2020中考数学复习专题训练：压轴几何

2020河南安阳县中考语文模拟试卷（图片版）

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2020中考数学复习专题训练：压轴几何

1.(2019.葫芦岛)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90⁰，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE。

（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC=15⁰时，请直接写出的值。

解析：（1）由∠ECA=∠CAB=45⁰,可得EC∥AB。（2）由,且∠EAC=∠DAB,可得△EAC∽△DAB进而得出∠ECA=∠DBA=45⁰=∠CAB,所以CE∥AB.(3)此问分两种情况点D在BC上，点D在CB延长线上。①当点D在BC上时，如图（2），此时∠CAB=15⁰能得出∠CAD=30⁰，这样就有,也就是BC-DB=AC,BC=AC,所以BD=AC。又由△EAC∽△DAB得,因此有BD=CE，所以可得CE=AC，又AB=AC，因此=.当D点在CB延长线上时，∠CDA=30⁰,解三角形得3AC=CD。CD=BC+BD,由△AEC∽△ABD,可得BD=AC，就能得到CE=,AB=AC，所以.

2.(2019.沈阳）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是_200_米。（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE 0,将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α ，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE。① 如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是_PC=PE,PC⊥PE_;

②如图3，当α=90⁰时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α=150⁰时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC²的值。

解析：①延长EP交BC于M，则△DEP≌△BMP得PE=PM,又易证CE=CM，根据等腰三角形三线合一，可得PC=PE,PC⊥PE。

②过B作ED的平行线交EP延长线于点M，连接CE,CM。由△EDP≌△MBP得PM=PE,AE=ED=BM，再由边角边得△AEC≌△BMC,得出EC=CM，根据等腰三角形三线合一得PC=PE,PC⊥PE.③过E作EH垂直于CA交CA延长线于H，连接EC。由旋转角为150⁰得∠EAH=30⁰，AE=1，解三角形得EH=, AH=,又AC=3，运用勾股定理可求得EC²=10+3，因此PC²=5+。

3.（2019.抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）。将线段EP绕点E顺时针旋转90⁰得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q。

（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为_EC=QC+BP________.

（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立。若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

（3）正方形ABCD的边长为6，AB=3DE，QC=1，请直接写出线段BP的长。

解析：（1）略 。（2）（1）的结论仍然成立。由角边角可证得△GDE≌△PQE，可得PQ=DE,又BP+QC=BC-PQ,  DC=BC,所以BP+QC=DC-DE=EC.

(3) 此问有两种情况①交点Q在BC 上，与（2）结论相同可得BP=EC-QC=4-1=3.②当点Q在BC延长线上时，证法与(2)相同，可得BP=QC+EC=1+4=5.

4.（2019.铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC=180⁰.

(1) 如图1，当∠B=45⁰时，线段AG和CF的数量关系是AG=CF_。

(2) 如图2，当∠B=30⁰时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明。

(3) 若AB=6,  DG=1,  cosB=，  请直接写出CF的长。

解析：（1）连接AE，根据角角边可证△CEF≌△AEG,得AG=CF。

（2）连接AE， 由两角对应相等可证得△CEF∽△AEG，得，AG=.

（3）此问有两种情况①当点G在线段AD上时，连接AE，作AH⊥BC ,交BC于H。由cosB=cosC=，BD=3,AC=6，解直角三角形得BE=AE=4，CH=，而EC=9-4=5。又DG=1，所以AG=2.由（2）知，所以CF=。②当点G在线段BD 上时，同理可求得CF=5.

5.(2019.本溪)在Rt△ABC中，∠A<∠ABC，D是AC边上一点，且DA=DB。O是AB的中点，CE是△BCD的中线。

（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：________；

（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON=∠ADB，ON与射线CA交于点N。

①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；

②若∠BAC=30⁰，BC=m，当∠AON=15⁰时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）。

解析：（1）连接EO，由题意知DB=DA,根据中位线定理，斜边中线等于斜边一半， 则有OE=CE，OC=OA,所以∠ECO=∠EOC，∠OCA=∠OAC,又∠EOC=∠OXA,故有∠ECO=∠OAC.

(2) 连接OC，则有OC=OA。在等腰三角形△BDA和△AOC中有公共的底角

∠OAD，所以∠ADB=∠AOC,又∠ADB=

∠MON,所以∠AOC=∠MON，因此∠COM=∠AON.由（1）得∠ECO=∠OAC,所以

∠OCM=∠OAC,所以△OCM≌△OAN,故有ON=OM.

