别【解析】【解答】由已知，，，为b<0和a>0时，D中圆的圆心亦为b<0和a>0，∴，即，故答案为：D.【分析】根据直线在坐标轴上的截距的符号，以及圆心的坐标符号，判定ABC都不可能，而D中由直线位置∴是直角三角形.可得b<0和a>0，圆的圆心亦为b<0和a>0，故D正确.故答案为：B.9.【答案】A,C【解析】【解答】由圆的方程可知其圆心为，半径，【分析】由向量坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.由题意可设所求直线方程为：，6.【答案】D则圆心到直线距离，解得：，【解析】【解答】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 故答案为：BC.所求切线方程为：或.故答案为：AC.【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.选项.10.【答案】B,C,D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；【解析】【解答】对于A，，，，对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B符合题意；，为单位向量，A符合题意；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C符合题意；对于B，，，，，，对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D符合题意；，即，，平面，故答案为：BCD．是平面的一个法向量，B符合题意；【分析】对A，根据斜率判断即可；对于C，，，对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；，对D，先求得斜率，再根据点斜式求解即可.11．【答案】B,C即异面直线与所成角的余弦值为，C不符合题意；【解析】【解答】对于A：由可得，所以的半径为，A不正确；对于D，，，，对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，B符合题意；由B知：为平面的一个法向量，对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的点到平面的距离，D符合题意.最小距离为，C符合题意；故答案为：ABD.对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，D不正确；【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量是单位向量；再利用法向量的定义，从 而得出是平面的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异故答案为：面直线与所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.标，再利用为平面的一个法向量，从而利用数量积求出点到平面的距16.【答案】＝2离，进而找出正确的选项。【解析】【解答】解：由题意得：圆心在直线上，13.【答案】4又圆心在直线上，令，得【解析】【解答】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，圆心的坐标为，又，所以，解得，半径，所以，则圆的方程为．故答案为：4故答案为：【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出，进而可求得答案.14．【答案】x+3y-10=0或x-2y=0【分析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线，令，得，所以圆心坐标【解析】【解答】当截距为0时，设直线方程为y=kx，，利用两点间的距离公式求出，由圆心和半径写出圆的方程即可．则4k=2，∴17.【答案】（1）解：设AB边的垂直平分线为l，∴直线方程为有题可知，，当截距不为0时，设直线方程为又可知AB中点为，由题意，，∴a=．∴．l的方程为，即，综上，x+3y-10=0或x-2y=0（2）解：设B关于直线的对称点M的坐标为；【分析】当截距为0时，此时直线方程为；当截距不为0时，设直线方程为，把则，解得，所以，代入即可得出答案.15.【答案】由题可知，两点都在直线AC上，【解析】【解答】因为G是AE的中点，E是线段BC的中点，故所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为. 【解析】【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.19．【答案】（1）解：圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x18.【答案】（1）解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.由已知AB＝＝1，（2）解：方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝最小值为－2－.从而易得【解析】【分析】（1）根据的几何意义求解，即求得到圆心的距离，由这∵＝＝（－1，0，1）．个距离加减半径后平方可得最大值和最小值．设异面直线AE与BF所成的角为，（2）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，即可求得结果．20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面，则．所以，因为，，平面，即异面直线AE、BF所成的角的余弦为所以平面，因为平面，所以，（2）解：设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．因为底面为平行四边形，所以，＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，所以，因为，，平面，0）．由∴，即所以平面；取＝（2）解：由（1）可知，所以点A到平面BDF的距离因为，，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为【解析】【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，（2）解：∵l过原点O且不与y轴重合，则，，，，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，所以，，，，依题意知是上方程的两根，则＝＝设平面的法向量为，则．则＝＝＝故是定值令，，，得面的法向量．同理可得平面的法向量【解析】【分析】（1）法一：设点，点，再根据中点的性质表达出，所以，因为二面角为锐二面角，，代入化简求解即可；法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆所以二面角的余弦值为求解即可【解析】【分析】(1)根据题意，先判断BD⊥平面APD，得到PD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得出结论；（2）设直线l的方程为，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可.(2)根据题意，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求2.【答案】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出即可.∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；21.【答案】（1）解：法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（2）解：由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），于是有，．①∴＝＝＝因为点P在圆上运动，设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……整理，得＝4．设直线AE与平面BCE所成角为，这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝则，2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为． 【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD，即可证明AB⊥CD.（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
简介：高二上学期数学期中考试试卷则PD的最大值为（）一、单选题A．3B．C．D．21.直线的倾斜角（）二、多选题A．B．C．D．9.以下说法正确的是（）A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）B.空间的任意两个向量都是共面向量A．2B．4C．8D．16C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则3.已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则（）10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列A．B．6C．4D．正确的是（）4.无论m取何实数，直线一定过（）A.椭圆的长轴长为8A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B.椭圆的离心率为C．椭5.方程化简的结果是（）圆的离心率为D．椭圆的一A．B．C．D．个方程可能为6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用，，表示向量的结果是（）定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.A.B．已知在平面直角坐标系中，､，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论C．D．正确的是（）7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的A.曲线的方程为数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样B.在曲线上存在点D，使得走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线C.在曲线上存在点M，使M在直线上所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）D.在曲线上存在点N，使得A．B．C．D．12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（）8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足， A．21．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设B.平面平面一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为C.三棱锥的体积为.D.三棱锥的外接球的表面积为（1）若，求两站点之间的距离；三、填空题（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，13.椭圆的焦距为2，则．为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？14.直线：截圆的弦为，当取最小值时的值22.如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆为．弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，15.已知点，则在上的投影向量的长度为.之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐16.设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点段所在的圆方程分别为.Q的轨迹方程为．（1）求“帽体段”的方程；四、解答题17.已知，.（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点（1）求；，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分（2）求､的值使得与z轴垂直，且.1．【答案】A18.已知两直线，【解析】【解答】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为（1）求直线与交点P的坐标；．（2）设，求过点P且与距离相等的直线方程．故答案为：A．19.求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．（2）过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.2.【答案】C20.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩【解析】【解答】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而形，，平面平面．，所以．（1）求证：平面平面；故答案为：C．（2）求二面角的正弦值． 【分析】由题意结合椭圆的定义可得点P到右焦点的距离．【解析】【解答】由题意可得，=-3.【答案】D=-(+).【解析】【解答】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，∵，，所以，∴.故答案为：D故答案为：D.【分析】利用对称的性质分别求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出结果．【分析】连接MN，=-，由M是A1D1的中点，用表示出，由条件：点N是CA1上的4.【答案】C点，且CN：NA1＝1：4，得到，再用，，表示向量即可．【解析】【解答】，则.7.【答案】C取，解得，故直线过定点，必过第三象限.【解析】【解答】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为故答案为：C，∴，解得，即.【分析】直线的方程即，不论m为何实数，直线l恒过的交点M，解方程组求得M的坐标．∴.5.【答案】D故答案为：C【解析】【解答】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y=3的对称点A’，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；8.【答案】B∴；【解析】【解答】如图所示，在平面内，，∴椭圆的方程是，即为化简的结所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为果．故答案为：D．轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，6.【答案】D 故答案为：ABC.所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，，【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件、共面向量以及空间向量共线与垂直需满足的条件逐项判断故点正好为椭圆短轴的一个端点，即可．10.【答案】B,D，则，【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，因为，故只需计算的最大值.∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则a=8，设，则，所以，则，离心率为，当时，取最大值，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，即，则椭圆的方程为.故答案为：BD.因此可得，故的最大值为.故答案为：B.【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程设出点的1.【答案】A,D坐标然后表示出结合二次函数的性质求【解析】【解答】设点，由，出最大值即可。得，化简得，即，A选项正确；9.【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，对于B选项，设，由得，则也是空间的一个基底，A符合题意；又，联立方程可知无解，B选项错误；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，B符合题意；对于C选项，设，由M在直线上得，对于C，由方向向量的性质得出，C符合题意；又，联立方程可知无解，C选项错误；对于D，因为，所以，D不符合题意；对于D选项，设，由，得，又，联 立方程可知有解，D选项正确.三棱锥的外接球的表面积为，D符合题故答案为：AD.意．故答案为：CD．【分析】通过设出点P的坐标，利用求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据【分析】选项A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．推导出与不垂直；在选项B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出12.【答案】C,D平面与平面相交；在选项C中，三棱锥的体积；在D中，三棱锥【解析】【解答】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．则，0，4)，，2，2)，，0，4)，，0，，，2，-2)，，0，-4)，13.【答案】3或5，与不垂直，A不符合题意；【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，在B中，，0，4)，，2，0)，，2，2)，，0，4)，，0，0)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；，-2，4)，，0，2)，，0，4)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；设平面的法向量，，，综上所述，或．故答案为：3或5．则，取，得，2，1)，设平面的法向量，，，【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．14.【答案】1则，取，得，1，，【解析】【解答】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所不共线，平面与平面相交，B不符合题意；以定点与圆心的距离为：，在C中，三棱锥的体积为：所以则的最小值为：，，C符合题意；此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故答案为：1．三棱锥的外接球半径，【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值， 推出m即可．依题意，15.【答案】【解析】【解答】由已知得，即，∴，又，故，解得，.所以在上的投影向量的长度为.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可；（2）取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可．故答案为：.18.【答案】（1）解：由解得，∴点P的坐标为（2）解：设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：【分析】利用空间向量投影的定义求解即可．①时，，不妨设直线l方程为：16.【答案】∵直线l过点P，∴，得【解析】【解答】由已知椭圆的方程可得：，，则，∴直线方程为：，即由椭圆的定义可得，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得又因为，所以，∵，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴所求的直线方程为：，即所以点的轨迹方程为：，综上所述，所求直线方程为：或故答案为：【解析】【分析】（1）由，解得点P的坐标．【分析】由题意可得，，为定值，再由椭圆的方程可得（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：，进而求出Q的轨迹方程．①时，，不妨设直线l方程为：，根据直线l过点P，代入解得b．17.【答案】（1）解：因为，，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得，利用点斜式即可得出．所以.19.【答案】（1）解：圆心到直线的距离为：（2）解：取轴上的单位向量，，设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得： 故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25若是面的一个法向量，则，令，即，（2）解：由题意故过AB的直线方程为y＝－x＋2，，故.又A、B的中点为（1，1），【解析】【分析】（1）连接BD，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由勾∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；故方程为y＝x（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平由解得，即圆心坐标为（－1，－1），面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．半径为，21.【答案】（1）解：过作直线于，则，设，∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16则，（），【解析】【分析】（1）选求圆心到直线的距离，利用圆中的弦长求出圆的半径，可得圆的方程，故，，（2）先求出AB和垂直平分线方程，再求与直线的交点坐标即圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．，20.【答案】（1）证明：由题设，中，而，又，∴，即，又面面，面面且，面，由，得，∴面，又面，则，又且面，故，当且仅当，时取等号.∴面，又面，即面面；此时，有最小值为.（2）解：由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，即两出入口之间距离的最小值为.∴，则（2）解：由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为，此时直线为圆与圆的公切线.因为，出入口在古建筑群和市中心之间，若是面的一个法向量，则，令，即，如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 由，，将代入得，因为圆的方程为，圆的方程为，所以，设直线的方程为，由题意得，将，代入上式得则所以，两式相除，得，，所以或，所以此时或（舍去），此时，要使得为定值，又由（1）知当时，，即为定值，即，解得，综上，.