2020年中考数学一轮复习基础考点专题17三角形与多边形（含解析）
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专题16 相交线与平行线
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 相交线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
表示方法：
如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．
记作：a ⊥ b于点Ｏ．
【注意事项】
1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。
2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的画法：一落、二移、三画。
注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
注意：
垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【典型例题】
1．（2016·福建中考模拟）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角
B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角
D．一定有一个不是钝角
【答案】D
【解析】
因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：
①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；
②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；
综上所述，D正确．
故选D．
2．（2018·天津中考模拟）有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；
②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；
④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．
故选D.
3．（2018·湖南中考模拟）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】在同一平面内，
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；
③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，
综上所述，正确的有①③④共3个，
故选C．
4．（2019·贵州中考真题）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度
C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
【答案】C
【详解】
点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，
故选C.
5．（2018·安徽中考模拟）下列说法正确的是( )
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
D．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】试题解析：A. 两点之间的距离是两点间的线段的长度，故此选项错误；
B. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；
C. 与同一条直线垂直的两条直线平行，故此选项错误；
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项正确.
故选D.
考查题型一 垂线性质的应用方法
1．（2017·湖南中考模拟）如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）.
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【解析】
先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，然后根据两直线平行，同位角相等，求出直角三角形的一个内角，然后可求得∠E=90°-50°=40°.
故选：C
2．（2018·广西中考模拟）如图，O为直线 AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE 于点 O，若∠BOC=80°，则∠AOD的度数是（ ）
A．70° B．50° C．40° D．35°
【答案】B
【解析】
∵OE是∠BOC的平分线，∠BOC=80°，
∴∠COE= ∠BOC= ×80°=40°，
∵OD⊥OE
∴∠DOE=90°，
∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°，
∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.
故选B.
3．（2015·河北中考模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】
试题分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°，
∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，
∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°；
故选C．
4．（2019·湖南中考模拟）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，则∠AOC的大小为（ ）
A．25° B．35° C．65° D．115°
【答案】A
【详解】
∵OE⊥CD，∠BOE＝65°，
∴∠BOD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠AOC＝∠BOD＝25°．
故选A．
5．（2017·重庆中考模拟）如图， ，点 在 上， 分别交 于点 ，且 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：∵EF∥GH，∠PBG=35°，
∴∠EAP=∠PBG=35°，
∵AP⊥AQ，
∴∠BAC=90°，
∵∠EAP+∠BAC+∠FAC=180°，
∴∠FAC=180°-∠EAP-∠BAC=180°-35°-90°=55°．
故选C.．
考查题型二 判断两条直线是否垂直
1．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，试说明：CD⊥AB．
【答案】证明见解析.
【解析】
∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直的定义）．
考察题型三 利用垂线段最短，解决实际问题
1．（2018·贵州中考模拟）如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．过一点只能作一条直线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【详解】计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短，故选B．
考查题型四 相交线交点的判断
1．（2013·湖北中考真题）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有( )
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
【答案】C
【解析】
由题意两条直线最多有 个交点，三条直线最多有 个交点，四条直线最多有 个交点，根据这个规律即可求得结果.
由题意得六条直线最多有 个交点，故选C.
2．观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是( )
A．10 B．20 C．36 D．45
【答案】D
【详解】
2条直线相交，只有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多有6个交点，…，n条直线相交，最多有 个交点，n=10时， 45．
故选D．
3．（2017·温江区期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
【答案】C
【解析】分四种情况：①三条直线平行，有0个交点；②三条直线相交于同一点，有1个交点；③一条直线截两条平行线有2个交点；④三条直线两两相交有3个交点．故选C．
知识点二 相交线中的角
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角
∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180°
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）
如：∠1和∠5。
内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）
如：∠3和∠5。
同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
考查题型五 同位角、内错角与同旁内角的判断
1．（2019·浙江中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析；(2) 36°
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
故x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3的度数为36°．
2．（2019·福建中考模拟）如图，与∠1是同旁内角的是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】D
【解析】
解：A．∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误；
B．∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；
C．∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；
D．∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确．
故选D．
3．（2019·甘肃中考模拟）如图，下列四个选项中， 与 是内错角的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
只有B符合条件．
故选B．
考查题型六 利用对顶角的性质求角的度数
1．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥CO，OF平分∠AOE，且OF在∠COE的内部．
(1)若∠COF＝15°，求∠BOD的度数．
(2)若∠BOD＝x°，则∠COF＝__________°(用含x的代数式表示)．
【答案】（1）∠BOD＝60°；（2） .