（3）

分两种情况①点N在A点的左侧时，由∠BAC=30⁰，∠AON=15⁰可得∠ONF=45⁰.过点O作OF⊥AC,垂足为F，可得OF=m=FN,解直角三角形得，FA=，所以AN=-m。我们又可以求得∠CBD=30⁰，可解得BD=，所以CE=。由（2）△OCM≌△OAN知AN=CM,所以ME=CE-CM=-(-m)=。同理当点N在DA延长线上时，ME=MC+CE=。

6.（2019.辽阳）如图1，△ABC（AC

（1）∠AFD与∠BCE的关系是______;

（2）如图2，当旋转角为60⁰时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG=OD,连接GC。

2020扬州市九年级下册语文中考模拟试卷（含答案）

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①∠AFD与∠GCD的关系是_______,请说明理由；

②如图3，连接AE，BE,若∠ACB=45⁰,CE=4，求线段AE的长度。

解析：（1）因为旋转变换所以∠A=∠D, ∠ACB=∠DCE,所以∠ACD=∠BCE. 又根据三角形内角和定理可得∠ACD=∠AFD,所以∠BCE=∠AFD。（2）∠AFD与∠BCE互补。理由如下连接AD，因为旋转角为60⁰，所以△ADC是等边三角形。根据题中条件易证得△AOD≌△COG，这样可得OA=OC，由三线合一得∠ODC=30⁰，由GC=AD=CD得∠CGD=∠ODC=30⁰，所以∠GCD=120⁰.又知∠BCE=60⁰，因此∠GCD+∠BCE=180⁰.（3）由（2）知OD是AC的垂直平分线，所以AB=BC=BE，又∠ACB=45⁰，可得∠ABC=90⁰，进而可得∠ABE=150⁰,∠EBF=30⁰,就能得出∠BAE=15⁰，所以∠CAE=30⁰，又∠ACD=60⁰，这样就能得出CD垂直AE,又∠DCE=45⁰，CE=4，两直角边长=2.

因此，AE=2+2.

7.（2019.锦州）（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B`OC`，OC`与CD交于点M，OB`与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想。（2）如图②，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO`C`，连接AO`、DC`，请猜想线段AO`与DC`的数量关系，并证明你的猜想。（3）如图③，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90⁰，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）。

解析：（1）由∠BON=∠COM, OB=OC, ∠OBN=∠OCN,可得△BON≌△COM，所以BN=CM。（2）由,且∠ABO`=∠DBC`,所以△ABO`∽△DBC`，所以DC`=AO`.(3)因为∠EAF=∠DAC=α,所以有且∠FAC=∠EAD,所以△FAC∽△EAD，因此，。

8.(2019.营口)如图1。在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰,∠B=30⁰,点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC 0 交线段CA的延长线于点D。

(1) 找出与∠AMP相等的角，并说明理由。

(2) 如图2，CP=BC，求的值。

(3) 在（2）的条件下，若MD=，求线段AB的长。

解析：（1）由∠DMA+∠AMH=60⁰,∠DMA+∠MDA=60⁰,所以∠AMP=∠MDA.

(2)过点C作CG∥AB交MP于G点，容易求得∠MCG=120⁰，又∠MAD=120⁰，所以∠MCG=∠MAD

又知道∠CMG=∠AMD，MC =MA

所以△CMG≌△AMD，CG=DA. 由CG∥AB得△CPG∽△BPM,所以.解三角形可得AB=,所以BM=。因此，AD=CG=BM=,故=.

(3)由（2）知△CMG≌△AMD，得MG=MD=。由△CPG∽△BPM，且相似比K=，得MH=MG=，设GC=AD=x，则AM=AC=3x,又知AH=AC=x ,   DH=x. 因为∠AMH=∠MDH,  ∠MAH=∠DMH,所以△MAH∽△DMH，可得MH²=HA·HD，即=x^2..解得x=,

所以AB=2AM=2×3×=2.

9.(2019.丹东)如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点,连接AE、BD。

（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0⁰<α<90>0），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H。请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明。

解析：（1）由题中的条件SAS容易证△ACE≌△BCD，得AE=BD,∠CBD=∠CAE。又知MP、PN是相应两三角形的中位线，可推出PN=AE， PM=BD,∠NPD=∠EAD,∠MPA=∠BDC.所以能得出∠MPA+∠NPD=90⁰,即∠MPN=90⁰.故有PM=PN,PM⊥PN.