即时，为定值，即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.②当直线与轴重合时，直线的方程为，【解析】【分析】（1）过作直线于，则，设，可得，利用成立勾股定理可求，，推出，利用两角差的正切公式即可计算求解．所以存在定点，使得为定值.（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线【解析】【分析】（1）直接由几何条件化为代数方程整理即得；的方程为，可求或，可求，此时，又当（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，将时，，综上即可得解．代入得，所以，2.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为，，可得时，为定值；②当直线与轴重合时，由图可得，可求得，所以结论成立．所以，所以，“帽体段”的方程：；（2）解：①当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 高二上学期数学期中考试试卷棱柱的高为（）一、单选题A.B．C．2D．41.直线经过原点和点，则的斜率是（）二、多选题A．0B．-1C．1D．不存在9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）2.双曲线的渐近线方程为（）A．A.B．C．D．B．C．3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）D．直线，夹角的余弦值为A．B．C．D．4．已知直线，直线，则与之间的距离为（）10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线A．B．C．D．与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A．B．5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为C．直线的斜率为1D．直线的斜率为4（）11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且A．B．交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）C．D．A．B．6．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）C．四边形的面积为5D．四边形的面积为10A．，，B．，，12．已知，，若圆上存在点，使得C．，，D．，，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．77.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且三、填空题13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则．的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）14.过点且与圆相切的直线方程为．A．B．C．D．15.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，8.在三棱柱中，，，，则该三 （为坐标原点），，则椭圆的长轴长为．22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角（1）若，求的方程．中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值且．为．答案解析部分四、解答题1.【答案】B17．已知直线过点．【解析】【解答】因为直线经过原点和点，所以的斜率（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；．（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．故答案为：B18.在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．【分析】根据题意由斜率的坐标公式，代入数值计算出结果即可。已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．2.【答案】D（1）求双曲线的方程；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．．故答案为：D.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知圆，直线．【分析】由双曲线的渐近线方程，代入数值计算出结果即可。（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；3.【答案】A（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围．【解析】【解答】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，且．所以.（1）证明：平面平面．故答案为：A（2）求二面角的正弦值【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足4.【答案】A．记点的轨迹为．【解析】【解答】直线的方程可化为，则直线与之间的距离（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值．．故答案为：A ，，，，【分析】根据题意由平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。双曲线的离心率的取值范围为.5.【答案】C【解析】【解答】因为三个顶点的坐标分别为，，，故答案为：A所以，所以，【分析】根据题意由双曲线的定义结合已知条件整理即可得出，由此即可得出a与c的关系，结合所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径离心率公式即可得出答案。．故所求圆的标准方程为8．【答案】B．【解析】【解答】设平面的法向量为，则所以，故答案为：C令，则，，所以以是平面的一个法向量．点到平面的距离，故该三棱柱的高为【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出，从而得出进而得出三角形的形状，然后由圆的几何性质求出圆心坐标和半径的值，从而求出圆的方程即可。．故答案为：B6.【答案】C【解析】【解答】A：，所以，，共面；B：，所以，，共面；【分析】根据题意首先求出平面的法向量，再由空间数量积的坐标公式计算出平面的一个法向量，把C：不能用，表示，所以，，不共面；数值代入到距离公式计算出结果即可。D：，共线，则，，共面．9．【答案】A,B,C故答案为：C【解析】【解答】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。由，所以A不符合题意；7．【答案】A【解析】【解答】设双曲线的焦距为，.设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不符合题意；是双曲线右支上的一点，，由，所以与不垂直，所以C不符合题意；的周长为，，由，可得，所以D符合题意.，，，，故答案为：ABC． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公抛物线的对称性求出角的大小，由三角形中的几何计算关系求出P的取值，结合四边形的面积公式代入数值式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数计算出结果即可。量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。12.【答案】B,C,D10．【答案】A,C【解析】【解答】解：设点，由，所以【解析】【解答】由题意可得，整理可得．，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点．设，，则，，两式相减可得圆，可化为，因为是圆上一点，．所以，解得．故答案为：BCD因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值则直线的斜率．范围即可。13.【答案】4故答案为：AC【解析】【解答】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，2，整理即可得出斜率的结果。于是得，解得，11．【答案】B,D所以.【解析】【解答】抛物线的焦点为，故答案为：4因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。14.【答案】x+y-3=0不妨设，，结合三角形的对称性可知，，【解析】【解答】可化为，其圆心为，半径为．所以，则，解得因为点在圆上，．四边形的所以切线的斜率满足，解得，面积为．故答案为：BD．则切线方程为，即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出点的坐标，然后由 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标和半径的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的设为平面的一个法向量，则，值，利用点斜式求出直线的方程即可。15．【答案】令，则，，所以．【解析】【解答】由椭圆，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．则，所以，故答案为：设，，则，且，所以，【分析】由长方体的几何性质计算出边的大小，建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，结合数量积的所以，解得，坐标公式求出平面的法向量，并把数值代入到夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，再由线面角与向所以椭圆的长轴长为．量夹角的关系，即可得出答案。故答案为：．17.【答案】（1）解：设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．16.【答案】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，【解析】【解答】在直角中，为斜边上的高，，，所以直线的方程是．则，，，，即在四面体中，综上，所求直线的方程为或．，，，，，则．【解析】【分析】(1)根据题意由直线垂直的性质设出直线的方程，然后由待定系数法计算出m的取值即可。要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，(2)由直线的方程求出斜率的取值，结合题意对直线分情况讨论，由此求出直线的方程即可。此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，18.【答案】（1）解：的标准方程为，同理计算即则．可.设双曲线的方程为，如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，解得，则，，，，，，，．所以双曲线的方程为； （2）解：双曲线的渐近线方程为．【解析】【分析】(1)根据题意整理化简直线的方程由此求出直线过的定点坐标，然后由斜率的坐标公式代入计算出，结合题意由直线垂直的性质计算出从而求出直线的方程。选①，设双曲线的标准方程为，(2)由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，所以解得，．又因为，在直角中，可得，所以，，所以双曲线的实轴长为2．所以，，选②，设双曲线的标准方程为由，所以，即，又由，且，所以平面，所以，解得，，又因为平面，所以平面平面．（2）解：因为平面，所以，所以双曲线的实轴长为．又因为，可得，所以，【解析】【分析】(1)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出m与n的取值，从而得出答案。如图所示，连接．(2)选①，由双曲线的简单性质代入数值计算出a与b的取值，从而得出答案；选②，由已知条件整理得因为平面，所以，，出a与b的取值，从而得出答案。又因为，，所以平面，，19.【答案】（1）解：由，可得．所以，，由，得即直线过定点．过点作交于点，可得，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，可化为，因为圆心，所以，可得，，，，．又因为当所截弦长最短时，，所以，设平面的法向量为，所以直线的方程为．（2）解：因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则，可取平面的一个法向量为，所以，又平面，所以平面的一个法向量为．解得或，即的取值范围为． 联立消元得，所以，．设二面角的平面角为，则，因为，则，所以二面角的正弦值为．由题设知，解得，所以的方程为．【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形中的几何计算关系结合三角形相似的性质求出角的大小，由此得到线线垂直然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。（2）解：设与抛物线相切的切线方程为，(2)由已知条件结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量则化简得．和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，把数值代入到同角三角函数的由，可得．基本关系式，由此得到二面角的正弦值。将点坐标代入方程，可得，，21．【答案】（1）解：设，，则，，．所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，由，得，．联立方程组可得，，所以交点在定直线上．因为在圆上，所以．故的方程为当时，显然成立；（2）解：设是曲线上任意一点，则，当时，，则，所以．综上所述，．所以【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方当时，．程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。所以圆半径的最大值为．(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，由此求出向量的坐标，然后把点的坐标代入到元的方程，计算求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出，从出结果即可。而得出线线垂直。(2)根据题意由两点间的距离公式整理即可得到y的方程，结合二次函数的图象和性质即可求出最大值。22．【答案】（1）解：由题意得，设直线的方程为，，， 二、多选题高二上学期数学期中考试试卷9．数列的前n项和为，已知，则（）一、单选题1.数列的一个通项公式为（）A．是递增数列A.B．C．D．B．C．当时，2.已知双曲线的离心率为，则（）D．当或4时，取得最大值A．2B．4C．8D．1210.直线与圆的交点个数可能为（）3.直线的倾斜角是（）A．0B．1C．2D．3A．30°B．60°C．120°D．150°11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反4.已知，则点A到直线的距离为（）之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线A．B．C．D．，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A5.双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（）反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（）A.若，则A．B．C．5D．6.如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，EB.若，则是的中点，F是上一点，当时，（）C.若，则平分A．3B．C．D．2D.若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）线方程为（）A．平面A．B．B.四边形面积的最大值为C．D．C.若四边形的面积为，则8.若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则D.若，则四棱锥的体积为（）三、填空题13.直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为．A.B．C．D． 14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘的中点．（1）证明：∥平面．积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准（2）求二面角的余弦值．方程为．22.已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分15.在公差为d的等差数列中，已知，则d的取值范围别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．为．（1）求E的方程；16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，的面积为，则，.N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．四、解答题答案解析部分17.等差数列的前n项和为，已知．1.【答案】A（1）求的通项公式；【解析】【解答】根据规律可知数列的前三项为，（2）若，求n的最小值．所以该数列的一个通项公式为．18.如图，在四棱柱中，平面，四边形是正方形，故答案为：A，E，F，G分别为棱的中点．【分析】由已知的数列的项，即可得出数列的通项公式。（1）求异面直线与所成角的余弦值；2.【答案】B（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【解答】因为离心率为，可得，解得，19.抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与故答案为：B．x轴交于点P．【分析】根据题意由双曲线的简单性质，计算出m的取值即可。（1）若，求l的方程；3.【答案】D（2）若，求．【解析】【解答】由可得，所以直线的斜率为20.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程.，（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，设直线的倾斜为，则，因为，所以使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.．故答案为：D21.如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是 则．因为，【分析】由已知条件把直线的方程化为斜截式，由此求出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。4.【答案】A所以，解得，所以【解析】【解答】由，可得，．故答案为：C则向量在方向上的投影为，【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后把结果代入到数量积的坐标公式计算出a的取值，从而即可得出答案。所以点A到直线的距离．7.【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形△ABC的重心为，故答案为：A.可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，计算出结果即可。5.【答案】B联立方程可得△ABC的垂心为，【解析】【解答】由双曲线，可得，可得，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，故△ABC的欧拉线方程为。所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：A.故答案为：B.【分析】由题可知，三角形△ABC的重心为，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率，再结合【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AB边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为6.【答案】C，再利用两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出【解析】【解答】分别取的中点O，G，连接，AC边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系方程，得出三角形△ABC的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线GH斜率，再利用点斜式求出直线GH方．程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形△ABC的欧拉线方程。设，则．设，8.【答案】C 延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，D符合题意；【解析】【解答】由等差数列的性质和求和公式，可得．若，则，C的焦点为，直线，可得故答案为：C.，B不正确；【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。时，因为，所以．又，所以平9.【答案】B,C,D分，C符合题意．【解析】【解答】当时，，又，所以故答案为：ACD.，则是递减数列，A不符合题意；，B符合题意；当时，【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的，C符合题意；因为的对称轴为，开口向下，所以当或4时，方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件取得最大值，D符合题结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得意．故答案为：BCD．出答案。12.【答案】A,C,D【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出【解析】【解答】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可；结合数列项的性质即可判断出选项A错误；把数值代入到通项公式计算出结果由此判断出选项B、C正确；结合等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质即可判断坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，出选项D正确，从而得出答案。则，，，.因为.所以.因为10.【答案】B,C平面，所以，则，【解析】【解答】．令解得.若平面，则，即，故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可，；若平面.则，即，能为1或2．，.因为，所以四边形的面积故答案为：BC.