【详解】
解：(1)∵ CO⊥EO，∴ ∠COE＝90°．
∴ ∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－15°＝75°．
∵ OF平分∠AOE，∴ ∠AOF＝∠EOF＝75°，
∴ ∠AOC＝∠AOF－∠COF＝75°－15°＝60°，
∴ ∠BOD＝∠AOC＝60°．
(2)由（1）可知道∠AOF =75°，∠BOD＝∠AOC ，
∴∠COF =∠AOF－∠BOD =75°－x°．
2．（2017·河南中考模拟）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
【答案】A
【解析】
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝70°，
∵∠2＝40°，
∴∠1＝70°−40°＝30°，
故选：A．
考查题型七 利用对顶角、邻补角的性质求角的度数
1．（2012·北京中考真题）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。
由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。
由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。
∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。
2．（2012·四川中考模拟）如图， ， ，点B、O、D在同一直线上，则 的度数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为∠1=15°，∠1+∠COB=90°所以∠COB=90°-15°=75°又∵∠2+∠COB=180°∴∠2=180°-75°=105°故B正确．
3．（2018·河南中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____．
【答案】140°
【解析】
∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为：140°．
知识点三 平行线
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线 与直线 互相平行，记作 ∥ ，读作a平行于b。
平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵ ∥ ， ∥
∴ ∥
平行线的判定
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
考查题型八 利用平行线的性质求角的度数
1．（2018·辽宁中考模拟）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，则∠2的大小为（ ）
A．34° B．54° C．56° D．66°
【答案】B
【解析】
∵a∥b， ∴∠3=∠1=36°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°－36°=54°，故选B．
2．（2019·广东可园中学中考模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【答案】C
【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB= ×78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选C．
3．（2018·湖北中考真题）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．70° C．85° D．75°
【答案】A
【详解】如图，
∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，
∴∠4=∠3+∠B=100°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=100°，
∴∠2=180°﹣∠5=80°，
故选A．
4．（2019·重庆八中中考模拟）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，
2020年中考数学一轮复习基础考点专题18全等形与全等三角形（含解析）
2020年中考数学一轮复习基础考点专题18全等形与全等三角形（含解析）,中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.
点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【答案】D
【解析】
∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH= ∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选D．
5．（2019·山东中考模拟）如图，直线 被 所截，且 ，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，∵a//b，
∴∠1=∠5，∠3=∠4，
∵∠2+∠5=180°，∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，
由已知得不到 、 ，
所以正确的只有B选项，
故选B.
考查题型九 判断两条直线平行
1（2017·北京中考模拟）已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2=90°．
求证：AB∥CD．
【答案】证明见解析.
【解析】
如图，
∵PM⊥EF（已知），
∴∠APQ+∠2=90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠APQ=∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
2．（2017·盐城市大丰区万盈初级中学中考模拟）如图，已知AB=AC=AD，且 C=2∠D，求证AD BC．
【答案】证明见解析.
【详解】
∵
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD
∵∠C=2∠D
∴∠ABC=2∠ABD
∴∠ABD=∠CBD=∠D
∴AD∥BC
考查题型十 平行线的判定与性质的综合应用
1．（2018·江苏中考模拟）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数．
【答案】∠FEC=20°．
【详解】
∵AD∥BC （已知）
∴∠DAC+∠ACB=180° （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠DAC＝120° （已知）
∴∠ACB＝180°－120°=60°
∵∠ACF＝20° （已知）
∴∠BCF＝60°－20°=40°
∵CE平分∠BCF （已知）
∴∠BCE= ∠BCF=20° (角平分线的定义)
∵EF∥AD（已知）
∴EF∥BC（平行公理的推论）
∴∠FEC=∠BCE=20° （两直线平行，内错角相等）.
2．（2019·广东华南师大附中中考模拟）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数．
【答案】（2）25°
【解析】
（1）证明：
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠4=∠5=90o．
∴AE∥FG．
∴∠2=∠A．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A．
∴AB∥CD．
（2）解：设∠3=xo，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠C=∠3=xo．
∵∠D =∠3+60°，
∴∠D = xo+60°．
∵AB∥CD
∴∠D+∠3+∠CBD=180o，
∵∠CBD=70°，
∴x+60＋x＋70＝180
∴x＝25．
∴∠C=25o．
3．（2018·重庆中考模拟）已知：如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
【答案】∠1=∠2，理由详见解析.
【解析】
∠1=∠2，
理由：
∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
4．（2017·重庆中考模拟）如图AF//DE，点B、C在线段AD上，连接FC、EB，且∠E=∠F，延长EB交AF于点G.
（1）求证：BE//CF
（2）若CF=BE，求证：AB=CD
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）∵AF//DE
∴∠AGB=∠E
又∠E=∠F
∴∠AGB=∠F，
∴BE//CF
（2）∵BE//CF
∴∠DBE=∠ACF
∵∠E=∠F, CF=BE，
∴ΔACF≌ΔDBE，
∴AC=BD，
∴AB=CD.
