2020年中考数学一轮复习基础考点专题14反比例函数(含解析)
2020年中考数学一轮复习基础考点专题14反比例函数(含解析),中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.
专题13 二次函数
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
概念:一般地,形如y=ax^2+bx+c(a , b , c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
注意:二次项系数a≠0,而b , c可以为零.
二次函数y=ax^2+bx+c的结构特征:
等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
a ,b ,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
1.(2017·甘肃中考模拟)下列函数中,是二次函数的有( )
①y=1-√2 x^2②y=1/x^2 ③y=x(1-x)④y=(1-2x)(1+2x)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【详解】
①y=1−√2×2=−√2×2+1,是二次函数;
②y=1/x^2 ,分母中含有自变量,不是二次函数;
③y=x(1−x)=−x2+x,是二次函数;
④y=(1−2x)(1+2x)=−4×2+1,是二次函数.
二次函数共三个,
故答案选C.
2.(2013·湖南中考真题)下列函数是二次函数的是( )
A.”y”=2″x”+1 B.”y”=-2″x”+1 C.”y”=”x” ^2+2 D.”y”=1/2 “x”-2
【答案】C
【详解】
根据二次函数的定义,形如”y”=〖”ax” 〗^”2″ +”bx”+”c” (其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,所给函数中是二次函数的是”y”=”x” ^2+2。故选C。
3.(2018·安徽中考模拟)下列函数不属于二次函数的是( )
A.y=(x-1)(x+2) B.
C.y=1-√3 x^2 D.
【答案】D
【详解】
把每一个函数式整理为一般形式,
A、y=(x-1)(x+2)=x2+x-2,是二次函数,正确;
B、 =1/2×2+x+1/2,是二次函数,正确;
C、y=1-√3 x^2,是二次函数,正确;
D、 =2×2+12x+18-2×2=12x+18,这是一个一次函数,不是二次函数,
故选D.
4.(2018·上海中考模拟)下列函数中是二次函数的是( )
A.y=2(x﹣1) B.y=(x﹣1)2﹣x2 C.y=a(x﹣1)2 D.y=2×2﹣1
【答案】D
【详解】
A、y=2x﹣2,是一次函数,
B、y=(x﹣1)2﹣x2=﹣2x+1,是一次函数,
C、当a=0时,y=a(x﹣1)2不是二次函数,
D、y=2×2﹣1是二次函数.
故选D.
考查题型一 待定系数法求二次函数解析式
1.(2018·广东中考模拟)二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值如下表:
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A.抛物线的开口向下 B.当x>-3时,y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2 D.抛物线的对称轴是直线x=-5/2
【答案】D
【详解】
将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中,
得:{■(0=16a-4b+c@0=a-b+c@4=c)┤,解得:{■(a=1@b=5@c=4)┤,
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4.
A. a=1>0,抛物线开口向上,A不正确;
B. −b/2a=−5/2,当x⩾−5/2时,y随x的增大而增大,B不正确;
C. y=x²+5x+4=(x+5/2) ²−9/4,二次函数的最小值是−9/4,C不正确;
D. −b/2a=−5/2,抛物线的对称轴是x=−5/2,D正确.
故选D.
2.(2018·上海中考模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
x … -1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么关于它的图象,下列判断正确的是( )
A.开口向上
B.与x轴的另一个交点是(3,0)
C.与y轴交于负半轴
D.在直线x=1的左侧部分是下降的
【答案】B
【详解】
A、由表格知,抛物线的顶点坐标是(1,4).故设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4.
将(﹣1,0)代入,得
a(﹣1﹣1)2+4=0,
解得a=﹣2.
∵a=﹣2<0,
∴抛物线的开口方向向下,
故本选项错误;
B、抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),对称轴是x=1,则抛物线与x轴的另一个交点是(3,0),故本选项正确;
C、由表格知,抛物线与y轴的交点坐标是(0,3),即与y轴交于正半轴,故本选项错误;
D、抛物线开口方向向下,对称轴为x=1,则在直线x=1的左侧部分是上升的,故本选项错误;
故选:B.
