2020中考数学复习专题：锐角三角形及答案

2020中考数学复习专题：三角形及答案

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2020中考数学复习专题：锐角三角形

1．为缓解交通压力，建设美丽遵义，市政府加快了风新快线的建设．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝8千米，∠A＝45°，∠B＝30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）

2．某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）

3．某数学活动小组实地测量某条河流两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度．在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走40米到达点C处，测得点B在点C的南偏东27°方向，求这段河的宽度．（结果精确到1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.41）

4．如图，无人机在离地面40米的D处，测得楼房顶点C处俯角为37°，测得地面点B的俯角为45°．已知点B到楼房AC的距离为60米，求楼房AC的高度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

5．小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度．（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）

6．如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB＝1.91米，篮板高度DE为1.05米，求篮板下沿E点与地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）

7．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里．（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；

（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由．

8．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）

（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3，≈1.4，≈1.7）

9．小甬工作的办公楼（矩形ABCD）前有一旗杆MN，MN⊥DN，旗杆高为12m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B处测旗杆顶的仰角为45°，在小甬所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯角为15°．

（1）办公楼的高度AB；

（2）求小甬所在办公室楼层的高度AE．

10．如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

11．随着疫情逐步得到控制，在疫情防控初期驰援武汉的医护人员已陆续返回，深圳市为返深医护人员在中心区亮灯致敬．某大厦的立面截图如图所示，图中的所有点都在同一平面内，已知高度为1m的测量架AF在A点处测得∠1＝30°，将测量架沿AB方向前进220m到达G点，在B点处测得∠2＝45°，电子显示屏的底端E与地面的距离EH＝15m，请你计算电子显示屏DE的高度．（结果精确到1m，其中：≈1.41，≈1.73）

12．某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

13．如图1是一手机支架，其中AB＝8cm，底座CD＝1cm，当点A正好落在桌面上时如图2所示，∠ABC＝80°，∠A＝60°．

（1）求点B到桌面AD的距离；

（2）求BC的长．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）

14．如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．

（1）请求把手CD的长；

（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）

15．图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE分别固定在平板电脑AD背面中点B处，桌面E处，EB可以绕点E转动，当点D在线段EF上滑动时，可调节平板电脑AD的倾斜角∠ADC，经测量，CE＝24cm，CF＝9cm，支架BE＝AD＝10.5cm．

（1）连接AE，求证：AE⊥CE；

（2）当∠ADC＝120°时，求A，E两点间的距离；

（3）当点D滑到距离F点1cm处时，视觉效果最好，求此时倾斜角∠ADC的度数．

（参考数据：≈1.73，sin48.19°≈0.75，cos48.19°≈0.67，tan48.19°≈1.12，结果保留一位小数）

16．如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA＝44cm，OD＝120cm，BD＝40cm，∠ABC＝75°．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）

（1）求支架顶点A到地面BC的距离．

（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．

17．如图1，这是阳台电动升降晾衣架，它左侧的基本形状是菱形，通过调节菱形内角的大小，从而实现升降晾衣杆．图2是晾衣架左侧的示意图，已知菱形的边长为15cm当晾衣架伸展至长（即点O到直线 l₂的距离）为105cm时，求∠OAP的大小．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，sin51.3°≈0.78，sin58.1°≈0.85）

18．如图，旗杆AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是30°时，旗杆在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，旗杆顶端A在地面上的影子F与墙角C有6米的距离（B、F、C在一条直线上）．请你求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）

19．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD‘的夹角∠D‘AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且DE＝50cm，CE＝130cm，问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