当时，四边形的面积最大，且最大【分析】根据题意首先整理化简直线的方程，联立直线的方程求解出定点的坐标，然后把点的坐标代入到圆的方程由此得出点在圆上，结合直线与圆的位置关系，即可得出答案。1.【答案】A,C,D值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，【解析】【解答】如图，故四棱锥的体积，B符合题意，D不正确.若四边形的面积若，则，C的焦点为，则，A符合题意； 【分析】根据题意由等差数列项的性质计算出，结合等差数列的通项公式即可得出d的取为.则或，解得或，C不正确.值范围。故答案为：ACD16.【答案】；或【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、【解析】【解答】因为圆C的半径，四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13.【答案】2x-y-3=0所以三角形的面积，【解析】【解答】因为直线经过点，且与直线平行，所以可设直线l的方程为所以.又为锐角三角形，所以，从而有，解得，故答案为：2x-y-3=0【分析】根据题意设出直线的方程，由直线平行的简单性质代入数值计算出的取值即可。因为点O在圆C上，所以或150°，14.【答案】故或。故答案为：；或。【解析】【解答】解：设C的标准方程为，则解得所以【分析】利用圆的一般式方程求出圆C的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结C的标准方程为合已知条件得出的值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出的值，进而得出．故答案为：的值，再利用点O在圆C上，从而得出的值，进而求出的值。17.【答案】（1）解：设的公差为d，.因为，可得，解得，【分析】根据题意设出双曲线的方程，由已知条件代入数值计算出a与b的取值，从而得出双曲线的方程。所以，即数列的通项公式为．15.【答案】（2）解：由，可得，【解析】【解答】因为，所以，根据二次函数的性质且，可得单调递增，所以．因为，所以当时，，故答案为：.故n的最小值为12．【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项和公差的值，由此得 出数列的通项公式。所以线段的中点为，故直线l的方程为，即(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的图象和性质即可得出答案。18.【答案】（1）解：因为平面，四边形是正方形，所以以A点为原点，（2）解：设l的方程为，联立方程组，整理得，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则，因为，所以，则，，故|．则，【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。故异面直线与所成角的余弦值为．(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y（2）解：因为，所以．的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。设平面的法向量为，则令，则，即20.【答案】（1）解：设圆M的方程为，．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面解得所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入故圆M的方程为.数值计算出结果即可。(2)由已知条件求出平面法向量的坐标，然后由线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到夹角的数量积公（2）解：假设存在实数，使得.式计算出结果即可。由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线19.【答案】（1）解：设，则，两式相减得，所以，所以，．此时点M到直线l的距离，符合条件，因为线段中点M的纵坐标为1，所以.．又，所以，【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式方程。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABD的坐标，再由数量积的坐标公（2）假设存在实数，使得，由（1）可知，圆M的圆心坐标和半径长，再利用点O在圆式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入M上，得出，所以直线，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线OM的数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。斜率，进而求出实数a的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点M到直线l2.【答案】（1）解：由内切圆的性质得，的距离，符合条件，再结合弦长公式得出的值。所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，21.【答案】（1）证明：如图，取的中点P，连接则，，．因为E是的中点，，所以．故E的方程为又∥，所以四边形是平行四边形．因为M，N分别是的中点，所以∥∥．（2）解：当T不为坐标原点时，设，则又平面平面，所以∥平面∥平面．因为，所以平面∥平面．两式相减得，即，又平面，所以∥平面．（2）解：取的中点O，连接．所以，设，在图1中，因为，所以与是等边三角形，所以在图2中，，所以．联立方程组整理得，以O为原点，射线为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．．设，则，因为T是线段的中点，所以．．设平面的法向量为，联立方程组解得．联立方程组解得则令，则，即．，由题可知，平面的一个法向量为．所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．故．【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形是平行四边形，结合四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．【解析】【分析】(1)根据题意由圆和椭圆的几何性质，整理即可求出a与c的值，由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，并把坐标代入由点差法结合斜率的坐标计算出，结合点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理结合两点间的距离公式代入数值计算出点的坐标，由已知条件整理化简即可得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题C.D．1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．二、多选题C．D．9.平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．A．B．C．D．l与斜交C．D．3.点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半10.已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（）径等于（）A.直线l的倾斜角是A．B．C．3D．9B.若直线m：＝0，则l⊥m4.在棱长为a的正方体ABCD-中，向量与向量所成的角为（）C.点到直线l的距离是2A．60°B．150°C．90°D．120°D.过与直线l平行的直线方程是5.已知三顶点为、、，则是（）A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为46.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）B.圆截轴所得的弦长为A．B．C．D．C.圆上的点到直线的最小距离为17.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的D.圆与圆相离距离的最大值为（）12.如图，在长方体中，，，是侧面的中A．B．6C．D．心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为8.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是（）轴建立空间直角坐标系，则（）A．是单位向量A.B．B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为（2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定三、填空题值，求出该值；否则，请说明理由．13.已知两个平面，的法向量分别是和，若，则．22.如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一般式（1）求证：AB⊥CD；为．（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若，，分别记答案解析部分为，，，则用，，表示的结果为．1.【答案】B16.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程【解析】【解答】倾斜角为的直线斜率为.为．利用点斜式可得.四、解答题17.在中，，整理得.（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；故答案为：B.（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果.18.如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂2.【答案】B直BD于E，F为的中点．【解析】【解答】由，，则（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；所以，则（2）求点A到平面BDF的距离．故答案为：B．19.（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．【分析】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．3.【答案】C20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．【解析】【解答】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，（1）证明：平面；则圆心坐标为（－，－1），半径为（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，21.已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．（1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，所以－＋1＋1＝0，k＝4．解得k，所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.则k的取值范围是[，故答案为：C．+∞）．故答案为：D．【分析】根据题意可得：直线经过圆心，代入运算解得，再代入【分析】由题意可得或，解不等式即可得到所求范围．求圆的半径．7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由得，【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系因此圆心为，半径为，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）因此圆心到坐标原点的距离为，∴cos＜，＞===﹣即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.即＜，＞=120°故答案为：D.故答案为：D【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．8.【答案】D5.【答案】B【解析】【解答】逐一根据a，b的几何意义验证知D中，直线ax+by=ab，即+=1在x，y轴上的截距分别【解析】【解答】由已知，，，为b<0和a>0时，D中圆的圆心亦为b<0和a>0，∴，即，故答案为：D.【分析】根据直线在坐标轴上的截距的符号，以及圆心的坐标符号，判定ABC都不可能，而D中由直线位置∴是直角三角形.可得b<0和a>0，圆的圆心亦为b<0和a>0，故D正确.故答案为：B.9.【答案】A,C【解析】【解答】由圆的方程可知其圆心为，半径，【分析】由向量坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.由题意可设所求直线方程为：，6.【答案】D则圆心到直线距离，解得：，【解析】【解答】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 故答案为：BC.所求切线方程为：或.故答案为：AC.【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.选项.10.【答案】B,C,D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；【解析】【解答】对于A，，，，对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B符合题意；，为单位向量，A符合题意；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C符合题意；对于B，，，，，，对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D符合题意；，即，，平面，故答案为：BCD．是平面的一个法向量，B符合题意；【分析】对A，根据斜率判断即可；对于C，，，对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；，对D，先求得斜率，再根据点斜式求解即可.11．【答案】B,C即异面直线与所成角的余弦值为，C不符合题意；【解析】【解答】对于A：由可得，所以的半径为，A不正确；对于D，，，，对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，B符合题意；由B知：为平面的一个法向量，对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的点到平面的距离，D符合题意.最小距离为，C符合题意；故答案为：ABD.对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，D不正确；【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量是单位向量；再利用法向量的定义，从 而得出是平面的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异故答案为：面直线与所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.标，再利用为平面的一个法向量，从而利用数量积求出点到平面的距16.【答案】＝2离，进而找出正确的选项。【解析】【解答】解：由题意得：圆心在直线上，13.【答案】4又圆心在直线上，令，得【解析】【解答】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，圆心的坐标为，又，所以，解得，半径，所以，则圆的方程为．故答案为：4故答案为：【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出，进而可求得答案.14．【答案】x+3y-10=0或x-2y=0【分析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线，令，得，所以圆心坐标【解析】【解答】当截距为0时，设直线方程为y=kx，，利用两点间的距离公式求出，由圆心和半径写出圆的方程即可．则4k=2，∴17.【答案】（1）解：设AB边的垂直平分线为l，∴直线方程为有题可知，，当截距不为0时，设直线方程为又可知AB中点为，由题意，，∴a=．∴．l的方程为，即，综上，x+3y-10=0或x-2y=0（2）解：设B关于直线的对称点M的坐标为；【分析】当截距为0时，此时直线方程为；当截距不为0时，设直线方程为，把则，解得，所以，代入即可得出答案.15.【答案】由题可知，两点都在直线AC上，【解析】【解答】因为G是AE的中点，E是线段BC的中点，故所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为. 【解析】【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.19．【答案】（1）解：圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x18.【答案】（1）解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.由已知AB＝＝1，（2）解：方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝最小值为－2－.从而易得【解析】【分析】（1）根据的几何意义求解，即求得到圆心的距离，由这∵＝＝（－1，0，1）．个距离加减半径后平方可得最大值和最小值．设异面直线AE与BF所成的角为，（2）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，即可求得结果．20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面，则．所以，因为，，平面，即异面直线AE、BF所成的角的余弦为所以平面，因为平面，所以，（2）解：设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．因为底面为平行四边形，所以，＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，所以，因为，，平面，0）．由∴，即所以平面；取＝（2）解：由（1）可知，所以点A到平面BDF的距离因为，，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为【解析】【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，（2）解：∵l过原点O且不与y轴重合，则，，，，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，所以，，，，依题意知是上方程的两根，则＝＝设平面的法向量为，则．则＝＝＝故是定值令，，，得面的法向量．同理可得平面的法向量【解析】【分析】（1）法一：设点，点，再根据中点的性质表达出，所以，因为二面角为锐二面角，，代入化简求解即可；法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆所以二面角的余弦值为求解即可【解析】【分析】(1)根据题意，先判断BD⊥平面APD，得到PD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得出结论；（2）设直线l的方程为，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可.(2)根据题意，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求2.【答案】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出即可.∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；21.【答案】（1）解：法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（2）解：由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），于是有，．①∴＝＝＝因为点P在圆上运动，设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……整理，得＝4．设直线AE与平面BCE所成角为，这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝则，2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为． 【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD，即可证明AB⊥CD.（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