考查题型二 根据二次函数的定义求参数值
1.(2012·山东中考真题)抛物线”y”=〖”ax” 〗^2+”bx”-3经过点(2,4),则代数式8″a”+4″b”+1的值为( )
A.3 B.9 C.15 D.-15
【答案】C
【详解】
∵抛物线”y”=〖”ax” 〗^2+”bx”-3经过点(2,4),∴”4″=4″a”+2″b”-3,即4″a”+2″b”=7。
∴8″a”+4″b”+1=2(4″a”+2″b”)+1=2×7+1=15。故选C。
2.(2018·安徽中考模拟)已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
【答案】(1)、m=0;(2)、m≠0且m≠1.
【详解】
解:(1)根据一次函数的定义,得:m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1;
∴当m=0时,这个函数是一次函数;
(2)根据二次函数的定义,得:m2﹣m≠0
解得m1≠0,m2≠1
∴当m1≠0,m2≠1时,这个函数是二次函数.
知识点2:二次函数的图象和性质(重点)
二次函数的基本表现形式:
①y=ax^2;②y=ax^2+k;③y=a(x-h)^2;④y=a(x-h)^2+k;⑤y=ax^2+bx+c.
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0 , 0) y轴 x>0时,y随x的增大而增大;x<0 y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.> a<0>0时,y随x的增大而减小;x<0 y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.> 第一种:二次函数y=ax^2的性质(最基础)
1.(2019·辽宁中考模拟)下列关于二次函数 的说法正确的是( )
A.它的图象经过点(-1,-2)
B.它的图象的对称轴是直线x=2
C.当 时,y随x的增大而减小
D.当x=0时,y有最大值为0
【答案】C
【详解】
A. 它的图象经过点(-1,2),A错误;
B. 它的图象的对称轴是直线x=0,B错误;
C. 当x<0> D. 当x=0时,y有最小值为0,D错误.
2.(2019·山东中考模拟)给出下列函数:①y=2x﹣3;②y=1/x;③y=2×2;④y=﹣3x+1.上述函数中符合条件“当x>0时,函数值y随自变量x增大而减小”的是( )
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
【答案】C
【详解】
①y=2x﹣2,当x>0时,函数值y随自变量x增大而增大,故此选项错误;
②y=1/x,当x>0时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;
③y=2×2,当x>0时,函数值y随自变量x增大而增大,故此选项错误;
④y=﹣3x,当x>0时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;
故选C.
第二种:二次函数y=ax^2+c的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0 , c) y轴 x>0时,y随x的增大而增大;x<0 y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.> a<0>0时,y随x的增大而减小;x<0 y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值c.> 1.(2013·江苏中考模拟)关于二次函数y=2×2+3,下列说法中正确的是 ( )
A.它的开口方向是向下 B.当x<-1时,y随x的增大而减小
C.它的顶点坐标是(2,3) D.当x=0时,y有最大值是3
【答案】B
【详解】
A、∵a=2>0,故它的开口方向是向上,故此选项错误;
B、在y轴左侧,y随x的增大而减小,故当x<﹣1时,y随x的增大而减小,正确;
C、它的顶点坐标是(0,3),故此选项错误;
D、当x=0时,y有最小值是3,故此选项错误;
故选:B.
2.(2017·黑龙江中考模拟)二次函数y=2x^2-3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是( )
A.抛物线开口向下 B.抛物线与x轴有两个交点
C.抛物线的对称轴是直线x =1 D.抛物线经过点(2,3)
【答案】B
【详解】
A、a=2,则抛物线y=2×2-3的开口向上,所以A选项错误;
B、当y=0时,2×2-3=0,此方程有两个不相等的实数解,即抛物线与x轴有两个交点,所以B选项正确;
C、抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误;
D、当x=2时,y=2×4-3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以D选项错误,
故选B.
3.(2019·山东中考真题)已知抛物线y=-x2+1,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是y轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的.
