安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（文）一模试卷（Word版附答案）

足f (x) cos x  f (x)sin x （ 其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）， 则下列不等式成立的是
 
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 已知函数   则 f  f (2)  _____.
14． 记等差数列an的前 n 项和为 Sn ， 已知 S1  1， S5  25 ， 则 S6  ____.
15． 已知过点 1,0 的直线 l 被圆 x2  y2  6x  7  0 截得的弦长为 2 ， 则直线 l 的方程为______.
16．体积为 的三棱锥A-BCD中，BC＝AC=BD=AD=3，CD＝2 ，AB ，则
该三棱锥外接球的表面积为_____
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．(本小题12分)
设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，

北京市平谷区2020届高三数学下学期第二次模拟试题（Word版附解析）

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已知 b tan A  (2c b) tan B
（ 1） 求角 A 的大小；
（ 2） 若 ABC 的面积为 3 ， b  c  5 ， 求 a 的值

18.(本小题12分)
在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝ AB
（1）证明：BC⊥PA
（2）若PA＝PC＝ AC＝ ，Q 在线段 PB 上，满足 PQ  2QB ， 求三棱锥 P-ACQ 的体积。
 
19.（本小题12分）
从某小区抽取 50 户居民进行月用电量调查， 发现其用电量都在 50 到 350 度之间， 频率
分布直方图如下：
 
（1）求频率分布直方图中的 x值并估计这 50 户用户的平均用电量.
（2）若将用电量在区间50，150 内的用户记为 A类用户， 标记为低用电家庭， 用电量
在区间250，350内的用户记为 B 类用户， 标记为高用电家庭， 现对这两类用户进行问
卷调查， 让其对供电服务进行打分， 打分情况见茎叶图：
 
①从 B 类用户中任意抽取 1 户， 求其打分超过 85 分的概率；
②若打分超过 85 分视为满意， 没超过 85 分视为不满意， 请填写下面列联表， 并根据列
联表判断是否有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关” ？
 

20． (本小题 12 分)
已知函数  
（ 1） 讨论函数 f (x) 的单调性；
（ 2） 若 f (x)  a ， 求 a 的取值范围

21． (本小题 12 分)
已知抛物线 C ： ， 过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点， 且 A,B两点在抛物线 C 的准线上的投影分别 P 、 Q .
（ 1） 已知 D(1,0) ， 若 ＝0， 求直线 l 的方程；
（ 2） 设 P、Q 的中点为 M ， 请判断 PF 与 MB 的位置关系并说明理由

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为： 为参数，已知直
线 ，直线 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立
极坐标系.
（1）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；
（2）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线2l与曲线C分别交于O、B两点，
求△AOB的面积.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数
（1）当a＝－2时，求不等式 的解集；
（2）若

数学（文科）参考答案
一、选择题:本大題也2小題每小题5分，满分60分。
题号    1    2    3    4    5    6    7
■    8    9    10    11    12
答案    C    D    C    A    A    A    D    C    A    D    A    A,C
、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13. — ；    14.36 ；    15.    〜— V5″ = 0 或 + y — = 0 ;    16. —71、
4    3
17.(本小题12分)
解：(1)由正弦定理得，sinB•坐4 = (2sinC-sing)•竺兰        1分
cos A    cos 5
因为 sin5^ 0 所以 sinZcosZ = 2sinCcosZ —cos/sinW
sin A cos B + cos A sin B = 2 sin Ceos      2 分
sin(M + B) = 2 sin C cos N           .3    分
sinC = 2sinCcos J                    4    分 因为C u (0,TT),所以sinC # 0?所以cosA = -,
2
勿
因为ZE(0,勿),所以~      6分
1    r
(2)因为SAABC = — bcsinA~——be = 3A/3 ,
2    4
所以阮= 12,     :            8分
因为b + c = 5也,所以b1 -^2bc + c2 = 50 ,
所以屏+疽=26,             10分
根据余弦定理得，a2 = b2 +c2- 2bccos^4 = 26-12 = 14
所以 a =                        12 分
18.(本小题 12分)    / \C Q
解；(1)证明：不妨设 AB = 2硏则 AC = CD = D4 = Q D A
由MCD是等边三角形得，zL4CD = y    \ 乏二11 B
第18题图
7t
由余弦定理得,