简介：高二上学期数学期中考试试卷则PD的最大值为（）一、单选题A．3B．C．D．21.直线的倾斜角（）二、多选题A．B．C．D．9.以下说法正确的是（）A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）B.空间的任意两个向量都是共面向量A．2B．4C．8D．16C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则3.已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则（）10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列A．B．6C．4D．正确的是（）4.无论m取何实数，直线一定过（）A.椭圆的长轴长为8A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B.椭圆的离心率为C．椭5.方程化简的结果是（）圆的离心率为D．椭圆的一A．B．C．D．个方程可能为6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用，，表示向量的结果是（）定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.A.B．已知在平面直角坐标系中，､，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论C．D．正确的是（）7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的A.曲线的方程为数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样B.在曲线上存在点D，使得走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线C.在曲线上存在点M，使M在直线上所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）D.在曲线上存在点N，使得A．B．C．D．12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（）8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足， A．21．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设B.平面平面一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为C.三棱锥的体积为.D.三棱锥的外接球的表面积为（1）若，求两站点之间的距离；三、填空题（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，13.椭圆的焦距为2，则．为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？14.直线：截圆的弦为，当取最小值时的值22.如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆为．弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，15.已知点，则在上的投影向量的长度为.之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐16.设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点段所在的圆方程分别为.Q的轨迹方程为．（1）求“帽体段”的方程；四、解答题17.已知，.（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点（1）求；，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分（2）求､的值使得与z轴垂直，且.1．【答案】A18.已知两直线，【解析】【解答】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为（1）求直线与交点P的坐标；．（2）设，求过点P且与距离相等的直线方程．故答案为：A．19.求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．（2）过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.2.【答案】C20.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩【解析】【解答】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而形，，平面平面．，所以．（1）求证：平面平面；故答案为：C．（2）求二面角的正弦值． 【分析】由题意结合椭圆的定义可得点P到右焦点的距离．【解析】【解答】由题意可得，=-3.【答案】D=-(+).【解析】【解答】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，∵，，所以，∴.故答案为：D故答案为：D.【分析】利用对称的性质分别求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出结果．【分析】连接MN，=-，由M是A1D1的中点，用表示出，由条件：点N是CA1上的4.【答案】C点，且CN：NA1＝1：4，得到，再用，，表示向量即可．【解析】【解答】，则.7.【答案】C取，解得，故直线过定点，必过第三象限.【解析】【解答】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为故答案为：C，∴，解得，即.【分析】直线的方程即，不论m为何实数，直线l恒过的交点M，解方程组求得M的坐标．∴.5.【答案】D故答案为：C【解析】【解答】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y=3的对称点A’，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；8.【答案】B∴；【解析】【解答】如图所示，在平面内，，∴椭圆的方程是，即为化简的结所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为果．故答案为：D．轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，6.【答案】D 故答案为：ABC.所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，，【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件、共面向量以及空间向量共线与垂直需满足的条件逐项判断故点正好为椭圆短轴的一个端点，即可．10.【答案】B,D，则，【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，因为，故只需计算的最大值.∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则a=8，设，则，所以，则，离心率为，当时，取最大值，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，即，则椭圆的方程为.故答案为：BD.因此可得，故的最大值为.故答案为：B.【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程设出点的1.【答案】A,D坐标然后表示出结合二次函数的性质求【解析】【解答】设点，由，出最大值即可。得，化简得，即，A选项正确；9.【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，对于B选项，设，由得，则也是空间的一个基底，A符合题意；又，联立方程可知无解，B选项错误；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，B符合题意；对于C选项，设，由M在直线上得，对于C，由方向向量的性质得出，C符合题意；又，联立方程可知无解，C选项错误；对于D，因为，所以，D不符合题意；对于D选项，设，由，得，又，联 立方程可知有解，D选项正确.三棱锥的外接球的表面积为，D符合题故答案为：AD.意．故答案为：CD．【分析】通过设出点P的坐标，利用求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据【分析】选项A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．推导出与不垂直；在选项B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出12.【答案】C,D平面与平面相交；在选项C中，三棱锥的体积；在D中，三棱锥【解析】【解答】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．则，0，4)，，2，2)，，0，4)，，0，，，2，-2)，，0，-4)，13.【答案】3或5，与不垂直，A不符合题意；【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，在B中，，0，4)，，2，0)，，2，2)，，0，4)，，0，0)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；，-2，4)，，0，2)，，0，4)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；设平面的法向量，，，综上所述，或．故答案为：3或5．则，取，得，2，1)，设平面的法向量，，，【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．14.【答案】1则，取，得，1，，【解析】【解答】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所不共线，平面与平面相交，B不符合题意；以定点与圆心的距离为：，在C中，三棱锥的体积为：所以则的最小值为：，，C符合题意；此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故答案为：1．三棱锥的外接球半径，【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值， 推出m即可．依题意，15.【答案】【解析】【解答】由已知得，即，∴，又，故，解得，.所以在上的投影向量的长度为.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可；（2）取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可．故答案为：.18.【答案】（1）解：由解得，∴点P的坐标为（2）解：设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：【分析】利用空间向量投影的定义求解即可．①时，，不妨设直线l方程为：16.【答案】∵直线l过点P，∴，得【解析】【解答】由已知椭圆的方程可得：，，则，∴直线方程为：，即由椭圆的定义可得，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得又因为，所以，∵，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴所求的直线方程为：，即所以点的轨迹方程为：，综上所述，所求直线方程为：或故答案为：【解析】【分析】（1）由，解得点P的坐标．【分析】由题意可得，，为定值，再由椭圆的方程可得（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：，进而求出Q的轨迹方程．①时，，不妨设直线l方程为：，根据直线l过点P，代入解得b．17.【答案】（1）解：因为，，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得，利用点斜式即可得出．所以.19.【答案】（1）解：圆心到直线的距离为：（2）解：取轴上的单位向量，，设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得： 故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25若是面的一个法向量，则，令，即，（2）解：由题意故过AB的直线方程为y＝－x＋2，，故.又A、B的中点为（1，1），【解析】【分析】（1）连接BD，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由勾∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；故方程为y＝x（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平由解得，即圆心坐标为（－1，－1），面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．半径为，21.【答案】（1）解：过作直线于，则，设，∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16则，（），【解析】【分析】（1）选求圆心到直线的距离，利用圆中的弦长求出圆的半径，可得圆的方程，故，，（2）先求出AB和垂直平分线方程，再求与直线的交点坐标即圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．，20.【答案】（1）证明：由题设，中，而，又，∴，即，又面面，面面且，面，由，得，∴面，又面，则，又且面，故，当且仅当，时取等号.∴面，又面，即面面；此时，有最小值为.（2）解：由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，即两出入口之间距离的最小值为.∴，则（2）解：由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为，此时直线为圆与圆的公切线.因为，出入口在古建筑群和市中心之间，若是面的一个法向量，则，令，即，如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 由，，将代入得，因为圆的方程为，圆的方程为，所以，设直线的方程为，由题意得，将，代入上式得则所以，两式相除，得，，所以或，所以此时或（舍去），此时，要使得为定值，又由（1）知当时，，即为定值，即，解得，综上，.即时，为定值，即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.②当直线与轴重合时，直线的方程为，【解析】【分析】（1）过作直线于，则，设，可得，利用成立勾股定理可求，，推出，利用两角差的正切公式即可计算求解．所以存在定点，使得为定值.（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线【解析】【分析】（1）直接由几何条件化为代数方程整理即得；的方程为，可求或，可求，此时，又当（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，将时，，综上即可得解．代入得，所以，2.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为，，可得时，为定值；②当直线与轴重合时，由图可得，可求得，所以结论成立．所以，所以，“帽体段”的方程：；（2）解：①当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 高二上学期数学期中考试试卷棱柱的高为（）一、单选题A.B．C．2D．41.直线经过原点和点，则的斜率是（）二、多选题A．0B．-1C．1D．不存在9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）2.双曲线的渐近线方程为（）A．A.B．C．D．B．C．3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）D．直线，夹角的余弦值为A．B．C．D．4．已知直线，直线，则与之间的距离为（）10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线A．B．C．D．与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A．B．5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为C．直线的斜率为1D．直线的斜率为4（）11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且A．B．交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）C．D．A．B．6．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）C．四边形的面积为5D．四边形的面积为10A．，，B．，，12．已知，，若圆上存在点，使得C．，，D．，，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．77.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且三、填空题13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则．的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）14.过点且与圆相切的直线方程为．A．B．C．D．15.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，8.在三棱柱中，，，，则该三 （为坐标原点），，则椭圆的长轴长为．22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角（1）若，求的方程．中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值且．为．答案解析部分四、解答题1.【答案】B17．已知直线过点．【解析】【解答】因为直线经过原点和点，所以的斜率（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；．（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．故答案为：B18.在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．【分析】根据题意由斜率的坐标公式，代入数值计算出结果即可。已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．2.【答案】D（1）求双曲线的方程；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．．故答案为：D.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知圆，直线．【分析】由双曲线的渐近线方程，代入数值计算出结果即可。（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；3.【答案】A（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围．【解析】【解答】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，且．所以.（1）证明：平面平面．故答案为：A（2）求二面角的正弦值【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足4.【答案】A．记点的轨迹为．【解析】【解答】直线的方程可化为，则直线与之间的距离（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值．．故答案为：A ，，，，【分析】根据题意由平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。双曲线的离心率的取值范围为.5.【答案】C【解析】【解答】因为三个顶点的坐标分别为，，，故答案为：A所以，所以，【分析】根据题意由双曲线的定义结合已知条件整理即可得出，由此即可得出a与c的关系，结合所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径离心率公式即可得出答案。．故所求圆的标准方程为8．【答案】B．【解析】【解答】设平面的法向量为，则所以，故答案为：C令，则，，所以以是平面的一个法向量．点到平面的距离，故该三棱柱的高为【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出，从而得出进而得出三角形的形状，然后由圆的几何性质求出圆心坐标和半径的值，从而求出圆的方程即可。．故答案为：B6.【答案】C【解析】【解答】A：，所以，，共面；B：，所以，，共面；【分析】根据题意首先求出平面的法向量，再由空间数量积的坐标公式计算出平面的一个法向量，把C：不能用，表示，所以，，不共面；数值代入到距离公式计算出结果即可。D：，共线，则，，共面．9．【答案】A,B,C故答案为：C【解析】【解答】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。由，所以A不符合题意；7．【答案】A【解析】【解答】设双曲线的焦距为，.设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不符合题意；是双曲线右支上的一点，，由，所以与不垂直，所以C不符合题意；的周长为，，由，可得，所以D符合题意.，，，，故答案为：ABC． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公抛物线的对称性求出角的大小，由三角形中的几何计算关系求出P的取值，结合四边形的面积公式代入数值式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数计算出结果即可。量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。12.【答案】B,C,D10．【答案】A,C【解析】【解答】解：设点，由，所以【解析】【解答】由题意可得，整理可得．，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点．设，，则，，两式相减可得圆，可化为，因为是圆上一点，．所以，解得．故答案为：BCD因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值则直线的斜率．范围即可。13.【答案】4故答案为：AC【解析】【解答】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，2，整理即可得出斜率的结果。于是得，解得，11．【答案】B,D所以.【解析】【解答】抛物线的焦点为，故答案为：4因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。14.【答案】x+y-3=0不妨设，，结合三角形的对称性可知，，【解析】【解答】可化为，其圆心为，半径为．所以，则，解得因为点在圆上，．四边形的所以切线的斜率满足，解得，面积为．故答案为：BD．则切线方程为，即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出点的坐标，然后由 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标和半径的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的设为平面的一个法向量，则，值，利用点斜式求出直线的方程即可。15．【答案】令，则，，所以．【解析】【解答】由椭圆，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．则，所以，故答案为：设，，则，且，所以，【分析】由长方体的几何性质计算出边的大小，建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，结合数量积的所以，解得，坐标公式求出平面的法向量，并把数值代入到夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，再由线面角与向所以椭圆的长轴长为．量夹角的关系，即可得出答案。故答案为：．17.【答案】（1）解：设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．16.【答案】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，【解析】【解答】在直角中，为斜边上的高，，，所以直线的方程是．则，，，，即在四面体中，综上，所求直线的方程为或．，，，，，则．【解析】【分析】(1)根据题意由直线垂直的性质设出直线的方程，然后由待定系数法计算出m的取值即可。要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，(2)由直线的方程求出斜率的取值，结合题意对直线分情况讨论，由此求出直线的方程即可。此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，18.【答案】（1）解：的标准方程为，同理计算即则．可.