考查题型十一 利用作辅助线的方法解决平行线的相关问题
1．（2019·贵州中考模拟）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A
【解析】
详解：
∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故选：A．
2．（2019·山东省临沂实验中学中考模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【答案】B
【解析】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
3．（2019·四川中考模拟）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【答案】B
【详解】
如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故选B．
4．（2019·广东中考模拟）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【详解】
如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD，
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=25°，
故选A．
5．（2018·山东中考模拟）如图，AB∥CD，图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360°
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CCD，
∵∠AFD=∠β−∠γ，
故选C.
考查题型十二 平行线在实际问题中的应用
1．（2018·河北中考真题）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A
【详解】如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故选A．
2．（2019·河北中考模拟）如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【答案】A
【详解】
解：如图：
由题意可得： ， ，
故 ，
，
，
则 ．
故选A．
3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转80° B．左转80° C．右转100° D．左转100°
【答案】A
【详解】
60°+20°=80°．由北偏西20°转向北偏东60°，需要向右转．
故选A．
知识点四 图形平移
平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
平移的性质：
1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
3、连接各组对应点的线段平行且相等。
作平移图形的一般步骤：
1、确定平移的方向和距离。
2、确定图形的关键点。
3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。
4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。
【典型例题】
1．（2017·湖北中考模拟）线段CD是由线段AB平移得到的。点A（－2，1）的对应点为C（3，1），点B（－1，0）的对应点D的坐标为( )
A．（4，0） B．（－5，0） C．（－1，3） D．（－1，－3）
【答案】D
【解析】试题解析：点A（-2，1）的对应点为C（3，1），可知横坐标由-2变为3，向右移动了5个单位，纵坐标不变， 于是B（-1，0）的对应点D的横坐标为-1+5=4，点D的纵坐标不变， 故D（4，0）． 故选A．
2．（2012·河北中考模拟）．如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为（ ）
A．3 B．3＋
C．6 D．6+
【答案】C
【解析】
连接CD．
由图示可知：
扫过的面积等于矩形ABCD的面积，即S=|1-（-1）|×|2-（-1）|=2×3=6．
故选C．
3．（2019·浙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2）
【答案】C
【详解】
根据点的平移的规律：向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），据此求解可得．
∵点B的坐标为（3，1），
∴向左平移6个单位后，点B1的坐标（﹣3，1），
故选C
考查题型十三 利用图形平移的性质解决周长问题
1．（2018·河北中考模拟）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
【答案】C
【解析】
已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C．
2．（2014·广东中考模拟）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
3．（2018·四川中考模拟）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（ ）cm．
A．7 B．11 C．13 D．16
【答案】C
【详解】
∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．
故选C．
4．（2018·天津中考模拟）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到 ，则四边形 的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
5．（2012·山东中考模拟）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】
此题考查图形的平移问题，平移只改变位置，不改变图形中线段和角的大小；由已知得：
AB=AC=DF=4,AD=CF=2,BE=2⇒ABFD周长=AB+AD+BC+CF+DF=16，所以选B
考查题型十四 利用图形平移的思想解决面积问题
1．（2019·河北中考模拟）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A’B’C’的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA’=1，则A’D等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
如图，
∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S△ABC= ，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A’B’C’，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则 ，即 ，
解得A′D=2或A′D=- （舍），
故选A．
2．（2018·广西中考模拟）如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42 B．96 C．84 D．48
【答案】D
【详解】
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO= （AB+OE）•BE= （10+6）×6=48．
故选D.
3．（2018·江西中考模拟）如图，将一个Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC=a，CA=b，FA= b；则四边形DEBA的面积等于（ ）
A． ab B． ab C． ab D．ab
【答案】C
【详解】
由题意可得：FD=CA=b，BC=EF=a.
∴AD＝FD−FA＝b− b＝ b，
∴四边形DEBA的面积等于AD•EF= ab，
故选C．
4．（2019·天津中考模拟）如图，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB平移至A1B1，连接BB1，AA1，则四边形ABB1A1的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，
连接A1B，则A1B//OA，BA1=3，
所以 = =3，
故选B.
5．（2018·河北中考模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片 边长为 重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是
A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：1
【答案】C
【详解】
解：正六边形的面积 ，
阴影部分的面积 ，
空白部分与阴影部分面积之比是 ： ：1，
故选C．
2020年中考数学一轮复习基础考点专题19轴对称与等腰三角形（含解析）
2020年中考数学一轮复习基础考点专题19轴对称与等腰三角形（含解析）,中考数学一轮复习基础考点专题,莲山课件.
