广西桂林、崇左、贺州市2020届高三数学（理）下学期第二次联考试题（Word版附答案）
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2020年兰州市高三诊断考试
数学（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.
2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集定义求解．
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2.已知复数 ，则 （ ）
A. 5 B. C. 13 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先进行除法运算化简 ，再求模即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.
3.已知非零向量 ， 给定 ，使得 ， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分析各个命题中向量 ， 的关系，然后根据充分必要条件的定义确定．
【详解】 ，使得 ，则 ， 共线，
等价于 ， 同向，
因此 是 的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．
4.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦和正切公式可求出 的值.
【详解】 ，
，由题意可得 ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
5.已知双曲线 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，得到a＝2b，再根据e 求解.
【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，
所以a＝2b，即a2＝4b2，
所以e ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6.已知集合 ，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，列举出所有的基本事件，并列举出事件“从 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】由题意可得 ， ，
从 中任选两个角，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种情况.
其中，事件“从 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有： 、 、 、 ，共 个，
因此，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率为 .
故选：B
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.
7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 ，则 ；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．
【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误；
对于②，用这五组数据得到 两变量间的相关系数为 ，∵第一组数据 是离群值，去掉后得到的相关系数为 ，其相关性更强，∴ ，②正确；
对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；
综上可知正确命题个数是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题．
8.已知函数 ，且 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析出函数 是偶函数，且在 上为增函数，利用偶函数的性质可得 ，利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较 、 、 的大小关系，利用函数 在 上的单调性可得出 、 、 的大小关系.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
，函数 为偶函数，
，
由于函数 在 上为增函数，函数 为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9.已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥高和底面的半径相等，且点D为底面圆周上的一点，∠ABD＝60，可知D为 的中点，则以底面中心为原点，分别以OD，OE，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量 ， 的坐标，代入公式cos ， 求解.
【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB.
∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，
∴AB＝AD＝DB；
∴D为 的中点
建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设OB＝1
则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），
∴ （0，﹣1，﹣1）， （﹣1，1，0），
∴cos ， ，
∴异面直线AM与PB所成角的大小为 .
∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.
10.已知函数 （ ），若函数 的图象与直线 在 上有3个不同的交点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程 在 上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得 的范围.
【详解】 ，
的图象与直线 在 上有3个不同交点，
即方程 在 上有3个实根，
由 得 ，所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
11.已知点 ，抛物线 ， 为抛物线的焦点， 为抛物线的准线， 为抛物线上一点，过 作 ，点 为垂足，过 作 的垂线 ， 与 交于点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出图形，推导出直线 为线段 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得 ，进而可得出 ，利用 、 、 三点共线可求得 的最小值.
【详解】根据抛物线定义得 ， ，则 为 的垂直平分线，
， .
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12.已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将题干中的等式变形为 ，可得出 ，并构造函数 ，可得出 ，进而可得出 ，利用 求得 的值，可得出函数 的解析式，进而利用导数可求得函数 的最小值.
【详解】由 ，变形得 ，即 ，
（ 为常数），则 ， ，得 .
， ，
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，则 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 ，则 _____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据分段函数 的定义域，先求 ，再求 的值.
【详解】∵函数 ，且 ，
∴ ，
∴ f（ ）＝2 .
.故答案为：4.
【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.已知向量 ， 满足 ，向量 ， 夹角为 ，且 ，则向量 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
由垂直得数量积为0，从而得 ，得 ，然后把模的运算转化为数量积运算即得．
【详解】由 得 ， ，即 ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系．
15.在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ， ，则 _______.
【答案】9
【解析】
【分析】
已知由余弦定理即可求得 ,由 可求得 ,即可求得 ,利用正弦定理即可求得结果.
【详解】由余弦定理 和 ，可得 ，得 ，由 ， ， ，由正弦定理 ，得 .
故答案为: .
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.
16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA’、BB’、CC’、DD’、EE’、FF’相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16”.已知一个房中BB’＝5 ，AB＝2 ，tan54°44′08” ，则此蜂房的表面积是_____.
【答案】216
【解析】
【分析】
表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6 ，再根据∠B′C′D′＝109°28′16”，tan54°44′08” ，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，
广西桂林、崇左、贺州市2020届高三数学（文）下学期第二次联考试题（Word版附答案）
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求得梯形的面积，然后两部分相加即可.
【详解】如图所示：
连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6 ，
∵四边形OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16”，tan54°44′08” ，
∴OC′＝2 2 6，B′C′＝3 ，
∴CC′＝BB′ 4 ，
∴S梯形BB′CC′ 27 ，
∴S表面积＝6 3 216 .
故答案为：216 .
【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在等差数列 中， ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，求 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等差数列 的公差是 ，根据题中条件求出 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列 的通项公式；
（Ⅱ）求得 ，利用裂项相消法可求得 ，然后解方程 ，可求得正整数 的值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列 的公差是 ，由 ， ，得 ，解得 .