其中正确的个数有( )
A.5个 B.4个 C.3个
D.2个
【答案】B
【详解】
①∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故本小题错误;
②令y=0,则-x2+1=0,解得x1=1,x2=-1,所以,抛物线与x轴交于点(-1,0)和点(1,0),故本小题正确;
③抛物线的对称轴x=-b/2a=0,是y轴,故本小题正确;
④抛物线的顶点坐标是(0,1),故本小题正确;
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到,故本小题正确;
综上所述,正确的有②③④⑤共4个.
故选B.
4.(2018·河北中考模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2x.点D(n,y1),E(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,则n的取值范围是( )
A.n>3或n<﹣1 B.n>3 C.n<1 D.n>3或n<1
【答案】A
【详解】
解:∵抛物线y=﹣x2+2x的对称轴为x=1,
E(3,y2)关于对称轴对称的点(﹣1,y2),
∵抛物线开口向下,
∴y1<y2时,n>3或n<﹣1,
故选:A.
第三种:二次函数y=a(x-h)^2的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (h , 0) X=h x>h时,y随x的增大而增大;x a<0 X=h >h时,y随x的增大而减小;x 1(2019·四川中考模拟)对于函数y=-2(x-3)2,下列说法不正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是x=3 C.最大值为0 D.与y轴不相交
【答案】D
【详解】
对于函数y=-2(x-3)2的图象,
∵a=-2<0,
∴开口向下,对称轴x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最大值0,
故选项A、B、C正确, 选项D错误,
故选D.
2(2019·湖北中考模拟)关于二次函数y=1/2 (x+1)2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.经过原点
C.对称轴右侧的部分是下降的 D.顶点坐标是(﹣1,0)
【答案】D
【详解】
二次函数y=1/2 (x+1)2中a=1/2>0,所以抛物线开口向上,
当x=0时,y=1/2,所以图象不经过原点,
因为抛物线开口向上,所以在对称轴右侧的部分是上升的,
由解析式可知顶点坐标为(-1,0),
所以选项A、B、C是错误的,D是正确的,
故选D.
3(2019·山东中考模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)^2(a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
二次函数 (a≠0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上,
故选D.
第四种:二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (h , k) X=h x>h时,y随x的增大而增大;x a<0 X=h >h时,y随x的增大而减小;x 二次函数y=ax^2+bx+c用配方法可化成:
y=a(x-h)^2+k的形式,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a.
1.2019·广东中考模拟)关于抛物线y=2〖(x-1)〗^2+1,下列说法错误的是( ).
A.开口向上 B.与x轴只有一个交点
C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时,y随x的增大而增大
【答案】B
【详解】
解:A、a=2>0,抛物线开口向上,所以A选项的说法正确;
B、当y=0时,即2(x﹣1)^2+1=0,此方程没有实数解,所以抛物线与x轴没有交点,所以B选项的说法错误;
C、抛物线的对称轴为直线x=1,所以C选项的说法正确;
D、抛物线开口向上,抛物线的对称轴为直线x=1,则当x>1时,y随x的增大而增大,所以D选项的说法正确.
故选:B.
2.2019·广西中考模拟)将y=x^2-6x+1化成y=(x-h)^2+k的形式,则h+k的值是( )
A.-5 B.-8 C.-11 D.5
【答案】A
【详解】
解:∵y=x2-6x+1=(x-3)2-8,
∴(x-3)2-8=a(x-h)2+k,
∴a=1,h=3,k=-8,
∴h+k=3+(-8)=-5.
故选:A.
3(2019·江苏中考模拟)已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( )
A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
【答案】B
【详解】
∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,
可得:(1﹣h)2+1=5,
解得:h=﹣1或h=3(舍);
②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,
可得:(3﹣h)2+1=5,
解得:h=5或h=1(舍).
综上,h的值为﹣1或5,
故选:B.
二次函数图象的平移
平移步骤:
将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k,确定其顶点坐标(h , k);
保持抛物线y=ax^2的形状不变,将其顶点平移到(h , k)处,具体平移方法如下:
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
【概括】左加右减,上加下减
1.(2019·辽宁中考模拟)将抛物线y=3x^2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )
A.”V=-” 1/2 x”+94″ B.P=Vx=(-1/2 x”+94″ )x=-1/2 x^2+94x
C.-1/2 (x-94)^2+4418 D.