设双曲线的方程为，如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，解得，则，，，，，，，．所以双曲线的方程为； （2）解：双曲线的渐近线方程为．【解析】【分析】(1)根据题意整理化简直线的方程由此求出直线过的定点坐标，然后由斜率的坐标公式代入计算出，结合题意由直线垂直的性质计算出从而求出直线的方程。选①，设双曲线的标准方程为，(2)由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，所以解得，．又因为，在直角中，可得，所以，，所以双曲线的实轴长为2．所以，，选②，设双曲线的标准方程为由，所以，即，又由，且，所以平面，所以，解得，，又因为平面，所以平面平面．（2）解：因为平面，所以，所以双曲线的实轴长为．又因为，可得，所以，【解析】【分析】(1)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出m与n的取值，从而得出答案。如图所示，连接．(2)选①，由双曲线的简单性质代入数值计算出a与b的取值，从而得出答案；选②，由已知条件整理得因为平面，所以，，出a与b的取值，从而得出答案。又因为，，所以平面，，19.【答案】（1）解：由，可得．所以，，由，得即直线过定点．过点作交于点，可得，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，可化为，因为圆心，所以，可得，，，，．又因为当所截弦长最短时，，所以，设平面的法向量为，所以直线的方程为．（2）解：因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则，可取平面的一个法向量为，所以，又平面，所以平面的一个法向量为．解得或，即的取值范围为． 联立消元得，所以，．设二面角的平面角为，则，因为，则，所以二面角的正弦值为．由题设知，解得，所以的方程为．【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形中的几何计算关系结合三角形相似的性质求出角的大小，由此得到线线垂直然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。（2）解：设与抛物线相切的切线方程为，(2)由已知条件结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量则化简得．和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，把数值代入到同角三角函数的由，可得．基本关系式，由此得到二面角的正弦值。将点坐标代入方程，可得，，21．【答案】（1）解：设，，则，，．所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，由，得，．联立方程组可得，，所以交点在定直线上．因为在圆上，所以．故的方程为当时，显然成立；（2）解：设是曲线上任意一点，则，当时，，则，所以．综上所述，．所以【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方当时，．程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。所以圆半径的最大值为．(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，由此求出向量的坐标，然后把点的坐标代入到元的方程，计算求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出，从出结果即可。而得出线线垂直。(2)根据题意由两点间的距离公式整理即可得到y的方程，结合二次函数的图象和性质即可求出最大值。22．【答案】（1）解：由题意得，设直线的方程为，，， 二、多选题高二上学期数学期中考试试卷9．数列的前n项和为，已知，则（）一、单选题1.数列的一个通项公式为（）A．是递增数列A.B．C．D．B．C．当时，2.已知双曲线的离心率为，则（）D．当或4时，取得最大值A．2B．4C．8D．1210.直线与圆的交点个数可能为（）3.直线的倾斜角是（）A．0B．1C．2D．3A．30°B．60°C．120°D．150°11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反4.已知，则点A到直线的距离为（）之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线A．B．C．D．，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A5.双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（）反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（）A.若，则A．B．C．5D．6.如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，EB.若，则是的中点，F是上一点，当时，（）C.若，则平分A．3B．C．D．2D.若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）线方程为（）A．平面A．B．B.四边形面积的最大值为C．D．C.若四边形的面积为，则8.若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则D.若，则四棱锥的体积为（）三、填空题13.直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为．A.B．C．D． 14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘的中点．（1）证明：∥平面．积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准（2）求二面角的余弦值．方程为．22.已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分15.在公差为d的等差数列中，已知，则d的取值范围别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．为．（1）求E的方程；16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，的面积为，则，.N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．四、解答题答案解析部分17.等差数列的前n项和为，已知．1.【答案】A（1）求的通项公式；【解析】【解答】根据规律可知数列的前三项为，（2）若，求n的最小值．所以该数列的一个通项公式为．18.如图，在四棱柱中，平面，四边形是正方形，故答案为：A，E，F，G分别为棱的中点．【分析】由已知的数列的项，即可得出数列的通项公式。（1）求异面直线与所成角的余弦值；2.【答案】B（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【解答】因为离心率为，可得，解得，19.抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与故答案为：B．x轴交于点P．【分析】根据题意由双曲线的简单性质，计算出m的取值即可。（1）若，求l的方程；3.【答案】D（2）若，求．【解析】【解答】由可得，所以直线的斜率为20.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程.，（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，设直线的倾斜为，则，因为，所以使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.．故答案为：D21.如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是 则．因为，【分析】由已知条件把直线的方程化为斜截式，由此求出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。4.【答案】A所以，解得，所以【解析】【解答】由，可得，．故答案为：C则向量在方向上的投影为，【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后把结果代入到数量积的坐标公式计算出a的取值，从而即可得出答案。所以点A到直线的距离．7.【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形△ABC的重心为，故答案为：A.可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，计算出结果即可。5.【答案】B联立方程可得△ABC的垂心为，【解析】【解答】由双曲线，可得，可得，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，故△ABC的欧拉线方程为。所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：A.故答案为：B.【分析】由题可知，三角形△ABC的重心为，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率，再结合【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AB边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为6.【答案】C，再利用两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出【解析】【解答】分别取的中点O，G，连接，AC边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系方程，得出三角形△ABC的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线GH斜率，再利用点斜式求出直线GH方．程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形△ABC的欧拉线方程。设，则．设，8.【答案】C 延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，D符合题意；【解析】【解答】由等差数列的性质和求和公式，可得．若，则，C的焦点为，直线，可得故答案为：C.，B不正确；【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。时，因为，所以．又，所以平9.【答案】B,C,D分，C符合题意．【解析】【解答】当时，，又，所以故答案为：ACD.，则是递减数列，A不符合题意；，B符合题意；当时，【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的，C符合题意；因为的对称轴为，开口向下，所以当或4时，方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件取得最大值，D符合题结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得意．故答案为：BCD．出答案。12.【答案】A,C,D【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出【解析】【解答】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可；结合数列项的性质即可判断出选项A错误；把数值代入到通项公式计算出结果由此判断出选项B、C正确；结合等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质即可判断坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，出选项D正确，从而得出答案。则，，，.因为.所以.因为10.【答案】B,C平面，所以，则，【解析】【解答】．令解得.若平面，则，即，故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可，；若平面.则，即，能为1或2．，.因为，所以四边形的面积故答案为：BC.当时，四边形的面积最大，且最大【分析】根据题意首先整理化简直线的方程，联立直线的方程求解出定点的坐标，然后把点的坐标代入到圆的方程由此得出点在圆上，结合直线与圆的位置关系，即可得出答案。1.【答案】A,C,D值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，【解析】【解答】如图，故四棱锥的体积，B符合题意，D不正确.若四边形的面积若，则，C的焦点为，则，A符合题意； 【分析】根据题意由等差数列项的性质计算出，结合等差数列的通项公式即可得出d的取为.则或，解得或，C不正确.值范围。故答案为：ACD16.【答案】；或【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、【解析】【解答】因为圆C的半径，四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13.【答案】2x-y-3=0所以三角形的面积，【解析】【解答】因为直线经过点，且与直线平行，所以可设直线l的方程为所以.又为锐角三角形，所以，从而有，解得，故答案为：2x-y-3=0【分析】根据题意设出直线的方程，由直线平行的简单性质代入数值计算出的取值即可。因为点O在圆C上，所以或150°，14.【答案】故或。故答案为：；或。【解析】【解答】解：设C的标准方程为，则解得所以【分析】利用圆的一般式方程求出圆C的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结C的标准方程为合已知条件得出的值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出的值，进而得出．故答案为：的值，再利用点O在圆C上，从而得出的值，进而求出的值。17.【答案】（1）解：设的公差为d，.因为，可得，解得，【分析】根据题意设出双曲线的方程，由已知条件代入数值计算出a与b的取值，从而得出双曲线的方程。所以，即数列的通项公式为．15.【答案】（2）解：由，可得，【解析】【解答】因为，所以，根据二次函数的性质且，可得单调递增，所以．因为，所以当时，，故答案为：.故n的最小值为12．【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项和公差的值，由此得 出数列的通项公式。所以线段的中点为，故直线l的方程为，即(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的图象和性质即可得出答案。18.【答案】（1）解：因为平面，四边形是正方形，所以以A点为原点，（2）解：设l的方程为，联立方程组，整理得，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则，因为，所以，则，，故|．则，【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。故异面直线与所成角的余弦值为．(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y（2）解：因为，所以．的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。设平面的法向量为，则令，则，即20.【答案】（1）解：设圆M的方程为，．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面解得所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入故圆M的方程为.数值计算出结果即可。(2)由已知条件求出平面法向量的坐标，然后由线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到夹角的数量积公（2）解：假设存在实数，使得.式计算出结果即可。由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线19.【答案】（1）解：设，则，两式相减得，所以，所以，．此时点M到直线l的距离，符合条件，因为线段中点M的纵坐标为1，所以.．又，所以，【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式方程。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABD的坐标，再由数量积的坐标公（2）假设存在实数，使得，由（1）可知，圆M的圆心坐标和半径长，再利用点O在圆式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入M上，得出，所以直线，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线OM的数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。斜率，进而求出实数a的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点M到直线l2.【答案】（1）解：由内切圆的性质得，的距离，符合条件，再结合弦长公式得出的值。所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，21.【答案】（1）证明：如图，取的中点P，连接则，，．因为E是的中点，，所以．故E的方程为又∥，所以四边形是平行四边形．因为M，N分别是的中点，所以∥∥．（2）解：当T不为坐标原点时，设，则又平面平面，所以∥平面∥平面．因为，所以平面∥平面．两式相减得，即，又平面，所以∥平面．（2）解：取的中点O，连接．所以，设，在图1中，因为，所以与是等边三角形，所以在图2中，，所以．联立方程组整理得，以O为原点，射线为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．．设，则，因为T是线段的中点，所以．．设平面的法向量为，联立方程组解得．联立方程组解得则令，则，即．，由题可知，平面的一个法向量为．所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．故．【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形是平行四边形，结合四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．【解析】【分析】(1)根据题意由圆和椭圆的几何性质，整理即可求出a与c的值，由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，并把坐标代入由点差法结合斜率的坐标计算出，结合点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理结合两点间的距离公式代入数值计算出点的坐标，由已知条件整理化简即可得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题C.D．1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．二、多选题C．D．9.平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．A．B．C．D．l与斜交C．D．3.点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半10.已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（）径等于（）A.直线l的倾斜角是A．B．C．3D．9B.若直线m：＝0，则l⊥m4.在棱长为a的正方体ABCD-中，向量与向量所成的角为（）C.点到直线l的距离是2A．60°B．150°C．90°D．120°D.过与直线l平行的直线方程是5.已知三顶点为、、，则是（）A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为46.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）B.圆截轴所得的弦长为A．B．C．D．C.圆上的点到直线的最小距离为17.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的D.圆与圆相离距离的最大值为（）12.如图，在长方体中，，，是侧面的中A．B．6C．D．心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为8.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是（）轴建立空间直角坐标系，则（）A．是单位向量A.B．B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为（2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定三、填空题值，求出该值；否则，请说明理由．13.已知两个平面，的法向量分别是和，若，则．22.如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一般式（1）求证：AB⊥CD；为．（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若，，分别记答案解析部分为，，，则用，，表示的结果为．1.【答案】B16.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程【解析】【解答】倾斜角为的直线斜率为.为．利用点斜式可得.四、解答题17.在中，，整理得.（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；故答案为：B.（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果.18.如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂2.【答案】B直BD于E，F为的中点．【解析】【解答】由，，则（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；所以，则（2）求点A到平面BDF的距离．故答案为：B．19.（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．【分析】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．3.【答案】C20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．【解析】【解答】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，（1）证明：平面；则圆心坐标为（－，－1），半径为（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，21.已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．