(3) 利用等式的性质可得∠ACE=∠BCD,由SAS证△ACE≌△BCD，得AE=BD,∠CBD=∠EAC,又知∠BAH+∠HAC+∠ABC=900,所以可得∠BHA=900.即PM⊥PN.与（1）同理可得PM=PN.

(4) 由两边成比例且夹角相等，可证△ACE∽△BCD，得出，由中位线定理得PN=AE， PM=BD。所以，

即PM=kPN.

10.(2019.鞍山)在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，D是△ABC内一点，连接AD，BD。在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE=90⁰，以AD和DE为邻边作平行四边形ADEF，连接CD，DF。

（1）若AC=BC, BD=DE.①如图1，当B,D,F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为_________.

②如图2，当B,D,F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由。

（2）若BC=2AC，BD=2DE，，且E，C，F三点共线，求的值.

解析 ：（1）连接CF，由∠BCA=∠AFD=90⁰,及三角形内角和定理可得∠CAF=∠CBD,由平行四边形知AF=DE=BD,AC=BC可推出 △AFC≌△BDC,所以CD=CF,∠BCD=∠ACF,可得出∠DCF=90⁰.所以DF=CD

(2) 成立，理由如下：连接CF，延长BD交AF延长线于点H，与（1）同理可得∠CAF=∠CBD，又知DE=AF=BD,BC=AC，所以 △AFC≌△BDC,所以CD=CF,∠BCD=∠ACF,可得出∠DCF=90⁰.所以DF=CD。

(3) 延长BD交AF延长线于点H，由上两问可知∠CAF=∠CBD，又,所以△BDC∽△AFC，所以∠BCD=∠ACF,这样就有∠ADC=∠DCF=90⁰,设AC=5t，CD=4t.由,得CF=2t。由勾股定理得AD=EF=3t，EC=t.再用勾股定理得AF=DE=t.因此，.

11.(2019.大连)阅读正面材料，完成（1）——（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC=90⁰,点D、E在BC上，AD=AB，AB=kBD(其中

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系。”……

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG,与AC相交于点H（如图2），可以求出的值。”

（1）求证：∠BAE=∠DAC;

（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；

（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）。

解析：（1）由AD=AB得∠ABC=∠ADB,又∠ADB=∠DAC+∠ACB,∠ABC=∠ACB+∠BAE,所以∠BAE=∠DAC.

（2）设∠ACB=α，∠BAE=∠DAC=β。因为∠ABC+∠ACB=90⁰，所以2α+β=90⁰，又∠EAC的平分线与BC相交于点F，得2∠FAC+β=90⁰，所以∠FAC=∠ACB=α，得AF=FC，∠BAF=∠ABC=α+β,所以AF=BF。由两角对应相等可得△AFC∽△DAB,可得,即BF=.根据两角对应相等可得△ABG∽△BCA，可得,即.

（3）由∠AHB=∠ABC=α+β,∠HAB=∠BAC=90⁰,得△HAB∽△BAC。所以,又M由勾股定理得AC=kBD，所以AH=，HC=AC-AH=。故=.

12.（2019.盘锦）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90⁰，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD。

（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形。图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断。

（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90⁰，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H，次AD于点O，连接BD、AF,求BD²+AF²的值。

解析 ：（1）由SAS易证△BCF≌△ACD,可得BF=AD，∠FBC=∠CAD,又知∠CAD+∠ADC=90⁰,可得∠FBC+∠ADC=90⁰，即BF⊥AD。

（2）（1）结论成立，理由如下：由等式的性质可得∠FCB=∠DCA,BC=CA,CF=CD,所以△BCF≌△ACD，得BF=AD，∠FBC=∠CAD,又∠FBC+∠ABH+∠BAC=90⁰,所以∠CAD+∠ABH+∠BAC=90⁰，即BF⊥AD。

（3）连接DF，则DF²=CF²+CD²=,AB²=BC²+AC²=25.因为

∠FCB=∠DCA,且,所以

△BCF∽△ACD，所以∠FBC=∠CAD,又∠FBC+∠ABH+∠BAC=90⁰,所以∠CAD+∠ABH+∠BAC=90⁰，即BF⊥AD。由勾股定理得BD²=BO²+OD²,AF²=OF²+AO²,所以BD²+AF²=（BO²+AO²）+（OD²+OF²）=AB²+DF²=

2020吉林长春市中考语文压轴题4

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