【答案】A
【详解】
将抛物线y=3x^2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为”V=-” 1/2 x”+94″ ,故答案选A.
2.(2017·邹平镇第三中学中考模拟)把抛物线y=-1/2×2向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线解析式为( )
A.y=-1/2 (x+1)2+1 B.y=-1/2 (x+1)2-1
C.y=-1/2 (x-1)2+1 D.y=-1/2 (x-1)2-1
【答案】B
【详解】
根据抛物线的平移规律“左加右减,上加下减”,可直接求得平移后的抛物线的解析式为:y=-1/2(”x+1″ )^2-1.
3.(2017·广东中考模拟)把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,所得抛物线的表达式为( )
A.y=(x+1)2+7 B.y=(x-1)2+7 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x+1)2+1
【答案】D
【详解】
把抛物线y=x^2+4先向左平移1个单位,再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为:y=(x+1)^2+1.
故选D.
4.(2018·山东中考模拟)将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是( )
A.y=(x+3)2﹣2 B.y=(x+3)2+2
C.y=(x﹣1)2+2 D.y=(x﹣1)2﹣2
【答案】D
【详解】
∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2,
∴二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是:y=(x+1-2)2-2=(x-1)2-2,
故选D.
5.(2019·浙江中考模拟)将抛物线y=2(x﹣4)2﹣1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为( )
A.y=2×2+1 B.y=2×2﹣3
C.y=2(x﹣8)2+1 D.y=2(x﹣8)2﹣3
【答案】A
【详解】抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度,得到的抛物线解析式为y=2(x-4+4)2-1,即y=2×2-1,再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2×2-1+2,即y=2×2+1;
故选:A
抛物线y=ax^2+bx+c的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法(难点)
公式法:y=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a,
∴顶点是(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),对称轴是直线x=-b/2a.
配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h)^2+k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线x=h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
抛物线y=ax^2+bx+c中,a,b,c与函数图像的关系(灵活掌握)
二次项系数a
二次函数y=ax^2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a≠0.
⑴ 当a>0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
当a<0> 【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,|a|的大小决定开口的大小.
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
在a>0的前提下,
当b>0时,-b/2a<0> 当b=0时,-b/2a=0,即抛物线的对称轴就是y轴;
当b<0>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧(a、b异号).
在a<0> 当b>0时,-b/2a>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧(a、b异号);
当b=0时,-b/2a=0,即抛物线的对称轴就是y轴;
当b<0> 【总结起来】在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
常数项c
⑴ 当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
当c<0> 【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a , b , c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
1(2018·天津中考模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1,如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0(a≠0)的一个根为4,那么该方程的另一个根为( )
A.﹣4 B.﹣2 C.1 D.3
【答案】B
【详解】
∵关于x的方程ax^2+bx-8=0有一个根为4,
∴抛物线y=ax^2+bx-8与x轴的一个交点为(4,0),
抛物线y=ax^2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1,
∴抛物线y=ax^2+bx-8的对称轴也是x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),
∴方程的另一个根为x=-2.
故选B.
2(2019·许昌实验中学中考模拟)如图是二次函数 的部分图象,由图象可知不等式”a” “x” ^2 “+bx+c<0>
A.-1″ ” 5 C.”x<“-1且”x>” 5 D.x<-1或x>5
【答案】D
【详解】
利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出”a” “x” ^2 “+bx+c<0> 由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)。
由图象可知:”a” “x” ^2 “+bx+c<0> ∴x<-1或x>5。故选D。
3(2019·广东中考模拟)已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c﹣4=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个异号的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【答案】A
【详解】
∵函数的顶点的纵坐标为4,
∴直线y=4与抛物线只有一个交点,
∴方程ax2+bx+c﹣4=0有两个相等的实数根,
故选A.
考查题型三 二次函数函数值大小的判断方法
1.(2019·湖北中考真题)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图象上,这个函数可能是( )
A.y=x B.y=-2/x C.y=x^2 D.y=﹣x^2
【答案】D
【详解】
A(-1,m),B(1,m)
∴点A与点B关于y轴对称;
由于y=x,y=-2/x的图象关于原点对称,因此选项A,B错误;
∵n>0,
∴m﹣n<m;
由B(1,m),C(2,m-n)可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
对于二次函数只有a<0> ∴D选项正确
故选D.