因此， ；
（Ⅱ）设 ，
，
令 ，即 ，得到 .
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.
18.如图，在四棱锥 中，底前 为平行四边形，点 在面 内的射影为 ， ，点 到平面 的距离为 ，且直线 与 垂直.
（Ⅰ）在棱 找点 ，使直线 与平面 平行，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥 的体积.
【答案】（Ⅰ）点 为 中点时，直线 与面 平行，理由见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ，利用中位线的性质证得 ，进而可证得 平面 ，由此可得出结论；
（Ⅱ）推导出 平面 ，由 为 的中点，可得出 ，进而可求得三棱锥 的体积.
【详解】（Ⅰ）点 为 中点时直线 与面 平行.
连接 ，交 点 ，则点 为 的中点，
因为点 为 中点，故 为 的中位线，则 ，
平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
（Ⅱ）根据题意 ， 底面 ， 底面 ，则有 ，
，所以 平面 ，则 ，设 ，
，得 ，
则 .
【点睛】本题考查线面平行 判断，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进. 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为 表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.
（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 ”的概率；
（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于 ，则该数据要标记“ ”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：
标记 不标记 合计
坡腰
坡顶
合计
并判断是否有 的把握认为数据标记“ ”与沙丘上插钎所布设的位置有关？
附： .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）列联表见解析，有 的把握认为数据标记“ ”与沙丘上插钎所布设的位置有关.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图可估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 ”的概率；
（Ⅱ）根据两幅频率分布直方图完善 列联表，并根据列联表计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论.
【详解】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 ”为事件 ， ；
（Ⅱ）完成列联表如下：
标记 不标记 合计
坡腰
坡顶
合计
根据列联表，计算得： .
所以有 的把握认为，数据标记“ ”与沙丘上插钎所布设的位置有关.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计概率，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
20.已知点F为椭圆 （a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有 求解.
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0， ），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx ，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.
【详解】（1）由题意可知， ，解得 ，
∴b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆的标准方程为： ；
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0， ），
设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，
故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx ，
由 得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
由 得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴k1k2 • ，
又∵ ，
∴k1•k2＝e2﹣1.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21.已知函数 （ 且 ）.
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 ，讨论函数 的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若 有两个极值点 、 ，证明： .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出 和 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（Ⅱ）求得 ，由 ，分 和 两种情况讨论，分析 的符号变化，可得出函数 的单调递增区间和递减区间；
（Ⅲ）由题意可知，方程 有两正根 、 ，利用韦达定理得出 ， 且 ，将所证不等式转化为 ，构造函数 ，利用导数证明出当 时， 即可.
【详解】由题可知：函数 的定义域为
（Ⅰ）因为 时， ，所以 ，
那么 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，
即 ；
（Ⅱ）因为 ，由 可得：
①当 ， ，时，有 ， ，满足 ，
和 时 ，
即函数 在 和 上为减函数；
时， ，即函数 在 上 增函数；
②当 时， ， 恒成立，所以函数 在 为减函数.
综上可知：
当 时，函数 在 和 上为减函数，
在 上为增函数；
当 时，函数 在 上为减函数；
（Ⅲ）因为 有两个极值点 、 ，
则 有两个正根 、 ，则有 ，且 ， ，即 ，
所以
若要 ，即要 ，
构造函数 ，则 ，易知 在 上为增函数，
且 ， ，
所以存在 使 即 ，
且当 时 ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在 上有最小值为 ，
又因为 则 ，所以 在 上恒成立，
即 成立.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 ，曲线C2的直角坐标方程为 .
（1）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；
（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将直线l的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长.
（2）将曲线C2的直角坐标方程转换为参数方程为 （0≤θ≤π），由A（1，0），B（0，1），P（2cosθ，2sinθ），得到 ， 的坐标，再利用数量积公式得到 ，然后用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数，
得直角坐标方程为x+y﹣1＝0，
因为曲线C1的极坐标方程为 ，
所以
所以直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，
标准式方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，
所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d ，
所以弦长|MN|＝2 .
（2）因为曲线C2的直角坐标方程为 .
所以x2+y2＝4 ，转换为参数方程为 （0≤θ≤π）.
因为A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），
所以 ， ，（0≤θ≤π），
所以 ，
因为
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
【选修4-5：不等式选讲】
23.已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a.
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围.
【答案】（1） （2）[﹣4，0]
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值 ，再分类解不等式f（x）＞4.
（2）根据对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，则f（x）min≥g（x）min，由（1）知， f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，解不等式2≥|2a+2|+a即可.
【详解】（1）因为 ，
所以f（x）＞4即为 或 或 ，
解得 或x＞1，
所以不等式的解集为 ；
（2）由（1）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，
由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，
故f（x）min≥g（x）min，
即2≥|2a+2|+a，
所以
解得﹣4≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[﹣4，0].
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
河北省保定市2020届高三数学（理）第一次模拟试卷（Word版附答案）
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