即BC = j3at 所以BC2 +AC2=AB2t
所以七彼二9俨，即BC1AC        3分
又平面24C丄平面ABCD    」
平面PACH平面ABCD = AC    了
BCu 平面 4BCD
.\BCV平面                     5 分
-PAcz平面用C
:.BC1PA            6 分
(2)依题意得，PA.LPC
^P-ACQ = ^Q-PAC ~ § ^B-PAC         8    分
2    1
=—x — S昭AC ‘ BC      .9    分
3    3 *
2    11
-~x-x-xP^-PC-BC      10    分
3    3 2
= 2X1X1XV2XV2X273 = ^      12    分
3    3 2    9 19.(本小题12分)
1
解:(1)由已知，x =    ~(0.006 +■ 0.0036 + 0.0024 x2 + 0.0012) = 0.0044,     2 分
由频率分布直方图，估计这50户用户的平均用电量为
50 x (75 x 0.0024 +125 x 0.0036 +175×0.006 +225 x 0.0044 + 275 x 0.0024 + 325 x 0.0012) = 186        4 分
(2)①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，由样本估计总体     5分
设从3类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分为事件A            6分
则 P(A) = – =-        7    分
9 3
②填写列联表如下;
满意    不满意    合计    |
，类用户    1    6    9    
B类用户    6    3    9 J
合计    1    12        12    24    |
 

砰= 1.6 V 3.841,            
12x12x9x15        ….11分
所以没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”    
■        12分
20.(本小题12分)        
解：(1) /(x)的定义域为(。,+8)                    1分    
又尸(x)=丄京滂            
X X    X        2分    
① 当QV0时，在(0,+。。)上，/(x)>0, /(x)是增函数……            3分    
②当 U A 0 时，/7(x) = 0 ,得 X = £7 ,        
在(0,Q)上，ff(x) < 0> 在(a5+a))±, r(x)>0t /(对是增函数                        
(2)由(1)知        
①当。<0>ln 2 不成立；                    6分    
②当R>0时，        
/(^) > a , SP    > a ,                                    7分    
因为々>0,由(1)知：当x = a时，/O)取得极小值也是最小值，

所以 /Wmin    = bl « + 1 > £7             8 分
即lna + l>a olna-々 + l20成立
4″ h(a) = In a – a + l(a > 0) …:            9 分
1    i~a
T(a) = — — 1 = ― =0,解得 a = l,                 10 分
a a
在(0,1)上，”(a)>0,所以是增函数，
在(l,*o)上，hf(a) < 0> 所以，当& = 1时，/?(>)有最大值力(1) = 0     ..            11分
要使得h(a)>Q
即：a = 1
所以实数々的取值范围是a = l            」2分
21.（本小题12分）
解:（1）抛物线C: y = — x2，化为子=4>>，所以抛物线C的焦点^（0,1）    1分
4
设&冲弟，硏如乃），所以汤=（冶见），而=（气弟，而=（-1,0），
羽 + 面+ QD =（X] + x2 -1必+,，2）            2 分
由（OA + OB^OD）-OD = Qt 得而+易=1,                     3 分
又调=4>\，对=4%，两式相减得：（邑f 2）（也+工2）= 4。1 一力），
所以=        :                        4分
x} -x2    4
1
所以直线/的方程为：^ = 7x + l                                    5分
4
（2） PFHMB,理由如下：                        6分
依题意可知抛物线C的准线方程为：丿=-1，
依题意可设直线/的方程为：,=奴+ 1，
¥ = fcc + l
联立<    1 2消 > 得疽—4Ax-4 = 0 ,
所以X] +菅 =4k , XyX2 =一4,                                 8分
又户（气-1）, 0如T）；M%*,T），
所以戸戸=（一而,2）,协=（易_石；改疗2 +1）=（五°五，无+1），     9分
因为 2 x %2- X- -（F ）。2 +1）
L
=工2 — X] + X]刀 + X1
= R + X必
-x2 +x1(foc2 +1)
=无 + Xc + 奴,X.
=4″ (-4*) = 0         .11    分
所以 TF//MB,所以PF//MB    12    分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第-题记分。 22」选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
x = 3 + 3 cos a
解：（1）依题意，由曲线C的参数方程｛    （a为参数），
y = 3sma
消参得3-3）2十尸=9,故曲线C的普通方程为泌+，2一6工=0     1分
由/?2=工2+寸，X = QCOSQ, y = psind ,得        2 分
曲线C的极坐标方程为Q = 6cos0            3分
7T    7T
«,匕的极坐标方程为小0 = ；(peR)，/2：。= ；3顿)        5分
6    .3
(2)把8 =巴代入Q = 6COSQ,得R=30,所以成3占,勻，        6分
6    6
7T    TT
把(9 二;代入 p = 6cos0f 得 /?2=3,所以 5(3, y),      7 分
所以电彼 ~~PiPi sin匕408 = —x3>/3 x3xsin(—-—)=史3    10 分
23」选修4・5：不等式选讲](10分) 解：(1)当 a = 时，/(X) = |X-2L 则-
4    3    4
1 0 1
——< x> 3    . 3
c    1土        
x-2< —— 或 x-2芻一
4    4
3    .3
x — X 2 —
4    4
则所求不等式的解集为书＜空：或% V ………..;    5分
(2)证明：由已知，£>0,    f(b-a-2′)=\b~2\<~..…….7 分
贝!]|2(7 + Z?-4|=|2(7-2 + A- 2|<2>-2|< 专 + ： = $
所以|2々+万一4|v$得证        10分