2.(2019·江苏中考模拟)已知二次函数y=a(x-2)^2+c,当x=x_1时,函数值为y_1;当x=x_2时,函数值为y_2,若|x_1-2|>|x_2-2|,则下列表达式正确的是( )
A.y_1+y_2>0 B.y_1-y_2>0 C.a(y_1-y_2)>0 D.a(y_1+y_2)>0
【答案】C
【详解】
解:①a>0时,二次函数图象开口向上,
∵|x1﹣2|>|x2﹣2|,
∴y1>y2,
a(y1﹣y2)>0,
②a<0时,二次函数图象开口向下,
∵|x1﹣2|>|x2﹣2|,
∴y1<y2,
a(y1﹣y2)>0,
综上所述,表达式正确的是a(y1﹣y2)>0.
故选:C.
3.(2019·河南中考模拟)点P_1 (-1,y_1 ),P_2 (3,y_2 ),P_3 (5,y_3 )均在二次函数y=-x^2+2x+c的图象上,则y_1,y_2,y_3的大小关系是______.
【答案】y_1=y_2>y_3
【详解】
解:∵y=-x^2+2x+c,
∴对称轴为x=1,
P_2 (3,y_2 ),P_3 (5,y_3 )在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5> ∴y_2>y_3,
根据二次函数图象的对称性可知,P_1 (-1,y_1 )与(3,y_1 )关于对称轴对称,
故y_1=y_2>y_3,
故答案为:y_1=y_2>y_3.
考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法
1.(2019·浙江中考模拟)关于抛物线y=1/2(x+2)^2+3,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=2,y有最小值是3 B.对称轴是直线a=-1,y有最大值是3
C.对称轴是直线x=2,y有最大值是3 D.对称轴是直线a=-1,y有最小值是3
【答案】D
【详解】
解:抛物线y=1/2(x+2)2+3的图像开口向上
∵函数图像对称轴为直线x=-2,
∴x=-2时有最小值3,
故选:D.
2.(2016·浙江中考模拟)对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.顶点坐标是(1,
2020年中考数学一轮复习基础考点专题15图形的初步认识(含解析)
2020年中考数学一轮复习基础考点专题15图形的初步认识(含解析),中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.
2)
C.对称轴是x=﹣1 D.与x轴有两个交点
【答案】B
【详解】
A、y=(x﹣1)2+2,知a=1>0,因此图象的开口向上,此选项错误;
B、y=(x﹣1)2+2顶点坐标是(1,2),此选项正确;
C、对称轴是直线x=1,此选项错误;
C、(x﹣1)2+2=0,(x﹣1)2=﹣2,此方程无解,与x轴没有交点,故本选项错误.
D、由y=(x﹣1)2+2=x2-2x+3,可得△=b2-4ac=4-12=-8,没有交点,故本选项错误.
故选:B
3.(2019·江苏中考模拟)关于函数y=﹣(x+2)2﹣1的图象叙述正确的是( )
A.开口向上 B.顶点(2,﹣1)
C.与y轴交点为(0,﹣1) D.对称轴为直线x=﹣2
【答案】D
【详解】
∵函数y=-(x+2)^2-1,
∴该函数图象开口向下,故选项A错误,
顶点坐标为(-2,-1),故选项B错误,
当x=0时,y=-5,即该函数与y轴的交点坐标为(0,-5),故选项C错误,
对称轴是直线x=-2,故选项D正确,
故选:D
4.(2019·山东中考模拟)抛物线y=mx^2+2mx+1(m为非零实数)的顶点坐标为_____________.
【答案】(-1,1-m)
【详解】y=mx2+2mx+1
=m(x2+2x)+1
=m(x2+2x+1-1)+1
=m(x+1)2 +1-m,
所以抛物线的顶点坐标为(-1,1-m),
故答案为(-1,1-m).