20．新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）

参考答案

1．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝8千米，

∴CD＝BC•sin30°＝8×＝4（千米），

AC＝＝4（千米），

AC+BC＝8+4≈13.7（千米），

答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走约13.7千米；

（2）∵cos30°＝，BC＝8（千米），

∴BD＝BC•cos30°＝8×＝4（千米），CD＝BC＝4（千米），

∵tan45°＝，

∴AD＝＝4（千米），

∴AB＝AD+BD＝4+4≈10.9（千米），

∴AC+BC﹣AB＝13.7﹣10.9＝2.8（千米），

答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走约2.8千米千米．

2．解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．

∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，

∴cos37°＝＝＝0.8，

∴DE＝4，

∵sin37°＝＝＝0.6，

∴AE＝3．

在Rt△AEC中，

∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，

∴CE＝AE＝，

∴AC＝2CE＝2，

∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4（米）．

答：这棵大树AB原来的高度是（3+4）米．

3．解：如图，延长CA于点D，交直线BD于点D，

则CD⊥BD，

∴∠CDB＝90°，

根据题意可知：

∠ABD＝45°，∠BCD＝27°，AC＝40，

在Rt△ABD中，AD＝BD，

在Rt△CBD中，tan∠BCD＝＝，

即0.51≈，

解得AD≈41.6≈42（m）．

答：这段河的宽度约为42米．

4．解：如图，

过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于点F，

根据题意可知：

CA⊥AB，

所以四边形ACFE是矩形，

∴CF＝AE，AC＝EF，

∵∠B＝45°，

∴DE＝BE＝40，

∴AE＝AB﹣BE＝60﹣40＝20，

∴CF＝AE＝20，

DF＝DE﹣EF＝DE﹣AC＝40﹣AC，

在Rt△CFD中，∠DCF＝37°，

∴DF＝CF•tan∠DCF

即40﹣AC＝20×tan37°，

解得AC≈25（米）．

答：楼房AC的高度为25米．

5．解：在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，PO＝0.1

∴BO＝PO＝0.1A，

在Rt△AOP中，∠APO＝59°，PO＝0.1，

∴AO＝PO•tan59°≈0.1×1.66＝0.166，

∴AB＝AO﹣BO＝0.166﹣0.1＝0.066，

∴0.066÷＝59.4，

答：该轿车在这4秒内的行驶速度为每小时59.4千米．

6．解：如图，

延长DE与AB的延长线交于点F，

则四边形BCEF是矩形，

∴BC＝EF，CE＝BF，

根据题意可知：

∠DCE＝45°，

∴CE＝DE＝1.05，

在Rt△ADF中，∠DAF＝54°，

DF＝DE+EF＝1.05+EF，

AF＝AB+BF＝AB+DE＝1.91+1.05＝2.96，

∴DF＝AF•tan∠DAF，

即1.05+EF≈2.96×1.33，

解得EF≈2.9（米）．

答：篮板下沿E点与地面的距离约为2.9米．

7．解：（1）作CE⊥MN于E，如图1所示：

则∠ACE＝30°，∠BCE＝45°，∠DCE＝15°，∠ABC＝45°，

∴AE＝AC＝60，CE＝AE＝60，△BCE是等腰直角三角形，

∴BE＝CE＝60，BC＝CE＝60，

答：巡逻船B与渔船C间的距离为60海里；

（2）没有触礁的危险；理由如下：

由题意得：AB＝BE+AE＝60+60，

∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝30°+15°＝45°，

2020九年级中考数学冲刺复习专题：反比例函数及答案

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∴∠ACD＝∠ABC，

∵∠CAD＝∠BAC，

∴△CAD∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得：AD＝120（﹣1），

∴BD＝AB﹣AD＝60+60﹣120（﹣1）＝180﹣60（海里）；

作DF⊥BC于F，如图2所示：

∵∠ABC＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴DF＝BD＝90﹣30≈54（海里），

∵54＞45，

∴没有触礁的危险．

8．解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，

在Rt△APE中，

∵sin∠AEP＝，

∴AE＝＝≈≈53，

答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，

∴∠BAF＝∠AEP＝18°，

在Rt△ABF中，

AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，

BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，

∵BF∥CD，

∴∠CBF＝∠BCD＝30°，

∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44，

∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．

答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．

9．解：（1）如图，过点M作MH⊥AB于点H，

∵MN⊥DN，∠BAN＝90°，

∴四边形MNAH是矩形，

∴AH＝MN＝12，

MH∥AN∥BC，

∴∠AMH＝∠MAN＝30°，

在Rt△AMH中，MH＝＝12，

∵∠BMH＝45°，

∴BH＝MH＝12，

∴AB＝AH+BH＝12+12．

答：办公楼的高度AB为（12+12）m．

（2）过点E作EQ⊥AM于点Q，

由（1）得，∠EAQ＝60°，

∴∠EMQ＝180°﹣∠EAM﹣∠AEM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，

设AE＝x，则AQ＝x•cos60°＝x，

MQ＝EQ＝x•sin60°＝x，

由AM＝2MN＝24，

+x＝24，

解得x＝24﹣24（m）．

答：小甬所在办公室楼层的高度AE为（24﹣24）m．

10．解：如图，延长AQ交MN于点D，