（1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，所以－＋1＋1＝0，k＝4．解得k，所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.则k的取值范围是[，故答案为：C．+∞）．故答案为：D．【分析】根据题意可得：直线经过圆心，代入运算解得，再代入【分析】由题意可得或，解不等式即可得到所求范围．求圆的半径．7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由得，【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系因此圆心为，半径为，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）因此圆心到坐标原点的距离为，∴cos＜，＞===﹣即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.即＜，＞=120°故答案为：D.故答案为：D【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．8.【答案】D5.【答案】B【解析】【解答】逐一根据a，b的几何意义验证知D中，直线ax+by=ab，即+=1在x，y轴上的截距分别【解析】【解答】由已知，，，为b<0和a>0时，D中圆的圆心亦为b<0和a>0，∴，即，故答案为：D.【分析】根据直线在坐标轴上的截距的符号，以及圆心的坐标符号，判定ABC都不可能，而D中由直线位置∴是直角三角形.可得b<0和a>0，圆的圆心亦为b<0和a>0，故D正确.故答案为：B.9.【答案】A,C【解析】【解答】由圆的方程可知其圆心为，半径，【分析】由向量坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.由题意可设所求直线方程为：，6.【答案】D则圆心到直线距离，解得：，【解析】【解答】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 故答案为：BC.所求切线方程为：或.故答案为：AC.【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.选项.10.【答案】B,C,D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；【解析】【解答】对于A，，，，对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B符合题意；，为单位向量，A符合题意；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C符合题意；对于B，，，，，，对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D符合题意；，即，，平面，故答案为：BCD．是平面的一个法向量，B符合题意；【分析】对A，根据斜率判断即可；对于C，，，对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；，对D，先求得斜率，再根据点斜式求解即可.11．【答案】B,C即异面直线与所成角的余弦值为，C不符合题意；【解析】【解答】对于A：由可得，所以的半径为，A不正确；对于D，，，，对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，B符合题意；由B知：为平面的一个法向量，对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的点到平面的距离，D符合题意.最小距离为，C符合题意；故答案为：ABD.对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，D不正确；【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量是单位向量；再利用法向量的定义，从 而得出是平面的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异故答案为：面直线与所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.标，再利用为平面的一个法向量，从而利用数量积求出点到平面的距16.【答案】＝2离，进而找出正确的选项。【解析】【解答】解：由题意得：圆心在直线上，13.【答案】4又圆心在直线上，令，得【解析】【解答】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，圆心的坐标为，又，所以，解得，半径，所以，则圆的方程为．故答案为：4故答案为：【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出，进而可求得答案.14．【答案】x+3y-10=0或x-2y=0【分析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线，令，得，所以圆心坐标【解析】【解答】当截距为0时，设直线方程为y=kx，，利用两点间的距离公式求出，由圆心和半径写出圆的方程即可．则4k=2，∴17.【答案】（1）解：设AB边的垂直平分线为l，∴直线方程为有题可知，，当截距不为0时，设直线方程为又可知AB中点为，由题意，，∴a=．∴．l的方程为，即，综上，x+3y-10=0或x-2y=0（2）解：设B关于直线的对称点M的坐标为；【分析】当截距为0时，此时直线方程为；当截距不为0时，设直线方程为，把则，解得，所以，代入即可得出答案.15.【答案】由题可知，两点都在直线AC上，【解析】【解答】因为G是AE的中点，E是线段BC的中点，故所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为. 【解析】【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.19．【答案】（1）解：圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x18.【答案】（1）解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.由已知AB＝＝1，（2）解：方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝最小值为－2－.从而易得【解析】【分析】（1）根据的几何意义求解，即求得到圆心的距离，由这∵＝＝（－1，0，1）．个距离加减半径后平方可得最大值和最小值．设异面直线AE与BF所成的角为，（2）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，即可求得结果．20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面，则．所以，因为，，平面，即异面直线AE、BF所成的角的余弦为所以平面，因为平面，所以，（2）解：设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．因为底面为平行四边形，所以，＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，所以，因为，，平面，0）．由∴，即所以平面；取＝（2）解：由（1）可知，所以点A到平面BDF的距离因为，，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为【解析】【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，（2）解：∵l过原点O且不与y轴重合，则，，，，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，所以，，，，依题意知是上方程的两根，则＝＝设平面的法向量为，则．则＝＝＝故是定值令，，，得面的法向量．同理可得平面的法向量【解析】【分析】（1）法一：设点，点，再根据中点的性质表达出，所以，因为二面角为锐二面角，，代入化简求解即可；法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆所以二面角的余弦值为求解即可【解析】【分析】(1)根据题意，先判断BD⊥平面APD，得到PD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得出结论；（2）设直线l的方程为，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可.(2)根据题意，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求2.【答案】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出即可.∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；21.【答案】（1）解：法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（2）解：由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），于是有，．①∴＝＝＝因为点P在圆上运动，设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……整理，得＝4．设直线AE与平面BCE所成角为，这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝则，2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为． 【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD，即可证明AB⊥CD.（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
简介：高二上学期数学期中考试试卷则PD的最大值为（）一、单选题A．3B．C．D．21.直线的倾斜角（）二、多选题A．B．C．D．9.以下说法正确的是（）A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）B.空间的任意两个向量都是共面向量A．2B．4C．8D．16C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则3.已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则（）10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列A．B．6C．4D．正确的是（）4.无论m取何实数，直线一定过（）A.椭圆的长轴长为8A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B.椭圆的离心率为C．椭5.方程化简的结果是（）圆的离心率为D．椭圆的一A．B．C．D．个方程可能为6.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用，，表示向量的结果是（）定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.A.B．已知在平面直角坐标系中，､，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论C．D．正确的是（）7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的A.曲线的方程为数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样B.在曲线上存在点D，使得走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线C.在曲线上存在点M，使M在直线上所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）D.在曲线上存在点N，使得A．B．C．D．12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（）8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足， A．21．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设B.平面平面一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为C.三棱锥的体积为.D.三棱锥的外接球的表面积为（1）若，求两站点之间的距离；三、填空题（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，13.椭圆的焦距为2，则．为半径的圆形保护区.因考虑未来道路的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？14.直线：截圆的弦为，当取最小值时的值22.如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆为．弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，15.已知点，则在上的投影向量的长度为.之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐16.设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点段所在的圆方程分别为.Q的轨迹方程为．（1）求“帽体段”的方程；四、解答题17.已知，.（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点（1）求；，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分（2）求､的值使得与z轴垂直，且.1．【答案】A18.已知两直线，【解析】【解答】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为（1）求直线与交点P的坐标；．（2）设，求过点P且与距离相等的直线方程．故答案为：A．19.求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为C（0，－2），且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．（2）过点A（－1，3），B（3，－1），且圆心在直线x－2y－1＝0上.2.【答案】C20.如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩【解析】【解答】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而形，，平面平面．，所以．（1）求证：平面平面；故答案为：C．（2）求二面角的正弦值． 【分析】由题意结合椭圆的定义可得点P到右焦点的距离．【解析】【解答】由题意可得，=-3.【答案】D=-(+).【解析】【解答】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，∵，，所以，∴.故答案为：D故答案为：D.【分析】利用对称的性质分别求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出结果．【分析】连接MN，=-，由M是A1D1的中点，用表示出，由条件：点N是CA1上的4.【答案】C点，且CN：NA1＝1：4，得到，再用，，表示向量即可．【解析】【解答】，则.7.【答案】C取，解得，故直线过定点，必过第三象限.【解析】【解答】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为故答案为：C，∴，解得，即.【分析】直线的方程即，不论m为何实数，直线l恒过的交点M，解方程组求得M的坐标．∴.5.【答案】D故答案为：C【解析】【解答】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点A关于直线x+y=3的对称点A’，由三点共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；8.【答案】B∴；【解析】【解答】如图所示，在平面内，，∴椭圆的方程是，即为化简的结所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为果．故答案为：D．轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，6.【答案】D 故答案为：ABC.所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，，【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件、共面向量以及空间向量共线与垂直需满足的条件逐项判断故点正好为椭圆短轴的一个端点，即可．10.【答案】B,D，则，【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，因为，故只需计算的最大值.∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则a=8，设，则，所以，则，离心率为，当时，取最大值，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，即，则椭圆的方程为.故答案为：BD.因此可得，故的最大值为.故答案为：B.【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程设出点的1.【答案】A,D坐标然后表示出结合二次函数的性质求【解析】【解答】设点，由，出最大值即可。得，化简得，即，A选项正确；9.【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，对于B选项，设，由得，则也是空间的一个基底，A符合题意；又，联立方程可知无解，B选项错误；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，B符合题意；对于C选项，设，由M在直线上得，对于C，由方向向量的性质得出，C符合题意；又，联立方程可知无解，C选项错误；对于D，因为，所以，D不符合题意；对于D选项，设，由，得，又，联 立方程可知有解，D选项正确.三棱锥的外接球的表面积为，D符合题故答案为：AD.意．故答案为：CD．【分析】通过设出点P的坐标，利用求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据【分析】选项A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．推导出与不垂直；在选项B中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出12.【答案】C,D平面与平面相交；在选项C中，三棱锥的体积；在D中，三棱锥【解析】【解答】解：长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，的外接球就是长方体的外接球，从而三棱锥的外接球半径在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，由此求出三棱锥的外接球的表面积为．则，0，4)，，2，2)，，0，4)，，0，，，2，-2)，，0，-4)，13.【答案】3或5，与不垂直，A不符合题意；【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，在B中，，0，4)，，2，0)，，2，2)，，0，4)，，0，0)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；，-2，4)，，0，2)，，0，4)，，2，0)，若焦点在轴上，则有，解得；设平面的法向量，，，综上所述，或．故答案为：3或5．则，取，得，2，1)，设平面的法向量，，，【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．14.【答案】1则，取，得，1，，【解析】【解答】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所不共线，平面与平面相交，B不符合题意；以定点与圆心的距离为：，在C中，三棱锥的体积为：所以则的最小值为：，，C符合题意；此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故答案为：1．三棱锥的外接球半径，【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值， 推出m即可．依题意，15.【答案】【解析】【解答】由已知得，即，∴，又，故，解得，.所以在上的投影向量的长度为.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可；（2）取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可．故答案为：.18.【答案】（1）解：由解得，∴点P的坐标为（2）解：设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：【分析】利用空间向量投影的定义求解即可．①时，，不妨设直线l方程为：16.【答案】∵直线l过点P，∴，得【解析】【解答】由已知椭圆的方程可得：，，则，∴直线方程为：，即由椭圆的定义可得，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得又因为，所以，∵，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴所求的直线方程为：，即所以点的轨迹方程为：，综上所述，所求直线方程为：或故答案为：【解析】【分析】（1）由，解得点P的坐标．【分析】由题意可得，，为定值，再由椭圆的方程可得（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：，进而求出Q的轨迹方程．①时，，不妨设直线l方程为：，根据直线l过点P，代入解得b．17.【答案】（1）解：因为，，②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得，利用点斜式即可得出．所以.19.【答案】（1）解：圆心到直线的距离为：（2）解：取轴上的单位向量，，设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得： 故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25若是面的一个法向量，则，令，即，（2）解：由题意故过AB的直线方程为y＝－x＋2，，故.又A、B的中点为（1，1），【解析】【分析】（1）连接BD，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由勾∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明结论；故方程为y＝x（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平由解得，即圆心坐标为（－1，－1），面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．