考查题型五 抛物线对称性的应用
1.(2018·普定县白岩镇白岩中学中考模拟)将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【详解】将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度,
其解析式变换为:y=x2-9
而抛物线y=x2-9与x轴的交点的纵坐标为0,
所以有:x2-9=0
解得:x1=-3,x2=3,
则抛物线y=x2-9与x轴的交点为(-3,0)、(3,0),
所以,抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
故选B
2(2018·山东中考模拟)若二次函数α,β的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为( )
A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0,2或﹣2
【答案】D
【详解】
当函数为一次函数时,则m=0;当函数为二次函数时,则(m+2)^2-4m(1/2 m+1)=0,解得:m=±2.综上所述,m=0或2或-2.
3.(2014·黑龙江中考真题)如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ , ).
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)BD= .
【详解】
(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),
∴将A与B坐标代入得: ,
解得: ,
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)由D为抛物线顶点,得到D(1,4),
∵抛物线与x轴交于点E,
∴DE=4,OE=1,
∵B(﹣1,0),
∴BO=1,
∴BE=2,
在Rt△BED中,根据勾股定理得:BD= .
考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法
1.(2019·陕西中考模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(0,m)、(4、m)、(1,n),若n<m,则( )
A.a>0且4a+b=0 B.a<0且4a+b=0
C.a>0且2a+b=0 D.a<0且2a+b=0
【答案】A
【详解】
∵图像经过点(0,m)、(4、m)
∴对称轴为x=2,
则-b/2a=2,
∴4a+b=0
∵图像经过点(1,n),且n<m
∴抛物线的开口方向向上,
∴a>0,
故选A.
2.(2019·广东中考模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣5,0),对称轴为直线x=﹣2,给出四个结论:①abc>0;②4a+b=0;③若点B(﹣3,y1)、C(﹣4,y2)为函数图象上的两点,则y2<y1;④a+b+c=0.其中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【详解】
由图象可知:开口向下,故a<0,
抛物线与y轴交点在x轴上方,故c>0,
∵对称轴x=﹣b/2a<0,
∴b<0,
∴abc>0,故①正确;
∵对称轴为x=﹣2,
∴﹣b/2a=﹣2,
∴b=4a,
∴4a﹣b=0,故②不正确;
当x<﹣2时,
此时y随x的增大而增大,
∵﹣3>﹣4,
∴y1>y2,故③正确;
∵图象过点A(﹣5,0),对称轴为直线x=﹣2,
∴点A关于x=﹣2对称点的坐标为:(1,0)
令x=1代入y=ax2+bx+c,
∴y=a+b+c=0,故④正确
故选:C.
4.(2013·广西中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a﹣b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 .(填正确结论的序号)
【答案】①②⑤
【详解】
①由图知:抛物线与x轴有两个不同的交点,则△=b2﹣4ac>0,∴b2>4ac。故①正确。
②抛物线开口向上,得:a>0;
抛物线的对称轴为x=-b/2a=1,b=﹣2a,故b<0;
抛物线交y轴于负半轴,得:c<0;
所以abc>0。故②正确。
③∵抛物线的对称轴为x=-b/2a=1,b=﹣2a,∴2a+b=0,故2a﹣b=0。故③错误。
④根据②可将抛物线的解析式化为:y=ax2﹣2ax+c(a≠0);
由函数的图象知:当x=﹣2时,y>0;即4a﹣(﹣4a)+c=8a+c>0,故④错误。
⑤根据抛物线的对称轴方程可知:(﹣1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);
当x=﹣1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0。故⑤正确。
综上所述,结论正确的有①②⑤。
知识点三 抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x_1、x_2,是对应一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切;
③没有交点⇔Δ<0> 考查题型七 利用二次函数与x轴的交点判断字母的值范围的方法
1.(2018·湖北中考真题)已知二次函数y=x2﹣x+1/4m﹣1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( )
A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2
【答案】A
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+1/4m﹣1的图象与x轴有交点,
∴△=(-1) 2-4×1×(1/4 m-1)≥0,
解得:m≤5,
故选A.
