安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（理）一模试卷（Word版附答案）

北京市大兴区2020届高三数学第一次模拟试题（Word版附解析）

北京市大兴区2020届高三数学第一次模拟试题（Word版附解析）,高三数学第一次模拟试题,北京市,大兴区,莲山课件.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．(本小题12分)
已知nS为数列｛ ｝的前n项和，且 ， 。
（1）求数列｛ ｝的通项公式；
（2）令 ，设数列 b的前项和为Tn，若 ，求n的最小值.

18.(本小题12分)
在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝ AB
（1）证明：BC⊥PA
（2）若PA＝PC＝AC，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
 
19.（本小题12分）
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零
件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
 
经计算，样本零件直径的平均值 65，标准差 2.2，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为x，并根
据以下不等式进行评判（P表示相应时间的概率）：
 .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，
则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级.
（2）将直径小于 或直径大于 的零件认为是次品
①从设备M的生产流水线上任意抽取2件零件，求其中次品个数的数学期望E(Y)；
②从样本中任意抽取2件零件，求其中次品个数的数学期望E(Z).

20．(本小题12分)
已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1，0)，以坐标原点O为圆心，椭圆短半
轴长为半径的圆与直线 的相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点F的直线l1，l2分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l1⊥l2，探究：是
否存在常数 ，使 恒成立.

21．(本小题12分)
已知函数
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点 的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为： 为参数，已知直
线 ，直线 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立
极坐标系.
（1）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；
（2）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线2l与曲线C分别交于O、B两点，
求△AOB的面积.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数
（1）当a＝－2时，求不等式 的解集；
（2）若

数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
题号| 1 「2 | 3    4    5    6    L    8    9    10    11    12
答案| D | C | E    A    A    D    A    A    B    C    B    C
二、    填空题：本题共4小题，每小题5分。

13’ x-ey = 0 ；    14.^ = ±2>/2x ；    15.— ；    16.x-+ 1 = 0 .
4
三、    解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（本小题12分）
解：(1)当 n = 1 肘，S] + 2 = 2°],解得         1    分 当心 2 时，&+i+2 = 2%i
所以    + 2 -（瓦 + 2）= 2%] – 2%，即 ％】=2%    3 分
又因为&]=2所以％正0
所以鱼 =2,                 4分
an
所以数列匠｝是以2为首项，2为公比的等比数列 所以％ =2”
⑵由⑴可得如=”的-T（2J1）.”T
甲％T 2019 Bn] 1    2019
因为 Tn >    ,即 1    :    >    
2020    2伸-1 2020

因为n w N*, 所以^>10    11分
所以刀的最小值为10                            12分

18.(本小题12分)
解：(1)证明：不妨设AB^2a,则AC = CD = DA = a 7t
由山CD是等边三角形得，ZACD = 一
3
n
-AB//DC :. ZCAB = ~            1 分    
1    3
由余弦定理得，
BC2=AC2+AB2 一2厲C•施・cos生二 3疽.…    2 分
3
即 BC = ga,所以BC2+AC2^AB\
所以 ZL4CB = 90°,即BCLAC    3 分 又平面PACL平面ABCD    !
平面PAC n平面ABCD = AC    ，
3Cu 平面 ABCD
:.BC1平面PAC..      4 分
-PA a平面以C    —
:.BC1PA                                    5 分    
（2）解：设AC=2,取中点o,连接PO,则ponc,poK
,「平面乃匸丄平面ABCD /. PO丄平面Z5CD            6分    
以C为原点建系如图，C(0,0,0),    邓⑪,尸(1,0,心)，4(2,0,0), Q(l,-V§,0)
灰=(i,o,顼)，53=(1,75,0), 不=(iq右)，瓦二(0,2右,0)    8分    
设平面PAD的法向量为％ = 3疗,2）,
-PA-
jiY -AD = x + \/3y = 0
得蒿=（0,-1,1）                             
设平面F8C的法向量为房=（工况z）,
n> – CP = x-\-    = 0 一 r-
1 _ 厂    得仇=（占,0, -1）
«2′ CB = 2\3y = 0
n, -n7    2 V5
cos =^r―    =    —=——
匡|.|切V5-2    5

19.(本小题12分)
解：(1)因为样本零件直径的平均值// = 65,标准差cr = 2.2
由样本估计总体，以频率值作为概率的估计值，得     1分
on
P(//-cr 0.6826,     2 分    

尸(//一2cr vX£# + 2 2
<^4-3(7)= ?(58.4 因为设备〃的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙：            5分
(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06    6分
①由题意可知 Y〜8(2,0.06),于是£(7) = 2×0.06 = 0.12            8 分
②由题意可知，Z = 0,l,2且

则Z的分布列为:

z    0    1    2
p    1457
• 1650    94
825    1
330

12分
20.(本小题12分)
解:(1)设所求的椭圆C方程为号,+方=10>3>0), 点。到直线工一*+必=0的距离为方逐
V2
故所求的椭圆C方程为–+^- = 1
4    3
(2)假设存在常数>1,使\AB\-h \CD\= A\AB\-\CD\恒成立，则人=点+冷
%2
①当小匕中一条斜率不存在时，可知\^B\,\CD\其中一个长为2^ = 4,另一个长为—- = 3,此时
.117
A 一一 一 -J_ 一    .一 —** ■
-\AB\ |GD「12 ；
②当l,J2的斜率存在且不为零时，不妨设：* = r* + 1,。更0),
x =頒 + 1
x2 v2 得(3户+4),2 + 6〃 一 9 = 0 ,…7 分 ——1_ ——=]
I 4    3
△ = 36尸一 4(3。+ 4). (-9) = 144(产 +1) > 0 ,
设』(仍+1,北),硏格+-1，力)，则3 + y2
网-庆侦EF=序机+疔石J=蚩*
用-：上式中的f得|CD| =号却

顷石）-/（电|財⑷二啓-方
O
所以/（吒）—fg ）1的最大值为–In 4            12分
8
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22J选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

消参得(X-3)2 + /=9,故曲线C的普通方程为j+尸—6* = 0             1分
由/?2=尤2 + 少2, x = pcos。，y = psmd , 得                2 分

7T    勿
4，&的极坐标方程为小6 = _3理,z2：。=；3涵    5分
6    3
(2)把 0 =-代入 Q = 6COS0，得 0 = 30,所以 Z(3j§,E),     6 分
6    6
7T    TT
把0 =-代入Q = 6COS。，得0=3，所以5(3,-)    …..7分
3    3
所以S^AOB -~ AP2 sin= – x3V3 X3Xsin(—)=—……,……10 分
2    2    3 6    4
23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）
解：(1)当 a = -2 时，/(x) = |x-2|,则丄 V3)
1    4
1 0 1
一 3
“2|芸

x<—^x>
则所求不等式的解集为卜|沁4或泠V
(2)证明：由已知，£>0, /(-l) = |a-l|<    /(i-a-2) = |^-2j<|    7 分
则|2a + Z)_4|=|2g —2 + /)—2 杉2″ 一 1| + | 方一2|v等+ ： = £
所以|2々+力–4|vf得证        10分