半径为，21.【答案】（1）解：过作直线于，则，设，∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16则，（），【解析】【分析】（1）选求圆心到直线的距离，利用圆中的弦长求出圆的半径，可得圆的方程，故，，（2）先求出AB和垂直平分线方程，再求与直线的交点坐标即圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．，20.【答案】（1）证明：由题设，中，而，又，∴，即，又面面，面面且，面，由，得，∴面，又面，则，又且面，故，当且仅当，时取等号.∴面，又面，即面面；此时，有最小值为.（2）解：由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，即两出入口之间距离的最小值为.∴，则（2）解：由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为，此时直线为圆与圆的公切线.因为，出入口在古建筑群和市中心之间，若是面的一个法向量，则，令，即，如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 由，，将代入得，因为圆的方程为，圆的方程为，所以，设直线的方程为，由题意得，将，代入上式得则所以，两式相除，得，，所以或，所以此时或（舍去），此时，要使得为定值，又由（1）知当时，，即为定值，即，解得，综上，.即时，为定值，即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.②当直线与轴重合时，直线的方程为，【解析】【分析】（1）过作直线于，则，设，可得，利用成立勾股定理可求，，推出，利用两角差的正切公式即可计算求解．所以存在定点，使得为定值.（2）设切点为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线【解析】【分析】（1）直接由几何条件化为代数方程整理即得；的方程为，可求或，可求，此时，又当（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，将时，，综上即可得解．代入得，所以，2.【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为，，可得时，为定值；②当直线与轴重合时，由图可得，可求得，所以结论成立．所以，所以，“帽体段”的方程：；（2）解：①当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 高二上学期数学期中考试试卷棱柱的高为（）一、单选题A.B．C．2D．41.直线经过原点和点，则的斜率是（）二、多选题A．0B．-1C．1D．不存在9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）2.双曲线的渐近线方程为（）A．A.B．C．D．B．C．3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）D．直线，夹角的余弦值为A．B．C．D．4．已知直线，直线，则与之间的距离为（）10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线A．B．C．D．与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A．B．5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为C．直线的斜率为1D．直线的斜率为4（）11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且A．B．交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）C．D．A．B．6．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）C．四边形的面积为5D．四边形的面积为10A．，，B．，，12．已知，，若圆上存在点，使得C．，，D．，，，则的值可能为（）A．1B．3C．5D．77.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且三、填空题13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则．的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）14.过点且与圆相切的直线方程为．A．B．C．D．15.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，8.在三棱柱中，，，，则该三 （为坐标原点），，则椭圆的长轴长为．22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角（1）若，求的方程．中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值且．为．答案解析部分四、解答题1.【答案】B17．已知直线过点．【解析】【解答】因为直线经过原点和点，所以的斜率（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；．（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．故答案为：B18.在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．【分析】根据题意由斜率的坐标公式，代入数值计算出结果即可。已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．2.【答案】D（1）求双曲线的方程；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．．故答案为：D.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知圆，直线．【分析】由双曲线的渐近线方程，代入数值计算出结果即可。（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；3.【答案】A（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围．【解析】【解答】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，且．所以.（1）证明：平面平面．故答案为：A（2）求二面角的正弦值【分析】根据题意由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足4.【答案】A．记点的轨迹为．【解析】【解答】直线的方程可化为，则直线与之间的距离（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值．．故答案为：A ，，，，【分析】根据题意由平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。双曲线的离心率的取值范围为.5.【答案】C【解析】【解答】因为三个顶点的坐标分别为，，，故答案为：A所以，所以，【分析】根据题意由双曲线的定义结合已知条件整理即可得出，由此即可得出a与c的关系，结合所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径离心率公式即可得出答案。．故所求圆的标准方程为8．【答案】B．【解析】【解答】设平面的法向量为，则所以，故答案为：C令，则，，所以以是平面的一个法向量．点到平面的距离，故该三棱柱的高为【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出，从而得出进而得出三角形的形状，然后由圆的几何性质求出圆心坐标和半径的值，从而求出圆的方程即可。．故答案为：B6.【答案】C【解析】【解答】A：，所以，，共面；B：，所以，，共面；【分析】根据题意首先求出平面的法向量，再由空间数量积的坐标公式计算出平面的一个法向量，把C：不能用，表示，所以，，不共面；数值代入到距离公式计算出结果即可。D：，共线，则，，共面．9．【答案】A,B,C故答案为：C【解析】【解答】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。由，所以A不符合题意；7．【答案】A【解析】【解答】设双曲线的焦距为，.设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不符合题意；是双曲线右支上的一点，，由，所以与不垂直，所以C不符合题意；的周长为，，由，可得，所以D符合题意.，，，，故答案为：ABC． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公抛物线的对称性求出角的大小，由三角形中的几何计算关系求出P的取值，结合四边形的面积公式代入数值式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数计算出结果即可。量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。12.【答案】B,C,D10．【答案】A,C【解析】【解答】解：设点，由，所以【解析】【解答】由题意可得，整理可得．，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点．设，，则，，两式相减可得圆，可化为，因为是圆上一点，．所以，解得．故答案为：BCD因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，【分析】根据题意设出点的坐标，然后由圆的几何性质代入数值整理得到关于m的不等式，求解出m的取值则直线的斜率．范围即可。13.【答案】4故答案为：AC【解析】【解答】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，2，整理即可得出斜率的结果。于是得，解得，11．【答案】B,D所以.【解析】【解答】抛物线的焦点为，故答案为：4因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，【分析】由抛物线的简单性质和定义，整理即可求出a的取值。14.【答案】x+y-3=0不妨设，，结合三角形的对称性可知，，【解析】【解答】可化为，其圆心为，半径为．所以，则，解得因为点在圆上，．四边形的所以切线的斜率满足，解得，面积为．故答案为：BD．则切线方程为，即x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出点的坐标，然后由 【分析】首先把圆的方程化为标准式，由此求出圆心坐标和半径的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的设为平面的一个法向量，则，值，利用点斜式求出直线的方程即可。15．【答案】令，则，，所以．【解析】【解答】由椭圆，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．则，所以，故答案为：设，，则，且，所以，【分析】由长方体的几何性质计算出边的大小，建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，结合数量积的所以，解得，坐标公式求出平面的法向量，并把数值代入到夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，再由线面角与向所以椭圆的长轴长为．量夹角的关系，即可得出答案。故答案为：．17.【答案】（1）解：设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。（2）解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．16.【答案】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，【解析】【解答】在直角中，为斜边上的高，，，所以直线的方程是．则，，，，即在四面体中，综上，所求直线的方程为或．，，，，，则．【解析】【分析】(1)根据题意由直线垂直的性质设出直线的方程，然后由待定系数法计算出m的取值即可。要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，(2)由直线的方程求出斜率的取值，结合题意对直线分情况讨论，由此求出直线的方程即可。此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，18.【答案】（1）解：的标准方程为，同理计算即则．可.设双曲线的方程为，如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，解得，则，，，，，，，．所以双曲线的方程为； （2）解：双曲线的渐近线方程为．【解析】【分析】(1)根据题意整理化简直线的方程由此求出直线过的定点坐标，然后由斜率的坐标公式代入计算出，结合题意由直线垂直的性质计算出从而求出直线的方程。选①，设双曲线的标准方程为，(2)由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，所以解得，．又因为，在直角中，可得，所以，，所以双曲线的实轴长为2．所以，，选②，设双曲线的标准方程为由，所以，即，又由，且，所以平面，所以，解得，，又因为平面，所以平面平面．（2）解：因为平面，所以，所以双曲线的实轴长为．又因为，可得，所以，【解析】【分析】(1)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出m与n的取值，从而得出答案。如图所示，连接．(2)选①，由双曲线的简单性质代入数值计算出a与b的取值，从而得出答案；选②，由已知条件整理得因为平面，所以，，出a与b的取值，从而得出答案。又因为，，所以平面，，19.【答案】（1）解：由，可得．所以，，由，得即直线过定点．过点作交于点，可得，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，可化为，因为圆心，所以，可得，，，，．又因为当所截弦长最短时，，所以，设平面的法向量为，所以直线的方程为．（2）解：因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则，可取平面的一个法向量为，所以，又平面，所以平面的一个法向量为．解得或，即的取值范围为． 联立消元得，所以，．设二面角的平面角为，则，因为，则，所以二面角的正弦值为．由题设知，解得，所以的方程为．【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形中的几何计算关系结合三角形相似的性质求出角的大小，由此得到线线垂直然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。（2）解：设与抛物线相切的切线方程为，(2)由已知条件结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量则化简得．和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，把数值代入到同角三角函数的由，可得．基本关系式，由此得到二面角的正弦值。将点坐标代入方程，可得，，21．【答案】（1）解：设，，则，，．所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，由，得，．联立方程组可得，，所以交点在定直线上．因为在圆上，所以．故的方程为当时，显然成立；（2）解：设是曲线上任意一点，则，当时，，则，所以．综上所述，．所以【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方当时，．程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。所以圆半径的最大值为．(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，由此求出向量的坐标，然后把点的坐标代入到元的方程，计算求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出，从出结果即可。而得出线线垂直。(2)根据题意由两点间的距离公式整理即可得到y的方程，结合二次函数的图象和性质即可求出最大值。22．【答案】（1）解：由题意得，设直线的方程为，，， 二、多选题高二上学期数学期中考试试卷9．数列的前n项和为，已知，则（）一、单选题1.数列的一个通项公式为（）A．是递增数列A.B．C．D．B．C．当时，2.已知双曲线的离心率为，则（）D．当或4时，取得最大值A．2B．4C．8D．1210.直线与圆的交点个数可能为（）3.直线的倾斜角是（）A．0B．1C．2D．3A．30°B．60°C．120°D．150°11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反4.已知，则点A到直线的距离为（）之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线A．B．C．D．，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A5.双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（）反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（）A.若，则A．B．C．5D．6.如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，EB.若，则是的中点，F是上一点，当时，（）C.若，则平分A．3B．C．D．2D.若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）线方程为（）A．平面A．B．B.四边形面积的最大值为C．D．C.若四边形的面积为，则8.若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则D.若，则四棱锥的体积为（）三、填空题13.直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为．A.B．C．D． 14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘的中点．（1）证明：∥平面．积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准（2）求二面角的余弦值．方程为．22.已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分15.在公差为d的等差数列中，已知，则d的取值范围别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．为．（1）求E的方程；16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，的面积为，则，.N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．四、解答题答案解析部分17.等差数列的前n项和为，已知．1.【答案】A（1）求的通项公式；【解析】【解答】根据规律可知数列的前三项为，（2）若，求n的最小值．所以该数列的一个通项公式为．18.如图，在四棱柱中，平面，四边形是正方形，故答案为：A，E，F，G分别为棱的中点．【分析】由已知的数列的项，即可得出数列的通项公式。（1）求异面直线与所成角的余弦值；2.【答案】B（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【解答】因为离心率为，可得，解得，19.抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段中点M的纵坐标为1，l与故答案为：B．x轴交于点P．【分析】根据题意由双曲线的简单性质，计算出m的取值即可。（1）若，求l的方程；3.【答案】D（2）若，求．【解析】【解答】由可得，所以直线的斜率为20.已知圆经过，，三点.（1）求圆的方程.，（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，设直线的倾斜为，则，因为，所以使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.．故答案为：D21.如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是 则．因为，【分析】由已知条件把直线的方程化为斜截式，由此求出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。4.【答案】A所以，解得，所以【解析】【解答】由，可得，．故答案为：C则向量在方向上的投影为，【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后把结果代入到数量积的坐标公式计算出a的取值，从而即可得出答案。所以点A到直线的距离．7.【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形△ABC的重心为，故答案为：A.可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，计算出结果即可。5.【答案】B联立方程可得△ABC的垂心为，【解析】【解答】由双曲线，可得，可得，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，故△ABC的欧拉线方程为。所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：A.故答案为：B.【分析】由题可知，三角形△ABC的重心为，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率，再结合【分析】首先由双曲线的简单性质计算出c的取值，由此得出焦点的坐标以及渐近线的方程，再把数值代入到点到直线的距离公式计算出结果即可。两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AB边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为6.【答案】C，再利用两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出【解析】【解答】分别取的中点O，G，连接，AC边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系方程，得出三角形△ABC的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线GH斜率，再利用点斜式求出直线GH方．程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形△ABC的欧拉线方程。设，则．设，8.【答案】C 延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，D符合题意；【解析】【解答】由等差数列的性质和求和公式，可得．