则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．

根据题意可知：∠PAD＝15°．

∴∠APD＝90°﹣∠PAD＝75°．

∵AP平分∠BPN，

∴∠APD＝∠APB＝75°．

∵∠QAB＝60°，

∴∠PAB＝∠QAB﹣∠PAD＝45°．

∴∠PBA＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝60°．

在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠PAC＝45°，AP＝2，

∴，

即．

∴．

∴AC＝PC＝，

在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠PBA＝60°，，

∴，

即．

∴．

∴≈1.414+≈2.23（km）．

答：村庄A，B之间的距离约为2.23 km．

11．解：∵在Rt△BCD中，∠2＝45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC＝DC．

设BC＝DC＝xm，

∵在Rt△ACD中，∠1＝30°，

∴，

∴，

∵AC﹣BC＝220，

∴，

解得．

∵DE＝DC+CH﹣EH，CH＝1，EH＝15，

∴（m）．

故电子显示屏DE的高度约为286m．

12．解：设OE＝OB＝2xcm，

∴OD＝DE+OE＝280+2x，

∵∠ADE＝30°，

∴OC＝OD＝140+x，

∴BC＝OC﹣OB＝140+x﹣2x＝140﹣x，

∵tan∠BAD＝，

∴2.14≈，

解得：x≈11.6，

∴OB＝2x≈23（cm）．

故OB的长度约为23cm．

13．解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，

∴∠AEB＝90°，

∵∠A＝60°，AB＝8，

∴BE＝4，

∴点B到桌面AD的距离是4．

（2）延长交BE于点F，

∴∠BFC＝90°

∵∠A＝60°，∠ABC＝80°，

∴∠CBF＝50°，

由题意可知：BF＝4﹣1，

∵cos50°＝，

∴BC＝≈9.3cm，

∴BC的长度为9.3cm．

14．解：（1）如图2，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AC＝＝＝16.8（cm），

∴CD＝AC﹣AD＝16.8﹣2.6＝14.2（cm）．

（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．

∵CD∥AB，

∴∠CDF＝90°＝∠DFE＝∠CEF，

∴四边形CDFE是矩形，

∴DF＝CE，EF＝CD，

又AD＝BC，

∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），

∴AF＝BE＝（AB﹣EF）＝（17﹣14.2）＝1.4（cm），

∴cos∠DAF＝＝＝≈0.538，

∴∠DAF＝57.5°，

∵CD∥AB，

∴∠ADC＝180°﹣∠DAF＝122.5°．

15．解：（1）连接AE．

∵BE＝AD，B是AD中点，

∴AB＝BE＝BD，

∴∠A＝∠AEB，∠ADE＝∠DEB．

在△ADE中，∠A+∠AEB+∠ADE+∠DEB＝180°，

∴2（∠AEB+∠DEB）＝180°，

∴∠AEB+∠DEB＝90°，即∠AED＝90°，

∴AE⊥CE；

（2）∵∠ADC＝120°，

∴∠ADE＝60°．

在Rt△ADE中，AE＝AD•sin∠ADE＝AD．

∵AD＝10.5cm，

∴AD＝21cm，

∴AE＝≈18.5（cm）；

（3）∵DF＝1，CE＝24，CF＝9，

∴DE＝CE﹣CF﹣DF＝14．

在Rt△ADE中，cos∠ADE＝＝＝≈0.67，

∴∠ADE≈48.2°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ADE≈131.8°．

16．解：（1）如图1，过点A作AI⊥BC于点I．

∵OA＝44cm，OD＝120，

∴AD＝OD﹣OA＝76，

∵BD＝40cm，

∴AB＝BD+AD＝76+40＝116．

∵ABC＝75°，

∴在Rt△ABI中，

AI＝AB•sin75°≈116×0.97≈113（cm）．

答：支架顶点A到地面BC的距离约为113（cm）．

（2）如图2，过点O作OG⊥BC于点G．过点A作AH⊥0G于点H，

∵∠BAC＝30°，∠DAE＝15°，

∴∠OAC＝135°．

∴∠HAI＝90°，∠CAI＝15°，

∴∠HAC＝75°，

∴∠OAH＝60°，

∴

∵HG＝AI≈113，

∴OG＝OH+HG≈22+113≈151（cm）

答：端点O到地面BC的距离为151（cm）．

17．解：如图，连接AB，OP交于M，

∵四边形APBO是菱形，

∴AB⊥OP，∠OAP＝2∠OAB，

由题意得，OM＝＝，AO＝15，

∴sin∠OAB＝＝≈0.78，

∴∠OAB＝51.3°，

∴∠OAP＝2∠OAB＝102.6°．

18．解：过点E作EM⊥AB于点M，设AB＝x，

在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，

∴BF＝AB＝x，

∴BC＝BF+FC＝x+6．

在Rt△AEM中，

∵∠AEM＝30°，AM＝AB﹣CE＝x﹣2，tan30°＝，即＝，解得x＝2．

∴旗杆AB的高度为2米．

19．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，

∵AB＝25，DE＝50，

∴sin37°＝，cos37°＝，

∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，

∴BF＝50﹣15＝35，

∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，

∴∠GBA＝53°，

∴∠CBF＝55°，

∴∠BCF＝35°，

∵tan35°＝，

∴CF≈＝50，

∴FE＝50+130＝180，

∴GD＝FE＝180，

∴AD＝180﹣20＝160，

∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．

20．解：空调安装的高度足够．理由如下：

如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，

则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．

∵在Rt△FHO中，tan46°＝，

∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞200，

∴HO＞AO，

∴空调安装的高度足够．

2020中考道德与法治重点词练习：小康社会及答案

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