考查题型八 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法
1.(2012·江苏中考模拟)若二次函数y=(x-m)^2-1,当x≤1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A.m=1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤1
【答案】C
【详解】
∵二次函数的解析式y=(x-m)2-1的二次项系数是1,
∴该二次函数的开口方向是向上;
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(m,-1),
∴该二次函数图象在x<m上是减函数,即y随x的增大而减小,且对称轴为直线x=m,
而已知中当x≤1时,y随x的增大而减小,
∴x≤1,
∴m≥1.
故选C.
2.(2017·江苏中考模拟)若二次函数y=(x﹣m)2﹣1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3
【答案】C
【详解】
∵a=1>0,
∴在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,
∵y=(x﹣m)2﹣1的对称轴是x=m,
∴m≥3.
故选C.
3.(2019·四川中考真题)如图,抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(“0,2”),且顶点在第一象限,设M=4 a+2 b+c,则M的取值范围是___.
【答案】-6 【详解】
将(-1,0)与 代入y=ax^2+bx+c,
∴0=a-b+c,2=c,
∴b=a+2,
∵-b/2a>0,a<0> ∴b>0,
∴a>-2,
∴-2
∴M=4a+2(a+2)+2
=6a+6
=6(a+1)
∴-6 故答案为:-6 考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法
1.(2019·内蒙古中考模拟)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解:∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c),
∴两个函数图象交于y轴上的同一点,故B选项错误;
当a>0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,故C选项错误;
当a<0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,故A错误,D选项正确;
故选:D.
2.(2018·安徽中考模拟)二次函数y=a(x+m)^2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
【答案】C
【详解】
∵抛物线的顶点在第四象限,∴﹣m>0,n<0。∴m<0,
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限。故选C。
3.(2018·山东中考模拟)已知二次函数y=(x+m)2﹣n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mn/x的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】
由二次函数的图象,得﹣m>0,﹣n<0,
化简,得m<0,n>0,
y=mx+n图象经过一二四象限,y=mn/x图象位于二四象限,
故选:D.
4.(2019·安徽中考模拟)二次函数y=a(x﹣m)2﹣n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
【答案】A
【详解】
解:观察函数图象,可知:m>0,n>0,
∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、三象限.
故选:A.
知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路(重点)
三点式(带入)
1,已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A(√3,0),B(2√3,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=a(x-1)2+4 , 经过点A(2,3),求抛物线的解析式。
顶点式(顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a))
1,已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。
2,已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
交点式(带入)
1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2,已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=1/2a(x-2a)(x-b)的解析式。
定点式
在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线y=-1/2 x^2+(5-a)/2 x+2a-2经过x 轴上一定点Q,直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。
2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
解:抛物线与X轴相交,Y=0
x2+(2m-2)X-4m=0
x2-2X+2mx-4m=0
X(X-2)+2m(X-2)=0
(X-2)(X+2m)=0
所以 x=2 必过(2,0) 代入直线 得m=-4/3
Y= x2-11/3x+8/3
3,抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
直线y=mx-2m+2
y=m(x-2)+2 直线经过定点,则与m的取值无关,所以
x-2=0 y=2
即定点坐标为A(2,2)
所抛物线y=ax2+ax-2过(2,2)
2=6a-2
6a=4
a=2/3
知识点五 通过二次函数解决实际问题
考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题
1.(2019·山东中考真题)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h (单位:m)与小球运动时间t (单位: )之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是 ;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30m时,t=1.5s.其中正确的是( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.②③
【答案】D
【详解】
①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ;故①错误;
②小球抛出3秒后,速度越来越快;故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0;故③正确;
④设函数解析式为:h=a(t-3)^2+40,
把O(0,0)代入得0=a(0-3)^2+40,解得a=-40/9,
∴函数解析式为h=-40/9 (t-3)^2+40,
把h=30代入解析式得,30=-40/9 (t-3)^2+40,
解得:t=4.5或t=1.5,
∴小球的高度h=30m时,t=1.5s或4.5s,故④错误;
故选:D.
2.(2018·重庆中考模拟)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A.此抛物线的解析式是y=﹣1/5×2+3.5
B.篮圈中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
D.篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【详解】
解:A、∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5),
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5.
∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式,得 3.05=a×1.52+3.5,
∴a=﹣1/5,
∴y=﹣1/5×2+3.5.
故本选项正确;
B、由图示知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),
故本选项错误;
C、由图示知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),
故本选项错误;
D、设这次跳投时,球出手处离地面hm,
因为(1)中求得y=﹣0.2×2+3.5,
∴当x=﹣2.5时,
h=﹣0.2×(﹣2.5)2+3.5=2.25m.
∴这次跳投时,球出手处离地面2.25m.
故本选项错误.
故选:A.
考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题
1.(2017·甘肃中考模拟)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在图(1)位置时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A.y=﹣2×2 B.y=2×2
C.y=﹣0.5×2 D.y=0.5×2
【答案】C
【详解】
由题意可得,设抛物线解析式为:y=ax2,由图意知抛物线过(2,–2),故–2=a×22,解得:a=–0.5,故解析式为 y=﹣0.5×2 ,选C.
2.(2019·山西中考模拟)如图所示的是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,若水面下降2m,则水面宽度增加( )
A.(4√2+4)m B.4√2 m C.(4√2-4)m D.4m
【答案】C
【详解】
解:以AB所在的直线为x轴,向右为正方向,线段AB的垂直平分线为y轴,向上为正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标(-2,0),
得出:a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5×2+2,
把y=-2代入抛物线解析式得出:-2=-0.5×2+2,
解得:x=±2√2,
所以水面宽度增加到4√2米,比原先的宽度当然是增加了(4√2-4)米,
故选:C.
考查题型十二 利用二次函数求最大面积
1.(2017·江西南昌二中中考模拟)中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.
【答案】(1) x=12;(2)苗圃园的面积最大为112.5平方米,最小为88平方米;(3) 6≤x≤10.
【详解】
解:(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米.依题意可列方程
x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0.
解得x1=3,x2=12.
又∵30-2x≤18,即x≥6,
∴x=12
(2)依题意,得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11.
面积S=x(30-2x)=-2(x-15/2)2+225/2 (6≤x≤11).
①当x=15/2时,S有最大值,S最大=225/2;
②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88.
(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0 .
解得x1=5,x2=1
∴x的取值范围是5≤x≤10.
考查题型十三 利用二次函数求最大利润
1.(2013·辽宁中考真题)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
【答案】(1)y=-10000x+80000(2)当销售价格定为6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元
【详解】解:(1)由题意,可设y=kx+b,
把(5,30000),(6,20000)代入得:{█(&”5k” +b=30000@&”6k” +b=20000)┤,解得:{█(&k=-10000@&b=80000)┤。
∴y与x之间的关系式为:y=-10000x+80000。
(2)设利润为W,则
W=(x-4)(-10000x+80000)=-10000(x^2-“12x” +”32″ )=-10000(x-6)^2+40000,
∴当x=6时,W取得最大值,最大值为40000元。
答:当销售价格定为6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元。
考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题
1.(2019·云南中考模拟)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
由题意可得:PB=3﹣t,BQ=2t,
则△PBQ的面积S=1/2PB•BQ=1/2(3﹣t)×2t=﹣t2+3t,
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象,开口向下.
故选:C.
2.(2019·河南中考模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
当F在PD上运动时,△AEF的面积为y=1/2AE•AD=2x(0≤x≤2),
当F在DQ上运动时,△AEF的面积为y=1/2AE•AF= = (2<x≤4),
图象为:
故选A.
3.(2019·河南中考模拟)如图,在RtΔABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)。则四边形PABQ的面积y(cm^2)与运动时间x(s)之间的函数图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,
∴AC=√(AB^2-BC^2 )=6cm,
设运动时间为x(0≤x≤4),则PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,
∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ
=1/2AC∙BC-1/2PC∙CQ
=1/2×6×8-1/2×(6-x)×2x
=x2-6x+24
=(x-3)2+15.
根据函数解析式可得函数图象应为:C.
2020年中考数学一轮复习基础考点专题16相交线与平行线(含解析)
2020年中考数学一轮复习基础考点专题16相交线与平行线(含解析),中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.