若，则，C的焦点为，直线，可得故答案为：C.，B不正确；【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。时，因为，所以．又，所以平9.【答案】B,C,D分，C符合题意．【解析】【解答】当时，，又，所以故答案为：ACD.，则是递减数列，A不符合题意；，B符合题意；当时，【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的，C符合题意；因为的对称轴为，开口向下，所以当或4时，方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件取得最大值，D符合题结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得意．故答案为：BCD．出答案。12.【答案】A,C,D【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出【解析】【解答】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可；结合数列项的性质即可判断出选项A错误；把数值代入到通项公式计算出结果由此判断出选项B、C正确；结合等差数列的前n项和公式以及二次函数的性质即可判断坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，出选项D正确，从而得出答案。则，，，.因为.所以.因为10.【答案】B,C平面，所以，则，【解析】【解答】．令解得.若平面，则，即，故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可，；若平面.则，即，能为1或2．，.因为，所以四边形的面积故答案为：BC.当时，四边形的面积最大，且最大【分析】根据题意首先整理化简直线的方程，联立直线的方程求解出定点的坐标，然后把点的坐标代入到圆的方程由此得出点在圆上，结合直线与圆的位置关系，即可得出答案。1.【答案】A,C,D值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，【解析】【解答】如图，故四棱锥的体积，B符合题意，D不正确.若四边形的面积若，则，C的焦点为，则，A符合题意； 【分析】根据题意由等差数列项的性质计算出，结合等差数列的通项公式即可得出d的取为.则或，解得或，C不正确.值范围。故答案为：ACD16.【答案】；或【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、【解析】【解答】因为圆C的半径，四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13.【答案】2x-y-3=0所以三角形的面积，【解析】【解答】因为直线经过点，且与直线平行，所以可设直线l的方程为所以.又为锐角三角形，所以，从而有，解得，故答案为：2x-y-3=0【分析】根据题意设出直线的方程，由直线平行的简单性质代入数值计算出的取值即可。因为点O在圆C上，所以或150°，14.【答案】故或。故答案为：；或。【解析】【解答】解：设C的标准方程为，则解得所以【分析】利用圆的一般式方程求出圆C的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结C的标准方程为合已知条件得出的值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出的值，进而得出．故答案为：的值，再利用点O在圆C上，从而得出的值，进而求出的值。17.【答案】（1）解：设的公差为d，.因为，可得，解得，【分析】根据题意设出双曲线的方程，由已知条件代入数值计算出a与b的取值，从而得出双曲线的方程。所以，即数列的通项公式为．15.【答案】（2）解：由，可得，【解析】【解答】因为，所以，根据二次函数的性质且，可得单调递增，所以．因为，所以当时，，故答案为：.故n的最小值为12．【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项和公差的值，由此得 出数列的通项公式。所以线段的中点为，故直线l的方程为，即(2)由等差数列的前n项和公式结合二次函数的图象和性质即可得出答案。18.【答案】（1）解：因为平面，四边形是正方形，所以以A点为原点，（2）解：设l的方程为，联立方程组，整理得，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则，因为，所以，则，，故|．则，【解析】【分析】(1)根据题意由设而不求法设出点的坐标，结合点差法计算出直线的斜率，再由弦长公式结合已知条件计算出，把数值代入到中点的坐标公式结合点斜式求出直线的方程即可。故异面直线与所成角的余弦值为．(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y（2）解：因为，所以．的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入数值计算出结果即可。设平面的法向量为，则令，则，即20.【答案】（1）解：设圆M的方程为，．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面解得所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入故圆M的方程为.数值计算出结果即可。(2)由已知条件求出平面法向量的坐标，然后由线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到夹角的数量积公（2）解：假设存在实数，使得.式计算出结果即可。由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线19.【答案】（1）解：设，则，两式相减得，所以，所以，．此时点M到直线l的距离，符合条件，因为线段中点M的纵坐标为1，所以.．又，所以，【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式方程。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABD的坐标，再由数量积的坐标公（2）假设存在实数，使得，由（1）可知，圆M的圆心坐标和半径长，再利用点O在圆式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入M上，得出，所以直线，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线OM的数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。斜率，进而求出实数a的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点M到直线l2.【答案】（1）解：由内切圆的性质得，的距离，符合条件，再结合弦长公式得出的值。所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，21.【答案】（1）证明：如图，取的中点P，连接则，，．因为E是的中点，，所以．故E的方程为又∥，所以四边形是平行四边形．因为M，N分别是的中点，所以∥∥．（2）解：当T不为坐标原点时，设，则又平面平面，所以∥平面∥平面．因为，所以平面∥平面．两式相减得，即，又平面，所以∥平面．（2）解：取的中点O，连接．所以，设，在图1中，因为，所以与是等边三角形，所以在图2中，，所以．联立方程组整理得，以O为原点，射线为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．．设，则，因为T是线段的中点，所以．．设平面的法向量为，联立方程组解得．联立方程组解得则令，则，即．，由题可知，平面的一个法向量为．所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．故．【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形是平行四边形，结合四边形的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．【解析】【分析】(1)根据题意由圆和椭圆的几何性质，整理即可求出a与c的值，由椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，由此得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，并把坐标代入由点差法结合斜率的坐标计算出，结合点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理结合两点间的距离公式代入数值计算出点的坐标，由已知条件整理化简即可得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题C.D．1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．二、多选题C．D．9.平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A．B．A．B．C．D．l与斜交C．D．3.点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半10.已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（）径等于（）A.直线l的倾斜角是A．B．C．3D．9B.若直线m：＝0，则l⊥m4.在棱长为a的正方体ABCD-中，向量与向量所成的角为（）C.点到直线l的距离是2A．60°B．150°C．90°D．120°D.过与直线l平行的直线方程是5.已知三顶点为、、，则是（）A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为46.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）B.圆截轴所得的弦长为A．B．C．D．C.圆上的点到直线的最小距离为17.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的D.圆与圆相离距离的最大值为（）12.如图，在长方体中，，，是侧面的中A．B．6C．D．心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为8.在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆＋＝（ab≠0，r＞0）的图像可能是（）轴建立空间直角坐标系，则（）A．是单位向量A.B．B．是平面的一个法向量C．直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为（2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定三、填空题值，求出该值；否则，请说明理由．13.已知两个平面，的法向量分别是和，若，则．22.如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程的一般式（1）求证：AB⊥CD；为．（2）求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若，，分别记答案解析部分为，，，则用，，表示的结果为．1.【答案】B16.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程【解析】【解答】倾斜角为的直线斜率为.为．利用点斜式可得.四、解答题17.在中，，整理得.（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；故答案为：B.（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【分析】由倾斜角计算斜率，由点斜式即可求得结果.18.如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂2.【答案】B直BD于E，F为的中点．【解析】【解答】由，，则（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；所以，则（2）求点A到平面BDF的距离．故答案为：B．19.（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．【分析】由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．3.【答案】C20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．【解析】【解答】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，（1）证明：平面；则圆心坐标为（－，－1），半径为（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，21.已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．（1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，所以－＋1＋1＝0，k＝4．解得k，所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.则k的取值范围是[，故答案为：C．+∞）．故答案为：D．【分析】根据题意可得：直线经过圆心，代入运算解得，再代入【分析】由题意可得或，解不等式即可得到所求范围．求圆的半径．7.【答案】D4.【答案】D【解析】【解答】由得，【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系因此圆心为，半径为，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）因此圆心到坐标原点的距离为，∴cos＜，＞===﹣即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.即＜，＞=120°故答案为：D.故答案为：D【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．8.【答案】D5.【答案】B【解析】【解答】逐一根据a，b的几何意义验证知D中，直线ax+by=ab，即+=1在x，y轴上的截距分别【解析】【解答】由已知，，，为b<0和a>0时，D中圆的圆心亦为b<0和a>0，∴，即，故答案为：D.【分析】根据直线在坐标轴上的截距的符号，以及圆心的坐标符号，判定ABC都不可能，而D中由直线位置∴是直角三角形.可得b<0和a>0，圆的圆心亦为b<0和a>0，故D正确.故答案为：B.9.【答案】A,C【解析】【解答】由圆的方程可知其圆心为，半径，【分析】由向量坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.由题意可设所求直线方程为：，6.【答案】D则圆心到直线距离，解得：，【解析】【解答】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限， 故答案为：BC.所求切线方程为：或.故答案为：AC.【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.选项.10.【答案】B,C,D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；【解析】【解答】对于A，，，，对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B符合题意；，为单位向量，A符合题意；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C符合题意；对于B，，，，，，对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D符合题意；，即，，平面，故答案为：BCD．是平面的一个法向量，B符合题意；【分析】对A，根据斜率判断即可；对于C，，，对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；，对D，先求得斜率，再根据点斜式求解即可.11．【答案】B,C即异面直线与所成角的余弦值为，C不符合题意；【解析】【解答】对于A：由可得，所以的半径为，A不正确；对于D，，，，对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，B符合题意；由B知：为平面的一个法向量，对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的点到平面的距离，D符合题意.最小距离为，C符合题意；故答案为：ABD.对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，D不正确；【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量是单位向量；再利用法向量的定义，从 而得出是平面的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异故答案为：面直线与所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.标，再利用为平面的一个法向量，从而利用数量积求出点到平面的距16.【答案】＝2离，进而找出正确的选项。【解析】【解答】解：由题意得：圆心在直线上，13.【答案】4又圆心在直线上，令，得【解析】【解答】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，圆心的坐标为，又，所以，解得，半径，所以，则圆的方程为．故答案为：4故答案为：【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出，进而可求得答案.14．【答案】x+3y-10=0或x-2y=0【分析】由题意得：圆心在直线上，又圆心在直线，令，得，所以圆心坐标【解析】【解答】当截距为0时，设直线方程为y=kx，，利用两点间的距离公式求出，由圆心和半径写出圆的方程即可．则4k=2，∴17.【答案】（1）解：设AB边的垂直平分线为l，∴直线方程为有题可知，，当截距不为0时，设直线方程为又可知AB中点为，由题意，，∴a=．∴．l的方程为，即，综上，x+3y-10=0或x-2y=0（2）解：设B关于直线的对称点M的坐标为；【分析】当截距为0时，此时直线方程为；当截距不为0时，设直线方程为，把则，解得，所以，代入即可得出答案.15.【答案】由题可知，两点都在直线AC上，【解析】【解答】因为G是AE的中点，E是线段BC的中点，故所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为. 【解析】【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.19．【答案】（1）解：圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x18.【答案】（1）解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.由已知AB＝＝1，（2）解：方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝最小值为－2－.从而易得【解析】【分析】（1）根据的几何意义求解，即求得到圆心的距离，由这∵＝＝（－1，0，1）．个距离加减半径后平方可得最大值和最小值．设异面直线AE与BF所成的角为，（2）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，即可求得结果．20.【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面，则．所以，因为，，平面，即异面直线AE、BF所成的角的余弦为所以平面，因为平面，所以，（2）解：设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．因为底面为平行四边形，所以，＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，所以，因为，，平面，0）．由∴，即所以平面；取＝（2）解：由（1）可知，所以点A到平面BDF的距离因为，，所以，因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为【解析】【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以 以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，（2）解：∵l过原点O且不与y轴重合，则，，，，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，所以，，，，依题意知是上方程的两根，则＝＝设平面的法向量为，则．则＝＝＝故是定值令，，，得面的法向量．同理可得平面的法向量【解析】【分析】（1）法一：设点，点，再根据中点的性质表达出，所以，因为二面角为锐二面角，，代入化简求解即可；法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆所以二面角的余弦值为求解即可【解析】【分析】(1)根据题意，先判断BD⊥平面APD，得到PD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得出结论；（2）设直线l的方程为，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可.(2)根据题意，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求2.【答案】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出即可.∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；21.【答案】（1）解：法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（2）解：由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，），于是有，．①∴＝＝＝因为点P在圆上运动，设平面BCE的法向量为＝（x，y，z），所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．由，令y＝1，得x＝2，z＝2，则＝（2，1，2），……整理，得＝4．设直线AE与平面BCE所成角为，这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝则，2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为． 【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理结合题意证明AB⊥平面ACD，即可证明AB⊥CD.（2）以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出直线AE的方向向量与平面BCE的法向量，代入线面角公式可求出答案.
